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备战2012中考数学压题专题5四边形

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2012年中考三角形、四边形压轴题精选(二)及解析-推荐下载

2012年中考三角形、四边形压轴题精选(二)及解析-推荐下载

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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

【备战2012】中考数学 四边形精华试题汇编(300套) 人教新课标版

【备战2012】中考数学 四边形精华试题汇编(300套) 人教新课标版

备战2012中考：四边形精华试题汇编（300套）一、选择题1.（某某市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等答案：B2.（某某市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A3.（某某市秀洲区模拟）把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=︒，则∠1=（ ） A.50° B .55° C .60° D .65° 答案 A4.（2010学年度某某市九年级复习备考数学测试试卷16）如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABEADC S S ∆∆=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ）A ．①②④B. ②③④C ．①③④D ．①②③④（第3题图）1EF答：D5.（2010年某某市中考模拟数学试题（26））已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ）A. ①②③④B.①②C. ①③D.①②④ GFEDCBA答：D6.（2010年某某市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB＝4 BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AF 、GD 所夹的锐角为45°；③；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4.其中正确的结论个数有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个MH GF ED CBA答：DＡＢＥＯＤＣ第4题图14ABCD S7．（2010年某某二模）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A ．50°B．55°C．60°D．65° 答案：A8.（2010年某某二模）．把长为8cm ，宽为2cm 的矩形按虚线对折，按图中的斜线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）A ．)13210(+cmB ．)1310(+cmC ．22cmD ．18cm 答案：A9.（2010年某某中考模拟试卷）一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是( )A 正三角形B 正四边形C 正五边形D 正六边形 答案：B10.（2010年某某中考模拟试卷6）如图将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝600，则∠CFD ＝（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 答案：B11．(2010年青浦区)下列命题中真命题是 （ ） A.有一组邻边相等的四边形是菱形；B.四条边都相等的四边形是菱形；．答案：B12.(2010年青浦区)边长为2的正六边形的边心距为 （ ） A.1；B.2；C.33．答案：C13.（2010年某某市中考模拟）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若∠1=50︒，则∠AEF = ( )A ．110︒B ．115°C ．120°D ．130°答案：B14.（2010年普陀区中考模拟）两条对角线互相垂直平分的四边形是 （ ）. A.等腰梯形；B.菱形；C.矩形； D.平行四边形. 答案：B15.（2010 浦东新区中考模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，a AB =，b AD =，那么ba 2121+等于 （ ） A.AO ；B.AC ；C.BO ；D.CA ． 答案：A16.（2010静安区模拟）下列命题中，真命题是 （ ） A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 答案：A17．（2010某某模拟）如图，已知正方形ADBF ，点E 在AD 上，且ABCDO （第15题∠AEB=0105，EC//DF 交BD 的延长线于C ，N 为BE 延长线上一点，BN 交AC 于M ，且CE=2MN ，连结AN 、，下列结论：①AC ⊥BN ； ②△NCE 为等边三角形；③BF=2AM ；④BE+2DE=DF ，其中正确的有：（ ） A 、①②③ B 、①②④C 、①③④D 、②③④答案：B18．（2010某某模拟）如图，正方形ABCD ，以D 为圆心，DC 为半径画弧与以BC 为直径的⊙O 交于点P ，⊙O 交AC 于E ，CP 交AB 于M ，延长AP 交⊙O 于N ，下列结论：①AE=EC ；②PC=PN ；③EP ⊥PN ；④ON//AB 。

2012年中考三角形、四边形压轴题(四)及解析

2012年中考三角形、四边形压轴题(四)及解析

2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选(31～40) 【31. 2012南通】26．（本小题满分10分）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60o ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．(1)如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF＝60o ，求证：BE ＝DF ；(2)如图2，若∠EAF ＝60o ，求证：△AEF 是等边三角形．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）首先连接AC ，由菱形ABCD 中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC 是等边三角形，又由三线合一，可证得AE ⊥BC ，继而求得∠FEC=∠CFE ，即可得EC =CF ，继而证得BE=DF ；（2）首先连接AC ，可得△ABC 是等边三角形，即可得AB=AC ，以求得∠ACF =∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC ，证得△AEB ≌△AFC ，即可得AE=AF ，证得：△AEF 是等边三角形．【解答】证明：（1）连接AC ，∵菱形ABCD 中，∠B=60°，∴AB=BC=CD ，∠C=180°-∠B=120°，∴△ABC 是等边三角形，∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∵∠AEF =60°，∴∠FEC =90°-∠AEF =30°，∴∠CFE =180°-∠FEC -∠C=180°-30°-120°=30°，∴∠FEC =∠CFE ，∴EC=CF ，∴BE=DF ；（2）连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∠B=60°∴AB=BC ，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF =60°，∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠EAD =∠EAF +∠FAD=60°+∠FAD ，∠AFC =∠D+∠F AD =60°+∠FAD ，∴∠AEB=∠AFC ，在△ABE 和△AFC 中，∠B=∠ACF ∠AEB =∠AFC AB=AC B E C F A D 图1 B E CF A D 图2∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．【32. 2012南通】27．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B 出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D 出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a＝52，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程 5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．【解答】解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，∴BD=CD=1 2 BC=6cm，∵a=2，∴BP=2tcm，DQ=tcm，∴BQ=BD-QD=6-t（cm），∵△BPQ∽△BDA，∴BP BD =BQ AB，即2t 6 =6-t 10 ，解得：t=18 13 ；（2）①过点P作PE⊥BC于E，∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：AB=CM：AC，∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ，∴BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，∵a=5 2 ，∴PB=5 2 tcm，∵AD⊥BC，∴PE∥AD，∴PB：AB=BE：BD，即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得：t=3 2 ，∴PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；②不存在．理由如下：∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：AB=CM：AC，∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM，∴∠CPM=∠PCM，∴PM=CM，∴四边形PQCM是菱形，∴PQ=CQ，∴PB=CQ，∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），即at=6+t①，∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴6+t 12 =10-at 10 ，化简得：6at+5t=30②，把①代入②得，t=-6 11 ，∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．。

中考数学三轮冲刺专题05 四边形(名师点睛+能力提升)(解析版)

中考数学三轮冲刺专题05 四边形(名师点睛+能力提升)(解析版)

