第27讲最小公倍数(二)
巧求最小公倍数
巧求最小公倍数：（1）倍数查找法例如，求6和9的最小公倍数。
分别求出要求最小公倍数的那几个数的一些公倍数，从中找出相同的且最小的一个。
6的倍数有：6、12、18、24……9的倍数有：9、18、27、36……则［6，9］＝18。
（2）约分法（证明略）例如，求84与36的最小公倍数。
［84，36］＝3×84＝252或36×7＝252经逐次约分后，分数线上下形成了两列数，从这两列数的“头乘头或尾乘尾”即可得出原先两个数的最小公倍数。
（3）短除法［15，30，40］＝5×3×2×4＝120。
用短除法求最小公倍数最好用质数去试除，否则易出错。
如：∴［15，30，40］＝10×3×5×4＝600。
因为用合数去除，相当于用2除再用5除，而15虽然不能被10整除，却可以被5整除。
如果用10去除，就少用5去除，使结果扩大5倍。
这是错误的。
此法也不是非要用质数去试除不可。
例如，下面两式都是对的。
2×2×3×5×44×3×5×4=240 ＝240这是因为12、60和16既有公约数2，也有公约数4。
用较大的公约数去除，能减少运算步骤，应灵活选用。
（4）归类法成倍数关系的几个数，最大的那个是它们的最小公倍数。
例如，12、15和60成倍数关系，即12与15分别是60的约数。
则［12，15，60］＝60如果三个数两两互质，其积是它们的最小公倍数。
例如，3、4和5，3和4、3和5，4和5都是互质数。
则［3，4，5］＝3×4×5＝60。
如果三个数当中只有两个数是倍数关系，那么其中较大的数与另外一个数的最小公倍数，就是这三个数的最小公倍数。
例如，8和4是倍数关系，较大数8和3的最小公倍数是24。
则［8，4，3］＝24。
（5）翻倍法当几个数之间不存在倍数关系或互质关系，要找它们的最小公倍数时，用两个（或两个以上）数中较大的那个数依次乘以2、3、4、5……求得“最先积”如果是另一个数（或另几个数）的倍数时，这个“最先积”就是所求的最小公倍数。
公倍数和公因数
泛美国际教育2015年五年级春季班讲义公倍数和公因数【知识要点】1、熟练运用短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数；2、会用短除法求三个数的最小公倍数；3、理解公倍数和公因数的关系，运用公倍数和公因数的关系解决实际问题。
【题型精讲】重难点一：求两个数的最小公倍数例1求9和12的最小公倍数求6和14的最小公倍数（用短除法）9 12例2求下面各组数的最小公倍数12和16 20和3 24和12 10和21 7和9 6、12和15巩固拓展1、学校运来一批树苗，如果每行栽8棵或每行栽10棵，都恰好能栽成整行数，这批树苗至少有多少棵？2、1路和2路公共汽车早上七点同时从起始站出发，1路车每7分钟发一辆车，2路车每8分钟发一辆车，列表找出这两路车同时发车的时间，最近的一次是什么时候？3、某公共汽车站有三条线路的公共汽车，第一条线路每隔5分钟发一次车，第二条线路每隔10分钟发一次车，第三条线路每隔8分钟发一次车，下次三条线路同时发车是多少分钟之后？4、有一堆水果，按4个一堆分少一个，按5个一堆分也少一个，按6个一堆分还少一个，这堆水果至少有多少个？5、有一堆糖果，5个一堆分多4个，6个一堆分多5个，7个一堆分多6个，这堆糖果至少有多少个？重难点二：求两个数的最大公因数例3求18和12的最大公倍数求26和52的最大公倍数（用短除法）18 12例4求下列两个数的最大公倍数3和14 22和66 42和63 18和27 27和54 25和40巩固拓展6、有三根铁丝，分别长16m、24 m、32 m，要把这三根铁丝截成同样长的若干小段，三根铁丝都不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以截成多少段？7、学校买来160枝圆珠笔，128册故事书和96本练习本？在每份奖品中，圆珠笔、故事书和练习本各多少？8、现有100枝玫瑰花，80枝康乃馨和60枝苍兰，要配成同样的花束，最多可以配多少束？每束中三种花各有几枝？9、张老师把35枝铅笔盒40本练习本分别平均奖给若干个三好学生，结果练习本差2本，铅笔正好，你知道三好学生最多有几人吗？命题：泛美国际教育数学教研组命题：泛美国际教育数学教研组24分米33分米重难点三：最小公倍数和最大公因数的关系例 5 求12和18的最小公倍数和最大公因数，观察最小公倍数和最大公因数的关系； 12和18的最小公倍数： 12和18的最大公倍数：巩固拓展 10、 两个自然数的最大公因数是14，最小公倍数是84，已知其中一个数是28，另一个数是多少？11、 已知两个数的乘积是11532，它们的最大公因数是31，它们的最小公倍数是多少？ 12、 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225，其中的一个数是45，另一个数是多少？13、 已知两个数的乘积是11532，它们的最大公因数是31，求这两个数；14、 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225，这两个数分别是多少？ 15、 两个数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144，这两个数各是多少？重难点四：用最小公倍数和最大公因数解决实际问题例 6 父子两人在雪地里散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，在120米内一共留下多少个脚印？例 7 园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树，一共栽了74棵，现在要改成每隔6米载一棵树，那么不用移动的树共有多少棵？（每边两头都载）16、 两根长绳，一根长18米，另一根长26米，要截成长度一样且没有剩余的跳绳（每根跳绳的长度的米数都是整米数），每根跳绳最长是多少米？ 17、小红家的厨房要铺方砖（如下图），有两种规格的方砖：一种边长为3分米，另一种边长为4分米，铺哪种规格的方砖最合适，既没浪费，也没破损？18、一个长方形的宽是13与52的最大公因数（单位：厘米），长是6与8的最小公倍数（单位：厘米），这个长方形的面积是多少平方厘米？19、把47个苹果和39个橘子分别平均分给学校绘画小组的同学，结果苹果剩2个，橘子剩4个，绘画小组最多有多少位同学？20、 小明原有故事书的本数是小华的6倍，两人又各买2本以后，小明故事书的本数是小华的4倍，两人原来各有故事书多少本？。
