运筹学练习参考答案
线性规划问题
1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见下表
1）求获利最大的产品生产计划；2）产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产；3）如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。
解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。该问题的线性规划模型为：
用单纯形法求上述线性规划问题。化为标准形式：
123123123123123max 10641001045600..226300,,0
z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩123456
123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪≥=
所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3 （2）设产品III 每件的利润为c 3
产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。
（3）设x 7为新产品的产量。
177711028(,,0)420333B c c B P σ-⎛⎫
⎪
=-=-=>⇒ ⎪ ⎪
⎝⎭
值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎢⎥'==-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭
()1333333335/66,10,01/620/3020/3
4B B c C B P c C P c c c σ-'
=-=-⎛⎫
⎪
=-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭
所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3 2、已知下列线性规划问题：
123123123
12312363336022420
..33360,,0
maxz x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨
+-≤⎪⎪≥⎩ 求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；
解：（1）将原问题划为标准形得：
123456
123412351236max 6330003 60224 20..333 600,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =-+++++++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=⎩
所以最优解为x * =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值z * =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解.
（2）该问题的对偶问题为：
12312312
3123123min 6020603236233..433,,0
w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨
+-≥⎪⎪≥⎩
对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2)
3、已知线性规划问题：
求：（1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题；
（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。
解：（1）图解法
由上图可知：在B(2,4)处，目标函数达到最大值。
即最优解为x *=(2,4)T 最优解目标函数值z *=10 为唯一最优解 （2）该问题的对偶问题为：
1212212
max 228.. 4,0z x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩121
121121
2min 8421
..20,0
w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥≥⎩ （3）原问题的最优解x *=(2,4)T 代入约束条件，可知约束条件取等式，因为x 1*，x 2*不为0，在对偶问题中相应的约束条件为紧约束，
即11221,2y y y ***
=+=
对偶问题的最优解及最优目标函数值为：(1/2,3/2)10y w **==
运输问题
1、某百货公司到甲、乙、丙三地采购A 、B 、C 、D 四种规格服装，预计销售后
先用V ogel 法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路调整法，得到改进方案，再检验最优性。
①求初始基可行解（V ogel 法）
初始解：x
11=1500, x
12
=1000, x
23
=3000, x
24
=0, x
32
=1000, x
34
=3000, x
35
=1000,其余变量为0
②最优性检验（位势法）：根据基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0
σ11= c
11
–u
1
–v
1
= 0–u
1
–v
1
=0 σ
12
= c
12
–u
1
–v
2
= 5–u
1
–v
2
=0
σ23= c
23
–u
2
–v
3
= 3–u
2
–v
3
=0 σ
24
= c
24
–u
2
–v
4
= 3–u
2
–v
4
=0
σ32= c
32
–u
3
–v
2
= 7–u
3
–v
2
=0 σ
34
= c
34
–u
3
–v
4
= 4–u
3
–v
4
=0
σ35= c
35
–u
3
–v
5
= 10–u
3
–v
5
=0
u 1 =0 易得：u
2
= 1，u
3
= 2，v
1
=0，v
2
=5，v
3
=2，v
4
=2，v
5
=8
计算非基变量的检验数：
σ13= c
13
–u
1
–v
3
= 4–0– 2=2 σ
14
= c
14
–u
1
–v
4
= 6–0– 2=4
σ15= c
15
–u
1
