均值不等式 含答案(训练习题)
均值不等式的应用(习题-标准答案)
、均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） }若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x'解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-均值不等式及其应用答案含解析
2.2.4均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。
A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b>2√abD.b a +a b≥2答案：D解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b或b a都是正数,根据不等式求最值,a b +b a≥2√a b×b a=2,故D 正确。
2.若a ,b ∈R,则下列不等式恒成立的是( )。
A.|a+b |2≥√|ab | B.b a +a b≥2C.a 2+b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1b)≥4 答案：C解析：对于A ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C ,a 2+b 22≥(a+b 2)2,故C 中不等式恒成立;对于D ,(a +b )1a +1b=2+a b +b a,当a ,b 同号时a b +b a≥2,原不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。
故选C 。
3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b=√2ab ,则ab 的最小值为( )。
A.√2 B.2 C.2√2 D.4答案：B解析：对于正实数a ,b ,由均值不等式可知1a +2b ≥√2√ab ,当且仅当1a =2b 时取等号,则√2ab ≥√2√ab⇒ab ≥2,故选B 。
02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)
柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。
专题17 均值不等式及其应用(解析版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．2．已知1(0,4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1C ．1D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即1x =时等号成立， 所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1-，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．12x xC ．4D．【答案】C 【解析】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y+=，则()2122224159y x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数满足，则（ ）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111a b+=得：1111ab a a-=-=，即：1aba=-0b>，0a>10a∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾， 故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ． 二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号； 故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______．【答案】8 【解析】因为a b >，所以()828a b a b -+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】 由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为. 16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a ，b ，所以a 2+b 2＝（）2+（）2，当且仅当x 2，y 2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.【答案】 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+⎪⎝⎭1414433y x x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (83)=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，， ，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【解析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元， 则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在． 因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见大体不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b ma a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）若是x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2021年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且知足134x y+=，则xy 的最大值为 。
高二数学必修人教B第三章同步检测均值不等式
3.2 第3课时 均值不等式习题课基础巩固一、选择题1．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥1[答案] B[解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B. 具体比较如下：∵0<x ＋y ≤4∴1x ＋y ≥14故A 不对；∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14∴D 不对；1x ＋1y＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[答案] A[解析] 令2x ＝1x ，由x <0得x ＝－22，∴在x ＝－22两侧，函数f (x )的单调性不同，排除C 、D.f (x )＝2x ＋1x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －1x －1≤－2(－2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －1＝－22－1， 等号在x ＝－22时成立，排除B. 3．设实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，则ax ＋by 的最大值是( )A ．2 B. 3 C. 5 D.1210 [答案] B[解析] 令a ＝cos α，b ＝sin α α∈[0,2π)， x ＝3cos β，y ＝3sin β，β∈[0,2π)． ∴ax ＋by ＝3cos αcos β＋3sin αsin β ＝3cos(α－β)≤ 3. ∴ax ＋by 的最大值为 3.4．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 [答案] D[解析] f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝x －22＋12(x －2)，∵x ≥52，∴x －2≥12，f (x )≥2x －22·12(x －2)＝1. 当且仅当x ＝3时等号成立．5．设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)，且a ＋b ＋c ＝1(其中a ，b ，c ∈R＋)，则M 的取值范围是( ) A ．[0，18)B ．[18，1)C ．[1,8)D ．[8，＋∞)[答案] D[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴M ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc －1)， ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c )≥2bc a 2·2ac b 2·2ab c 2＝8. ∴M ∈[8，＋∞)．6．若x 、y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2取得最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92[答案] C[解析] (x ＋12y )2＋(y ＋12x )2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝x 2＋14x 2＋y 2＋14y2＋y x ＋x y .∵x 2＋14x2≥214＝1， y 2＋14y 2≥214＝1， y x ＋xy ≥2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14x2y 2＝14y 2y x ＝x y时成立，即x ＝y ＝22时，(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2取得最小值为4.二、填空题7．(2010·山东文)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4，即x ＝32，y ＝2时取等号．8．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________[答案] 12(a －b )2[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2更简捷．∴y ＝(x －a )2＋(x －b )2≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22.当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2，y min ＝(a －b )22.三、解答题9．已知a >0，b >0，c >0，d >0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac ≥4. [解析] ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋dc＝(a b ＋b a )＋(c d ＋dc )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 且c ＝d 时，取“＝”)．10．已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by ) ＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2等号在ay x ＝bx y 即y x ＝ba 时成立∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根 ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升一、选择题1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D [解析]由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＝x ＋ycd ＝xy，∴(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2， ∵x >0，y >0，∴x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4(当且仅当x ＝y 时，取“＝”号)． 2．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B [解析]∵x 、y 、a ∈R ＋，∴(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥1＋2a＋a ＝(1＋a )2，即9≤(1＋a )2，∴a ≥4，故选B.二、填空题3．2008年的四川大地震震惊了整个世界，四面八方都来支援．从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v 千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于(v 20)2千米，问这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．[答案] 8[解析] 物资全部运到灾区需t ＝400＋16×(v 20)2v＝400v ＋16v 400≥8，当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，∴t min ＝8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时．4．(2010·浙江文)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵x >0，y >0， ∴2x ＋y ≥22xy ，∴2x ＋y ＋6＝xy ≥22xy ＋6，∴(xy )2－22xy －6≥0， 解得xy ≥32，即xy ≥18. 三、解答题5．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．[解析] 12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x1x 2≤(x 1＋x 22)2， 而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22.即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．6．图画挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a 米处，而上边缘在b 米处，问观察者站在离墙多远的地方，才能使视角最大？(如下图)[解析] 要求何时θ达最大值，可先求何时tan θ达到最大值． 如图，tan α＝a x ，tan β＝bx .∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝b x －ax 1＋ab x 2＝b －ax ＋ab x， ∵x ＋ab x ≥2x ·ab x ＝2ab (x >0，a >0，b >0)．∴tan θ≤b －a2ab， 当且仅当x ＝abx 即x ＝ab 时取“＝”． 又∵x ∈(0，π2)，y ＝tan x 是增函数，∴x ＝ab 时，θ有最大值．答：观察者站在离墙ab 米的地方时，θ有最大值。
高中均值不等式讲解及习题
5、已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,求函数W＝ ＋ 的最值、
解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单
＋ ≤ ＝ ＝2
解法二:条件与结论均为与的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“与为定值”条件靠拢。
W＞0,W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20
(1) (2) (3)
2.已知 ,求函数 的最大值、;3. ,求函数 的最大值、
条件求最值
1、若实数满足 ,则 的最小值就是、
分析:“与”到“积”就是一个缩小的过程,而且 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,
解: 都就是正数, ≥
当 时等号成立,由 及 得 即当 时, 的最小值就是6.
变式:若 ,求 的最小值、并求x,y的值
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 的单调性。例:求函数 的值域。
解:令 ,则
因 ,但 解得 不在区间 ,故等号不成立,考虑单调性。
因为 在区间 单调递增,所以在其子区间 为单调递增函数,故 。
所以,所求函数的值域为 。
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值、
当 ,即 时, (当且仅当x＝1时取“＝”号)。
技巧四:换元
解析二:本题瞧似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x＋1,化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, (当t=2即x＝1时取“＝”号)。
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
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课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。