第二讲—最大公因数和最小公倍数(教案)
2、春节看望干部,买320个苹果,240个橘子,200个梨,把这些果品全部分成同同样的礼物,最多可分多少份?在每份礼物中,苹果橘子梨各多少?
例题1、直接写出每组的最大公因数。
（1）3和12 14和7 12和6 16和2
（2）1和4 2和9 3和5 15和7
【巩固拓展】
1、求出每组数的最大公因数。
12和30 52和12 35和25 24和36 51和17 91和26
重难点2：求两个数、三个数或者多个数的最小公倍数
例1、找出每组数的最小公倍数。
【巩固拓展】
练习1：林工人在公路的一旁栽树共6棵，每隔4米栽了一棵。现在要改成每隔6米栽一棵树，如果起点的一棵树不移栽，那么不用移栽的树共有多少棵？
重难点六:其它题目
例题1、
自然数按因数个数的多少可以分成（ ）、（ ）和（ ）。
一个数既是72的因数，又是4的倍数，这个数可能是（）。
例题2、求有特殊关系的两个数的最大公因数和最小公倍数。
例题4、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？
练习：学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？
例题5、每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？
例题2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
公因数与公倍数
第次课讲义上课时间：教师：学生：家长签字：本次课主要内容：公因数与公倍数复习一、公因数与公倍数的定义1、公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3、互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。
二、公因数与公倍数的求法例1. 分别求出下列各组数的公因数与公倍数。
12和18 15和30 5和6 解：（1）12的因数有（1、2、3、4、6、12）； 12的倍数有（12、24、36、48、60、72……）；18的因数有（1、2、3、6、9、18）； 18的倍数有（18、36、54、72、90……）；12和18的公因数是（1、2、3、6）； 12和18的公倍数是（36、72……）；其中最大的公因数是（6）。
其中最小的公倍数是（36）。
试一试（2）15的因数有（）； 15的倍数有（）；30的因数有（）； 30的倍数有（）；15和30的公因数是（）； 15和30的公倍数是（）；其中最大的公因数是（）。
其中最小的公倍数是（）。
（3）5的因数有（）； 5的倍数有（）；6的因数有（）； 6的倍数有（）；5和6的公因数是（）； 5和6的公倍数是（）；其中最大的公因数是（）。
其中最小的公倍数是（）。
三、用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数。
例2. 分别求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
12和30 91和21 12、20和24解：（1）12和30的最大公因数是2×3＝6； 91和21的最大公因数是7； 12、20和24的最大公因数是2×2×3＝12；最小公倍数是2×3×2×5＝60。
最小公倍数是7×13×3＝273。
最小公倍数是2×2×3×5×2＝120。
注意：用短除法求最大公因数或最小公倍数时，要除到商的每两个数是互质数为止。
求最小公倍数+法
求最小公倍数＋法作者：徐德涵林青来源：《小学教学参考(数学)》2007年第04期一、列举倍数法要求两个数的最小公倍数，可先分别列举出每个数的1倍数、2倍数、3倍数……然后从中找出它们的最小公倍数。
例1 求18和24的最小公倍数。
解：因为18的倍数有：18、36、54、72、90、108、126、144……24的倍数有：24、48、72、96、120、144……所以由最小公倍数的概念知[18，24]=72。
列举倍数法适用于求两个以上数的最小公倍数，该法一般在讲述几个数的公倍数、最小公倍数的概念时使用。
二、分解质因数法要求两个数的最小公倍数，可先分别把每个数分解质因数，写成标准分解式。
为了使两个数的质因数一致，可以乘上某个质因数的零次幂，然后取出它们公有的一切质因数，并且对每个相同的质因数的指数取较大值。
最后将取出的质因数的指数幂连乘起来，乘积就是这两个数的最小公倍数。
例2 求2940和756的最小公倍数。
解：因为2940=22×3×5×72，756=22×33×50×7，所以[2940，756]=22×33×5×72=26460。
分解质因数法适用于求两个以上数的最小公倍数。
三、提取公因数法例3 求108和204的最小公倍数。
解：[108，204]=4×[27，51]=4×3×[9，17]=1836提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：(1)先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取(此时所得的商互质，但不一定两两互质)；(2)再在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止；(3)最后把提取出的各数及各商数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数。
四、短除法用短除法求两个以上数的最小公倍数时。
先用这几个数公有的一切质因数(可以从小到大)连续去除，再用其中的几个数公用的质因数去除，直到各商两两互质为止，然后把所有的除数和各商数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数。
人教版数学五年级下册第1课时 最小公倍数课件
A.最大公因数 B.最小公倍数 C.公因数
2.两个数的公倍数一定是这两个数（ A ）。
A.倍数 B.因数 C.公倍数
3. a，b是不为 0 的自然数，已知 a ÷ b ＝ 5，