–v
5
= 10–0– 8=2 σ
21
= c
21
–u
2
–v
1
= 2–1– 0=1
σ22= c
22
–u
2
–v
2
= 8–1– 5=2 σ
25
= c
25
–u
2
–v
5
= 10–1– 8=1
σ31= c
31
–u
3
–v
1
= 1–2– 0= -1<0σ
33
= c
33
–u
3
–v
3
= 6– 2– 2=2
基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0
σ11= c
11
–u
1
–v
1
= 0–u
1
–v
1
=0 σ
12
= c
12
–u
1
–v
2
= 5–u
1
–v
2
=0
σ23= c
23
–u
2
–v
3
= 3–u
2
–v
3
=0 σ
24
= c
24
–u
2
–v
4
= 3–u
2
–v
4
=0
σ31= c
31
–u
3
–v
1
= 1–u
3
–v
2
=0 σ
34
= c
34
–u
3
–v
4
= 4–u
3
–v
4
=0
σ35= c
35
–u
3
–v
5
= 10–u
3
–v
5
=0
u 1 =0 易得：u
2
= 0，u
3
= 1，v
1
=0，v
2
=5，v
3
=3，v
4
=3，v
5
=9
计算非基变量的检验数：
σ13= c
13
–u
1
–v
3
= 4–0– 3=1 σ
14
= c
14
–u
1
–v
4
= 6–0– 3=3
σ15= c
15
–u
1
–v
5
= 10–0– 9=1 σ
21
= c
21
–u
2
–v
1
= 2–0– 0=2
σ22= c
22
–u
2
–v
2
= 8–0– 5=3 σ
25
= c
25
–u
2
–v
5
= 10–0– 9=1
σ32= c
32
–u
3
–v
2
= 7–1– 5= 1 σ
33
= c
33
–u
3
–v
3
= 6– 2– 2=2
所有非基变量x ij的检验数σij≥0，即得最优解。
最优解为：x*
11=500, x*
12
=2000, x
23
*=3000, x*
24
=0, x
31
=1000, x*
34
=3000, x*
35
=1000,
其余变量为0；
相应的目标函z*= 10×500+5×2000+7×3000+7×0+9×1000+6×3000+0×1000=63000
2、某产品有三个产地、四个销地，各产地的产量、各销地的销量以及产地到销地之间的单位运价见下表：
（1）用表上作业法求该运输问题的最优调运方案。
（2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；若有，请再求出一个最优调运方案来。
解：（1）先用V ogel法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路调整法，得到改进方案，再检验最优性。
①求初始基可行解（V ogel法）
初始解为：x
13=12, x
14
=4, x
21
=8, x
24
=2, x
32
=14, x
34
=8，其余变量为0；
相应的目标函数值z= 4×12+11×4+2×8+9×2+5×14+6×8= 244
②最优性检验（位势法）
根据基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0
σ13= c
13
–u
1
–v
3
= 4–u
1
–v
3
=0 σ
14
= c
14
–u
1
–v
4
= 11–u
1
–v
4
=0
σ21= c
21
–u
2
–v
1
= 2–u
2
–v
1
=0 σ
24
= c
24
–u
2
–v
4
= 9–u
2
–v
4
=0
σ32= c
32
–u
3
–v
2
= 5–u
3
–v
2
=0 σ
34
= c
34
–u
3
–v
4
= 6–u
3
–v
4
=0
u 1 =0 易得：u
2
= –2，u
3
= –5，v
1
=4，v
2
=10，v
3
=4，v
4
=11
计算非基变量的检验数：
σ11= c
11
–u
1
–v
1
= 4–0– 4=0 σ
12
= c
12
–u
1
–v
2
= 12–0– 10=2
σ22= c
22
–u
2
–v
2
= 10–(–2)– 10=2 σ
23
= c
23
–u
2
–v
3
= 3–(–2)– 4=1
σ31= c
31
–u
3
–v
1
= 8–(–5)– 4=9 σ
33
= c
33
–u
3
–v
3
= 11–(–5)– 4=12
所有非基变量x ij的检验数σij≥0，即得最优解。
最优解为：x*
13=12, x*
14
=4, x*
21
=8, x*
24
=2, x*
32
=14, x*
34
=8，其余变量为0；
最优目标函数值z* = 244
（2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；若有，请再求出一个最优调运方案来。
因为非基变量x
11的检验数σ
11
=0，所以该问题有多个最优调运方案。
从非基变量x
11
出发找一条闭回路（见下表）：
闭回路调整后得到另一最优解：
即最优解为：x*
11=4, x*
13
=12, x*
21
=4, x*
24
=6, x*
32
=14, x*
34
=8，其余变量为0
3、一个运输网络有4个发点和4 个收点，发点的发量，收点的收量与单位运价如下表所示∶
解：产量〉销量，假想一个销地B5，销量为100
先用V ogel法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路调整法，得到改进方案，再检验最优性。
①求初始基可行解（V ogel法）
初始解x
13=0, x
14
=100, x
21
=150, x
22
=50, x
32
=0, x
35
=100, x
42
=0, x
43
=100,其余变量为0
②最优性检验（位势法）：根据基变量的检验数为0，即σij= c ij –u i–v j=0
σ13= c
13
–u
1
–v
3
= 10–u
1
–v
3
=0 σ
14
= c
14
–u
1
–v
4
= 20–u
1
–v
4
=0
σ21= c
21
–u
2
–v
1
= 10–u
2
–v
1
=0 σ
22
= c
22
–u
2
–v
2
= 25–u
2
–v
2
=0
σ32= c
32
–u
3
–v
2
= 30–u
3
–v
2
=0 σ
35
= c
35
–u
3
–v
5
= 0–u
3
–v
5
=0
σ42= c
42
–u
4
–v
2
= 20–u
4
–v
2
=0 σ
