2017年高考数学理试题分类汇编：数列

(2017年新课标Ⅰ) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B 。

( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n nn n a n S +==，那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，那么 11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 14．(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8-【解析】由题意可得：()()1211113a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得：112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==- (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，()665612242S ⨯=⨯+⨯-=-，故选A.(2017年浙江卷) 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 C17. ( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，等比数列{b n }的前n 项和为Tn ，a 1=-1，b1=1，a3+b2=2. （1） 若a3+b2=5，求{b n }的通项公式； （2） 若T=21，求S 117.解：设的公差为d ，的公比为q ，则,.由得d+q=3. ①（1） 由得②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式（2） 由得.解得 当时，由①得，则.当时，由①得，则.(2017年新课标Ⅰ) 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. (2017年新课标Ⅰ文) 17． 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

17.（12分）【解析】（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩ ，解得2q =-，12a =-. 故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-.（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-. 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.(2017年北京卷理) （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =_______. 【答案】1【解析】322131383,211(2)a d q d qb -+-+=-=⇒==-⇒==-⨯-(2017年北京卷理) （20）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

（Ⅱ） （1）设{}n a 、{}n b 的公差为12d ,d ， 对于1122,,,n n b a n b a n b a n --⋅⋅⋅-其中任意项i i b a n -（*i N ∈,1<i<n ）[][]i 1211=b (i 1)d a (i 1)d i b a n n -+--+-1121=+i b a n -（）（-1）(d -d n)①若()()()21120,则10≤--=-≤i i d b -a n b a n i d则对于给定的正整数n ，11-n C =b a n 此时1+1-=-n n C C a ，故数列{}n C 为等差数列②若()()()22＞0,则0---=-≤i i n n d b a n b a n i n d 则对于给定正整数n ，1=--n n n n C =b a n b a n 此时1+21-=-n n C C d a ，∴数列{}n C 为等差数列(3)若此时为一个关于n 的一次函数，故必存在，当n ≥S ，则当n ≥S 时，因此当n ≥S 时，此时，令,,下证：对任意正数M ，存在,学%科%网当n ≥m 时①取取([x ]取不大于x 的整数)n ≥m 时，=A ()+B ＞A成立 ②若C ＜0，取当n ≥m 时，成立综上，对任意正整数M 存在，当n ≥m 时命题得证.9．(2017年江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 19.(2017年江苏卷)对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．19. 【解析】 （1）因为{}n a 是等差数列，所以，当4n ≥时，332222n n n n n n a a a ,a a a ,-+-++=+=112n n n a a a -++=，以上三式相加，得321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=因此，{}n a 是()3P 数列17. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=… （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和； 【答案】【解析】（1）当=1n 时，12a = (1)当2n ≥时，由()123+212n a a n a n ++-=...① (2)()()12-13+232-1n a a n a n ++-=...②. (3)① -②得()212n n a -= (4)即()2221n a n n =≥- 验证12a =符合上式 所以()221n a n N n *=∈- (6)（2）()()2112121212121n a n n n n n ==-+-+-+ (8)11111111211335232121212121n nS n n n n n n =-+-++-+-=-=---+++ (12)（19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，学.科网求由该折线与直线y =0，x =x i （x {x n }）所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】解：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知q>0.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为q>0,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=①-②得121132(22 (2))(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=（19）(2017年山东卷文)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）2552n nn T +=-两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭所以2552nnn T +=-. 18. (2017年天津卷理)已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是学 科.网首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .【答案】 （1）32n a n =-.2nn b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. （18）(2017年天津卷文)已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①；由11411S b =，可得1516a d +=②， 联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．22．(2017年浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n ∈N*）.证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；（Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +；（Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +.。