中考考点总动员之三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升专题05 四边形讲练测模块一：平行四边形【例1】如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称____________．【难度】★【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形．【解析】考查常见的四边形的性质．【例2】下列判断错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】C【解析】对平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查．【例3】下列命题中，真命题是( )A．菱形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线互相垂直平分C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】D【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质．【例4】 如图，在ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，请添加一个条件________________，可得ABCD 是矩形．【难度】★【答案】BD AC =或90DAB ∠=︒．【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形． 【总结】考查矩形的判定．【例5】 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确的是( )A ．当AB = BC 时，四边形ABCD 是矩形 B ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形 C ．当OA = OB 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形 【难度】★★ 【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形．【例6】 已知在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )A ．AC = BD ，AB // CD ，AB = CD B ．AD // BC ，A C ∠=∠ C ．AO = BO = CO = DO ，AC BD ⊥D ．AO = CO ，BO = DO ，AB = BC【难度】★★ 【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形．【例7】 如果点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形KLMN 是菱形，那么下列选项正确的是( )A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【难度】★★ 【答案】D【解析】连接AC 、BD ，点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，所以得四边形KLMN 为平行四边形，又它为菱形则相邻两边相等，而邻边正 好是四边形ABCD 的对角线的中位线，所以AC=BD ．ABC DO【总结】考查三角形中位线定理的运用．【例8】 从①AB // CD ，②AD // B C ，③AB = CD ，④AD = BC 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD 是平行四边形的概率是______．【难度】★★ 【答案】23． 【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、两组对边相等的四边形、一组对边平行且相等的四边形均是平行四边形，共有4种情况，所以概率是42=63．【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用．【例9】 在平行四边形ABCD 中，BC = 24，AB = 18，ABC ∠和BCD ∠的平分线交AD 于点E 、F ，则EF =______．【难度】★★ 【答案】12．【解析】由平行线和角平分线可知△ABE 和△CDF 都是等腰三角形， 所以18AE AB ==，18DF DC ==， 所以18182412EF AE DF AD =+-=+-=．【总结】本题主要考查“平行线+角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用．【例10】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO = CO ，AOD ADO ∠=∠，E是DC 边的中点．下列结论中，错误的是( ) A ．12OE AD = B ．12OE OB =C ．12OE OC =D ．12OE BC =【难度】★★ 【答案】DF EDCBAAB C D EO【解析】由AOD ADO ∠=∠得到AO OD =，又AO = CO ，得AO =AD =OC ， 因为O 、E 都是中点，所以OE 是中位线，即12OE AD =， 又90ABC ∠=︒且O 为中点，则AO =OC =OB ，所以A 、B 、C 正确，D 错误． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用．【例11】 设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③34a <<；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【难度】★★ 【答案】C【解析】勾股定理可得：a = 一对应，所以②是对的，故选C ．【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识．【例12】 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果AE = 2，ADE ∆的面积是4，四边形BCDE 的面积是5，那么AB 的长是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】因为ADE C A A ∠=∠=∠，，所以ADEACB ∆∆．因为4ADE S ∆=，459ABC S ∆=+=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：249ADE ABC S DE AB S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，得：23DE AB =，因为AE = 2，所以AB=3． 【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用．【例13】 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB // CD ，点E 是对角线AC 上一点，DEC ABC ∠=∠，且2CD CE CA =．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若FCE DCE ∠=∠， 求证：四边形EFCD 是菱形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵AB // CD ，∴BAC ECD ∠=∠， ∵DEC ABC ∠=∠，∴CDE ACB ∆~∆，∴CD CEAC AB=． ∴CD AB CE CA ⋅=⋅，又∵2CD CE CA =，∴AB =CD ， 又因为AB // CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形；（2）∵//AE BF ，//AB EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AB EF 且AB EF =，又∵ABCD 为平行四边形，∴//AB CD 且AB CD = ∴//EF CD 且EF CD =，∴四边形EFCD 为平行四边形，∵//EF CD ，∴FEC ECD ∠=∠，∵FCE DCE ∠=∠，∴FEC FCE ∠=∠， ∴EF =CF ，∴四边形EFCD 为菱形．【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 在边AC 上，AD = BD =DE ，联结BE ，72ABC DBE ∠=∠=︒．（1）联结CE ，求证：CE = BE ；（2）分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形．【难度】★★ 【答案】见解析．A B C DEO A BCD EF【解析】证明：（1）设DE 与BC 的交点为O ， ∵72ABC DBE ∠=∠=︒，AB = AC ，AD = BD =DE ，∴36ABD DBA DBC ∠=∠=∠=，72ABC ACB BDC DBE DEB ∠=∠=∠=∠=∠=， ∴BCD DBE ∆≅∆，∴DE =BC ，CD =DO =BO ，∴OC =OE ， ∴36CEO OCE CBE ∠=∠=∠=︒，∴BE =CE ．（2）∵36BDE CED ∠=∠=︒，∴//BD CF ，∵36ABD EDB ∠=∠=︒，∴//DE AB ， ∴四边形DBFE 为平行四边形，又∵BD =DE ，∴四边形DBFE 为菱形． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用．【例15】 已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = BC ，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CE = CD ，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG // BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使HCE DCG ∠=∠． （1）求证：BCE ∆≌ACD ∆； （2）求证：四边形FHCG 是正方形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵90ACB ACD ∠=∠=︒，CE =CD ，AC =BC ， ∴BCE ∆≌ACD ∆；（2）∵BCE ∆≌ACD ∆，∴CEB CDA ∠=∠，又∵HCE DCG ∠=∠，CE =CD ，∴CEH CDG ∆≅∆，∴CH =CG ， ∵HCE DCG ∠=∠且90ACB ∠=︒，∴90HCG CHF CGF ∠=︒=∠=∠，∴四边形FHCG 为矩形，又∵CH =CG ，∴四边形FHCG 为正方形． 【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用．【例16】 如图，在四边形ABCD 中，AB // DC ，E 、F 为对角线BD 上两点，且BE = DF ，AF // EC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线于点H ，求证：AD DC BH DG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵BE =DF ，∴BF =DF ， ∵//AB DC ，∴ABF EDC ∠=∠，BAF AGD ∠=∠，∵AF // EC ，∴AGD ECD BAF ∠=∠=∠，∴AFB CED ∆≅∆， ∴AB =CD ，且AB // DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴HAB AGD ∆∆，∴AD DGBH AB=， 又∵CD =AB ，∴AD DC BH DG =．【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用．【例17】 如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于点G ，交边AB 于点H ．联结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =．A BCDEF H【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AO =OC ，//AE DF ， ∴EOA FOC ∆≅∆，∴OE =OF ，又∵EF AC ⊥，且AO =OC ，∴四边形AFCE 为菱形；（2）∵四边形AFCE 为菱形，∴90EOC EDC ∠=∠=︒， ∵EGD CGO ∠=∠，∴EGDCGO ∆∆，∴DG GOEG CG=， ∵OF = 2GO =OE ，∴OG =EG ，∴2GO DG GC =． 【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用．【例18】 已知：如图，Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H ． （1）求证：MB = MD ；（2）当AB = BC ，DC = DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点M 作MN BD ⊥于N ，∵90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，∴////AB MN DE ，又∵M 为AE 中点，∴N 也为BD 中点， ∴BM D ∆为等腰三角形，∴BM =MD ； （2）延长BM 交DE 延长线于点P ，∵//AB PE ，M 为AE 中点，∴AB =PE ，∵AB =BC ，DC =DE ，∴Rt ABC ∆和Rt CDE ∆都是等腰直角三角形，∴45CED ACB ∠=∠=︒， ∴CED P ∠=∠，ACB BDM ∠=∠，∴//CE BP ，//AC DM ，A BCDE M HN P∴四边形MGCH 为平行四边形，又∵90GMH ∠=︒，∴四边形MGCH 为矩形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用．【例19】 如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，联结BE 、DF ，DF 交对角线AC于点G ，且DE = DG ． （1）求证：AE = CG ； （2）求证：BE // DF ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）取AC 中点O ，连接DO∵AD =CD ，∴DO AC ⊥．又∵DE =DG ，∴EO =OG ，∴AE =CG ；（2）∵正方形ABCD ，∴45BAC ACD ∠=∠=︒，∵AE =CG ，AB =CD ，∴EAB CGD ∆≅∆，∴ABE GDC ∠=∠，又∵90DFC FDC EBC ABE ∠+∠=∠+∠=︒，∴DFC EBF ∠=∠，∴BE // DF ． 【总结】本题主要考查正方形性质的运用．【例20】 已知：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE = AF ，AEC AFC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如图2，若AD = AF ，延长AE 、DC 交于点G ，求证：2AF AG DF =．（3）在第（2）小题的条件下，连接BD ，交AG 于点H ，若HE = 4，EG = 12，求AH 的长．A BCD E FOA BCD EF【难度】★★★ 【答案】略【解析】（1）∵AEC AFC ∠=∠， ∴AEB AFD ∠=∠，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴B D ∠=∠，又∵AE = AF ，∴ABE ADF ∆≅∆，∴AB =AD ，∴四边形ABCD 为菱形； （2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BAG AGD FAD ∠=∠=∠，又∵D D ∠=∠， ∴AFDGDA ∆∆，∴AD FDGA AD=，又∵AD =AF ，∴2AF AG DF =； （3）∵//AB DC ，//AD BC ，∴AH BH HG HD =，BH EH HD AH =，∴AH EHHG AH=， 又∵HE =4，EG =12，∴416AH AH=，∴AH =8． 【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用．【巩固1】（2019春•浦东新区校级月考）已知四边形ABCD ，在①//AB CD ；②AD BC =；③AB CD =；④A C ∠=∠四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是( ) A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③【分析】根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有两组对边相互平行的四边形是平行四边形；即可得出结论．【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以选①③和①④； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选②③； 所以不能推出四边形ABCD 为平行四边形的是①②； 故选：A ．【巩固2】（2019春•浦东新区校级月考）在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若10BD =，14AC =，那么BC 的取值范围为 ．【分析】根据平行四边形的性质可得BO 、CO 的长，然后再根据三角形的三边关系可得BC 的取值范围． 【解答】解：如图：四边形ABCD 是平行四边形，12BO BD ∴=，12CO AC =，10BD =，14AC =， 5BO ∴=，7CO =， 212BC ∴<<，故答案为：212BC <<．【巩固3】（2018春•浦东新区期中）如图，以BC 为底边的等腰ABC ∆，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且//EG BC ，//DE AC ，延长GE 至点F ，使得BE BF =． （1）求证：四边形BDEF 为平行四边形；（2）当45C ∠=︒，4BD =时，联结DF ，求线段DF 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，证出AEG ABC C ∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形，得出DEG C ∠=∠，证出F DEG ∠=∠，得出//BF DE ，即可得出结论；（2）证出BDE ∆、BEF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF BE ===作FM BD ⊥于M ，连接DF ，则BFM ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出2FM BM ===，得出6DM =，在Rt DFM ∆中，由勾股定理求出DF 即可．【解答】（1）证明：ABC ∆是等腰三角形， ABC C ∴∠=∠，//EG BC ，//DE AC ，AEG ABC C ∴∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形， DEG C ∴∠=∠，BE BF =，BFE BEF AEG ABC ∴∠=∠=∠=∠，F DEG ∴∠=∠， //BF DE ∴，∴四边形BDEF 为平行四边形；（2）解：45C ∠=︒，45ABC BFE BEF ∴∠=∠=∠=︒，BDE ∴∆、BEF ∆是等腰直角三角形，BF BE ∴=== 作FM BD ⊥于M ，连接DF ，如图所示： 则BFM ∆是等腰直角三角形，2FM BM ∴===， 6DM ∴=，在Rt DFM ∆中，由勾股定理得：DF即D ，F 两点间的距离为【巩固4】（2018•上海）已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A ．A B ∠=∠B ．AC ∠=∠C ．AC BD =D ．AB BC ⊥【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、A B ∠=∠，180A B ∠+∠=︒，所以90A B ∠=∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B 、AC ∠=∠不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C 、AC BD =，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；D 、AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B ．【巩固5】（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的23，那么矩形的宽的值是 ．【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF x =，则23CF x =，根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ， 设AF x =，则23CF x =， 在Rt CBF ∆中，1CB =，1BF x =-， 由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)， 即它的宽的值是1813， 故答案为：1813．【巩固6】（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD CD =，E 是对角线BD 上一点，且EA EC =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证：四边形ABCD 是正方形．【分析】（1）首先证得ADE CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质可得ADE CDE ∠=∠，由//AD BC 可得ADE CBD ∠=∠，易得CDB CBD ∠=∠，可得BC CD =，易得AD BC =，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD 为平行四边形，由AD CD =可得四边形ABCD 是菱形；（2）由BE BC =可得BEC ∆为等腰三角形，可得BCE BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理可得1180454CBE ∠=⨯=︒，易得45ABE ∠=︒，可得90ABC ∠=︒，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．【解答】证明：（1）在ADE ∆与CDE ∆中， AD CD DE DE EA EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ADE CDE ∴∆≅∆，ADE CDE ∴∠=∠， //AD BC ， ADE CBD ∴∠=∠， CDE CBD ∴∠=∠，BC CD ∴=， AD CD =， BC AD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，AD CD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）BE BC =BCE BEC ∴∠=∠，:2:3CBE BCE ∠∠=，218045233CBE ∴∠=⨯=︒++，四边形ABCD 是菱形， 45ABE ∴∠=︒， 90ABC ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形．【巩固7】（2019•杨浦区二模）已知：如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，连接HA 、HC ．求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG ，//GH BF ，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH 是菱形；（2）连结BH ，交AC 于点O ，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH =，OF OG =，又AF CG =，所以OA OC =．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH 是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）点F 、G 是边AC 的三等分点， AF FG GC ∴==．又点D 是边AB 的中点， //DH BG ∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=，=，AB BC∴⊥，BH FG∴四边形FBGH是菱形；（2）四边形FBGH是平行四边形，=．∴=，FO GOBO HO==，又AF FG GC=．AF FO GC GO∴+=+，即：AO CO∴四边形ABCH是平行四边形．=，AC BH⊥，AB BC∴四边形ABCH是正方形．模块二：梯形【例21】顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________形．【难度】★【答案】菱形．【解析】连接对角线，得出新的四边形的每条边为对角线的中位线且分别平行对角线，得出四边形为平行四边形，由因为等腰梯形的对角线相等，所以新的四边形为菱形．【总结】本题主要考查三角形中位线的运用．【例22】如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______．【难度】★【答案】3．【解析】梯形中位线等于上底加下底和的一半．【总结】本题主要考查梯形中位线的运用．【例23】梯形ABCD中，AD // BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的面积平分，那么BE的长是______．【难度】★★【答案】4．【解析】设梯形的高为h，则1(26)42ABCDS h h=⨯+⨯=梯形，因为AE将梯形ABCD的面积平分，所以114222ABES BE h h h =⨯⨯=⨯=，所以4BE=．【总结】本题主要考查梯形的面积及三角形面积的运用．【例24】如果梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD = 1，BC = 3，那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是______．【难度】★★【答案】35．【解析】因为EF为梯形ABCD的中位线，所以EF=2，又因为四边形AEFD与EBCF为梯形，且他们的高相等，所以面积之比等于123 235 +=+．【总结】本题主要考查梯形中位线及面积的综合运用．【例25】如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，已知AD = 2，4cot3ACB∠=，梯形ABCD的面积是9．（1）求AB的长；（2）求tan ACD∠的值．【难度】★★【答案】（1）3；（2）617．E D CBAA B CDH【解析】（1）设AB x =，则43BC x =，梯形面积等于42392x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，解得：3x =， 即AB 的长为3；（2）过D 作DH AC ⊥于H ，∵AD // BC ，∴ACB CAD ∠=∠，∴4cot cot 3CAD ACB ∠=∠=， ∴65DH =，85AH =，∵AC=5，∴175CH =， ∴6tan 17DH ACD CH ∠==． 【总结】本题主要考查梯形的面积与锐角三角比的综合运用．【例26】 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 是边CD 的中点，点F 在边BC 上，EF // AB ． 求证：()12BF AD BC =+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】取AB 的中点G ，连接EG ，∵点E 是边CD 的中点，∴EG 为梯形ABCD 的中位线，∴()12EG AD BC =+， 又∵//EF AB ，且//EG BC ，∴四边形BFEG 为平行四边形， ∴BF =EG ，∴()12BF AD BC =+．【总结】本题主要考查梯形的中位线和平行四边形性质的综合运用．【例27】 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC // AB ，AB >CD >AD ，90A ∠=︒，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片；AB C D EF GAB C D EF GA BC DH（1）求证：四边形ADEF 为正方形；（2）取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG = CD 时，求证：四边形GBCE 为等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵//CD AB ，∴90ADE A ∠=∠=︒， 由翻折性质，知ADF EDF ∆≅∆，∴90A DEF ∠=∠=︒， ∴四边形ADEF 为矩形，∵45ADF FDE ∠=∠=︒，∴DA =AF ， ∴四边形ADEF 为正方形；（2）连接DG ，EG ，∵BG =CD ，//AB CD ，∴四边形DGBC 为平行四边形，∴BC =DG ， 又∵AG =GF ，AD =EF ，90A EFA ∠=∠=︒，∴AGD FGE ≅，∴EG =DG ， ∴BC =EG ，∵//BG CE 且不相等，∴四边形GBCE 为等腰梯形．【总结】本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质 的运用．【例28】 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的点，AE 与BD 交于点O ，且CD = CE ，12∠=∠．（1）求证：四边形ABED 是等腰梯形；（2）若EC = 2，BE = 1，21AOD ∠=∠，求AB 的长．【难度】★★★ 【答案】（1）略；（2）32． 【解析】（1）∵C C ∠=∠，CD = CE ，12∠=∠， ∴ACE BCD ∆≅∆，∴BC =AC ，∴AD =BE ，CAB ABC ∠=∠，∴ABC DEC ∠=∠，∴//DE AB ，又∵DE AB ≠，∴四边形ABED 为等腰梯形；A BC DE 1 2 O AB CD E FGA B CD E FG（2）∵四边形ADEB 为等腰梯形，∴ADE BED ∠=∠．∵12∠=∠，∴EDO OED ∠=∠，又∵21AOD ∠=∠，∴1ODE ∠=∠， ∴DE =BE =1，∵//DE AB ，∴DE EC AB BC =，∴32AB =． 【总结】本题一方面考查等腰梯形的判定，另一方面考查三角形一边平行线性质定理的运用．【例29】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE ． （1）求证：60ACE ∠=︒；（2）在边AB 上取一点F ，使BF = BD ，联结DF 、EF ．求证：四边形CDEF 是等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形， ∴60BAC DAE ∠=∠=︒，AB =AC ，AD =AE ， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE ∆≅∆， ∴60ACE ABC ∠=∠=︒；（2）∵CE =BD ，BF =BD ，60B ∠=︒，∴BDF ∆为等边三角形， ∴DF =BD =CE ，∵ACE ACB B ∠=∠=∠，∴120BCE ∠=︒， ∴180B BCE ∠+∠=︒，∴//BF CE ，∵BF =CE ，∴四边形BFEC 为平行四边形，∴//CD EF 且DF =CE ， ∴四边形CDFE 为等腰梯形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质与等腰梯形判定的综合运用．【例30】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于F ，过点F 作FG // AB ，AB C D EF交AE 于点G ． （1）求证：AG = BF ；（2）当2AD CA CF =时，求证：AB AD AG AC =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AD BC =，D BCE ∠=∠．又∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，∴ADE BCE ∆≅∆，∴AE =BE ． ∵//GF AB ，∴EGF ∆和AEB ∆均为等腰三角形，∴AG =BF ； （2）∵AD =BC ，且2AD CA CF =，∴2BC CA CF =， 又∵BCF FCB ∠=∠，∴BCFACB ∆∆，∴AB ACBF BC=．又∵AD =BC ，AG =BF ，∴AB AD AG AC =． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质与相性质的综合运用．【巩固1】（2018•青浦区一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )A ．ABC DCB ∠=∠ B ．DBC ACB ∠=∠C ．DAC DBC ∠=∠D ．ACD DAC ∠=∠【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A 、ABC DCB ∠=∠， BD BC ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B 、DAC DBC ∠=∠，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，DAC ACB ∠=∠， OBC OCB ∴∠=∠，OAD ODA ∠=∠OB OC ∴=，OD OA =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C 、ADB DAC ∠=∠，//AD BC ， ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠，OA OD ∴=，OB OC =， AC BD ∴=， //AD BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；D 、根据ACD DAC ∠=∠，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确．故选：D ．【巩固2】（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米）故答案为：7．【巩固3】（2019春•浦东新区期末）已知，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AD =，6AB CD ==，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为 ．【分析】首先过A 作//AE DC 交BC 与E ，可以证明四边形ADCE 是平行四边形，进而得到4CE AD ==，再证明ABE ∆是等边三角形，进而得到6BE AB ==，从而得到答案． 【解答】解：如图，过A 作//AE DC 交BC 与E ， //AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，5AD EC ∴==，AE CD =， 6AB CD ==，6AE AB ∴==，60B ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，6BE AB ∴==， 6511BC ∴=+=．故答案为：11．1．（2019春•嘉定区期末）如果平行四边形ABCD 两条对角线的长度分别为8AC m =，12BD cm =，那么BC 边的长度可能是( ) A ．2BC cm =B ．6BC cm =C ．10BC cm =D ．20BC cm =【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可． 【解答】解：设平行四边形ABCD 的对角线交于O 点， 4OA OC ∴==，6OB OD ==，6464BC ∴-<<+ 210BC ∴<<， 6cm ∴符合，故选：B ．2．（2019春•浦东新区期中）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有( ) A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【解答】解：A 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B 、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C 、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D 、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B ．3．（2019春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，10AC =，24BD =，则AD = ．【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO 的长． 【解答】解：ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1122BO DO BD ∴===，152AO CO AC ===，AB AC ⊥，13AD ∴，故答案为：13．4．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果4AB =，5BC =，32OE =，那么四边形EFCD 的周长为 ．【分析】根据平行四边形的性质知，4AB CD ==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE ∠和COF ∠是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到 1.5OF OE ==，CF AE =，所于是得到结论．【解答】解：四边形ABCD 平行四边形，4AB CD ∴==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE COF ∠=∠，()OAE OCF AAS ∴∆≅∆， 1.5OF OE ∴==，CF AE =，∴四边形EFCD 的周长ED CD CF OF OE =++++ED AE CD OE OF =++++ AD CD OE OF =+++45 1.5 1.5=+++12=．故答案为：12．5．（2019春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，28BC AB ==，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ，则BEG S ∆= ．【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．构建BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆=+-计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．2BC AB =，BH CH =，60ABC ∠=︒，BA BH CH ∴==，ABH ∴∆是等边三角形，HA HB HC ∴==， 90BAC ∴∠=︒，30ACB ∴∠=︒，EC BC ⊥，180120BCD ABC ∠=︒-∠=︒， 60ACE ∴∠=︒，30ECM ∠=︒， 28BC AB ==，4CD ∴=，CN EN ==，EC ∴=EM =， BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆∴=+-11182224ABCD S =⨯⨯⨯⨯平行四边形==故答案为．6．（2019春•杨浦区期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 ． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB AE =；分两种情况：①当2AE =，4DE =时；②当4AE =，2DE =时；即可求出平行四边形ABCD 的周长． 【解答】解：如图所示：①当2AE =，4DE =时， 四边形ABCD 是平行四边形， 6BC AD ∴==，AB CD =，//AD BC ， AEB CBE ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，2AB AE ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长2()16AB AD =+=；②当4AE =，2DE =时， 同理得：4AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()20AB AD =+=；故答案为：16或20．7．（2019春•金山区期末）已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆． AE CF ∴=．8．（2019春•杨浦区期中）在平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，BD AD ⊥，2BD =． （1）求平行四边形ABCD 的周长和面积； （2）求A 、C 两点间的距离．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出2AD BD ==，由勾股定理求出AB =行四边形的性质得出DC AB ==，2BC AD ==，即可得出平行四边形的周长和面积； （2）连接AC ，与BD 相交于点O ，由平行四边形的性质得出112OD BD ==，2AC AO =，由勾股定理求出OA ，得出AC =【解答】（1）解：90BD AD ADB ⊥∴∠=︒ 又45452A ABD AD BD ∠=︒∴∠=︒∴==，AB ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴==2BC AD ==，∴()22224ABCD C AB AD =+==平行四边形，224ABCD S AD BD ∴=⨯=⨯=平行四边形；（2）解：连接AC ，与BD 相交于点O ，如图所示：四边形ABCD 是平行四边形， ∴112OD BD ==，2AC AO =， 在Rt AOD ∆中，90ADO ∠=︒，∴OA∴AC =所以A 、C 两点间的距离为．9．（2018秋•黄浦区校级月考）已知：如图，在ABCD 中，4AC =，6BD =，CA AB ⊥，求ABCD 的周长和面积．【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【解答】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥，Rt AOB ∴∆中，AB ==Rt ABC ∴∆中，BC ，ABCD ∴的周长==，ABCD 的面积4AB AC =⨯=．10．（2018春•金山区期中）已知，如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 边上一点，F 为AB 边上一点，且CD BF =，以AD 为边作等边ADE ∆，联结EF 、FC ．求证： （1）ADC CFB ∆≅∆；（2）四边形EFCD 是平行四边形．【分析】（1）ACD ∆和CBF ∆中，已知的条件有：AC BC =，CD BF =，60ACD CBF ∠=∠=︒；根据SAS 即可判定两个三角形全等．（2）由（1）的全等三角形知：AD CF =，即DE CF AD ==；因此只需判断DE 与CF 是否平行即可，由（1）的全等三角形，可得DAC BCF ∠=∠，而60BCF ACG ∠+∠=︒，即60CAD ACG ∠+∠=︒；根据三角形外角的性质，可得60AGF CGD ∠=︒=∠，由此可判定//DE FC ，即可得出四边形CDEF 的形状． 【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形， AC BC ∴=， 60ACD B ∠=∠=︒，CD BF =，()ACD CBF SAS ∴∆≅∆；（2）四边形CDEF 为平行四边形； ACD CBF ∆≅∆；DAC BCF ∴∠=∠，CF AD =；AED ∆是等边三角形； AD DE ∴=；CF DE ∴=①；60ACG BCF ∠+∠=︒； 60ACG DAC ∴∠+∠=︒；180()120AGC ACG DAC ∴∠=︒-∠+∠=︒； 120DGF AGC ∴∠=∠=︒；AED ∆是等边三角形；60ADE ∴∠=︒；180DGF ADE ∴∠+∠=︒；//CF DE ∴②；综合①②可得四边形CDEF 是平行四边形．11．（2018春•浦东新区期中）如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =． 求证：（1）BE DF =； （2）//BE DF【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可； （2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可． 【解答】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=，//AD BC ， DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠， AE CF =， AF EC ∴=，在FAD ∆和ECB ∆中， AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()FAD ECB SAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）FAD ECB ∆≅∆，F E ∴∠=∠，//BE DF ∴．12．（2018春•浦东新区期中）在平行四边形ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE ∆和等边BCF ∆，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】由题意先证60DAE BCF ∠=∠=︒，再由SAS 证DCF BAE ∆≅∆，继而题目得证． 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， CD AB ∴=，AD CB =，DAB BCD ∠=∠．又ADE ∆和CBF ∆都是等边三角形，DE BF ∴=，AE CF =．60DAE BCF ∠=∠=︒． DCF BCD BCF ∠=∠-∠，BAE DAB DAE ∠=∠-∠，DCF BAE ∴∠=∠．()DCF BAE SAS ∴∆≅∆．DF BE ∴=．∴四边形BEDF 是平行四边形．13.（2017•上海）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A ．BAC DCA ∠=∠B ．BAC DAC ∠=∠C ．BAC ABD ∠=∠ D ．BAC ADB ∠=∠【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、BAC DCA ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；B 、BAC DAC ∠=∠，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C 、BAC ABD ∠=∠，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；D 、BAC ADB ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；故选：C ．14．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，90BAD ∠=︒，BO DO =，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．90BCD ∠=︒C ．AB CD =D ．//AB CD【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分。

