八年级期中考试数学知识点
八年级上册数学期中考试题(附答案)
八年级上册数学期中考试题（附答案）在复习中我们要争取做到全面、细致，有计划、有步骤地复习归纳各方面知识，编辑老师为同学们整理八年级上册数学期中考试题，望同学们采纳!!!一、选择题(每题2分，满分20分)1.知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A. 25B. 14C. 7D. 7或252.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3 ，4 ，5 .其中能构成直角三角形的有( )组.A. 2B. 3C. 4D. 53.下列说法中，正确的是( )A. 数轴上的点表示的都是有理数B. 无理数不能比较大小C. 无理数没有倒数及相反数D. 实数与数轴上的点是一一对应的4.下列各式中，正确的是( )A. B. C. D.5.给出下列说法：①﹣6是36的平方根;②16的平方根是4;③ 是无理数;④﹣=2;⑤一个无理数不是正数就是负数.其中，正确的说法有( )A. ①③⑤B. ②④C. ①③D. ①6.下列各组数中互为相反数的是( )A. 5和B. ﹣5和C. ﹣5和D. ﹣|﹣5|和﹣(﹣5)7.下列一次函数中，y随x增大而减小的是( )A. y=3xB. y=3x﹣2C. y=3x+2xD. y=﹣3x﹣28.下列函数中，y是x的正比例函数的是( )A. y=2x﹣1B. y=C. y=2x2D. y=﹣2x+19.一次函数y=﹣5x+3的图象经过的象限是( )A. 一，二，三B. 二，三，四C. 一，二，四D. 一，三，四10.下列各图给出了变量x与y之间的函数是( )A. B. C. D.二、填空题(每小题2分，共20分)11. 的平方根是 .12.比较大小：﹣﹣3.13.已知一个数的平方根为a+3与2a﹣15，则这个数是 .14.若函数y=(m﹣2) 是正比例函数，则m的值是 .15.若点(1，3)在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为 .16.边长为1的正方形的对角线长是 .17.直线y=4x﹣8与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是 .18.若将直线y=﹣2x向上平移4个单位，则所得直线的表达式为 .19.点A在x轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为20.点(﹣5，7)关于y轴对称的点的坐标是，关于原点对称的点的坐标是 .三、解答题(满分60分)21.计算题(1) ﹣(2)(2 ﹣1)2(3)(2+ )(2﹣ )(4) ﹣(1﹣ )0(5) ﹣4(1+ )+(6)( ﹣1.414)0﹣﹣( )﹣1+|1﹣ |22.在同一平面直角坐标系内画出函数y=2x、y=2x+1、y=2x ﹣1的图象.23.如图是边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.24.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5kg;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.(1)写出y与x之间的关系式;(2)求当所挂物体的质量为5kg时弹簧的长度.25.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.(1)这个梯子底端离墙有多少米?(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?26.已知函数y=(2m+1)x+m+3(1)若函数图象经过原点，求m的值;(2)若函数图象与y轴的交点为(0，﹣2)，求m的值;(3)若函数的图象平行于直线y=3x﹣3，求m的值.27.如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：(1)当销售量为2t时，销售收入是元，销售成本是3000元;(2)当销售量为6t时，销售收入是6000元，销售成本是5000元;(3)当销售量等于时，销售收入等于销售成本;(4)当销售量时，该公司盈利(收入大于成本);(5)当销售量时，该公司亏损(收入小于成本);(6)l1对应的函数表达式是 ;(7)l2对应的函数表达式是 .参考答案与试题解析一、选择题(每题2分，满分20分)1.知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A. 25B. 14C. 7D. 7或25考点：勾股定理的逆定理.分析：已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答.解答：解：分两种情况：(1)3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5;(2)3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为 .第三边长的平方是25或7，2.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3 ，4 ，5 .其中能构成直角三角形的有( )组.A. 2B. 3C. 4D. 5考点：勾股定理的逆定理.分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.解答：解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组.故选B.3.下列说法中，正确的是( )A. 数轴上的点表示的都是有理数B. 无理数不能比较大小C. 无理数没有倒数及相反数D. 实数与数轴上的点是一一对应的考点：实数与数轴;无理数.专题：数形结合.分析： A、根据实数与数轴上的点的对应关系即可确定;B、根据无理数的定义即可判定;C、根据无理数的定义及性质即可判定;D、根据实数与数轴上的点的对应关系即可确定.解答：解：A、数轴上的点表示的不一定是有理数，有的是无理数，故选项错误;B、无理数可以比较大小，故选项错误;C、无理数有倒数及相反数，故选项错误;4.下列各式中，正确的是( )A. B. C. D.