43
= c
43
–u
4
–v
3
= 10–u
4
–v
3
=0
u 1 =0 易得：u
2
= 5，u
3
= 10，u
4
= 0，v
1
=5，v
2
=20，v
3
=10，v
4
=20，v
5
= -10
计算非基变量的检验数：
σ11= c
11
–u
1
–v
1
= 20–0– 5=15 σ
12
= c
12
–u
1
–v
2
= 80–0– 20=60
σ15= c
15
–u
1
–v
5
= 0–0– (-10)=10 σ
23
= c
23
–u
2
–v
3
= 20–5–10=5
σ24= c
24
–u
2
–v
4
= 50–5– 20=25 σ
25
= c
25
–u
2
–v
5
= 0–5– (-10)=5
σ31= c
31
–u
3
–v
1
= 20–10– 5=5 σ
33
= c
33
–u
3
–v
3
= 20–10– 10=0
σ34= c
34
–u
3
–v
4
= 40–10– 20=10 σ
41
= c
41
–u
4
–v
1
= 40–0– 5=35
σ44= c
44
–u
4
–v
4
= 30– 0– 20=10 σ
45
= c
45
–u
4
–v
5
= 0–0– (-10)=10
所有非基变量x ij的检验数σij≥0，即得最优解。
最优解为：x*
13=0, x*
14
=100, x*
21
=150, x*
22
=50, x*
32
=0, x*
35
=100, x*
42
=0, x*
43
=100,
其余变量为0；最优目标函数值z* = 5750
目标规划
某工厂计划生产A、B两种产品，需要消耗甲、乙、丙三种资源、单位产品利润及资源限量如表所示：
该厂的经营目标是：
首先要求总利润必须超过2500元；
然后考虑到产品受市场影响，为避免积压，A、B的产量不超过60件和100 件；
由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型。
解：设x 1，x 2 为产品A 、B 产量，以产品 A 、B 的单件利润比 2.5：1 为权系数，目标规划模型如下：
整数规划
1、在今后3年内有5项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用见下表，
假定每一项已经批准的工程要在整个3年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程，试将这个问题表示成0-1整数规划模型。
解：设1, 123450,j j x j j ⎧==⎨
⎩对第个项目投资
，，，，不对第个项目投资
该问题的0-1整数规划模型为：
1122334
1211133244122212
min (2.5)30122500 60 100 2 140,0,,0 ( 1.2.3.4)
l l z Pd P d d P d x x d d x d d x d d x x d d x x d d l -+++
-+-+
-+
-++-=+++⎧++-=⎪+-=⎪⎪+-=⎨⎪++-=⎪
⎪≥≥=⎩12345
123451234512345max 20402015305437825794625
..810210250 1 (1,2,,5)j z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨
++++≤⎪⎪==⎩
或
2、用过滤性隐枚举法求解下列0-1规划问题：
解：
由上表可知，问题的最优解为 x *=( 1, 0, 1 )，z *=8
3、分配甲、乙、丙、丁、戊五个人去完成A 、B 、C 、D 、E 五项工作，每个人完成任务的总时间为最少。
解：若不可能完成任务，则效率矩阵相应的元素为M ，变换效率矩阵：
1231231231223
123max 3252 2 4 4 3 4 6
,,01
z x x x x x x x x x x x x x x x x =-++-≤⎧⎪
++≤⎪⎪
+≤⎨⎪+≤⎪⎪⎩为或
25283138250
3625134038262633261412007352728403227801135423737375037373029262032201096012 M M M M M M M M --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 50
36258141200280113037503742109607M M M M --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
得到初始分配方案：
()()()()036258141228011337503742109
607M M M M -⎡⎤
⎢⎥
∅∅⎢⎥⎢⎥∅⎢
⎥
---⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
因为独立0元素个数m=4，不等于矩阵的阶数n=5，转入下步。
√√
√
√
√()()()()03
6258141228011337503742109
607M M M M -⎡⎤
⎢⎥
∅∅⎢⎥⎢⎥
∅⎢
⎥
---⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
()()()()()0382380
382381210012100008031580315035303744353037448
760587605M M M M M M M M -⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥⎢⎥∅∅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒⇒∅⎢⎥
⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
此时独立0元素个数有5个，得到最优解，相应的解矩阵为：
100000000101000001000
0010⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即分配方案为：甲→A ，乙→E ，丙→B ，丁→C ，戊→D ，
总时间为：25+33+27+37+20=142小时
4
的指派方案。 解：非标准型指派问题（极大化问题）先转换，变换效率矩阵：
164251053140
42132510402510424003137521026410
154062415151304502030574200574204641
-1-1-1
