11-9衍射光栅
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光栅衍射
k
-12
-8
-4
4
8
12
谱线中第±４、±8、 ±12… 级条纹缺级。
k
22
-12
-8
-4
o
4
8
12
三、衍射光谱
(a b)sin k
( k 0,1, 2, )
※ 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。
入射光为白光时， k不同，按波长分开形成光谱。 不同，
I
sin
0 一级光谱 三级光谱 ab 二级光谱
在单缝衍射光强大的地方，光栅衍射明纹的光强也大； 在单缝衍射光强小的地方，光栅衍射明纹的光强也小； 在单缝衍射光强为0的地方，光栅衍射明纹的光强也为0。
20
缺级现象：
当多缝干涉的主极大位置，恰好与单缝衍射暗 纹位置重合时，本应出现主极大的明纹就不出现， 该处成了暗纹。这种现象称为缺级现象。
a sin k' ab 所缺级次为： k k k 1, 2 a
×
多缝干涉光强
2
sin sin N I p I 0单 sin
2
I 0单
单缝中央主极大光强
2
sin 单缝衍射因子
sin N 多光束干涉因子 sin
2
18
I I0
23
I
sin
0 一级光谱 三级光谱 ab 二级光谱
例如：二级光谱重叠部分光谱范围
(a b)sin 3紫
(a b)sin 2 白光 400 ~ 760nm
3 紫 600nm 2
二级光谱重叠部分:
600 ~ 760nm
光栅
k=4 k=5
k=6
返回
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两 种效应的共同结果， 种效应的共同结果，亮纹的位置决定于缝间 光线干涉的结果。 光线干涉的结果。 缝数 N = 5 时光栅衍射的光强分布示意图
包络线为单缝衍射 的光强分布图
主极大 (6 k=-5
k=-4 k=-3
A 5 A1 A4 A3
θ δ
δθ = ϕk+1 −ϕk . 设 ϕk+1 < ϕk :
6π δθ = = 216o 5
A3 A5 A2
δθ =
A1
A2
θ δ
A4
4π =144o 5
2π δθ = = 72o 5
θ δ
θ δ
问题：为何暗区很宽，亮纹很窄？ 问题：为何暗区很宽，亮纹很窄？ 主极大 ( a + b ) sinϕ = k λ 极小值 ( a + b ) sin ϕ = m λ N 2， ... m = 0, 1， 3， ( N 1 ),N, ( N+1 ),( N+2 ), ..., (2 N
二级光谱 一级光谱
ϕ
f
o 在可见光范围内 : x 400 4
700 − 400 ∴ k =1 k < = 3
返回
完整光谱级数 (k+1)λ紫 > kλ红
结束
用每厘米有5000条的光栅，观察 条的光栅， 例1: 用每厘米有 条的光栅 钠光谱线， 钠光谱线，钠光波长为 λ = 5893 A。 光线垂直入射时； 光线以30 问：1. 光线垂直入射时；2. 光线以 o角 倾斜入射时，最多能看到几级条纹？ 倾斜入射时，最多能看到几级条纹？ 1. 由光栅公式：( a + b ) sin ϕ = k λ 由光栅公式： 有最大值。 有最大值 当 sin ϕ = 1 时， k有最大值。 1×10-2 a + b = 5000 = 2×10-6 m 2×10-6 (a +b) =3.394 k = λ sinϕ = -7 5.893×10 ~ 3 结束 最多能看到7级条纹 级条纹。 最多能看到 级条纹。
光的衍射习题答案
思 考 题1 为什么隔着山可以听到中波段的电台广播，而电视广播却很容易被高大建筑物挡住 答：只有当障碍物的大小比波长大得不多时，衍射现象才显着。