考点：立方根;平方根;算术平方根.分析： A、根据算术平方根的性质即可判定;B根据算术平方根的性质计算即可判定、C、根据立方根的定义即可判定;D、根据平方根的定义计算即可判定.解答：解：A、，应该=2，故选项错误;B、，应该等于3，故选项错误;C、，不能开立方，故选项错误;5.给出下列说法：①﹣6是36的平方根;②16的平方根是4;③ 是无理数;④﹣=2;⑤一个无理数不是正数就是负数.其中，正确的说法有( )A. ①③⑤B. ②④C. ①③D. ①考点：实数.分析：根据开方运算，可判断①②③④，根据无理数是无限不循环小数，可判断⑤.解答：解：①﹣6是36的平方根，故①正确;②16的平方根是4，故②错误;③27的立方根是3，3是有理数，故③错误;④﹣ =2，故④正确;6.下列各组数中互为相反数的是( )A. 5和B. ﹣5和C. ﹣5和D. ﹣|﹣5|和﹣(﹣5)考点：实数的性质.分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案. 解答：解：A、两个数相等，故A错误;B、两个数互为倒数，故B错误;C、两个数相等，故C错误;7.下列一次函数中，y随x增大而减小的是( )A. y=3xB. y=3x﹣2C. y=3x+2xD. y=﹣3x﹣2考点：一次函数的性质;正比例函数的性质.分析：由一次函数的性质，在直线y=kx+b(k0)中，当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.解答：解：在y=kx+b中，当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.A、函数y=3x中的k=30，故y的值随着x值的增大而增大.故本选项错误;B、函数y=3x﹣2中的k=30，y的值随着x值的增大而增大.故本选项错误;C、函数y=3x+2x=5x中的k=50，y的值随着x值的增大而增大.故本选项错误;D、函数y=﹣3x﹣2中的k=﹣30，y的值随着x值的增大而减小.故本选项正确;8.下列函数中，y是x的正比例函数的是( )A. y=2x﹣1B. y=C. y=2x2D. y=﹣2x+1考点：正比例函数的定义.分析：根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数.9.一次函数y=﹣5x+3的图象经过的象限是( )A. 一，二，三B. 二，三，四C. 一，二，四D. 一，三，四考点：一次函数的性质.分析：根据直线解析式知：k0，b0.由一次函数的性质可得出答案.解答：解：∵y=﹣5x+310.下列各图给出了变量x与y之间的函数是( )A. B. C. D.考点：函数的图象.分析：函数就是在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数.在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点.根据定义即可判断.解答：解：A、B、C中对于x的值y的值不是唯一的，因而不符合函数的定义;二、填空题(每小题2分，共20分)11. 的平方根是 3 .考点：平方根;算术平方根.分析：首先化简，再根据平方根的定义计算平方根.12.比较大小：﹣﹣3.考点：实数大小比较.分析：先把﹣3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可.13.(2分)(春鄂州校级期中)已知一个数的平方根为a+3与2a﹣15，则这个数是 49 .考点：平方根.分析：根据两个平方根互为相反数，即可列方程得到a的值，然后根据平方根的定义求得这个数.解答：解：根据题意得：a+3+(2a﹣15)=0，14.若函数y=(m﹣2) 是正比例函数，则m的值是﹣2 .考点：正比例函数的定义.分析：直接利用正比例函数的定义直接得出答案.解答：解：∵函数y=(m﹣2) 是正比例函数，m2﹣3=1，m﹣20，15.若点(1，3)在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为 y=3x .考点：待定系数法求正比例函数解析式.专题：计算题;待定系数法.分析：直接将点的坐标代入函数关系式中，即可得到k，继而可得出解析式.解答：解：有y=kx，且点(1，3)在正比例函图象上16.边长为1的正方形的对角线长是 .考点：算术平方根.分析：很据勾股定理，可得答案.本文由一线教师精心整理/word可编辑17.直线y=4x﹣8与x轴的交点坐标是 (2，0) ，与y轴的交点坐标是 (0，﹣8) .考点：一次函数图象上点的坐标特征.分析：根据一次函数直线与x轴相交时，y=0;与y轴相交时，x=0，分别进行计算即可.解答：解：当直线y=4x﹣8与x轴相交时，y=0，因此4x﹣8=0，解得：x=2，故与x轴的交点坐标是(2，0);当直线y=4x﹣8与y轴相交时，x=0，因此40﹣8=y，解得：y=﹣8，为大家推荐的八年级上册数学期中考试题的内容，还满意吗?相信大家都会仔细阅读，加油哦!11 / 11。
江苏省镇江市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)
2023-2024学年第二学期八年级期中考试数学试卷（满分120分 时间100分钟）一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）1．“某种彩票的中奖率为，则购买100张这种彩票能中奖”是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件．2．要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用 的方式比较合适．（填“抽样调查”或“普查”）3．若四边形是平行四边形，，则．4．将50个数据分成5组，列出分布表，其中第一组与第五组的频数分别是5、8，第二与第四组的频率之和是，那么第三组的频数是 ．5．菱形的周长为12，则边长．6．一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为 粒．7．四边形中，，添加一个条件 ，可得四边形成为平行四边形．8．如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为．9．