那么 a 和 b 的最小公倍数是( B )。
A.5
B.a C.b
4. 100 是 25 和 50 的 ( C ).
其中最小的公倍数，叫做它们的 最小公倍数。没有最大的公倍数。
把3和4的倍数、公倍数填在相应 的位置，并圈出它们的最小公倍数。
最小公倍数
3、6、9、 15、18、21、
12、 24、
27、30、33……36…
4、8、16、 20、28、
40……
3的倍数 4的倍数
三、自主探索，解决问题 怎样求 6 和 8 的公倍数及最小公倍数?
你还有其他方法吗？和同学讨论一下。
我们也可以利用分解质因数的方法， 比较简便地求出两个数的最小公倍数。
60和42
60=2×2×3×5 最小公倍数：
42=2×3×7
2×3×2×5×7 =420
2 60 42 …用公有的最质小因公数倍2数除： 3 30 21 …用公有的2×质3因×数103×除7 =420
A.最小公倍数 B. 最大公因数 C.公倍数
5.两个数的( B )的个数是无限的。
A.最小公倍数 B. 公倍数 C.公因数
四、在括号里写出每组分数的两个分母的最小公 倍数。
5 和 5（ 72 ） 7 和 2（ 72 ） 9 和 8（ 100 ）
18 24
89
20 25
7 和 4（ 60 ） 1 和 3（240 ） 3 和 5（ 42 ）
求最小公倍数有 哪些方法呢？
小学数学西师版五年级下册《公因数+公倍数》教案1
小学数学西师版五年级下册 《公因数、公倍数》教案 教学内容 教材第12～13页。 教学目标
1、两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法。 2、两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法。 3、最小公倍数与最大公因数的应用 4、用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。 重难点透视
了解最小公倍数、最大公因数的含义并会应用他们解决实际问题。 为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备 教学过程
导入：对于象6既是2的倍数，又是3的倍数，如果让你给它起个名字，应该叫什么呢？公倍数在实际生活中到底有什么作用呢?这就是我们就要研究的内容。 一、两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法 1、顺次写出：5个2的倍数；和5个3的倍数。 2、观察2和3的倍数，你发现了什么？ 例1：（1）思考猜想：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米、8厘米的正方形，能铺满哪个正方形？ （2）通过操作的活动，你们发现了什么？ 3、引导：⑴用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺边长6厘米的正方形，每条边各铺了几次？怎样用算式表示？ ⑵铺边长8厘米的正方形呢？每条边都能正好铺满吗？ 根据刚才铺正方形的过程，在头脑里想一想，用3厘米、宽2厘米的长方形纸片都能正好铺满边长多少厘米的正方形？ 4、揭示概念。 讲述：6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。 说明：因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的，同样可以用省略号表示。 例2：（1）6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？你能试着找一找吗？ 预设的方法有： ①依次分别写出6和9的公倍数，再找一找。 ②先找出6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。 ③先找出9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。 5、点拨：（1）你是怎样找到6和9的公倍数的？又是怎样确定6和9的最小公倍数的？ （2）②和③有什么相同的地方？哪一种方法简捷些？ （3）明确6和9的公倍数中最小的一个是18，指出：18就是6和9的最小公倍数。 6、用集合图表示。 （2）指导学生填集合图，引导：12是6和9的公倍数吗？为什么？27呢？哪几个数是6和9的公倍数？ 练一练： 1、在2的倍数上面画上“ ”，在5的倍数上面画上“ ” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
第2讲最大公约数与最小公倍数
第二讲 最大公约数与最小公倍数一 基础知识与典型例题知识点1.约数与倍数:若|b a ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数.知识点2.最大公约数：设c b a ,,, 是（有限个）不全为零的整数，则同时整除c b a ,,, 的整数叫做它们的公约数，非零整数的约数有有限个，故c b a ,,, 的公约数有有限个，其中必有一个最大的，我们称它为c b a ,,, 的最大公约数.记为()c b a ,,.例1.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数.知识点 3.最小公倍数:同时是c b a ,,, 的倍数的整数称为它们的公倍数,最小的正的公倍数叫做最小公倍数,记为[]c b a ,,, .知识点4.素数与合数：一个大于1的整数m ，如果它仅有1和m 这两个约数，则称m 是素数（或质数）；如果它除了1和m 之外还有其他的约数，即m 可表示为b a ⋅的形式,则称m 是合数.1既不是素数，也不是合数.知识点5.素数的性质：(1) 大于1的整数必有素因子(2) 素数与合数都有无数个(3) 既为偶数又为素数的正整数只有一个,它就是2.(4) 设p 为素数,n 是任意整数,则或者n p ,或者()1,=n p(5) 若p 是素数，且|p ab ，则|p a 或|p b ；(6) 若p 是素数，且p ab =，则p a =或p b =；例2.求所有这样的素数,它既是两素数之和,同时又是两素数之差.例3.求三个素数,使得它们的积为和的5倍.