对一座山来说，电视广播的波长很短，衍射很小；而中波段的电台广播波长较长，衍射现象比较显着。
2 用眼睛通过一单狭缝直接观察远处与缝平行的光源，看到的衍射图样是菲涅耳衍射图样还是夫琅和费衍射图样为什么答：远处光源发出的光可认为是平行光，视网膜在眼睛(相当于凸透镜)的焦平面上，所以观察到的是平行光的衍射。
由此可知，这时人眼看到的是夫琅和费衍射图样。
3 在单缝衍射图样中，离中央明纹越远的明纹亮度越小，试用半波带法说明。
答：在单缝衍射图样中，未相消的一个半波带决定着明纹的亮度。
离中央明纹越远处，衍射角越大，单缝处波阵面分的半波带越多，未相消的一个半波带的面积越小，故离中央明纹越远的明纹亮度越小。
4 根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S ，则S 的前方某点P 的光强度决定于波阵面S 上所有面积元发出的子波各自传到P 点的( )(A)振动振幅之和。
(B)光强之和。
(C)振动振幅之和的平方。
(D)振动的相干叠加。
答：衍射光强是所有子波相干叠加的结果。
选(D)。
5波长为?的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为30o，则缝宽的大小（ ）(A) a =?。
(B) a =?。
(C)a =2?。
(D)a =3?。
答：[ C ]6波长为?的单色光垂直入射到单缝上，若第一级明纹对应的衍射角为30?，则缝宽a 等于（ ）(A) a =? 。
(B) a =2?。
(C) a =23?。
(D) a =3?。
答：[ D ]7在单缝夫琅和费衍射实验中波长为?的单色光垂直入射到单缝上，对应于衍射角为30?的方向上，若单缝处波面可分成3个半波带，则缝宽度a 等于（ ）(A) ? 。
(B) ?。
(C) 2?。
(D) 3?。
答：[ D ]8在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为?的单色光垂直入射到宽度a=4?的单缝上，对应于衍射角为30?的方向，单缝处波面可分成的半波带数目为（ ） (A)2个。
大学物理课件---光栅衍射的计算--福州大学李培官
故： k11 k22
k1 2 4101 5
k2 1 6562
8
取： k1 5, k2 8
故： (a b) sin k11
ab
k11 s in
5 6562 A sin 41
5.0 106 m
8
【例6】一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每条透光缝宽为
a = 2×10 - 3 cm，在光栅后放一焦距f = 1Байду номын сангаасm 的凸透镜，现以
求: 解:
光线垂直入射时,最多能看到第几级光谱？
d sin k
d
1 600 103
1 105 6
m
kmax d
6
105 4.8 107
3
3
【例2】一波长为600nm的单色光垂直入射在光栅上，第二级明条 纹出现在 sin2 0.2 处, 第四级缺级.
求: (1) 光栅常数; (2) 光栅上透光部分的宽度a ;
4
【例3】.用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含 有属于红和蓝的两种单色成分的光谱。已知红谱线波
长 R 在0.63—0.76m 范围内，蓝谱线波长 B 在
0.43—0.49 m 范围内。当光垂直入射到光栅时，发 现在24.46 角度处，红蓝两谱线同时出现。问： (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2)在什么角 度下只有红谱线出现？
例6一衍射光栅每厘米有200条透光缝每条透光缝宽为2103cm在光栅后放一焦距f的凸透镜现以6000的单色平行光垂直照射光栅求