2012年各地中考数学汇编 四边形精选1~10(解析版)

2012年各地中考数学汇编 四边形精选1~10(解析版)

2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选1~10_解析版【1. 2012临沂】22．如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。

解答：（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌DEF（SAS），∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．（2）解：连接BE，交CF与点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC==5，∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴=，即=，∴CG=，∵FG=CG，∴FC=2CG=，∴AF=AC﹣FC=5﹣=，∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．【2. 2012义乌市】23．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。

解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分）∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．…（3分）（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．…（5分）∴，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；…（7分）（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，…（8分）①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB 上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；…（9分）②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7．…（10分）【3. 2012•杭州】21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE 和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

【黄冈中考】备战2012年中考数学 多边形与平行四边形的押轴题解析汇编二 人教新课标版

【黄冈中考】备战2012年中考数学 多边形与平行四边形的押轴题解析汇编二 人教新课标版

【黄冈中考】备战2012年中考数学——多边形与平行四边形的押轴题解析汇编二多边形与平行四边形一、选择题1.（2011某某某某，5，3分）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【解题思路】根据多边形内角和公式，运用方程思路可以求出边数. 【答案】解：设这个多边形的边数是n ，依题意得（n-2）·180°=900°B .【点评】本题考查了多边形内角和定理应用.对多边形考查，其内角和公式是基础，公式的应用通常有已知边数求内角和或已知内角和求边数.学习的关键是对公式意义的理解.容易导致错误在于：考虑问题不全面，应用公式时对（n-2）·180°中的（n-2）应用不当或忽略了（n-2）中的-2.2. （2011某某省，5，3分）正八边形的每个内角为（ ）A ．120ºB ．135ºC ．140ºD ．144º【解题思路】可判断正八边形的每个外角也相等，所以它的一个角为360458，因此它的内角为180º-45 º =135 º 【答案】B【点评】本题考查正多边形的基本计算，求正边形的内角有两种基本方法：①根据多边形内角和定理来计算；②计算外角，利用外角与相邻内角互为补关系来计算. 难度较小. 3. （2011某某某某，6，3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（ ）【解题思路】能不能铺满地面的问题本质上是正多边形的内角是否是360的约数的问题，显然，正七边形的内角为7900度，不是360的约数，所以选D 。

【答案】D【点评】考查平面镶嵌问题，解决此类问题涉及正多边形的内角的求法及内角度数是否是360度的约数问题，难度较小。

1. (2011某某某某，2，3分)已知□ABCD 的周长为32，AB=4，则BC=（ ） A. 4 B. 12 C【解题思路】根据平行四边形的对边相等，可以得到AB=CD=4,AD=BC,因为□ABCD 的周长为32，所以AB+CD +BC +AD=32, 所以8+2 BC=32, 则BC=12,因此选B. 【答案】B【点评】本题主要是考查平行四边形的对边相等的性质及方程思想的应用，难度较小. 2．（2011某某省某某市，7，3分）如图（二）所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确．．．的是 A ．AC ⊥BDB ．AB ＝CDC ．BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠BCD【解题思路】：运用平行四边形的性质对号入座。

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案一、平行四边形1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAP AP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝12AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC2，∴AC22(2)(2)2+=，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）请问EG 与CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG =EG ．（2）结论仍然成立，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点；再证明△DAG ≌△DCG ，得出AG =CG ；再证出△DMG ≌△FNG ，得到MG =NG ；再证明△AMG ≌△ENG ，得出AG =EG ；最后证出CG =EG ．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG =EG ．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCF =90°．在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴CG =12FD ，同理．在Rt △DEF 中，EG =12FD ，∴CG =EG ． （2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ． 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG 与△DCG 中，∵AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ，∴△DAG ≌△DCG （SAS ），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．3．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.4．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．5．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析；2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC ＝90°，∴AE ⊥GC ．(3)如图3中，作CM ⊥DG 于G ，GN ⊥CD 于N ，CH ⊥FG 于H ，则四边形CMGH 是矩形，可得CM ＝GH ，CH ＝GM ．∵BE ＝CE ＝1，AB ＝CD ＝2，∴AE ＝DE ＝CG ═DG ＝FG 5∵DE ＝DG ，∠DCE ＝∠GND ，∠EDC ＝∠DGN ，∴△DCE ≌△GND(AAS)，∴GCD ＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•CM ， ∴2×25， ∴CM ＝GH 45， ∴MG ＝CH 22CG CM -35， ∴FH ＝FG ﹣FG 5， ∴CF 22FH CH +22535()()55+2． 2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

