几类平均值不等式的应用
均值不等式在生活中的应用
均值不等式在生活中的应用
平均值不等式是一种重要的数学不等式，它的应用非常广泛，在生活中也有着重要的作用。
首先，平均值不等式可以用来分析一组数据的分布情况，它可以用来确定一组数据的中位数、众数、最大值和最小值等。
例如，在一组数据中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来确定这组数据的中位数、众数、最大值和最小值。
其次，平均值不等式可以用来分析一个系统的稳定性。
例如，在一个系统中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来分析这个系统的稳定性，从而判断这个系统是否稳定。
此外，平均值不等式还可以用来分析一个系统的可靠性。
例如，在一个系统中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来分析这个系统的可靠性，从而判断这个系统是否可靠。
最后，平均值不等式还可以用来分析一个系统的效率。
例如，在一个系统中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来分析这个系统的效率，从而判断这个系统的效率是否达到预期的要求。
总之，平均值不等式在生活中有着重要的作用，它可以用来分析一组数据的分布情况，也可以用来分析一个系统的稳定性、可靠性和效率等。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
均值不等式
解
(1)∵x<0，∴－x>0， 4 4 ∴f(x)＝2＋ ＋x＝2－[ + (－x)]. x －x 4 ∵－ ＋(－x)≥2 4＝4， x 4 当且仅当－x＝ ，即 x＝－2 时等号成立. －x 4 ∴f(x)＝2－[ + (－x)]≤2－4＝－2， －x ∴f(x)的最大值为－2. 1 1 (2)∵x>1，∴x－1>0，∴f(x)＝x＋ ＝x－1＋ ＋1 x－1 x－1 1 ≥2 (x－1)· x－1＋1＝2＋1＝3. 1 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝2 时，等号成立. x－1 ∴f(x)的最小值为 3.
均值不等式及其应用
第一课时
授课人：
设置情境 导入新知 ：
有甲、乙两个超市同时 进行降价活动，分别采 用两种降价方案： 甲超市第一次打m折销 售，第二次打n折销售; 乙超市两次都(m+n)/2 折销售。 请问：哪个超市的价格 更优惠?
3
课堂小结
定理
ab 如果a、b是正数，那么 2
（当且仅当a=b是取等号）
1 (3)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ · (2－5x)， 5x· 5 2 ∵0<x< ，∴5x<2,2－5x>0， 5 5x＋2－5x 2 ∴5x(2－5x)≤ ＝1， 2 1 ∴y≤ ，当且仅当 5x＝2－5x， 5 1 1 即 x＝ 时，ymax＝ . 5 5 探究提高 利用均值不等式求最值时，必须注意三
得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知 x>1，y>9， 而 x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 (x－1)(y－9)＋10＝16. 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16. 5 (2)∵x< ，∴5－4x>0， 4 1 1 ∴y＝4x－2＋ ＝－5－4x＋ ＋3≤－2＋3＝1， 5－4x 4x－5
平均不等式
平均不等式
平均不等式，又名平均值不等式、均值不等式，是数学中的一个重要公式。
平均不等式的证明：
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则（A+B）^n≥A^n+nA^（n－1）B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0。
平均值不等式公式：
平均值不等式公式四个分别是Hn、Gn、An、Qn，即平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数，公式表达分别是（a²+b²）/2、（a+b）²/4、ab、（1/a+1/b）²/4。
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，且均值不等式的内容指的是Hn≤Gn≤An≤Q，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式常见题型整理
均值不等式 【2 】一、 根本常识梳理1.算术平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的几何平均值3.主要不等式：假如a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理：假如a ﹑b ∈R +,那么2a b+≥(当且仅当a=b 时,取“=”)均值定理可论述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.应用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.留意三个前提：“一正,二定,三相等”即：（1）各项或各因式非负;（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值.6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.有时为了达到应用均值不等式的前提,须要经由配凑﹑裂项﹑转化﹑分别常数等变形手腕,创设一个应用均值不等式的情景.二、 常见题型：1.分式函数求最值,假如)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的情势,且)(x g 在界说域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可应用均值不等式来求最值. 例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y2.题在给出和为定值,乞降的最值时,一般情形都要对所求式子进行变形,用已知前提进行代换,变形之后再应用均值不等式进行求最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且,求b a +的最小值. 解法一：169210991=+≥+++=+b a a b b a 思绪二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的前提均为12,4==b a .此类题型可扩大为：设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求321111a a a S ++=的最小值.)111)((1321321a a a a a a m S ++++=)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=m m 9)2223(1=+++≥,等号成立的前提是321a a a ==.3.题中所求的式子中带有根式,并且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情形都给出来x 的取值规模,依据取值规模来进行逆向转换. 例：求函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思绪：因为所给函数的情势为无理式,直接求解较艰苦,从所给区间]3,21[∈x 入手,可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或3=x 时取等号）,睁开此式评论辩论即可. 