最新高一数学预科班第一次课

第一节集合的含义与关系

知识点：(1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、B、C 等来表示．

(2)常用的数集及记法：

①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作．

②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作

③整数集：全体整数的集合．记作

④有理数集：全体有理数的集合．记作

⑤实数集：全体实数的集合．记作

(3)元素及元素与集合的关系：

元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A．

(4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．

(5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．

(6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．

(7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．

（8）集合中的元素必须具有三大特性“”．

①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．

②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则a≠±1．

③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．

二、集合间的基本关系

1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于

集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1所示表示：

这时我们也说集合A是集合B的子集．

2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的

任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合B，记作：A＝B．

即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B．

3．真子集：对于两个集合A与B，如果A B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记

作A B(或B A)．

4．空集是

5 知识拓宽

含有n 个元素的集合有几个子集？

问：∈与⊆的区别是什么？

［例1］若A ＝｛a ，b ｝；B ＝｛x ｜x ∈A ｝，则集合A 与集合B 的关系是( )

A ．

B ⊆A B ．B A

C ．B ∈A

D ．B ∉A

［例2］已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x|4x ＋p ＜0}，当A ⊇B 时，求实数p 的取值范围．

答案：p ≥4

［例3］下列集合中表示空集的是( )

A ．{x ∈R|x ＋5＝5}

B ．{x ∈R|x ＋5＞5}

C ．{x ∈R|x 2＝0}

D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}

一、选择题

1．在“①很大的有理数；②方程x 2＋1＝0的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是

A ．②

B ．②③④

C ．②④

D ．①②③④

答案C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线．

2．方程组⎩

⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是 A ．｛2，1｝ B ．｛x ＝2，y ＝1｝ C ．｛(2，1)｝ D ．｛(x ，y)｜(2，1)｝

答案D 提示：因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为｛(x ，y)｜(2，1)｝．

3．下列四个关系式中，正确的是

A ．集合N 中最小元素为1

B ．0.7∈Q

C ．｛a ｝∈｛a ，b ｝

D ．｛a ｝∈a

答案B

4．下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是

A ．M ＝｛(1，－3)｝ P ＝｛(－3，1)｝

B ．M ＝{3，4} P ＝｛（3，4）｝

C ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝

D ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R ｝

答案D 提示：因为(1，－3)与(－3，1)是不同的点，而C 中M 是数集，P 是点集．

二、填空题

5．设21∈｛x ｜x 2－ax －25

＝0｝，则a ＝_________．

答案－29 提示：由题意知21是x 2－ax －25＝0的一个根，所以，252

141--a ＝0，所以a ＝－29

6．设A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k －1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ∈_________．填(A 或B 或C)

答案B 提示：因为A 是偶数集，B 是奇数集．∴a ＋b 是奇数．即a ＋b ∈B ．

7．｛n ｜5n

是整数，｜n ｜≤20｝＝_________．

答案 提示：｛n ｜5n

是整数，｜n ｜≤20｝＝｛－20，－15，－10，－5，0，5，10，15，20｝

三、解答题

8．若－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝，求实数a 的值构成的集合．

答案解：∵－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝．

∴a 2－2a －3＝－3或2a 2－a －4＝－3．

∴a ＝0，2，1，－21

．

经检验a ＝0，2，1，－21

均合题意．

∴a 的值构成的集合为｛0，2，1，－21

｝．

【同步达纲练习】

一、选择题

1．下列关系不正确的是

A ．R ⊆Q

B ．R ⊇Z

C ．N ⊆N

D ．Z ⊆Q

2．设集合A ＝｛x ｜x ≤10｝，a ＝3，则

A ．a A

B ．a ∉A

C ．｛a ｝∈A

D ．｛a ｝ A

3．设M ＝｛x ｜x ＞}

31，则①0⊆M ，②∅⊆M ，③｛0｝M ，④｛31｝M ，其中正确命题的个数是