例4.设p 是素数，整数z y x ,,满足p z y x <<<<0，若333,,z y x 除以p 的余数相等. 证明：222z y x ++可以被z y x ++整除.知识点 6.欧几里得算法:设b a ,为整数,0>b ,按下述方式反复作带余除法,有限步之后必然停止(即余数为零):用b 除a 得:b r r bq a <<+=0000,;用除b 得:011100,r r r q r b <<+=;用1r 除0r 得:1222100,r r r q r r <<+=;…用1-n r 除2-n r 得:1120,---<<+=n n n n n n r r r q r r ;用n r 除1-n r 得:0,1111=+=+++-n n n n n r r q r r ;则()()()()n n n r r r r r r b b a =====+1100,,,, .特殊的:若r bq a +=,则()()r b b a ,,=.即()()bq a b b a -=,,.知识点7.裴蜀等式设b a ,是整数,且()b a d ,,则()d b a =,的充要条件是存在整数v u ,,使得d vb ua =+. 例5.求下面各组数的最大公约数.(1)36,138==b a ;(2)1859,1573a b ==;(3)108,72,48321===a a a ; 例6.设n 是正整数,证明:(1)()1314,421=++n n ;(2)()()11!1,1!=+++n n知识点8.最大公约数和最小公倍数的性质:(1) a 和b 的任一公约数都是它们最大公约数的约数.a 和b 的任一公倍数都是它们最小公倍数的倍数.(2) 若|b a ，则(,)a b b =，[,]a b a =.(3) +∈N m ,则()()b a m bm am ,,=,[][]b a m bm am ,,=.(4) 若n 是b a ,的公约数，则(,)(,)a ba b n n n =，[,][,]a b a b n n n=. (5) 设n a a a ,,,21 是任意n 个正整数.① 如果()()()n n n c a c c a c c a a ===-,,,,,,1332221 ,则()n n c a a a =,,,21 . ② 如果[][][]n n n m a m m a m m a a ===-,,,,,,1332221 ,则[]n n m a a a =,,,21 .(6) 对任意的正整数,a b ,()[]ab b a b a =,,,若()1,=b a ,则[]ab b a =,.(7) 若|a bc ，且(,)1a b =，则|a c . (8) 若|a c ，|b c ，且(,)1a b =，则|ab c .(9) 若()1,=b a ,则()()b c b ac ,,=. (10) 若[,]a b m =，则(,)1m m a b=. (11) 若b a ,均与m 互素,则ab 也与m 互素.一般的,如果n a a a ,,,21 均与m 互素,则n a a a 21也与m 互素.例7.已知()[]144,,6,==b a b a ,求b a ,.例8．数列1001,1004,1009的通项是10002+=n a n ,其中+∈N n ,对每一个n ,用n d 表示n a 与1+n a 的最大公约数,求n d 的最大值,其中n 取一切正整数.例9.正整数a 和b 互素,证明:b a +与22b a +的最大公约数等于1或2.例10.两数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120,求这两个数. 例11.若在各项都是正整数的数列{}i a 中,对于任何j i ≠,都有()()j i a a j i ,,=. 证明:对一切N i ∈,都有i a i =.知识点9. 因数分解定理（算术基本定理）：每个大于1的正整数均可分解成有限个素数的积,如果不计素因数在乘积中的次序,则其分解方式是唯一的.即k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.知识点10.n 的约数的标准分解：设n 的标准分解为: k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.则正整数d 是n 的约数的充分必要条件是:其标准分解为: k k p p p d βββ 2121=,其中k i i i ≤≤≤≤1,0αβ.知识点11.n 的正约数的个数及正约数的和记:()n r 表示n 的正约数的个数, ()n δ表示n 的正约数的和,且k k p p p n ααα 2121=,则有:()()()()11121+++=k n r ααα ,()111111121211121----⋅--=+++k k p p p p p p n k αααδ 知识点12.n 为完全平方数的充要条件是()n r 为奇数.知识点13.n ！的标准分解:设α是n ！的标准分解中出现的p 的幂,则∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=α1i i p n由于当m p i >时,0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i p n ,所以上式中的和只有有限多个项不为零. 例12.求自然数N ,使它能被5和49整除,并且包括1和N 在内,它共有10个约数.例13.数20！有多少个正整数的因数?二 巩固练习1.若12+n是质数)1(>n ,则n 是2的方幂.2.求正整数b a ,.使得()[]144,,24,,120===+b a b a b a .3.证明：若n 是正整数，则()1314,421=++n n .4.设c b a ,,是正整数,证明:[]()abc ca bc ab c b a =⋅,,,,.5. 设b a ,是正整数，证明：()[][]b a b a b a b a +⋅=⋅+,,. (,)(,)(,).a b a a b b a b +=+=提示：6.写出51480的标准分解式.7.求!12,!15,!20的标准分解式.。
五年级下册《4.8 最小公倍数》课件(两套)
答：这堆糖至少有12颗。
如果这些学生的总人数在40人以内，可能是多少人？