解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2m in =y4.不等式的变形在证实进程中或求最值时,有普遍应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或b a ab -≥-11. 例：已知a,b,c 均为,求证：c b a a c c b b a ++≥++222.证实：c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222,c b a a c c b b a a c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(222总之,均值不等式是高中数学的主要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用办法.在应用均值不等式时,不论如何变形,均需知足“一正二定三相等”的前提.【巩固演习】1.若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=2最值. 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2.求函数)0(132<++=x x x x y 的值域. 答案：[-3,0]3.已知正数y x ,知足,12=+y x 求y x 11+的最小值.答案：223+4.已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=y x S 的最小值.答案：295.若)0](,1[>∈a b a x ,求x b x ab y -+=)1(的最小值.答案：a6.设c b a ,,为整数,求证：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.三.应用不等式解题的典范例题解析：题型一：应用均值不等式求最值（值域）例1.（1）已知0>x ,求x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ,求x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1.若R x ∈,求x x x f +-=34)(的值域2.函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1.已知0,0>>y x 且191=+y x ,求y x +的最小值2.R x ∈,求1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3.当b a x ,,10<<为正常数时,求x b x a y -+=122的最小值 变式3：1.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点,若点A 在直线01=++ny mx 上,个中0>mn ,则n m 21+的最小值为2.求2)3(222++=x x y 的最小值为3.已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1.已知y x ,都是正实数,且053=+-+xy y x（1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值题型二：应用均值不等式证实不等式例2.已知R c b a ∈,,,求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1.已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证：c b a c ab b ac a bc ++>++2.已知R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：31222≥++c b a3.已知1,0,0=+>>b a b a ,求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
课件2：2.2.4 第1课时 均值不等式
(2)已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c. [证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bac＞0，abc＞0，acb＞0. 则bac＋abc≥2 aabbc2＝2c，bac＋acb≥2b，abc＋acb≥2a. 由不等式的性质知，2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)，∴bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
2．2.4 均值不等式及其应用 第 1 课时 均值不等式
内容标准
学科素养
1.探索并了解均值不等式的证明过程． 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小． 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.
直观想象 逻辑推理
[教材提炼] 知识点 均值不等式 1.给定两个正数 a，b，数a＋2 b称为 a，b 的算术平均值，数 ab称为 a，b 的几何平均 值． 2．如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中， 正方形 的面积最大．
课后·素养培优 一、千变万化，不离其宗 ►逻辑推理 均值不等式的几种常见变形及结论 (1)a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)； (2)ab≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (3)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥2(ab＞0)；
(5)a＋ak≥2 k(a＞0，k＞0)；
(6)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
方法提升 利用均值不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数 的性质(单调性)． (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足 a＞0，b＞0.
同源异考 重点触类旁通
设 M＝a＋a－1 2(2＜a＜3)，N＝x(4 3－3x)0＜x＜433，则 M，N 的大小关系为(
2.2.4 均值不等式及其应用
2
(+)
2.怎样比较 a2+b2, 2 ,2ab 三者的大小关系?
2
(+)
提示:a2+b2≥ 2 ≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差法
即可证明.
一
二
三
3.做一做
已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.利用均值不等式求范围或最值时要注意:
(1)x,y一定要都是正数.
(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应
看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够成立.
2.有时需结合题目条件进行添项、凑项以及“1”的代换等,目的是
为了使和或积为常数.