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得到初始分配方案：
()
()
()()
042
1
324031
540502
34
6
41⎡⎤⎢⎥
∅⎢⎥
⎢⎥
∅⎢⎥
∅⎢⎥⎢⎥∅
⎣⎦
因为独立0元素个数m=4，不等于矩阵的阶数n=5，转入下步。
()
()()()
04
21324031
54050234
6
41⎡⎤⎢⎥∅⎢⎥⎢⎥
∅⎢⎥
∅⎢⎥⎢⎥∅⎣⎦√
√
√
()
()()()()
3
10203
1023403340031154011540602360203035
3
0353
0∅
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∅⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒⇒⎢⎥⎢⎥∅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∅⎣⎦⎣⎦
此时独立0元素个数有5个，得到最优解，相应的解矩阵为：
000100010000001010001
0000⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即分配方案为：A 1→B 4，A 2→B 3，A 3→B 5，A 4→B 2，A 5→B ，总收入为：8+9+8+8+10=43
《运筹学》_练习卷一、二、三_-_答案
《运筹学》练习卷（一）－答案 一、填空题（每空1分，共8分） 1、在线性规划问题中，若存在两个最优解时，必有相邻的顶点是最优解。 2、树图中，任意两个顶点间有且仅有一条链。 3、线性规划的图解法适用于决策变量为两个的线性规划模型。 4、在线性规划问题中，将约束条件不等式变为等式所引入的变量被称为松弛变量。 5、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。 6、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法与西北角法两种方法。 7、称无圈的连通图为树，若图的顶点数为p，则其边数为 p－1 。 二、单项选择题（每题2分，共10分） 1、最早运用运筹学理论的是（A） A 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 2、下列哪些不是运筹学的研究范围（D） A 质量控制 B 动态规划 C 排队论 D 系统设计 3、对于线性规划问题，下列说法正确的是（D） A 线性规划问题可能没有可行解 B 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C 线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达 D 上述说法都正确 4、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（C）A所有的变量必须是非负的 B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式 C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 D 求目标函数的最小值 5、在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（D） A 西北角法 B 位势法 C 闭回路法 D 以上都是 三、名词解释（每题3分，共12分） 1、需求：对存储来说，需求就是输出。最基本的需求模式是确定性的，在这种情况下，某一种货物的未来需求都是已知的。
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
运筹学试卷及参考答案
运筹学试卷及参考答案 运筹学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、下列哪个不是线性规划的标准形式？（） A. min z = 3x1 + 2x2 B. max z = -4x1 - 3x2 C. s.t. 2x1 - x2 <= 1 D. s.t. x1 + x2 >= 0 答案：C 2、以下哪个是最小生成树的Prim算法？（） A. 按照权值从小到大的顺序选择顶点 B. 按照权值从大到小的顺序选择顶点 C. 按照 距离从小到大的顺序选择顶点 D. 按照距离从大到小的顺序选择顶 点 答案：B 3、下列哪个不是网络流模型的典型应用？（） A. 道路交通流量优化 B. 人员部署 C. 最短路径问题 D. 生产计划 答案：C 4、下列哪个是最小化问题中常用的动态规划解法？（） A. 自顶向下的递推求解 B. 自底向上的递推求解 C. 分治算法 D. 回溯法
答案：A 5、下列哪个是最大流问题的 Ford-Fulkerson 算法？（） A. 增广路径的寻找采用深度优先搜索 B. 增广路径的寻找采用广度优先搜 索 C. 初始流采用最大边的二分法求解 D. 初始流采用最小边的二 分法求解 答案：B 二、简答题（每小题10分，共40分） 1、请简述运筹学在现实生活中的应用。答案：运筹学在现实生活中的应用非常广泛。例如，线性规划可以用于生产计划、货物运输和资源配置等问题；网络流模型可以用于解决道路交通流量优化、人员部署和生产计划等问题；动态规划可以用于解决最短路径、货物存储和序列安排等问题；图论模型可以用于解决最大流、最短路径和最小生成树等问题。此外，运筹学还可以用于医疗资源管理、金融风险管理、军事战略规划等领域。总之，运筹学的理论和方法可以帮助人们更好地解决实际生活中的问题，提高决策的效率和准确性。 2、请简述单纯形法求解线性规划的过程。答案：单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。它通过不断迭代和修改可行解，最终找到最优解。具体步骤如下： (1) 将线性规划问题转化为标准形式； (2) 根据标准形式构造初始可行基，通常选取一个非基变量，使其取值为零，其余非基变量的取值均为零； (3) 根据目标函数的系数，计算
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案 共1 页 运筹学习题答案 ） 1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 （1）max z?x1?x2 5x1+10x2?50 x1+x2?1 x2?4 x1，x2?0 （2）min z=x1+1.5x2 x1+3x2?3 x1+x2?2 x1，x2?0 （3）+2x2 x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0 （4）max z=x1x2 x1-x2?0 3x1-x2?-3 x1，x2?0