咱们可以分成6人一组，也 可以分成9人一组，都正好 分成。
本题求的是6和9的40以内的公倍数。 6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，… 9的倍数：9，18，27，36，45，… 所以40以内6和9的公倍数有18，36 。 答：可能是18人或36人。
所以18和27的最大公因数是3×3×2×3=54。
如果用这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖必须 都是整块），正方形的边长可以是多少分米？ 最小是多少分米？
铺法一：
我第一行摆了2个长方形，摆了这样的3行，拼 成了一个边长是6dm的正方形。
3dm 2dm
3dm
3dm
2dm
2dm
2dm
铺法二：
我第一行摆了4个长方形，摆了这样的6行，拼 成了一个边长是12dm的正方形。
3和6 2和8 5和6 4和9 3和9 5和10 学生独立完成后，小组内进行交流。 总结提升规律：如果两个数互质，最小公倍数是它们的乘积；
如果两个数是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数。 3. 两个数的最小公倍数是12，这两个数可能是（ 3 ）和（ 4 ）。
四、反思回顾，提升认识
通过今天的学习你有什么收获？你还有什么问题吗？
五、布置作业
作业：第71页练习十七，第1题、第2题、 第3题、第5题。
分数的意义和性质
例3 最小公倍数
一、创设情境，引出研究问题
如果用这种墙砖铺一个正方形 （用的墙砖必须都是整块）， 正方形的边长可以是多少分米？ 最小是多少分米？
1. 请仔细看看小明家装修的要求，你获得了哪些有价值的信息？ ①要用这种长是3dm，宽是2dm的墙砖铺一个正方形。 ②使用的墙砖必须都是整块的，不能切割开用半块的。 ③问题是铺好的正方形的边长可以是多少分米，最小是多少分米？
第五讲最大公因数与最小公倍数(二)解答【五竞】
第九讲最大公因数与最小公倍数(二) 知识导航因数和倍数在小学数学竞赛中占有重要的地位。
这一讲我们来继续学习有关因数与倍数更深入的知识，研究最大公因数、最小公倍数与原数的关系。
定理1:两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
即如果((a} b)=d，那(a÷d,b÷d)=1.定理2:两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。
(a，b)×[a,b」=ab.定理3:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
定理4:一个数的因数个数等于该数的相同质因数的个数加1的和的乘积。
如48=24×3,48的因数有(4+1)×(1+1)=10个。
典型例题例1:两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18,最小公倍数是216。
这两个数是多少?【分析】设这两个数为A和B，且A=18a,B=18b，a、b互质。
得18ab=216,ab=12.因为a与b互质且不成倍数关系，12=3×4.A=18×3=54; B=18×4=72;答：这两个数是54和72.例2:两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。
【分析】设这两个数为A和B，且A=13a,B=13b，a、b互质。
得13a×13b=2028,169ab=2028.ab=12,因为a与b互质且两个数小于150，12=3×4.A=13×3=39; B=13×4=52;答：这两个数是39和52.例3:两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少?【分析】设这两个数为A和B，且A=6a,B=6b，a、b互质。
根据最小公倍数是420，得6ab=420,ab=70.因为a与b互质，70=1×70=2×35=5×14=7×10.根据两数差是18得：6a-6b=18，a-b=3, a=10,b=7A=6×10=60; B=6×7=42;答：这两个数是60和42.例4:甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126。
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1
最小公倍数（二）
专题简析：
最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是
已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方
法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最
小是多少？
分析 根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被
10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到
所求的数了。
[10，7，4]=140
140－3=137
即：这个自然数最小是137。
练习一
1，学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，
11人一行也余2人。六年级最少多少人？
2，一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？
2
3，一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖
至少有多少块？
例题2 有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2
个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱
只有30个。这批水果共有多少个？
分析 根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一
箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正
好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，
再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672
672－2=670（个）
即：这批水果共有670个。
练习二
1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这
所学校至少有多少人？
3
2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、
8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？
3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装
了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种
桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克
油？
例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多
14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？
分析 由已知条件可知：这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公
倍数。换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。我们可以先求4、6、
15的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出
这盒棋子数。4、6、15的最小公倍数是60。
60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。
4
练习三
1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批
树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。
2，五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组
多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？
3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。这批水果至
少有多少个？
例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线
杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，
中途还有多少根不必移动？
5
分析 从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开
始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数
是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6，
就是6根不必移动。去掉最后一根，中途共有5根不必移动。
练习四
1，插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果
起点一面不移动，还可以有几面不移动？
2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树，
由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必
移动？
3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。
后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现
一共有5面彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？
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例题5 在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了
10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成
多少段？
分析 因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。三
种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷
15=4厘米。因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60
÷30－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。因此，木棍总共被锯成（10＋12
＋15－2）－1－2－4=28段。
练习五
1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把
棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，
一共锯成多少小段？
2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。
在120米内一共留下多少个脚印？
3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，
黄气球每隔4米挂一个，。如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，
那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？