今天是2020年4月21日星期二
大学物理课件
--光栅衍射的计算
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
1
光的衍射
∆ϕ = 2π
λ
(∆x )sin θ
(19-6)
r E
(a) (c)
r E
r E
(d)
单缝衍射强度的振幅矢量图
(b)
图19-7
图中最后一个箭头与第 一个箭头之间对应的角 度为 ϕ (ϕ = ∑ ∆ϕ ) ,其物 其物 理意义是缝的上下边缘 发出的两个子波到达P点 发出的两个子波到达 点
o
ϕ
∆ϕ
R
r E
r ∆E
ϕ
图19-8 用振幅矢量法分析单缝衍射
的位相差。 的位相差。
ϕ = 2π λ a sin θ
( )
设圆弧的曲率半径为R 设圆弧的曲率半径为
E = 2 R sin
ϕ
2
(19-7)
∆ϕ ∆E = 2 R sin 2
(19-8)
） 联立 （19-7） 和（19-8）两式，得 ）两式， ϕ sin 2 E = ∆E ∆ϕ sin 2 Q ϕ = N (∆ϕ ) 且N → ∞ ∆ϕ → 0 所以
ϕ E ≈ ∆E sin 2 ∆ϕ ϕ ϕ = N ⋅ ∆E sin 2 2 2
中央明条纹的合振幅）， ），有 令 Eo = N ⋅ ∆E （中央明条纹的合振幅），有
ϕ E = E o sin 2
其中
ϕ
2
（19-9） ）
ϕ=
ϕ
2π
π a sin θ 令u = = ，代入（19-9）式，取其平方， 代入（ ） 取其平方， 2 λ 得到光强度公式： 得到光强度公式：
λ
时的极限情形. 几何光学是波动光学在λ /a → 0时的极限情形. 时的极限情形 [例1]（1）如果单缝衍射的第一暗纹发生在衍射 1]（ 的方位，问狭缝必须窄到什么程度？ 角θ=30°的方位，问狭缝必须窄到什么程度？设单 。 色光λ=500nm。 的单缝， （2）如用缝宽a =0.5 如用缝宽 =0.5mm的单缝，在焦距 =1 的 的单缝 在焦距f =1m的 透镜的焦平面上观测衍射条纹，问中央明纹多宽？ 透镜的焦平面上观测衍射条纹，问中央明纹多宽？ 其他明纹多宽？ 其他明纹多宽？
λ
(∆x )sin θ
(19-6)
r E
(a) (c)
r E
r E
(d)
单缝衍射强度的振幅矢量图
(b)
图19-7
图中最后一个箭头与第 一个箭头之间对应的角 度为 ϕ (ϕ = ∑ ∆ϕ ) ,其物 其物 理意义是缝的上下边缘 发出的两个子波到达P点 发出的两个子波到达 点
o
ϕ
∆ϕ
R
r E
r ∆E
ϕ
图19-8 用振幅矢量法分析单缝衍射
的位相差。 的位相差。
ϕ = 2π λ a sin θ
( )
设圆弧的曲率半径为R 设圆弧的曲率半径为
E = 2 R sin
ϕ
2
(19-7)
∆ϕ ∆E = 2 R sin 2
(19-8)
） 联立 （19-7） 和（19-8）两式，得 ）两式， ϕ sin 2 E = ∆E ∆ϕ sin 2 Q ϕ = N (∆ϕ ) 且N → ∞ ∆ϕ → 0 所以
ϕ E ≈ ∆E sin 2 ∆ϕ ϕ ϕ = N ⋅ ∆E sin 2 2 2
中央明条纹的合振幅）， ），有 令 Eo = N ⋅ ∆E （中央明条纹的合振幅），有
ϕ E = E o sin 2
其中
ϕ
2
（19-9） ）
ϕ=
ϕ
2π
π a sin θ 令u = = ，代入（19-9）式，取其平方， 代入（ ） 取其平方， 2 λ 得到光强度公式： 得到光强度公式：
λ