备战中考数学压轴题之平行四边形(备战中考题型整理,突破提升)含详细答案

备战中考数学压轴题之平行四边形(备战中考题型整理,突破提升)含详细答案一、平行四边形1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG ⊥BE ．过点O 作OM ⊥BE 于点M ，ON ⊥AG 于点N ，与（2）同理，可以证明△AON ≌△BOM ，可得OMHN 为正方形，所以HO 平分∠BHG ，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB +=.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB 2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE ，又∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE ．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE ，∴△CDA ≌△CBE ，∴AD=BE ，∴AD+AB=AE ．在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，∴AE ＝245AC AC cos ︒＝ ∴2AD AB AC +＝.3．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D 停止．以PQ 为边在AB 上方作等边三角形PQN ．将△PQN 绕QN 的中点旋转180°得到△MNQ ．设四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3）．（1）当点N 落在边BC 上时，求t 的值．（2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，求t 的值．（3）当点Q 沿D→B 运动时，求S 与t 之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN 的边MN 、MQ 与边BC 的交点分别是E 、F ，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN 的面积比为2：3时t 的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题4．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．5．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAP AP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝12AC•C'G，Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2， ∴AC ＝22(2)(2)2+=，即AC 为定值，当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B （0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证△ADB ≌△AOB ；②求点H 的坐标．（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D （1，3）；（2）①详见解析；②H （175，3）；（3）303344-≤S ≤303344+． 【解析】【分析】（1）如图①，在Rt △ACD 中求出CD 即可解决问题；（2）①根据HL 证明即可；②，设AH=BH=m ，则HC=BC-BH=5-m ，在Rt △AHC 中，根据AH 2=HC 2+AC 2，构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图③中，当点D 在线段BK 上时，△DEK 的面积最小，当点D 在BA 的延长线上时，△D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A （5，0），B （0，3），∴OA =5，OB =3，∵四边形AOBC 是矩形，∴AC =OB =3，OA =BC =5，∠OBC =∠C =90°，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴AD =AO =5，在Rt △ADC 中，CD =22AD AC -=4，∴BD =BC -CD =1，∴D （1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF 是矩形，得到∠ADE =90°，∵点D 在线段BE 上，∴∠ADB =90°，由（1）可知，AD =AO ，又AB =AB ，∠AOB =90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-34）=30334-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（3430334+综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC273【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33∴S平行四边形BCFD=3×3393，S△ACF=12×3×3393，S平行四边形ADBC273．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.8．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE＝6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当△AFB′恰好为直角三角形时，B′D的长为？【答案】4655或22【解析】【分析】分两种情况分析：如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN=22B N'+；【详解】如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，∵∠B=90°，∴AE=2222AB BE=86++=10，∵B′E=BE=6，∴AB′=4，∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，在Rt△AB′F中，∠AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，∴AN=B′M=2.4，∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+ =4655；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，∴AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=AD-AN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，2222+DN=22B N'+ =22；综上，可得B′D的长为4655或22.【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.9．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．10．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.11．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质12．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；（2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=2，试求EF的长．【答案】（1）NC∥AB；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由见解析；（3）41【解析】分析：（1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM ≌△CAN ，即可得到BM=CN ．（2）根据△ABC ，△AMN 为等腰三角形，得到AB ：BC=1：1且∠ABC=∠AMN ，根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图3，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出BM AB CN AC＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． 详解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN =60°，∴∠BAM=∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中， AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC=∠ACN ，理由如下：∵AB AM BC MN==1且∠ABC=∠AMN ， ∴△ABC ～△AMN ∴AB AC AM AN＝， ∵AB=BC ， ∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC ）， ∵AM=MN∴∠MAN=12（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC=∠AMN ，∴∠BAC=∠MAN ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC=∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN ， ∵2AB AM BC AN ==， ∴AB AC AM AN ＝， ∴△ABM ～△ACN∴BM AB CN AC ＝， ∴CN AC BM AB ==cos45°=22， ∴222BM =， ∴BM=2，∴CM=BC ﹣BM=8，在Rt △AMC ， AM=2222108241AC MC +=+=，∴EF=AM=241．点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．13．如图1，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6；点E 是对角线BD 上一动点，连接CE ，作EF ⊥CE 交AB 边于点F ，以CE 和EF 为邻边作矩形CEFG ，作其对角线相交于点H ． （1）①如图2，当点F 与点B 重合时，CE= ，CG= ；②如图3，当点E 是BD 中点时，CE= ，CG= ；（2）在图1，连接BG ，当矩形CEFG 随着点E 的运动而变化时，猜想△EBG 的形状？并加以证明；（3）在图1，CG CE的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； （4）在图1，设DE 的长为x ，矩形CEFG 的面积为S ，试求S 关于x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．【答案】（1）245，185 ，5，154 ；（2）△EBG 是直角三角形，理由详见解析；（3）34 ；（4）S=34x 2﹣485x+48（0≤x≤325）． 【解析】【分析】（1）①利用面积法求出CE ，再利用勾股定理求出EF 即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE ，再利用相似三角形的性质求出EF 即可；（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（3）只要证明△DCE ∽△BCG ，即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】（1）①如图2中，在Rt △BAD 中，BD=22AD AB +=10， ∵S △BCD =12•CD•BC=12•BD•CE ， ∴CE=245．CG=BE=2224186()=55-． ②如图3中，过点E 作MN ⊥AM 交AB 于N ，交CD 于M ．∵DE=BE，∴CE=12BD=5，∵△CME∽△ENF，∴CM ENCE EF=，∴CG=EF=154，（2）结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG是直角三角形．（3）F如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，∴C、E、F、B、G五点共圆，∵EF=CG，∴∠CBG=∠EBF，∵CD∥AB，∴∠EBF=∠CDE，∴∠CBG=∠CDE，∵∠DCB=∠ECG=90°，∴∠DCE=∠BCG，∴△DCE∽△BCG，∴6384CG BCCE DC===．（4）由（3）可知：34CG CDCE CB==，∴矩形CEFG∽矩形ABCD，∴2264CEFGABCDS CE CES CD==矩形矩形（），∵CE2=（325-x）2+245）2，S矩形ABCD=48，∴S矩形CEFG=34[（325-x）2+（245）2].∴矩形CEFG的面积S=34x2-485x+48（0≤x≤325）．【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．14．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°．∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF．同理可证△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面积不能等于2．说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．此时，在△BEF中，．在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，∴S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．15．如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．（1）过D作DH AB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；（2）连接CP，求证：CP FP；（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60°，则∠DAH=∠ABC=60°，根据DH⊥AB得出∠DHA=90°，根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长度，然后得出BE的长度，然后证明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根据EF∥AD，AD∥BC得出EF∥BC，则说明△BEF为正三角形，从而得出DG的长度；（2）连接CG、CF，根据△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后证明△CDG≌△CBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；（3）过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证△PEF≌△PDG，然后证明△CDG≌△CBF，从而得出∠GCE=120°，根据Rt△CPF求出比值．试题解析：（1）解：∵四边形ABCD为菱形∴DA∥BC CD="CB" ∠CDG=∠CBA=60°∴∠DAH=∠ABC=60°∵DH⊥AB ∴∠DHA=90°在Rt△ADH中 sin∠DAH=∴AD=∴BE=AB=×4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P为DE的中点∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60°∵BE=EF ∴△BEF为正三角形∴EF=BE=1 ∴DG=EF=1、证明：连接CG、CF由（1）知△PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG与△CBF中易证：∠CDG=∠CBF=60° CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF（3）如图：CP⊥GF仍成立理由如下：过D作EF的平行线，交FP延长于点G连接CG、CF证△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC∴∠ADP=∠PEC∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60°∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120°∵∠CBF=180°－∠EBF=120°∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180－∠ABC=120°∴∠DCG+∠GCE=120°∴∠FCE+∠GCE=120°即∠GCE=120°∴∠FCP=∠GCE=60°在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan60°==考点：三角形全等的证明与性质．。

