安徽中考数学专题复习(二)：几何图形动点问题(34张PPT)

12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3 ，即PD＋
PE的最小值为2 3 .
类型3 同侧差最大值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延 长，与直线l的交点即为点P.
类型一 最值问题
[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]
一、利用垂线段最短求线段最值
【问题】A为直线m外一点，求点A到直线m的最短距离. 【解决思路】过点A作AP⊥m，此时点A到直线m的距离最短，即AP的长.
例 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是边BC上一动点， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接EF，若点M为EF的中点，连接MP， 则PM的最小值是( A )
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是
AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A )
13
A.
2
B. 13
C. 7
D. 3
【解析】如解图，连接MO并延长，与BC交于点P′，∵PM－
PO≤MO，当P与P′重合时，此时PM－PO有最大值，且最大值为
为线段CE的长．∵AB＝4，AE＝2，由等边
三角形性质可知CE⊥AB，∴CE＝AC 2 AE 2
例1题图
例1题解图
＝ 42 22 ＝2.即EF＋CF的最小值为2 3 .
类型2 同侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 【解决思路】将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同类型1即可解决．可 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．
MP′＝
13 2
.∴PM－PO的最大值为
13 2
.
例3题解图
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最 大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
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专题二 几何图形动点问题
专题解读：几何图形动点问题是安徽中考近10年的高频考点，2019、2017、2016年 均在选择压轴题考查，其中2019年考查带有限定条件的动点问题，2017年考查利 用对称性求线段和的最小值；2016年考查利用隐形圆求线段的最小值；2015年在 20题结合圆的基本性质涉及考查线段最值问题；2011年在22(3)题结合几何图形综 合题考查线段最值问题．
例2 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( B )
A. 3
B.2 3
C.2 6
D. 6
例2题图
例2题解图
【解析】如解图，易知点B与点D关于AC对称，当点P在AC与BE的交点时，PD＋
PE取得最小值，∵PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，∵正方形ABCD面积为
例1 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，
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E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B )
A. 3 B2. 3 C. 2
D. 2 【解析】如解图，连接CE交AD于点F′，
∵EF＋CF≥EF′＋CF′＝CE，∴当点F与F′
重合时，此时EF＋CF有最小值，且最小值
A. 6
B. 8
5
5
C. 12
D. 5
5
4
例题图
【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，如解
图，∵点M为EF的中点，∴连接AP必过点M，且AP＝EF＝2PM，∴当AP最小
时，PM取得最小值，根据直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂线段最短，
可知当AP⊥BC时，AP最短，PM取得最小值．在Rt△ABC中，由勾股定理得
MO的长度，过点M作MN⊥BC于点N，在△AOM和△COP′中，
例3题图
∠AOM＝∠COP′，OA＝OC，∠OAM＝∠OCP′，
∴△AOM≌△COP′，∴OM＝OP′＝ 1 MP′，∴CP′＝AM＝4－1
2
＝3，BP′＝1，∴P′N＝4－1－1＝2，∴MP′＝ 22 +32 ＝ 13 ，
1 ∴OM＝2
例4题图
P′M，∴当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′
－P′N＝2，∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
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BC＝ AB2
小值为6
.
AC
2
＝5，S△ABC＝12
AB·AC＝1 BC·AP，解得AP＝12
2
5
，∴PM的最
5
例题解图
二、利用“将军饮马”求线段最值
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点) 类型1 异侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB 交直线l 于点P，点P即为所求．
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为
___2_____．
【解析】如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB和CB关于对角
线BD对称，作点M关于BD对称的点M′，则点M′在AB上，连接
PM′、M′N，根据对称可得BM′＝BM＝6，又∵AB＝8，∴AC＝
82 82 ＝8 2，AM′＝2，AN＝1 AO＝1 ×1 AC＝2，∵cos∠M′AN
＝cos45°＝2
＝AM
2
22
，∴∠AM′N＝90°，∴M′N＝AM′＝2，
2 AN
∵PM－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接