时的极限情形. 几何光学是波动光学在λ /a → 0时的极限情形. 时的极限情形 [例1]（1）如果单缝衍射的第一暗纹发生在衍射 1]（ 的方位，问狭缝必须窄到什么程度？ 角θ=30°的方位，问狭缝必须窄到什么程度？设单 。 色光λ=500nm。 的单缝， （2）如用缝宽a =0.5 如用缝宽 =0.5mm的单缝，在焦距 =1 的 的单缝 在焦距f =1m的 透镜的焦平面上观测衍射条纹，问中央明纹多宽？ 透镜的焦平面上观测衍射条纹，问中央明纹多宽？ 其他明纹多宽？ 其他明纹多宽？
东北大学大学物理总结课件
3.会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。
4
11-8 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
1.了解夫琅和费圆孔衍射、艾里斑、瑞利判据、衍射对
光学仪器分辨本领的影响；
2.理解最小分辨角、光学仪器的分辨本领；
3.能够根据已知条件计算出光学仪器所能分辨的最小距
离。
11－9 衍射光栅
1.理解光栅、光栅常数、光栅衍射、缺级等概念；
17
5.理解可逆过程与不可逆过程的概念，能够使用公式：
dS dQ T
2 dQ
S2 S1 1 T
（对可逆过程）
计算基本的可逆与不可逆过程前后熵变。
6.理解玻尔兹曼关系式：
S k lnW
7.理解熵与热力学第二定律的统计意义。
8.了解信息熵。
18
CV
d e dT
V
iR 2
15
8.掌握p-V图中绝热线与等温线的区别及其形成的原因。
9.循环过程:
(1)掌握循环过程的特征;
(2)掌握正循环与热机(包括热机效率公式)间的关系;
(3)掌握逆循环与制冷机(包括制冷系数公式)间的关系。
10.掌握与理想气体循环过程有关的计算:
主要包括：吸热、作功、内能变化和效率、制冷系
明确作功和吸热是与过程有关的物理量。
4.热力学第一定律：掌握热力学第一定律的内容及其数
学表述： Q W E dQ dW d E
14
5.理解内能的概念: 明确内能是状态的单值函数，其增量只与始末状态
有关，而与系统所经历的具体过程无关的结论。 6.热力学第一定律的应用： (1)掌握理想气体等容、等温、等压和绝热过程的特征， 过程方程(其中绝热过程的过程方程要求会推导); (2)掌握上述过程中气体吸热、作功和内能变化的计算。 7.掌握理想气体热容量的计算方法和迈耶公式，能使用 能量均分定理计算各种刚性分子理想气体的热容量。
大学物理第十八讲 光栅衍射、晶体的X射线衍射
☆ 要使经各单缝衍射的光沿任何方向的强度相等，其条件是：a <<。
● 实际中纯干涉难于实现，通常都与衍射同时存在.
12
例：一光栅透光部分宽度为 0.035mm，用波长700nm的单 色光垂直照射。在距光栅1m的屏上测得相邻条纹间距y =0.5cm。求：①在单缝衍射的中央明纹宽度内，最多可以 看到几级、共几条明纹？ ②光栅不透光部分宽度为多少？
2
2
4级明纹 3级明纹 2级明纹 1级明纹
d sin k
k 0,1,2,3...
光栅方程
决定各级主极大方向的方程.
或 用 图 解 法 求
d
中央明纹 -1级明纹
a
b
B
C
-2级明纹 -3级明纹 -4级明纹
BC d sin k
6
3.缺级现象 ●在某些方向，同时满足光栅衍射的明纹条件和单缝衍 射的暗纹条件，则该方向上的光栅衍射明纹将不会出现， 称这种现象为“缺级”。 第k级光栅衍射主极大：
a
a b 3a 3 10 cm
② kmax
4
ab
sin
2
k a 1 N 3333 / cm ab
kmax 5.5 5 (向前取整数)
14
共呈现5级，共9条谱线： k 0, 1, 2, 4, 5.
③ k 2, v 400nm, r 760nm
§11-6
光栅衍射
一、光栅 在透光或反光性能上具有周期性空间结构的光学元件.
平面光栅—在透明平面玻璃上刻成若干等间距的刻痕, 或在镀铬板上用光刻的办法刻出若干条刻痕做成的器 件。 透射光栅
反射光栅
● 实际中纯干涉难于实现，通常都与衍射同时存在.