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习附答案解析

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习附答案解析一、平行四边形1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD22AD AC-，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-34）=30334，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，30334-≤S≤30334+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．4．如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．（1）求证：AD=EC ；（2）当∠BAC=Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先证四边形ABDE 是平行四边形，再证四边形ADCE 是平行四边形即可；（2）由∠BAC =90°，AD 是边BC 上的中线，得AD =BD =CD ，即可证明.【详解】(1)证明：∵AE ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE =BD ，∵AD 是边BC 上的中线，∴BD =DC ，∴AE =DC ，又∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形.(2) 证明：∵∠BAC =90°，AD 是边BC 上的中线.∴AD =CD∵四边形ADCE 是平行四边形，∴四边形ADCE 是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.5．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中y 与x 的函数表达式;（2）求证:DE DF ⊥;（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝54或552-或32． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；（3）分三种情况：①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，分别列方程计算可得结论．【详解】（1）设y ＝kx +b ，由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4，代入得：24k b b +=⎧⎨=⎩，得24k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）∵BE ＝x ，BC ＝2∴CE ＝2﹣x ， ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-， ∴CE CD AF AD=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠DAF ＝90°，∴△CDE ∽△ADF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，∴DE ⊥DF ；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DGE ＝∠GEB ，∴∠DEG ＝∠BEG ，在△DEF 和△BEF 中，FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△BEF （AAS ），∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2﹣x ，∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2﹣x ）2＝x 2，x ＝54； ②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，∴四边形CDHE 是平行四边形，∴∠C ＝90°，∴四边形CDHE 是矩形，∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2﹣x ，EH ⊥DG ，∴HG ＝DH ＝2﹣x ，∴AG ＝2x ﹣2，∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，∴EH ∥AF ，∴△EHG ∽△FAG ，∴EH HG AF AG =， ∴124222x x x -=--，∴125522x x ==（舍）， ③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，∵AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠DEC ，∴∠GED ＝∠DEC ，∵∠C ＝∠EDF ＝90°，∴△CDE ∽△DFE ， ∴CE DE CD DF=， ∵△CDE ∽△ADF ， ∴12DE CD DF AD ==， ∴12CE CD =， ∴2﹣x ＝12，x ＝32，综上，x ＝54或32． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．6．（问题情境）在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE ＝CF ．证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE ＝CF ．（不要证明）（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD ＝16，CF ＝6，求PG+PH 的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l 1：y ＝-43x+8与直线l 2：y ＝﹣2x+8相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点，若点P 到直线l 1的距离为2．求点P 的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222-=-8．DF CF106∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB226810，BC＝10．∴AB＝BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即点P1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．7．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P 作PE⊥PC交直线AB于E．（1）求证：PC=PE;（2）延长AP交直线CD于点F.①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；②若ΔAPE的面积是21625，则DF的长为（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=723，则△MNQ的面积是【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）5 6【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1) 证明：∵点P在对角线BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE;（2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.∵四边形ABCD 是正方形，P 在对角线上，∴四边形HPGD 是正方形，∴PH=PG,PM ⊥AB,设PH=PG=a,∵F 是CD 中点，AD ＝6，则FD=3,ADF S n =9,∵ADF S n =ADP DFP S S +n n =1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴1163922a a ⨯+⨯=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又∵PA=PE,∴AM=EM,AE=4,∵APE S n =1144822EA MP ⨯=⨯⨯=, ②设HP ＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,∴APE S n =()121626225b b ⨯⨯-=, 解得b=2.4 3.6或,∵ADF S n =ADP DFP S S +n n =1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴11166222b DF b DF ⨯⨯+⨯=⨯, ∴当b=2.4时，DF=4；当b ＝3.6时，DF ＝9,即DF 的长为4或9;（3）如图，∵E 、Q 关于BP 对称，PN ∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,∴∠1+∠4=45°,∴∠3=∠4,易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90°,∴△MNQ 是直角三角形,设EM=a,NC=b 列方程组222252372 3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎪+= ⎪⎝⎭⎩, 可得12ab=56, ∴MNQ 56S V =, 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.8．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(662,6)-；（2）(333,333)-+；（3）323323AP -+剟.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626-，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】解：（1）∵A （﹣6，0）、C （0，6），O （0，0），∴四边形OABC 是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B ，∵OB ＝62，OA′＝OA ＝6，∠OBC ＝45°，∴A′B ＝626-，∴BD ＝（626-）×21262=-，∴CD ＝6﹣（1262-）=626-，∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M ＝90°﹣∠B′C′N ＝∠C′B′N ，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS ），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM ＝30°，∴C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，∴点B′的坐标为()333,333-+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3，∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+剟.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．9．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．10．（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD 中，若AB =AD ，CB =CD ，则线段BD ，AC 的位置关系为 ；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点，分别以AB ，AC 为底边，在Rt △ABC 外部作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ，连接FD ，FE ，分别交AB ，AC 于点M ，N ．试猜想四边形FMAN 的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD 中，AB =2，以点A 为旋转中心将正方形ABCD 旋转60°，得到正方形AB 'C 'D '，请直接写出BD '平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC 垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为：AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴D'E=AD'=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴BF=AB=，AF=，∴D'F=2﹣，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．11．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形， ∴60BOE ∠=︒， 而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.12．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交AE 于点G ，连接DG ．（1）求证：四边形DEFG 为菱形； （2）若CD =8，CF =4，求的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG ，ED=EF ，∠1=∠2，由FG ∥CD ，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE ，即可得到四边形DEFG 为菱形； （2）在Rt △EFC 中，用勾股定理列方程即可CD 、CE ，从而求出的值．试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG ，ED=EF ，∠1=∠2，∵FG ∥CD ，∴∠2=∠3，∴FG=FE ，∴DG=GF=EF=DE ，∴四边形DEFG 为菱形；（2）设DE=x ，根据折叠的性质，EF=DE=x ，EC=8﹣x ，在Rt △EFC 中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．13．如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点（P 与B 、D 不重合），∠APE=90°，且点E在BC边上，AE交BD于点F．（1）求证：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；（2）在点P的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设DP=x，当x为何值时，AE∥PC，并判断此时四边形PAFC的形状．【答案】（1）见解析；（2）；（3）x=﹣1；四边形PAFC是菱形．【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根据PB=PB，即可证出△PAB≌△PCB，②根据∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，从而证出PE=PC；（2）根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出；（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，从而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，从而证出BP=BC=1，x=﹣1，再根据AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB 得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案．试题解析：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在点P的运动过程中，的值不改变．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90°，∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴=．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°﹣45°）=67.5°．在△PBC中，∠BPC=（180°﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180°﹣45°﹣67.5°）=67.5°．∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四边形PAFC是菱形．考点：四边形综合题．14．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H．动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动．过点E作EF⊥AB，垂足为点F．点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）CE= （含t的代数式表示）．（2）求点G落在线段AC上时t的值．（3）当S＞0时，求S与t之间的函数关系式．（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当＜t≤2时，S=t2+t-3；当2＜t≤3时，S=-t2+t-；（4）＜t＜．【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CE==t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，S=△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=6，∴CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°-60°=30°，∴∠GEB=90°，∴∠GEC=90°，∴CE==t，∵BE+CE=BC，∴2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，如图2所示：S=△EFG的面积-△NFN的面积=××（t）2-××（-+2）2=t2+t-3，即S=t 2+t-3；当2＜t≤3时，如图3所示：S=t 2+t-3-（3t-6）2，即S=-t 2+t-； （4）∵AH=AB•sin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，∴t=时，点P 与H 重合，E 与H 重合， ∴点P 在△EFG 内部时，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），解得：＜t ＜；即点P 在△EFG 内部时t 的取值范围为：＜t ＜．考点：四边形综合题．15．已知ABC V ，以AC 为边在ABC V 外作等腰ACD V ，其中AC AD =. （1）如图①，若AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数. （2）如图②，ABC α∠=，ACD β∠=，4BC =，6BD =.①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为______.②若改变,αβ的大小，但90αβ+=︒，ABC V 的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120°；（2）55【解析】试题分析：（1）根据SAS，可首先证明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度数；（2）①如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出结论．试题解析：解：（1）∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中{AE ABEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案为120°；（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴∴②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中{AB AEEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，∴AH=1 2∴S△ABC=1 2考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 1．（天津）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′ 和折痕OP ．设BP ＝t ．（Ⅰ）如图①，当∠BOP ＝30°时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′ 上，得点C ′ 和折痕PQ ，若AQ ＝m ，试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C ′ 恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP ＝90°，OB ＝6 在Rt △OB P 中，由∠BOP ＝30°，BP ＝t ，得OP ＝2t 根据勾股定理，OP 2＝OB 2＋BP 2即(2t)2＝6 2＋t 2，解得t ＝23（t ＝－23舍去）． ∴点P 的坐标为（23，6）（Ⅱ）∵△OB ′P 、△QC ′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的 ∴△OB ′P ≌△OBP ，△QC ′P ≌△QCP ∴∠OPB ′＝∠OPB ，∠QPC ′＝∠QPC∵∠OPB ′＋∠OPB ＋∠QPC ′＋∠QPC ＝180°，∴∠OPB ＋∠QPC ＝90° ∵∠BOP ＋∠OPB ＝90°，∴∠BOP ＝∠CPQ又∠OBP ＝∠C ＝90°，∴△OBP ∽△PCQ ，∴OBPC＝BPCQ由题设BP ＝t ，AQ ＝m ，BC ＝11，AC ＝6，则PC ＝11－t ，CQ ＝6－m ∴611－t＝t6－m，∴m ＝1 6 t 2－ 116t ＋6（0＜t＜11） （Ⅲ）点P 的坐标为（11－13 3 ，6）或（11＋13 3，6）提示：过点P 作PH ⊥OA 于H易证△PC ′H ∽△C ′QA ，∴PHAC ′＝PC ′C ′Q∵PC ′＝PC ＝11－t ，PH ＝OB ＝6，AQ ＝m ，C ′Q ＝CQ ＝6－m∴AC ′＝C ′Q 2－AQ 2＝36－12m∴636－12m＝11－t6－m图② 图①∵611－t＝t6－m，即6t ＝11－t6－m∴636－12m＝6t，∴36－12m ＝t2，即12m ＝36－t2又m ＝16 t2－11 6t ＋6，即12m ＝2t2－22t ＋72 ∴2t2－22t ＋72＝36－t2，即3t2－22t ＋36＝0解得：t ＝11±133∴点P 的坐标为（11－133，6）或（11＋133，6）2．（天津模拟）如图，在梯形ABCO 中，A （0，2），B （4，2），点C 为x 轴正半轴上一动点，M 为线段BC 中点．（1）设C （x ，0），S △AOM＝y ，求y 与x 的函数关系式；（2）如果以线段AO 为直径的⊙D 和以BC 为直径的⊙M 外切，求点C 的坐标；（2）连接OB 交线段AM 于N ，如果以A 、N 、B 为顶点的三角形与△OMC 相似，求直线CN 的解析式．