运筹学练习参考答案

线性规划问题1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。

已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见下表1）求获利最大的产品生产计划；2）产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产；3）如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。

解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。

该问题的线性规划模型为：用单纯形法求上述线性规划问题。

化为标准形式：123123123123123max 10641001045600..226300,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩123456123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3 （2）设产品III 每件的利润为c 3产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。

（3）设x 7为新产品的产量。

177711028(,,0)420333B c c B P σ-⎛⎫⎪=-=-=>⇒ ⎪ ⎪⎝⎭值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥'==-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭()1333333335/66,10,01/620/3020/34B B c C B P c C P c c c σ-'=-=-⎛⎫⎪=-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3 2、已知下列线性规划问题：12312312312312363336022420..33360,,0maxz x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；解：（1）将原问题划为标准形得：123456123412351236max 6330003 60224 20..333 600,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =-+++++++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩所以最优解为x * =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值z * =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解.（2）该问题的对偶问题为：123123123123123min 6020603236233..433,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥⎩对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2)3、已知线性规划问题：求：（1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题；（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。

解：（1）图解法由上图可知：在B(2,4)处，目标函数达到最大值。

即最优解为x *=(2,4)T 最优解目标函数值z *=10 为唯一最优解 （2）该问题的对偶问题为：1212212max 228.. 4,0z x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩1211211212min 8421..20,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩ （3）原问题的最优解x *=(2,4)T 代入约束条件，可知约束条件取等式，因为x 1*，x 2*不为0，在对偶问题中相应的约束条件为紧约束，即11221,2y y y ***=+=对偶问题的最优解及最优目标函数值为：(1/2,3/2)10y w **==运输问题1、某百货公司到甲、乙、丙三地采购A 、B 、C 、D 四种规格服装，预计销售后先用V ogel 法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路调整法，得到改进方案，再检验最优性。

①求初始基可行解（V ogel 法）初始解：x11=1500, x12=1000, x23=3000, x24=0, x32=1000, x34=3000, x35=1000,其余变量为0②最优性检验（位势法）：根据基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0σ11= c11–u1–v1= 0–u1–v1=0 σ12= c12–u1–v2= 5–u1–v2=0σ23= c23–u2–v3= 3–u2–v3=0 σ24= c24–u2–v4= 3–u2–v4=0σ32= c32–u3–v2= 7–u3–v2=0 σ34= c34–u3–v4= 4–u3–v4=0σ35= c35–u3–v5= 10–u3–v5=0u 1 =0 易得：u2= 1，u3= 2，v1=0，v2=5，v3=2，v4=2，v5=8计算非基变量的检验数：σ13= c13–u1–v3= 4–0– 2=2 σ14= c14–u1–v4= 6–0– 2=4σ15= c15–u1–v5= 10–0– 8=2 σ21= c21–u2–v1= 2–1– 0=1σ22= c22–u2–v2= 8–1– 5=2 σ25= c25–u2–v5= 10–1– 8=1σ31= c31–u3–v1= 1–2– 0= -1<0σ33= c33–u3–v3= 6– 2– 2=2基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0σ11= c11–u1–v1= 0–u1–v1=0 σ12= c12–u1–v2= 5–u1–v2=0σ23= c23–u2–v3= 3–u2–v3=0 σ24= c24–u2–v4= 3–u2–v4=0σ31= c31–u3–v1= 1–u3–v2=0 σ34= c34–u3–v4= 4–u3–v4=0σ35= c35–u3–v5= 10–u3–v5=0u 1 =0 易得：u2= 0，u3= 1，v1=0，v2=5，v3=3，v4=3，v5=9计算非基变量的检验数：σ13= c13–u1–v3= 4–0– 3=1 σ14= c14–u1–v4= 6–0– 3=3σ15= c15–u1–v5= 10–0– 9=1 σ21= c21–u2–v1= 2–0– 0=2σ22= c22–u2–v2= 8–0– 5=3 σ25= c25–u2–v5= 10–0– 9=1σ32= c32–u3–v2= 7–1– 5= 1 σ33= c33–u3–v3= 6– 2– 2=2所有非基变量x ij的检验数σij≥0，即得最优解。