+ ≥2a(当且仅当 b=c 时取等
号), + ≥2b(当且仅当 a=c 时取等号),三式相加得 2 + +
≥2(a+b+c),即 + + ≥a+b+c.(当且仅当 a=b=c 时取等号)
反思感悟1.多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;
4-5
1
1
(2)已知 0<x<2,求 y=2x(1-2x)的最大值;
2
(3)已知 x>0,求 f(x)=2 +1的最大值;
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是数学中的一种基本不等式，它可以用来描述一组数的平均值与它们的不等关系。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结论和推论，应用于不同的数学问题中。
让我们来看一个简单的例子。
假设有两个正数a和b，我们可以用算术平均值和几何平均值来表示它们，即(a+b)/2和√(ab)。
根据均值不等式的原理，我们知道算术平均值大于等于几何平均值，即(a+b)/2 ≥ √(ab)。
这可以用来证明许多不等式，比如当a和b为正数时，有a+b ≥ 2√(ab)。
除了上述的算术平均值和几何平均值之外，还有其他形式的均值不等式。
例如，对于一组正数x1，x2，...，xn，我们可以定义它们的调和平均值为n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)。
根据均值不等式，我们知道调和平均值小于等于几何平均值，即n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) ≤ √(x1x2...xn)。
这个不等式在概率论和统计学中有重要的应用。
除了正数之外，均值不等式也适用于其他类型的数，比如实数和复数。
对于实数，均值不等式可以用来证明很多有趣的结果，比如当a和b为实数时，有|a+b| ≤ |a|+|b|。
对于复数，均值不等式可以用来证明柯西不等式，它是线性代数中的一个重要结果。
除了上述的应用，均值不等式还可以用来证明其他数学问题的解，比如最优化问题和不等式证明。
在最优化问题中，我们可以通过均值不等式来找到一个函数的最大值或最小值。
在不等式证明中，我们可以通过均值不等式来证明两个数的大小关系或不等式的成立。
均值不等式是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和重要的理论意义。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结果和推论，帮助我们解决各种数学问题。
在实际应用中，我们可以利用均值不等式来优化函数的性质，证明不等式的成立，以及推导其他数学公式和结论。
通过深入学习和理解均值不等式的原理和应用，我们可以提高数学问题的解决能力，并在数学领域取得更好的成绩。
均值不等式使用条件
均值不等式使用条件
均值不等式是数学中的一种基本不等式，它在许多领域都得到广
泛应用。
使用均值不等式时，需要满足一定的条件，才能保证得到正
确的结果。
首先，均值不等式通常用于求解一组数的平均值大小，因此所求
的数必须是实数。
其次，均值不等式分为算术均值不等式、几何均值
不等式和调和均值不等式三种形式。
在使用不同形式的均值不等式时，要注意所求数的性质和要求的结果。
此外，在使用均值不等式时，需要满足一定的条件，比如所求的
数必须为非负数，或者必须满足某些大小关系等。
例如，对于算术均
值不等式，要求所求数为非负数，因为算术均值只有在非负数情况下
才有意义。
最后，要注意不等式的方向。
均值不等式通常是左边的表达式大
于等于右边的表达式，但有时也会相反。
因此，在使用不等式时，要
注意其正确的方向，以便得到正确的结果。
总之，均值不等式使用条件包括数的类型、均值类型、数的性质
和大小关系以及不等式的方向等。
只有满足这些条件，才能正确地使
用均值不等式，得到正确的结果。
均值不等式在解三角形问题中的应用
均值不等式在解三角形问题中的应用在数学中，均值不等式是一种常见的不等式，它可以被广泛地应用于各种数学问题中，包括三角形几何。
均值不等式提供了一种有效的方法来解决三角形中的一些问题，特别是在涉及到三角形的边长、角度或面积时。
在本文中，我们将探讨均值不等式在解三角形问题中的应用，并举例说明其在实际问题中的作用。
首先，让我们回顾一下均值不等式的基本概念。
均值不等式是指对于任意一组非负实数，它们的算术平均数永远不会小于它们的几何平均数，这就是均值不等式的基本形式。
具体而言，对于任意一组非负实数 a1, a2, ..., an，均值不等式可以表示为：( a1 + a2 + ... + an ) / n ≥ ( a1 a2 ... an )^(1/n)。
这个不等式告诉我们，对于给定的一组非负实数，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。
这个性质在三角形几何中有着重要的应用。
在三角形中，我们经常需要比较三角形的边长、角度或面积。
均值不等式可以帮助我们对这些量进行比较，并且在解决一些三角形问题时提供了简洁而有效的方法。
例如，我们可以利用均值不等式来证明三角形中任意两边之和大于第三边的基本不等式。
假设 a, b, c 分别表示三角形的三条边长，根据均值不等式，我们有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。
(b + c) / 2 ≥ √(bc)。
(c + a) / 2 ≥ √(ca)。
将以上三个不等式相加得到：(a + b + c) / 2 ≥ √(ab) + √(bc) + √(ca)。
这个不等式告诉我们，三角形的任意两边之和不会小于第三边。
这是三角形中一个非常重要的性质，而均值不等式为我们提供了一个简洁的证明方法。
除了边长之和的比较外，均值不等式还可以在三角形的角度或面积比较中发挥作用。
例如，我们可以利用均值不等式来证明三角形内角的平均值大于60度，或者证明三角形的面积与边长之间的关系。
这些都是三角形几何中常见的问题，而均值不等式为我们提供了一种简单而有效的方法来解决这些问题。