解：（1）取OA 中点D ，连接DM则DM ＝1 2 (AB ＋OC)＝1 2 (4＋x )＝ 12x ＋2∴y ＝1 2 OA ·DM ＝ 1 2 ×2×( 1 2 x ＋2 )＝ 12x ＋2 即y ＝ 12x ＋2（2）设⊙M 的半径为r ，⊙M 与AB 交于点E ，连接CE 则∠BEC ＝90°，OC ＝AE ＝x ，BE ＝4－x ，CE ＝2 在Rt △BCE 中，(4－x)2＋22＝(2r)2①又DM ＝1＋r ＝x ＋42② 由①、②解得x ＝43∴点C 的坐标为（43，0）（3）延长AM 交x 轴于点F则△CMF ≌△BMA ，∴CF ＝AB ＝4，OF ＝x ＋4∵AB ∥OF ，△ANB ∽△FNO ，∴ANNF＝ABOF＝4x ＋4∴AN ＝4x ＋8AF ＝4x ＋822＋(x ＋4)2＝4x ＋8x2＋8x ＋20∵DM ⊥OA ，AD ＝OD ，∴AM ＝OM ∴∠DAM ＝∠DOM ，∴∠BAN ＝∠MOC ①若ABAN＝OMOC，则△ABN ∽△OMC 于是44x ＋8x2＋8x ＋20＝(x ＋4 2)2＋12x整理得：x2＋8x －20＝0，解得：x 1＝－10（舍去），x 2＝2 ∴C （2，0），F （6，0）可得直线AF 的解析式为y ＝－1 3x ＋2，直线OB 的解析式为y ＝1 2x由⎩⎨⎧y ＝－ 1 3x ＋2y ＝ 1 2x 解得⎩⎨⎧x ＝125y ＝65∴N （12 5，65）设直线CN 的解析式为y ＝kx ＋b ，则： ⎩⎪⎨⎪⎧12 5k ＋b ＝6 52k ＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－6∴直线CN 的解析式为y ＝3x －6②若 AB AN ＝ OCOM，则△ABN ∽△OCM于是44x ＋8x2＋8x ＋20＝x(x ＋42)2＋12整理得：x ＋8＝2x ，解得：x ＝8 ∴C （8，0），F （12，0）可得直线AF 的解析式为y ＝－1 6x ＋2，直线OB 的解析式为y ＝1 2x由⎩⎨⎧y ＝－ 16x ＋2y ＝ 1 2x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3 2∴N （3，32）设直线CN 的解析式为y ＝k ′x ＋b ′，则： ⎩⎪⎨⎪⎧3k ′＋b ′＝3 28k ′＋b ′＝0 解得⎩⎨⎧k ′＝－310b ′＝12 5∴直线CN 的解析式为y ＝－310x ＋1253．（上海模拟）在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 是AB 边上一点（与A 、B 不重合），EF ⊥CE 交AD 于点F ，过点E 作∠AEH ＝∠BEC ，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N ． （1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE ＝x ，DN ＝y ，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）连接AC ，当△FHE 与△AEC 相似时，求线段DN 的长．解：（1）∵EF ⊥EC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90° ∵∠AEH ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝45° ∵∠B ＝90°，∴BE ＝BC ∵BC ＝3，∴BE ＝3（2）过点E 作EG ⊥CN ，垂足为点G ∴BE ＝CG∵AB ∥CN ，∴∠AEH ＝∠N ，∠BEC ＝∠ECN ∵∠AEH ＝∠BEC ，∴∠N ＝∠ECN ，∴EN ＝EC ∴CN ＝2CG ＝2BE∵BE ＝x ，DN ＝y ，CD ＝AB ＝4 ∴y ＝2x －4（2≤x≤3） （3）∵∠A ＝90°，∴∠AFE ＋∠AEF ＝90° ∵EF ⊥EC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90° ∴∠AFE ＝∠BEC ，∴∠HFE ＝∠AEC 当△FHE 与△AEC 相似时 ①若∠FHE ＝∠EAC∵∠BAD ＝∠B ，∠AEH ＝∠BEC∴∠FHE ＝∠ECB ，∴∠EAC ＝∠ECB∴tan ∠EAC ＝tan ∠ECB ，∴BCAB＝BEBC∴34＝BE3，∴BE ＝94，∴DN ＝12②若∠FHE ＝∠ECA ，作EG ⊥CN 于G ，交AC 于O ∵EN ＝EC ，EG ⊥CN ，∴∠1＝∠2∵AH ∥EG ，∴∠FHE ＝∠1，∴∠FHE ＝∠2 ∴∠2＝∠ECA ，∴OE ＝OC设OE ＝OC ＝3k ，则AE ＝4k ，AO ＝5k ∴AO ＋OC ＝8k ＝5，∴k ＝58∴AE ＝52，BE ＝32，∴CN ＝3，∴DN ＝1综上所述：线段DN 的长为12或1 4．（上海模拟）已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝2DE ，CE ＝2BE ，∠ADE ＝∠ECD ，DE ＝CE ＝4． （1）如图1，求证：DE ∥CB ；A EBN DC 图1F (H )A B EN DCF H图2A EBF备用图A BH N CDF E1 2A BHCDFENGOA BEN DCF H G（2）如图2，点F 是线段EB 上一动点（不与E 重合），连接CF 并延长交DE 的延长线于点G ，设EF ＝x ，DG ＝y ，求y 与x 的函数关系式；（3）点P 是线段AE 上一动点（不与E 重合），连接CP 交DE 于点Q ，当△PQE 是等腰三角形时，求AP 的长．（1）证明：∵AB ∥DC ，∴∠CEB ＝∠ECD ∵∠ADE ＝∠ECD ，∴∠ADE ＝∠CEB ∵AD ＝2DE ，CE ＝2BE ，∴ADDE＝CEBE∴△ADE ∽△CEB ，∴∠AED ＝∠B∴DE ∥CB（2）解：∵AB ∥DC ，DE ∥CB∴四边形DEBC 是平行四边形，∴DE ＝BC ∵DE ＝CE ＝4，∴BC ＝4 ∵CE ＝2BE ，∴BE ＝2 ∵DG ∥CB ，∴ EGBC＝EFBF即y －44＝x2－x∴y ＝82－x（0＜x ＜2）（3）解：①当PE ＝QE 时 ∵PE ∥DC ，∴DCEP＝DQEQ∴DC ＝DQ∵四边形DEBC 是平行四边形，∴DC ＝BE ＝2 ∴DQ ＝2∵△ADE ∽△CEB ，DE ＝CE ＝CB ＝4，BE ＝2 ∴AE ＝AD ＝8∴PE ＝QE ＝DE －DQ ＝4－2＝2 ∴AP ＝8－2＝6CA D EB 图2F G C A D E B 图1 CA D E B备用图 CA D E BQP②当PE＝PQ时则∠PQE＝∠PEQ∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠PEQ∴∠PQE＝∠ADE，∴AD∥PC∴四边形APCD是平行四边形∴AP＝DC＝2③当PQ＝EQ时则∠QPE＝∠QEP＝∠CBE＝∠CEB此时点P与点E重合，△PQE不存在综上所述，当△PQE是等腰三角形时，AP的长为6或25．（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，且AE＝AF，连接EF，与边BC相交于点G．（1）设BF＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当四边形BECF是平行四边形时，求BF的长；（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为等腰三角形？如果能，求BF的长；如果不能，请说明理由．解：（1）∵AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5∴AD＝4在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2∵BF＝x，∴AF＝AB＋BF＝3＋x∵AE＝AF＝3＋x，DE＝y，∴42＋y2＝(3＋x)2∴y＝x2＋6x－7当E与D重合时，y＝0，则x＝AD－AB＝1当E与C重合时，AC＝AD2＋DC2＝213，x＝213－3∴1≤x≤213－3（2）∵BF∥EC，∴若四边形BECF是平行四边形，只需BF＝EC∴x＝6－x2＋6x－7，解得x＝43 18即BF的长为43 18（3）①若BF＝BG，则∠BGF＝∠BFG＝∠AEF∴BG∥AE，∴BFAB＝FGEG∵AB∥CD，∴BFEC＝FGEGA BD C备用图A BD CEFGCADE BQP∴BFAB＝BFEC，∴EC ＝AB ＝3，DE ＝DC －EC ＝3 ∵AD ＝4，∴AE ＝AF ＝5，∴BF ＝AF －AB ＝2②若BG ＝FG ，过G 作AD 的平行线，分别交BF 、EC 于点M 、N 则MN ⊥AB ，四边形ADNM 是矩形 ∴AM ＝DN ，BM ＝12BF ＝1 2x ∵BG ＝FG ，AB ∥DC ，∴EG ＝CG∴EN ＝1 2 EC ＝ 1 2 ( DC －DE )＝ 1 2 ( 6－y )＝3－ 12y∴3＋12x ＝y ＋3－12y ，∴x ＝y ∴x ＝x2＋6x －7，解得x ＝76，即BF ＝76③若BF ＝FG ，过F 作FH ⊥BG 于H ，过E 作EK ⊥GC 于K 则BG ＝2BH ＝2BF ·cos ∠FBG ＝2BF ·cos ∠C ＝2x ·3 5＝65x∴GC ＝5－65x ∵BF ＝FG ，∴∠FBG ＝∠FGB ＝∠EGC ∵AB ∥DC ，∴∠FBG ＝∠C ∴∠EGC ＝∠C ，∴EC ＝EG ∴KC ＝12GC ＝5 2 － 3 5x ∵cos ∠C ＝KC EC ＝ 3 5 ，∴KC ＝ 35EC∴5 2－3 5x ＝3 5 (6－x2＋6x －7 )，解得x ＝373 84当x ＝373 84时，5 2－3 5x ＝5 2 － 3 5 ×373 84 ＝－ 23140＜0 ∴x ＝37384不合题意，应舍去 综上所述，△BFG 能成为等腰三角形，BF 的长为2或766．（上海模拟）有一张矩形纸片ABCD ，已知AB ＝2，AD ＝5，把这张纸片折叠，使点A 落在边BC 上的点E 处，折痕为MN （MN 交AB 于M ，交AD 于N ）． （1）如图1，当BE ＝2时，求AM 的长；（2）当点E 在BC 上运动时，设BE ＝x ，AN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并确定函数的定义域； （4）连接DE ，是否存在这样的点E ，使△AME 与△DNE 相似？若存在，求出此时BE 的长，若不存在，请说明理由．A B DCE FG HK A B DCE FGM NA B D C 备用图 A B D C N E M 图1 A B DC 备用图解：（1）设BM ＝a ，∵AB ＝2，∴ME ＝AM ＝2－a 在Rt △BME 中，BM 2＋BE 2＝ME 2∴a2＋2＝(2－a)2，∴a ＝1 2∴AM ＝32（2）设BM ＝a ，∵BE ＝x ，∴a2＋x2＝(2－a)2∴a ＝4－x2 4，∴AM ＝2－ 4－x2 4 ＝4＋x24延长NM 交CB 延长线于点F∵∠F ＝∠ANM ＝∠ENM ，∴EF ＝EN ＝AN ＝y ∴BF ＝y －x∵△BFM ∽△ANM ，∴BFAN＝BMAM∴y －xy＝4－x244＋x2 4，∴y ＝4＋x22x由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x≤20＜ 4＋x2 2x≤5 解得5－ 21≤x≤2 ∴函数的定义域为5－21≤x≤2 （3）存在∵y ＝4＋x22x≥242x ·x2＝2≥x ，即AN≥BE ∴∠DNE ≥90° 又∵∠AME ≥90°，AM ＝ME∴若△AME ∽△DNE ，则DN ＝EN ∴∠NDE ＝∠NED∵AM ＝ME ，∴∠MAE ＝∠MEA ∵AD ∥BC ，∴∠NDE ＝∠DEC∴∠BAE ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△ECD ∴ABEC＝BECD，∴25－x＝x2解得x 1＝4（舍去），x 2＝1 ∴BE ＝1∴存在点E ，使△AME 与△DNE 相似，此时BE 的长为1 7．（上海模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连接MF 交线段AD 于点P ，连接NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值； （3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切？如果能，请求出x 的值，如果不能，请说明理由． N KG CE DF A B PMA BDCN EM FA BDCN EM解：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD ∴∠E＝∠F＝90O，AE∥MC，MC∥NK∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF∴△KNA∽△EAF，∴NKEA＝KAEF，即yx＋6＝y－6x∴y＝x＋6（0＜x≤6）（2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴FPPM＝AFAN＝1∴FP＝PM，∴S△MNP＝S△NPF＝32∴S正方形DMNK＝2S△MNP＝64∴y＝8，∴x＝2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD易知：AP＝y2，AH＝x，PH＝y2－x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝y2＋x①当两圆外切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y2－x)2＋62＝(y2＋x)2解得：x＝－3－33（舍去）或x＝－3＋3 3 ②当两圆内切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y2－x)2＋62＝(y2－x)2方程无解所以，当x＝33－3时，两圆相切8．（上海模拟）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EF A能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．A BDCEF图1ABDC EFG图2（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1）∵AF′＝AF∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF（2）在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2∴y＝1－x1＋x（0＜x＜1）（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF＝BE＋DF，故此时⊙E与⊙F外切；②当点E在点C时，DF＝0，⊙F不存在.③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2）则AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝DF，∠F′AF＝90°∴∠F′AE＝∠EAF＝45°又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE∴EF＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF∴此时⊙E与⊙F内切综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切（4）△EGF与△EF A能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可此时CE＝CF设BE＝x，DF＝y，由（3）知EF＝x－y在Rt△CFE中，CE2＋CF2＝EF2∴(x－1)2＋(1＋y)2＝(x－y)2∴y＝x－1x＋1（x＞1）由CE＝CF，得x－1＝1＋y，即x－1＝1＋x－1 x＋1化简得x2－2x－1＝0，解得x1＝1－2（舍去），x2＝1＋ 2∴△EGF与△EF A能够相似，此时BE的长为1＋ 29．（上海模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝1，连接BD，作∠EBC＝∠ABD，交边CD于E．（1）设BC＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当BE⊥CD时，求BC的长；（3）当△BDE是等腰三角形时，求BC的长．解：（1）延长AD、BE交于点F∵DF∥BC，∴∠F＝∠EBC，∠EDF＝∠ECB∴△DEF∽△CEB，∴DFBC＝DECEABDC EFG图2F′12DBACEABDCEF图1F′12即DFx ＝2－yy ，∴DF ＝x (2－y)y∵∠F ＝∠EBC ，∠EBC ＝∠ABD ，∴∠F ＝∠ABD 又∠A ＝∠A ，∴△ABF ∽△ADB ∴AFAB＝ABAD，即AF2 ＝21，∴AF ＝4 ∵AD ＋DF ＝AF ，∴1＋x (2－y)y＝4 ∴y ＝2xx ＋3（0＜x ＜5且x ≠1） （2）当BE ⊥CD 时，过D 作DG ⊥BC 于G 则△DGC ∽△BEC ，∴ DCGC＝BCCE即212(x －1)＝x2xx ＋3，解得x ＝23－1（舍去负值） ∴此时BC 的长为23－1（3）∵∠DBE ＜∠ABC ＝∠C ＜∠DEB ，∴DB ＞DE ①当BD ＝BE 时 ∵△ABF ∽△ADB ，∴BFBD＝ABAD＝21∴BF ＝2BD ＝2BE ，∴BE ＝EF ∴△DEF ∽△CEB ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝1 即2xx ＋3＝1，解得x ＝3 ②当BE ＝DE 时，则∠BDE ＝∠DBE ∴∠BEC ＝2∠DBE 过D 作DH ⊥BC 于H则∠C ＝∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBE ＋∠EBC ＝2∠EBC ＋∠DBE 在△BEC 中，∠BEC ＋∠EBC ＋∠C ＝180° ∴2∠DBE ＋∠EBC ＋2∠EBC ＋∠DBE ＝180° ∴DBE ＋∠EBC ＝60°，即∠DBC ＝60° ∵HC ＝12 (x －1)，∴BH ＝x －12 (x －1)＝12(x ＋1)∴DH ＝3BH ＝32(x ＋1) 在Rt △DHC 中，DH 2＋HC 2＝DC 2∴34 (x ＋1)2＋14 (x －1)2＝4，解得x ＝13－1 2∴当△BDE 是等腰三角形时，BC 的长为3或13－1210．（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧． （1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；D B A CEFDB A CEG D BA CEFDBA CEH（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B ′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B ′D ，B ′M ，DM ．是否存在这样的t ，使△B ′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B ′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．解：（1）如图①，设正方形BEFG 的边长为x 则BE ＝FG ＝BG ＝x∵AB ＝3，BC ＝6，∴AG ＝AB －BG ＝3－x ∵GF ∥BE ，∴△AGF ∽△ABC ∴AGAB＝GFBC，即3－x3 ＝x6解得x ＝2，即BE ＝2（2）存在满足条件的t ，理由如下： 如图②，过D 作DH ⊥BC 于点H 则BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝3由题意得：BB ′＝HE ＝t ，HB ′＝|t －2|，EC ＝4－t在Rt △B ′ME 中，B ′M 2＝B ′E 2＋ME 2＝22＋(2－1 2 t )2＝ 1 4t2－2t ＋8∵EF ∥AB ，∴△MEC ∽△ABC ∴MEAB＝ECBC，即ME3 ＝4－t6 ，∴ME ＝2－12t 在Rt △DHB ′ 中，B ′D 2＝DH 2＋B ′H 2＝32＋(t －2)2＝t2－4t ＋13 过M 作MN ⊥DH 于点N则MN ＝HE ＝t ，NH ＝ME ＝2－12t∴DN ＝DH －NH ＝3－(2－1 2 t )＝ 12t ＋1在Rt △DMN 中，DM 2＝DN 2＋MN 2＝5 4t2＋t ＋1（ⅰ）若∠DB ′M ＝90°，则DM 2＝B ′M 2＋B ′D 2即 5 4t2＋t ＋1＝(1 4 t 2－2t ＋8 )＋( t 2－4t ＋13 )，解得t ＝20 7（ⅱ）若∠B ′MD ＝90°，则B ′D 2＝B ′M 2＋DM 2即t2－4t ＋13＝( 1 4 t 2－2t ＋8 )＋( 5 4t 2＋t ＋1 )，解得t 1＝－3＋ 17，t 2＝－3－17∵0≤t≤4，∴t ＝－3＋17（ⅲ）若∠B ′DM ＝90°，则B ′M 2＝B ′D 2＋DM 2B ACD BA CD备用图B A CD 图①EFGBACD 图②EFGHB ′ M N即14t2－2t＋8＝(t2－4t＋13)＋(54t2＋t＋1)，此方程无解综上所述，当t＝207或－3＋17时，△B′DM是直角三角形（3）当0≤t≤43时，S＝14t2当43≤t≤2时，S＝－18t2＋t－23当2≤t≤103时，S＝－38t2＋2t－53当103≤t≤4时，S＝－12t＋52提示：当点F落在CD上时，如图③FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4由△FEC∽△DHC，得FEEC＝DHHC即24－t＝34，∴t＝43当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）t＝2当点G落在CD上时，如图④GB′＝2，B′C＝6－t由△GB′C∽△DHC，得G′BB′C＝DHHC即26－t＝34，∴t＝103当点E与点C重合时，t＝4①当0≤t≤43时，如图⑤∵MF＝t，FN＝1 2t∴S＝S△FMN＝12·t·12t＝14t2②当43≤t≤2时，如图⑥∵PF＝t－43，FQ＝34PF＝34t－1∴S△FPQ＝12(t－43)(34t－1)＝38t2－t＋23∴S＝S△FMN－S△FPQ＝14t2－(38t2－t＋23)＝－18t2＋t－23③当2≤t≤103时，如图⑦∵B′M＝12B′C＝12(6－t)＝3－12t图⑤B图⑥图⑦BACD图③EFGB′HBACD图④EFGB′H∴GM＝2－(3－12t)＝12t－1∴S梯形GMNF＝12(12t－1＋12t)×2＝t－1∴S＝S梯形GMNF－S△FPQ＝(t－1)－(38t2－t＋23)＝－38t2＋2t－53④当103≤t≤4时，如图⑧∵PB′＝34B′C＝34(6－t)＝92－34t∴GP＝2－(92－34t)＝34t－52∴S梯形GPQF＝12(34t－52＋34t－1)×2＝32t－72∴S＝S梯形GMNF－S梯形GPQF＝(t－1)－(32t－72)＝－12t＋5211．（浙江金华、丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．（1）当点E是AB的中点时，求线段DF的长；（2）若射线EF经过点C，求AE的长；（3）设AE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）过E作EG⊥DF于H，则EG＝A D＝ 3∵E是AB的中点，AB＝6，∴DG＝3，∴∠DEG＝60°∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝∠DEG＝60°∴GF＝3，∴DF＝6（2）过B作BG⊥DC于G，则四边形ABGD是矩形∴BG＝AD＝ 3∵AB∥DC，∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°∴BC＝BGcos60°＝2在AB上截取AH＝1，连接DH则DH＝2，∠AHD＝60°，∴∠DHE＝120°∴∠1＋∠2＝60°∵∠DEC＝120°，∴∠2＋∠3＝60°∴∠1＝∠3又∠DHE＝∠EBC＝120°，∴△DHE∽△EBC，∴HEBC＝DHEB设AE＝x，则HE＝x－1，EB＝6－x∴x－12＝26－x，解得x1＝2，x2＝5∴若射线EF经过点C，则AE的长是2或5（3）①当点F在线段DC上时过F作FG∥BC交AB于G，在AB上截取AH＝1，连接DH DACBEFDACBE(F)HDACBE(F)GH12 3DACBEFGDACBEFGH图⑧则DH＝2，∠AHD＝60°，∠DHE＝120°，BG＝CF＝y，EG＝6－x－y，GF＝BC＝2由（2）知△DHE∽△EGF，∴HEGF＝DHEG，即x－12＝26－x－y∴y＝(x－2)(x－5)1－x（2≤x≤5）②当点F在DC的延长线上时过F作FG∥BC交AB的延长线于G，在AB上截取AH＝1，连接DH由△DHE∽△EGF，得x－12＝26－x＋y∴y＝(x－2)(x－5)x－1（1＜x＜2或5＜x＜6）12．