最优解为：x*11=500, x*12=2000, x23*=3000, x*24=0, x31=1000, x*34=3000, x*35=1000,其余变量为0；相应的目标函z*= 10×500+5×2000+7×3000+7×0+9×1000+6×3000+0×1000=630002、某产品有三个产地、四个销地，各产地的产量、各销地的销量以及产地到销地之间的单位运价见下表：（1）用表上作业法求该运输问题的最优调运方案。

（2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；若有，请再求出一个最优调运方案来。

解：（1）先用V ogel法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路调整法，得到改进方案，再检验最优性。

①求初始基可行解（V ogel法）初始解为：x13=12, x14=4, x21=8, x24=2, x32=14, x34=8，其余变量为0；相应的目标函数值z= 4×12+11×4+2×8+9×2+5×14+6×8= 244②最优性检验（位势法）根据基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0σ13= c13–u1–v3= 4–u1–v3=0 σ14= c14–u1–v4= 11–u1–v4=0σ21= c21–u2–v1= 2–u2–v1=0 σ24= c24–u2–v4= 9–u2–v4=0σ32= c32–u3–v2= 5–u3–v2=0 σ34= c34–u3–v4= 6–u3–v4=0u 1 =0 易得：u2= –2，u3= –5，v1=4，v2=10，v3=4，v4=11计算非基变量的检验数：σ11= c11–u1–v1= 4–0– 4=0 σ12= c12–u1–v2= 12–0– 10=2σ22= c22–u2–v2= 10–(–2)– 10=2 σ23= c23–u2–v3= 3–(–2)– 4=1σ31= c31–u3–v1= 8–(–5)– 4=9 σ33= c33–u3–v3= 11–(–5)– 4=12所有非基变量x ij的检验数σij≥0，即得最优解。

最优解为：x*13=12, x*14=4, x*21=8, x*24=2, x*32=14, x*34=8，其余变量为0；最优目标函数值z* = 244（2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；若有，请再求出一个最优调运方案来。

因为非基变量x11的检验数σ11=0，所以该问题有多个最优调运方案。

从非基变量x11出发找一条闭回路（见下表）：闭回路调整后得到另一最优解：即最优解为：x*11=4, x*13=12, x*21=4, x*24=6, x*32=14, x*34=8，其余变量为03、一个运输网络有4个发点和4 个收点，发点的发量，收点的收量与单位运价如下表所示∶解：产量〉销量，假想一个销地B5，销量为100先用V ogel法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路调整法，得到改进方案，再检验最优性。

①求初始基可行解（V ogel法）初始解x13=0, x14=100, x21=150, x22=50, x32=0, x35=100, x42=0, x43=100,其余变量为0②最优性检验（位势法）：根据基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0σ13= c13–u1–v3= 10–u1–v3=0 σ14= c14–u1–v4= 20–u1–v4=0σ21= c21–u2–v1= 10–u2–v1=0 σ22= c22–u2–v2= 25–u2–v2=0σ32= c32–u3–v2= 30–u3–v2=0 σ35= c35–u3–v5= 0–u3–v5=0σ42= c42–u4–v2= 20–u4–v2=0 σ43= c43–u4–v3= 10–u4–v3=0u 1 =0 易得：u2= 5，u3= 10，u4= 0，v1=5，v2=20，v3=10，v4=20，v5= -10计算非基变量的检验数：σ11= c11–u1–v1= 20–0– 5=15 σ12= c12–u1–v2= 80–0– 20=60σ15= c15–u1–v5= 0–0– (-10)=10 σ23= c23–u2–v3= 20–5–10=5σ24= c24–u2–v4= 50–5– 20=25 σ25= c25–u2–v5= 0–5– (-10)=5σ31= c31–u3–v1= 20–10– 5=5 σ33= c33–u3–v3= 20–10– 10=0σ34= c34–u3–v4= 40–10– 20=10 σ41= c41–u4–v1= 40–0– 5=35σ44= c44–u4–v4= 30– 0– 20=10 σ45= c45–u4–v5= 0–0– (-10)=10所有非基变量x ij的检验数σij≥0，即得最优解。