（1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解 （4）（图略）无可行解 1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。共2 页 （1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2 x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2 x1，x2，x3?0，x4无约束（2 zk?i??x k?1 m xik?（1Max s. t . -4x1xx1,x2 共3 页 (2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n ? k?1 m ?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxn
m （1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8 x1-2x2+6x3-7x4=-3 x1,x2,x3,x4?0 (2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4 共4 页 x1+2x2+3x3+4x4=7 2x1+x2+x3+2x4=3 x1x2x3x4?0 （1）解： 系数矩阵A是： ?23?1?4??1?26?7? ?? 令A=(P1，P2，P3，P4) P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4 x1-2x2=-3-6x3+7x4 令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2 基解0，0)T为可行解 z1=8 (2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5； (4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案 运筹学试题及答案 一、选择题：从下列四个选项中选择正确的答案。 1. 运筹学一词最初来自于哪个国家？ A. 中国 B. 美国 C. 英国 D. 德国 答案：B. 美国 2. 运筹学的主要目标是什么？ A. 提高企业的生产效率 B. 降低企业的成本 C. 提高企业的利润 D. 优化资源的利用 答案：D. 优化资源的利用 3. 下列哪个不是运筹学的研究方法？ A. 线性规划 B. 动态规划 C. 模拟 D. 微积分 答案：D. 微积分 4. 下列哪个是运筹学的一个应用领域？ A. 人力资源管理 B. 市场营销
C. 金融投资 D. 以上都是 答案：D. 以上都是 二、填空题：根据题目要求，在空格中填入正确的答案。 1. 线性规划是运筹学中的一种常用方法，其目标是在一定的约束条件下，______线性目标的最优解。 答案：最大化或最小化 2. 动态规划是一种解决_______过程中的最优化问题的方法。 答案：多阶段决策 3. 供应链管理中，______是指将不同的物流节点连接起来，实现物流流程的顺畅和高效。 答案：协调 4. 在项目管理中，______图是一种重要的工具，用于展示项目活动与任务之间的依赖关系。 答案：网络 三、问答题：根据题目要求，回答问题。 1. 什么是线性规划？请简要解释线性规划的基本原理。答：线性规划是一种数学优化方法，通过建立线性数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，寻找使目标函数最大或最小的决策变量值。其基本原理是通过确定目标函数的优化方向和约束条件，使用线性代数和数学规划理论进行求解，得出最优解。 2. 动态规划在运筹学中的应用有哪些？请举例说明。答：动态规划在运筹学中有广泛的应用，例如在资源分配、生产计划、货物调度等方面。举个例子就是在货物调度中，通过动态规划的方法可以确定最优的调度方案，使得货物的运输成
运筹学试题参考答案
《运筹学》试题参考．． 答案 一、填空题（每空2分，共10分） 1、在线性规划问题中，若存在两个最优解时，必有 相邻的顶点是 最优解。 2、树图中，任意两个顶点间有且仅有 一条链 。 3、线性规划的图解法适用于决策变量为 两个 线性规划模型。 4、在线性规划问题中，将约束条件不等式变为等式所引入的变量被称为 松弛变量 。 5、求解不平衡的运输问题的基本思想是 设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式 。 6、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有 最小费用法 与 西北角法 两种方法。 7、称无圈的连通图为树，若图的顶点数为p ，则其边数为 p －1 。 二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题： 1）max z = 6x 1+4x 2 ?????? ?≥≤≤+≤+0 7810 22122121x x x x x x x ， ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹
2）min z =2x 1+x 2 ???????≥≤≤≥+≤+-0 1058244212121x x x x x x 解： 从上图分析，可行解域为abcde ，最优解为e 点。 由方程组 ???==+58 1 21x x x 解出x 1=5，x 2=3 ∴X * =??? ? ??21x x =（5，3） T ∴min z =Z *= 2×5+3=13 三、（15分）一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷、⑸ ⑹