（浙江嘉兴、舟山）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ，AB′AB＝B′C′BC＝AC′AC＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′:S△ABC＝_________；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为_________度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．解：（1）3；60（2）∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′＝90°∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°在Rt△ABB′是中，∠ABB′＝90°，∠BAB′＝60°∴n＝AB′AB＝2（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′又∵∠BAC＝36°，∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°∴∠C′AB′＝∠AB′B＝∠BAC＝36°，而∠B＝∠B ∴△ABC∽△B′BA，∴AB2＝1·(1＋AB)∴AB＝1±5 2∵AB＞0，n＝B′C′BC＝1＋52B AC′（图①）C′ BACB′（图②）C′BAC B′（图③）C′DACBEFGHDACBEFGH13．（浙江某校自主招生）如图，矩形ABOD 中，AB ＝6，AD ＝8，M 是边AD 上的点，且AM :MD ＝1 :3．点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线OD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BO 于点G ，连接EG 、FG ．（1）设AE ＝t 时，△EFG 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）若P 是MG 的中点，在E 点运动的整个过程中，点P 到x 轴的距离是否为定值？请说明理由； （3）请直接写出E 点运动的整个过程中点P解：（1）当点E 与点A 重合时，t ＝0 S ＝S △ABD＝12×8×6＝24当点E 与点A 重合时，0＜t≤6在矩形ABOD 中，∠A ＝∠ADO ＝90° ∴∠MDF ＝90°，∴∠A ＝∠MDF∵∠AME ＝∠DMF ，∴△AME ∽△DMF∴AMMD＝MEMF＝13∵AD ＝8，∴AM ＝2在Rt △AME 中，AE ＝t ，AM ＝2，∴ME ＝4＋t2∴EF ＝4ME ＝44＋t2过M 作MN ⊥BO 于N ，则∠MNG ＝90°，∠AMN ＝90° MN ＝AB ＝6＝3AM ，∴∠AME ＋∠EMN ＝90° ∵∠EMG ＝90°，∴∠NMG ＋∠EMN ＝90° ∴∠AME ＝NMG ，∴△AME ∽△NMG∴MEMG＝AMMN＝13，∴MG ＝3ME ＝34＋t2∴S ＝12EF ·MG ＝12×44＋t2×34＋t2＝24＋6t2（2）过P 作PH ⊥BO 于H ，则PH ∥MN ∵P 是MG 的中点，∴PH ＝12MN ＝3 ∴点P 到x 轴的距离是定值3 （3）点P 的运动路线的长为9提示：由（2）知，在E 点运动的整个过程中，点P 到x 轴的距离是定值3 所以点P 的运动路线是一条平行于BG 的线段分别作出E 与A 重合、E 与B 重合时P 点的位置P 1、P 2，则P 1P 2即为P 点运动路线的长 在Rt △BMG 2中，∵MG 1⊥BG 2，∴∠G 1MG 2＝∠MBG 1 ∴tan ∠G 1MG 2＝tan ∠MBG 1＝3，∴G 1G 2＝3MG 1＝18∵P1P2是△MG1G2的中位线，∴P1P2＝12G1G2＝9即点P的运动路线的长为914．（浙江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y＝kx交折线A－B－C于点P，点A关于OP的对称点为A′．（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；（2）若经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；（3）如图2，当点P在AB边上，点A′在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有_________个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．12．解：（1）当点A′恰好在CB边上时，连接A′O、A′P，如图1∵OA′＝OA＝5，OC＝3∴CA′＝OA′2－OC2＝52－32＝4∴A′B＝CB－CA′＝5－4＝1设P A＝x，则A′P＝P A＝x，BP＝3－x在Rt△A′PB中，A′B2＋BP2＝A′P2∴12＋(3－x)2＝x2，解得x＝53，∴P（5，53）∴k＝y Px P＝13（2）连接A′O、A′P、A′A，设A′A交射线OP于点D，如图2 则OP垂直平分A′A∵经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点∴由抛物线的对称性可知A′O＝A′A＝2A′D∴∠A′OD＝30°，∴∠AOD＝∠A′OD＝30°∴P A＝33OA＝533，∴P（5，533）∴k＝y Px P＝33可得∠A′OA＝60°，∴△A′OA是等边三角形∴点A′的坐标为（52，532）设抛物线的解析式为为y＝a(x－52)2＋532把O（0，0）代入上式，得0＝a(0－52)2＋532解得a＝23 5∴抛物线的解析式为为y＝－235(x－52)2＋532（3）假设存在实数k，使△A′EF≌△BPF，如图3 ∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP∴A′E＝BP，A′F＝BF设A′E＝BP＝a，A′F＝BF＝b则A′P＝P A＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－a CE＝5－(3－a－b)－b＝2＋a在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2∴32＋(2＋a)2＝(5－a)2，解得a＝6 7∴P A＝3－67＝157，∴P（5，157）∴k＝y Px P＝37（4）以OP为直径的⊙M与矩形OABC最多有6个公共点提示：∵∠OAP＝90°∴当点P在AB边上时，⊙M经过O、A、P三点，如图4∵∠COP＜90°，∴⊙M必与OC边交于另一点又∵⊙M与BC边最多有2个公共点∴⊙M与矩形OABC最多有6个公共点当点P在BC边上时，情况亦然①当⊙M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5 则MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3∵M是OP的中点，∴E是OA的中点∴ME＝12P A设P A＝x，则ME＝12x，DM＝12OP＝12x2＋52∵DM＋ME＝DE，∴12x2＋52＋12x＝3解得x＝1112，∴P（5，1112）∴k＝y Px P＝1160②当⊙M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图6设CP＝x，则DM＝12x，ME＝12OP＝12x2＋32∵DM＋ME＝DE，∴12x＋12x2＋32＝5解得x＝9120，∴P（9120，3）图4图5∴k＝y Px P＝6091又∵当点P与点B重合时，⊙M经过O、A、B、C四点，此时k＝3 5∴当⊙M与矩形OABC有6个公共点时，k的取值范围是：1160＜k＜6091且k≠3515．（浙江模拟）如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD （按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD 某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．（1）当t＝3时，求点C的坐标；（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；（3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）过点C作CF⊥x轴于F则△CFB≌△BOA，得CF＝BO＝3，FB＝OA＝4∴点C的坐标为（－1，3）（2）当0＜t≤4时，点E为y轴的正半轴与BC边的交点，如图1易证△BOE∽△AOB，得OEOB＝OBOA即mt＝t4，∴m＝14t2当t＞4时，点E为y轴的正半轴与CD边的交点，如图2易证△EDA∽△AOB，得DAOB＝EAAB而DA＝AB，∴AB2＝OB·EA即42＋t2＝t(m＋4)，∴m＝t＋16t－4（3）存在当t≤0时∵正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴），∴此时不存在当0＜t≤4时①若点M在BC边上，有t2＝4t＋2解得t＝2或t＝－4（舍去）②若点M在CD边上，有t－24＝2－(4－t)t解得t＝2或t＝4 当t＞4时图1图2①若点M在CD边上，有t＋16t－4－24＝2t解得t＝2（舍去）或t＝4（舍去）②若点M在AD边上，有2－16t4＝2t解得t＝12综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、1216．（浙江模拟）如图，直角梯形OABC的直角顶点C在x轴上，C（82，0），∠AOC＝45°，AB＝52，点D是AB边上的一点，且AD:BD＝2:3．有一45°角的顶点E在x轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F，连接DF．（1）求点D的坐标；（2）若点E在x轴正半轴上运动，设CE＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式；（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）作AG⊥OC于G，DH⊥OC于H，如图1∵∠AOC＝45°，∴AG＝OG＝OC－AB＝82－52＝3 2∵AB＝52，AD:BD＝2:3，∴AD＝2 2∴OH＝32＋22＝5 2∴D（52，32）（2）①当点E在线段OC上时，如图1连接DC，则HC＝OC－OH＝82－52＝3 2∴HC＝DH＝32，∴CD＝6，∠DCH＝45°∴∠EDC＋∠DEC＝135°∵∠DEF＝45°，∴∠FEO＋∠DEC＝135°∴∠FEO＝∠EDC，又∠EOF＝∠DCE＝45°∴△OEF∽△CDE，∴OFOE＝CECD，即y82－x＝x6∴y＝－16x2＋423x②当点E在OC延长线上时，如图2∵∠AOC＝∠DCO＝45°，∴∠EOF＝∠DCE ∠CDE＋∠CED＝45°∵∠DEF＝45°，∴∠CED＋∠OEF＝45°备用图∴∠OEF ＝∠CDE ，∴△OEF ∽△CDE∴OFOE＝CECD，即y82＋x＝x6∴y ＝1 6 x 2＋ 42 3x（3）①当点E 在线段OC 上时i ）若EF ＝ED ，如图3，则△OEF ≌△CDE ∴OE ＝CD ＝6，CE ＝82－6，∴OF ＝CE ＝82－6 ∴F （8－32，8－32）ii ）若DF ＝DE ，如图4，则∠EDF ＝90° 作FM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N则△DFM ≌△EDN ，∴DM ＝EN ＝32，∴M （22，32） ∴F （22，22）iii ）若DF ＝EF ，如图5，则∠DFE ＝90°作FN ⊥OC 于N ，交直线AB 于M ，则△FNE ≌△DMF ∴FN ＝DM设ON ＝x ，则FN ＝x ，MF ＝32－x ，DM ＝52－x ∴x ＝52－x ，∴x ＝522∴F （522，522）②当点E 在OC 延长线上时，如图2 ∵∠DEF ＝45°，∠DFE ＜45°，∠EDF ＞90° ∴△DEF 不可能是等腰三角形③当点E 在CO 延长线上时，如图6 ∵∠DEF ＝135°，∴只能EF ＝ED ，此时△OEF ≌△CDE∴OE ＝CD ＝6，CE ＝82＋6，∴OF ＝CE ＝82＋6 ∴F （－8－32，－8－32）综上所述，存在4个时刻使得△DEF 成为等腰三角形，点F 的坐标为：F 1（8－32，8－32），F 2（22，22），F 3（522，522），F 4（－8－32，－8－32）17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是（5，0），（3，2），点D 在线段OA 上，BD ＝BA ，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是（0，3），设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ．（1）求k 的取值范围；图6（2）当k 是取值范围内的最大整数时，若抛物线y ＝ax2－5ax 的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围． 解：（1）∵直线y ＝kx ＋b 经过P （0，3），∴b ＝3 ∴直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋3 ∵A （5，0），B （3，2），BD ＝BA ，∴D （1，0） 设线段BD 的解析式为y ＝mx ＋n （1≤x≤3）∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝2m ＋n ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－1 ∴线段BD 的解析式为y ＝x －1（1≤x≤3）依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1y ＝kx ＋3 解得x ＝4 1－k∵1≤x≤3，∴1≤41－k≤3解得－3≤k≤－13（2）∵－3≤k≤－13，且k 为最大整数，∴k ＝－1 则直线PQ 的解析式为y ＝－x ＋3∵抛物线y ＝ax2－5ax 的顶点坐标是（5 2，－25 4a ），对称轴为x ＝5 2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3x ＝52得⎩⎨⎧x ＝52y ＝1 2即直线PQ 与抛物线对称轴的交点坐标为（5 2，12）∴12＜－25 4a ＜2，解得－ 8 25 ＜ a ＜－2 2518．（浙江模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 绕中心O 顺时针旋转90°得到矩形A ′B ′C ′D ′（1）求点A 在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求矩形ABCD 在旋转过程中所扫过的面积；（3）若点P 为线段BC 上一点，且使得∠APA ′＝60°，则满足条件的点P 有几个？请你选择一个点P 求△APA ′ 的面积． 解：（1）易知点A 的路径是以O 为圆心、以OA 长为半径、圆心角为90°的一段圆弧∵AB ＝1，BC ＝3，∴AC ＝2，OA ＝1∴点A 在旋转过程中所走过的路径的长为：π×1×90 180＝π2（2）如图，将矩形ABCD 绕它的对称中心O 旋转90°，扫过的面积是图中阴影部分的面积 ∵AB ＝1，A ′D ′＝BC ＝3，∴A ′G ＝DG ＝BE ＝C ′E ＝3－12∵AB ＝1，AD ＝ 3∴∠ADB ＝∠DBC ＝30°，∠OFC ＝∠A ′C ′D ′＝∠BDC ＝60° ∴∠A ′OD ＝∠BOC ′＝30°∴S 阴影＝S ⊙O－2(S 扇形BOD－2 S △BOE)＝S ⊙O－2 S 扇形BOD ＋4 S △BOE)＝π×12－2×π×12×30 360＋4×12 ×3－1 2 ×1 2＝56 π＋3－1 2（cm 2） （3）满足条件的点P 有2个 提示：在BC 上取点P 1，使BP 1＝33则∠AP 1B ＝60°，P 1H ＝3－3 3 －3－1 2＝3 6 ＋12A ′H ＝3－3－1 2＝3＋12∴tan ∠A ′P 1H ＝A ′HP 1H＝3，∴∠A ′P 1H ＝60° ∴∠AP 1A ′＝60°在BC 上取点P 2，使P 2H ＝A ′G ＝3－12则△A ′P 2H ≌△AA ′G ，∴A ′P 2＝A ′A ＝A ′H 2＋P 2H 2＝ 2BP 2＝3＋1 2 －3－12＝1＝AB ，∴AP 2＝ 2 ∴AP 2＝A ′P 2＝A ′A ，∴△AP 2A ′ 是等边三角形 ∴∠AP 2A ′＝60°又∵△AP 2A ′ 的外接圆与BC 最多有2个交点 ∴满足条件的点P 有2个 若求△AP 1A ′ 的面积∵S 梯形ABHA ′＝1 2 ×(1＋3＋1 2)× 3＋1 2 ＝3 2 ＋ 34 ，S △ABP 1 ＝ 1 2 ×1× 3 3 ＝36S △A ′P 1H＝1 2 ×(3 6＋1 2)× 3＋1 2 ＝3 6 ＋14∴S △AP 1A ′＝S 梯形ABHA ′－S △ABP 1－S △A ′P 1H＝36＋12若求△AP 2A ′ 的面积则S △AP 2A ′＝1 2 ×2×3 2 ×2＝32DB AC C ′D ′A ′B ′ E P 1P 2 H G19．（江苏连云港）已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝3．问题1：如图1，P 为AB 边上一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ．请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ．请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 问题3：若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE ＝PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ．请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 问题4：如图3，若P 为DC 边上任意一点，延长P A 到E ，使AE ＝nP A （n 为常数），以PE ，PB 为边作平行四边形PBQE ．请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写．．．出．最小值；如果不存在，请说明理由．解：问题1：如图1，∵四边形PCQD 是平行四边形若对角线PQ 、DC 相等，则四边形PCQD 是矩形，∴∠DPC ＝90° ∵AD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，∴DC ＝2 2 设PB ＝x ，则AP ＝2－x在Rt △DPC 中，PD 2＋PC 2＝DC 2，即x 2＋32＋(2－x)2＋1＝8化简得x 2－2x ＋3＝0，∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解∴对角线PQ 与DC 不可能相等问题2：如图2，在平行四边形PCQD 中，设对角线PQ 与DC 相交于点G 则G 是DC 的中点过点Q 作QH ⊥BC ，交BC 的延长线于H ∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠DCH即∠ADP ＋∠PDG ＝∠DCQ ＋∠QCH∵PD ∥CQ ，∴∠PDC ＝∠DCQ ，∴∠ADP ＝∠QCH 又∵PD ＝CQ ，∴Rt △ADP ≌Rt △HCQ ，∴AD ＝HC∵AD ＝1，BC ＝3，∴BH ＝4∴当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为4 问题3：如图3，设PQ 与DC 相交于点G ∵PE ∥CQ ，PD ＝DE ，∴DGGC＝PDCQ＝12∴G 是DC 上一定点作QH ⊥BC ，交BC 的延长线于H同理可证∠ADP ＝∠QCH ，∴Rt △ADP ∽Rt △HCQ ∴ADCH＝PDCQ＝12，∴CH ＝2，∴BH ＝BC ＋CH ＝3＋2＝5 ∴当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为5 问题4：存在最小值，最小值为22(n ＋4) 提示：如图4，设PQ 与AB 相交于点GB PA D C Q图（2） B PA D C Q 图（1） BPA DCQ 图（3）EB PA DCQ 图（1）B PA DCQ图（2）GHBP ADCQ图（3）GHE∵PE ∥BQ ，AE ＝nP A ，∴AGBG＝P ABQ＝1n ＋1∴G 是AB 上一定点作QH ∥DC ，交CB 的延长线于H ，作CK ⊥CD ，交QH 的延长线于K ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴∠ADP ＝∠BHQ ∠P AD ＋∠P AG ＝∠QBH ＋∠QBG ＝90°，∠P AG ＝∠QBG ∴∠P AD ＝∠QBH ，∴△ADP ∽△BHQ ，∴ADBH＝P ABQ＝1n ＋1∴BH ＝n ＋1，∴CH ＝BC ＋BH ＝3＋n ＋1＝n ＋4过点D 作DM ⊥BC 于M ，则四边形ABMD 是矩形 ∴BM ＝AD ＝1，DM ＝AB ＝2 ∴MC ＝BC －BM ＝3－1＝2＝DM ∴∠DCM ＝45°，∴∠HCK ＝45° ∴CK ＝CH ·co s 45°＝22(n ＋4) ∴当PQ ⊥CD 时，PQ 的长最小，最小值为22(n ＋4) 20．（江苏常州）已知，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点（点P 异于C ，D 两点）．连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E （如图）．设CP ＝x ，DE ＝y ．（1）写出y 与x 之间的关系式________________；（2）若点E 与点A 重合，则x 的值为________________；（3）是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D ′ 落在边AB 上？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）y ＝－x2＋4x （0＜x＜4） （2）x ＝2± 2（3）经探究得：当0＜x≤2－2 或2＋2≤x＜4时，点E 在边AD 上当2－2＜x ＜2＋2时，点E 在DA 的延长线上①当0＜x ≤2－2 或2＋2≤x＜4时假设存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D ′ 落在边AB 上设直线DD ′ 交直线PE 于点H ，连接PD ′、D ′M ，延长PM 交AB 的延长线于点F∵D 与D ′ 关于直线PE 对称，∴PE ⊥DD ′，PD ＝PD ′∵PF ⊥PE ，∴DD ′∥PF 又∵AB ∥CD ，∴四边形DD ′FP 为平行四边形∴PD ＝PD ′＝D ′F ＝4－x.∵M 为边BC 的中点，∴D ′M ⊥PF∴∠CBA ＝90°，∴△D ′MB ∽△MBF ，∴ BM D ′B＝BFBM易得BF ＝PC ，∴(4－2x)x ＝1，解得x ＝2±22BPA D C E M （备用图）B P A DC E M BP A D CQ图（4）EGMHKB PADC EM D FH B P A D CEM D ′ FH。