12
例：一光栅透光部分宽度为 0.035mm，用波长700nm的单 色光垂直照射。在距光栅1m的屏上测得相邻条纹间距y =0.5cm。求：①在单缝衍射的中央明纹宽度内，最多可以 看到几级、共几条明纹？ ②光栅不透光部分宽度为多少？
2
2
4级明纹 3级明纹 2级明纹 1级明纹
d sin k
k 0,1,2,3...
光栅方程
决定各级主极大方向的方程.
或 用 图 解 法 求
d
中央明纹 -1级明纹
a
b
B
C
-2级明纹 -3级明纹 -4级明纹
BC d sin k
6
3.缺级现象 ●在某些方向，同时满足光栅衍射的明纹条件和单缝衍 射的暗纹条件，则该方向上的光栅衍射明纹将不会出现， 称这种现象为“缺级”。 第k级光栅衍射主极大：
a
a b 3a 3 10 cm
② kmax
4
ab
sin
2
k a 1 N 3333 / cm ab
kmax 5.5 5 (向前取整数)
14
共呈现5级，共9条谱线： k 0, 1, 2, 4, 5.
③ k 2, v 400nm, r 760nm
§11-6
光栅衍射
一、光栅 在透光或反光性能上具有周期性空间结构的光学元件.
平面光栅—在透明平面玻璃上刻成若干等间距的刻痕, 或在镀铬板上用光刻的办法刻出若干条刻痕做成的器 件。 透射光栅
反射光栅
光 的 衍 射
37
二. 光栅的夫琅禾费衍射
1.光栅各缝衍射光的叠加
缝平面 G 观察屏 透镜 L
d
p 0
dsin
焦距 f
在夫琅禾费衍射下，
每个缝的衍射图样
38
位置的关系如何呢
（是否会错开）？
以双缝的夫琅和费衍射光的叠加为例来分析：
透镜 每个缝的衍 射光重叠
d
a θ
θ
θ
I
f
相干叠加
各缝的衍射光在主极大位置相同的情况下 相干叠加。 干涉条纹的各级主极大的强度将 但各个 不再相等，而是受到了衍射的调制。 干涉主极大的位置仍由 d 决定，而没有变化。
27
单缝宽度越小，条纹分得越开，衍射现象越显著；反之，缝越 宽，衍射现象越不明显。当时，各级衍射条纹全部集中在中 央附近，以至无法分辨，呈现单一的明纹，这就相当于光线 28 沿直线传播的情况。
讨论:
(1) 0 21 2 λ a 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。 (2) (3)
λ a 0 0 0 波动光学退化到几何光学。
3 4 2
4 1 4
1 2
1 /2
3 3 /2
N大时光强
向主极大集中， 使条纹亮而窄。
43
sin -2(/d) -(/d) 0 /d 2/d -(/4d) /4d
3.光栅衍射（grating diffraction）
单色平行 光垂直入 射光栅上， 一组以 角衍射的 衍射线经 透镜会聚 于屏上 p点。 现讨论 p 点形成主 极大的条 件
B θ a A
可将 ▲ a sin 2 当 时， 缝分成四个“半波带” ，
两相邻半波带的衍射光
二. 光栅的夫琅禾费衍射
1.光栅各缝衍射光的叠加
缝平面 G 观察屏 透镜 L
d
p 0
dsin
焦距 f
在夫琅禾费衍射下，
每个缝的衍射图样
38
位置的关系如何呢
（是否会错开）？
以双缝的夫琅和费衍射光的叠加为例来分析：
透镜 每个缝的衍 射光重叠
d
a θ
θ
θ
I
f
相干叠加
各缝的衍射光在主极大位置相同的情况下 相干叠加。 干涉条纹的各级主极大的强度将 但各个 不再相等，而是受到了衍射的调制。 干涉主极大的位置仍由 d 决定，而没有变化。
27
单缝宽度越小，条纹分得越开，衍射现象越显著；反之，缝越 宽，衍射现象越不明显。当时，各级衍射条纹全部集中在中 央附近，以至无法分辨，呈现单一的明纹，这就相当于光线 28 沿直线传播的情况。