1）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分） 2）用单纯形法求该问题的最优解。（10分） 解：1）建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 s.t. ???????≥≤++≤++≤++0 3006226005410100 321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 2）用单纯形法求最优解： 加入松弛变量x 4，x 5，x 6，得到等效的标准模型： max z =10x 1+6x 2+4x 3+0 x 4+0 x 5+0 x 6 s.t. ?? ? ????=≥=+++=+++=+++6,...,2,1,03006226005410100632153214 321j x x x x x x x x x x x x x j 列表计算如下：
运筹学试习题及答案
运筹学试习题及答案 《运筹学》复习试题及答案(一) 一、填空题 1、线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2、图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3、线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5、在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点(极点)达到。 7、线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9、满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10、在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11、将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。 12、线性规划模型包括决策(可控)变量，约束条件，目标函数三
个要素。 13、线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14、线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15、线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16、在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17、求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18、 19、如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj , Xj,同时令Xj=Xj- Xj。 20、表达线性规划的简式中目标函数为ijij 21、、(2、1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在 二、单选题 1、如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m行解的个数最为_C_。′〞′ A、m个 B、n个 C、Cn D、Cm个 2、下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是 A mn 3、线性规划模型不包括下列_ D要素。
运筹学练习参考答案
线性规划问题 1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见 （（2） 产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产； （3） 如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小 时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。 解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。该问题的线性规划模型为： 用单纯形法求上述线性规划问题。化为标准形式： 123 123123123123max 10641001045600..226300,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤??++≤?? ++≤??≥?123456 123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=??+++=?? +++=??≥=
所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3 （2）设产品III 每件的利润为c 3 产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。 （3）设x 7为新产品的产量。 177711028(,,0)420333B c c B P σ-?? ? =-=-=>? ? ? ?? 值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --?????? ? ???'==-= ? ??? ? ???-?????? 所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3 ()1333333335/66,10,01/620/3020/3 4B B c C B P c C P c c c σ-' =-=-?? ? =-=-≥?≥ ? ???
第四版运筹学部分课后习题解答
第四版运筹学部分课后习题解答 篇一：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案 运筹学基础及应用习题解答 习题一 P46 (a) 4 1 的所有?x1,x2?，此时目标函数值2 该问题有无穷多最优解，即满足4x1?6x2?6且0?x2?z?3。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 (a) 约束方程组的系数矩阵 ?1236300A??81?4020? ?30000?1 最优解x??0,10,0,7,0,0?T。 (b) 约束方程组的系数矩阵 ?123 4?A2212?? ?? ?211? 最优解x??,0,,0?。 5??5