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备战2012中考数学压题专题5
四边形
命题分析：
四边形知识是整个初中阶段很重要的知识，主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定方法等知识.
四边形的内角和、外角和定理，不规则四边形面积的求法是考查的重点，多以计算题的形式出现。

实际应用中与勾股定理、三角形面积、特殊四边形面积相联系.
利用平行四边形的性质和判定证明线段相等或角相等是中考的重点内容，常和三角形全等、相似以及圆的知识相结合来考查，有时也会把平行四边形问题与函数、方程结合来考查.是中考的必考内容.
特殊的平行四边形是中考中经常出现的，利用它们的性质求面积、周长是考查的重点，经常与方程、函数知识相结合来考查学生的应用能力.另外特殊平行四边形的问题常和平移、旋转等问题相结合，一些探索性、开放性的题目也是常见的.
押题成果：
押题1. 如图1，□ABCD 中，AC ．BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
解析：本题主要考查平行四边形是中心对称图形的性质，不管怎样分割，旋转180°后，总能找到与之重合的图形，故阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半.
答案：C
方法技巧：把△BCD 中的阴影放到△ABD 中，从而阴影的面积就转换成三角形的面积，从而问题得到解决. 押题2. 如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC
交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm
解析：对于平行四边形以及特殊的平行四边形来说，我们除了得到它们的
对边、对角、以及对角线的一些结论外，平行线的性质也不容忽视.本题利用了“平行线+角平分线”构造等腰三角形.
答案：A.
方法技巧：熟练掌握平行四边形的性质及经过分割后形成一些特殊三角形是解决此类问题的关键. 押题3. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝2，则
矩形的对角线AC 的长是（ ）
A ．2
B ．4
C ．23
D ．43 解析：矩形的地对角线相等且互相平分给我们构造了等腰三角形，所以解题过程中
要注意等腰三角形的性质的应用.同时因为矩形的的四个内角是直角，直角三角形的知识也用充分考虑.在矩形中看到“30°、60°、120°”以及“直角边等与对角线的一半”考虑等边三角形的存在.
答案：B.
方法技巧：熟练掌握特殊四边形的性质，以及可能形成的特殊三角形是解
决此类问题的基础
押题 4. 如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条
A D
C
B
图1 A
B C D
E
件： ，使得该菱形为正方形．
解析：正方形与菱形比较菱形不具备的性质：邻边互相垂直；对角线相等.因此，答题时从这两方面入手就可以.
解：AB BC ⊥或AC BD =或AO BO =等.
方法技巧：熟记各种特殊四边形的判定方法是解决问题的基础，仔细分析看看题目的条件是从什么图形开始去判定另一个图形的这很关键.如果所给条件都不能直接得到问题的答案时，需要将条件向纵深转化. 押题5. 如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使
点E 与点C 重合，得GFC △．
（1）求证：BE DG =；
（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证
明你的结论．
解析：由平行四边形的性质得到边和角的相等，由平移可得边和角的相等.所以要证明两条线段相等，可以考虑两三角角形全等.若四边形ABFG 是菱形，则AB=BF.因为菱形中有一个60°角，所以菱形最短对角线和两邻边组成等边三角形.根据等腰三角形“三线合一”得到BE =EF ，又因为BE =FC ，所以 32
BC AB =
. 答案：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =．
∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．∴CG AD ⊥．
∴90AEB CGD ∠=∠=°．
∵AE CG =，∴Rt Rt ABE CDG △≌△．∴BE DG =． （2）当32
BC AB =
时，四边形ABFC 是菱形． ∵AB GF ∥，AG BF ∥，∴四边形ABFG 是平行四边形．
∵Rt ABE △中，60B ∠=°，∴30BAE ∠=°，∴12
BE AB =． ∵32BE CF BC AB ==，，∴12EF AB =．∴AB BF =．∴四边形ABFG 是菱形． 方法技巧：题目中边、角相等的条件较多时，考虑三角形全等.分析要填加的条件时，将所给条件和所给结论都当作条件看待，当分析出条件时，将所给条件和分析得出的条件作为条件，
证明问题中的结论.
押题6. 如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图
中α∠的度数是（ ）
A ．60°
B ．55°
C ．50°
D ．45°
解析：本题考查等腰梯形的性质及镶嵌知识，观察图形，在等腰梯形的一个上底
角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于120°，所以α∠=60°.
解：A.
方法技巧：部分学生对于本题不易找到解题思路，不能完整解答，通常是进行猜测.突破方法：牢牢抓住图中是六块全等的等腰梯形，因而各对应底角相等.本题解题关键：以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析，三个相等的底角和为360度，所以每个上底角等于120度，下底角为60度.
押题6图。

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