讨论:
(1) 0 21 2 λ a 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。 (2) (3)
λ a 0 0 0 波动光学退化到几何光学。
3 4 2
4 1 4
1 2
1 /2
3 3 /2
N大时光强
向主极大集中， 使条纹亮而窄。
43
sin -2(/d) -(/d) 0 /d 2/d -(/4d) /4d
3.光栅衍射（grating diffraction）
单色平行 光垂直入 射光栅上， 一组以 角衍射的 衍射线经 透镜会聚 于屏上 p点。 现讨论 p 点形成主 极大的条 件
B θ a A
可将 ▲ a sin 2 当 时， 缝分成四个“半波带” ，
两相邻半波带的衍射光
第9章 光的衍射-2
(4) 光强分布与缺级现象
(1) 光栅衍射是单缝衍射与多光束干涉合成的结果，光栅中各 主极大受到单缝衍射光强的调制。
(2)当光栅明纹处恰满足单缝衍射暗纹条件，该处光强为 0 ， 出现缺级。 (3)缺级条件 光栅衍射加强条件：
I单
( a b) sin k
单缝衍射减弱条件:
-2
-1
0 I
2.2 104 rad
（2）S1
S2
d l 0 25cm 2.2 10 0.0055 cm 0.055mm
4
一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天 文望远镜在智利，直径16米，由4片透镜组成。 美国最大的望远镜直径为200英寸，在帕洛玛山。
1990 年发射的哈勃
此时两爱里斑重叠部分的光强为一个光斑中心最大值的 80％。 ●两点光源继续靠近 1 不能分辨
S1 S2
1
0.8I 0
瑞利（Reyleigh）准则:
对于两个强度相等的不相干的点光源（物点），一个点光源 的衍射图样的主极大刚好和另一点光源衍射图样的第一极小 相重合，这时两个点光源（或物点）恰为这一光学仪器所分 辨.
亮--每一单缝出射的光强虽小，但N条单缝
的光强叠加起来，光能却大。 细--光栅的单缝数量很大，在两级明纹之间
在N-1个暗纹，占着很大的角宽度。
2）主要公式
光栅方程(明纹公式)
( a b) sin k ab d 缺级公式： k k ' k' a a
k ' 1. 2. 3...
b a d
k
f
加强
光栅方程:
( a b) sin k ( k 0,1,2)
11-7单缝衍射
EP
E0
△Φ
又
I E2 p
2 ，I 0 E0
2
P点的光强
sin I I0
第十一章 光学
24
物理学
第五版
(1) 主极大（中央明纹中心）位置： sin 0处， 0 1 I I 0 I max (2) 极小（暗纹）位置： k，k 1,2,3时， 0 I 0 sin a sin 由 k a sin k 得 或 N 2k a sin k (3) 次极大位置：
（
b b增大， 1减小 b 0, 1 0 π
b 一定，越大， 1越大，衍射效应越明显.
（2）中央明纹
2
角范围 sin b b
k 1 的两暗纹间）
线范围
b
f x
b
f
中央明纹的宽度 l0 2 x1 2
第十一章 光学
b
f
10
物理学
b sin 0
——中央明纹(中心)
上述暗纹和中央明纹(中心)位置是准确的，其余 明纹中心的位置较上稍有偏离。
第十一章 光学
4
物理学
第五版
二
光强分布
11-7 单缝衍射
2 b sin (2k 1) 2
b sin 2k
k
干涉相消（暗纹） 干涉加强（近似明纹 中心）
解得 : (4)光强 : 从中央往外各次极大的光强依次为: 0.0472I0 , 0.0165I0 , 0.0083I0 ,I „ ∴ << I
次极大第十一章 光学 主极大