T (a) (1) 图解法 最优解即为? ?3x1?4x2?935?3? 的解x??1,?，最大值z? 5x?2x?822??2?1 (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?10x1?5x2?0x3?0x4?3x?4x2?x3? ?1 ?5x1?2x2?x4?8 则P3,P4组成一个基。令x1?x2?0 得基可行解x??0,0,9,8?，由此列出初始单纯形表 ?1??2。??min?,89??53? 8 5 ?2?0，??min??218?3,?? 142?2? 335 ?1,?2?0，表明已找到问题最优解x1?1, x2?,x3?0 , x4?0。最大值 z*? 22 (b)
(1) 图解法 6x1?2x2x1?x2? 最优解即为? ?6x1?2x2?2417?73? 的解x ??,?，最大值z? 2?22??x1?x2?5 (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?2x1?x2?0x3?0x4?0x5?5x2?x3?15? ?6x1?2x2?x4?24 ?x?x?x?5?125 则P3，P4，P5组成一个基。令x1?x2?0 得基可行解x??0,0,15,24,5?，由此列出初始单纯形表 ?1??2。??min??,?? 245?,??4 61? 3?3?15 ,24,?? 2?2?5 ?2?0，??min?新的单纯形表为 篇二：运筹学习题及答案
运筹学： 运输问题习题与答案
1、物资调运方案的最优性判别准则是：当（）时，当前的方案一定是最优方案。 正确答案：非负 2、可以作为表上作业法的初始调运方案的填有数字的方格数应为（）个(设问题中含有m个供应地和n个需求地)。 正确答案：m+n－1 3、若调运方案中的某一空格的检验数为1，则在该空格的闭回路上调整单位运量而使运费增加（）。 正确答案：1 4、调运方案的调整是要在检验数出现（）的点为顶点所对应的（）内进行运量的调整。 正确答案：负值闭回路 二、选择题 5、在运输问题中，可以作为表上作业法的初始基可行解的调运方案应满足的条件是（）。 A.含有m+n—1个基变量 B.基变量不构成闭回路 C.含有m+n一1个基变量且不构成闭回路 D.含有m+n一1个非零的基变量且不构成闭回路 正确答案：D 6、在表上作业法求解运输问题中，非基变量的检验数（）。 A.大于0
B.小于0 C.等于0 D.以上三种都可能 正确答案：D 7、运输问题的初始方案中，没有分配运量的格所对应的变量为（）。 A.基变量 B.非基变量 C.松弛变量 D.剩余变量 正确答案：B 8、表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，那么基变量所在格为（）。 A.有单位运费格 B.无单位运费格 C.有分配数格 D.无分配数格 正确答案：C 9、表上作业法中初始方案均为（）。 A.可行解 B.非可行解 C.待改进解 D.最优解
正确答案：A 10、闭回路是一条封闭折线，每一条边都是（）。 A.水平 B.垂直 C.水平＋垂直 D.水平或垂直 正确答案：D 11、当供应量大于需求量，欲化为平衡问题，可虚设一需求点，并令其相应运价为（）。 A.0 B.所有运价中最小值 C.所有运价中最大值 D.最大与最小运量之差 正确答案：D
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划 1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058 2442 12121x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ⎪ ⎩⎪ ⎨⎧≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+⎧+≤⎪ ≤⎪⎨ ≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
运筹学课后习题答案
第一章线性规划及单纯形法 1．用*j 〔j=1.2…5〕分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型： 2.解：设123456x x x x x x *表示在第i 个时期初开场工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，*ij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则： 5.〔1〕 Z = 4 〔2〕 解：如图：由图可得： 即该问题具有唯一最优解*(10,6)T x = 〔3〕 无可行解 (4) 如图： 由图知，该问题具有无界解。 6〔1〕 〔2〕 7．1〕系数矩阵A ：364)120C ⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪-⎝⎭ =12345612363008102 0＝（p p p p p p 30000种组合 〔B ，b 〕=040⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭12 3691008110＝0 116/33 00 1 -7/6
∴y1=〔0，16/3，-7/6，0，0，0〕T 同理y2=〔0，10，0，-7，0，0〕T y3=〔0，3，0，0，7/2，0〕T y4=〔7/4，-4，0，0，0，21/4〕T y5=〔0，0，-5/2，8，0，0〕T y6=〔0，0，3/2，0，8，0〕T y7=〔1，0，-1/2，0，0，3〕T y8=〔0，0，0，3，5，0〕T y9=〔5/4，0，0，-2，0，15/4〕T y10=〔0，3，-7/6，0，0，0〕T y11=〔0，0，-5/2，8，0，0〕T y12=〔0，0，-5/2，3，5，0〕T y13=〔4/3，0，0，0，2，3/4〕T y14=〔0，10，0，-7，0，0〕T y15=〔0，3，0，0，7/3，0〕T y16=〔0，0，3/2，0，8，0〕T 基可行解：〔每个*值都大于0〕，〔y3，y6，y8，y12，y13，y15，y16〕 最优解：〔y3，y6，y15，y16〕Z ma*=3 [p2 p3 p4]，[p2 p3 p5]，[p3 p4 p5]，[p2 p4 p5]为奇异，∴只有16个基。解：〔2〕该线性问题最多有246 C=个根本解。 8.基的定义 106 21350 314 B==-≠ ∴*1 *2 *3所对应的列向量可以构成基 B 由*1 *2 *3列向量构成= 106 213 314⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ N 由非基变量对应的向量构成= 35 41 20⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