如图，在平面直角坐标系中，将点P 绕原点O 顺时针旋转得到点，则的坐标为．1%ABCD 80A ∠=︒B ∠=︒0.48ABCD AB =ABCD AD BC =ABCD ABCD 10cm AC 16cm ABCD 2cm ()2,390︒P 'P '10．如图，在矩形中，对角线与相交于点O ，垂直且平分线段，垂足为点E ，，则的长为．11．矩形中，，，对角线、相交于点O ，点E 为上一点，将沿折叠，使点D 落在对角线的点F 处，则线段的长为 ．12．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）13．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）ABCD AC BD AE BO 10cm BD =AB cm ABCD 8AB =6BC =AC BD DC ADE V AE AC OE ABCD 2AB =30B ∠=︒P AD PCD CP PCD '△E AB BE CE =D E 'A ．B ．C ．D ．14．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④15．某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ）A ．该调查方式是普查B ．样本容量是C ．每名学生的百米测试成绩是个体D ．名学生的百米测试成绩是总体16．下列判断中不正确的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形17．如图，在中，以点B 为圆心，的长为半径画弧，交于点E ；再分别以点A 和点E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F ；作射线，交于点G ．若，，则的长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．18．如图，在平行四边形中，，，点P 在边上以每秒的速度从点A 向点D 运动，点Q 在边上以每秒的速度从点C 出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t 为何值时，以P ，D ，Q ，B 为顶点的四边形是平行四边形？（ ）10002001000200ABCD Y BA BC 12AE BF AD 6AB =8BC =GD 1.5 2.5ABCD 6cm AB =10cm AD =AD 1cm BC 2.5cm CB s tA．B ．C ．或D ．或三、解答题（本大题共有8小题，共计78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，，分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，求证：四边形是平行四边形．20．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．组别正确字数人数101525根据以上信息完成下列问题：(1)统计表中的________，________．(2)补全条形统计图；203407203407403407E F ABCD AD BC AE CF =BE DF ．BFDE xA 08x ≤<B816x ≤<C1624x ≤<D 2432x ≤<mE3240x ≤<nm =n =(3)扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是________；(4)已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．21．如图，在四边形中，，．(1)在线段上，求作点E ，使；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)在（1）的条件下，连接，，若，，求的度数．22．在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，位置如图所示．(1)把绕原点O 逆时针旋转得，试画出图形，并直接写出点的坐标_____．(2)将绕某点顺时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____．(3)若平面上有一点Q ，使得点C 、、、Q 能构成平行四边形，则Q 的坐标为_____．23．如图，在平行四边形中，于点，于点，且，连接．ABCD 60B ∠=︒AD BC ∥BC BE AE =DE AC BC AD =80AED ∠=︒EAC ∠ABC ABC 90︒111A B C △1C 111A B C △90︒()22,1A -()24,4B -()20,2C 1C 2C ABCD AE BC ⊥E AF CD ⊥F BE DF =AC(1)求证：平行四边形是菱形；(2)连接，若，，则的长为 （直接填空）．24．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD ，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300500…小石子落在圆内（含圆上）的次数m 2059123203…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176293…m ∶n0.6890.6940.6890.706(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m ∶n 的值越来越接近 （结果精确到0.1）．(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m ＋n ），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．(3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD 的面积是多少平方米？（结果保留）25．（1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：ABCD BD 5AB =6AC =BD πABCD AD BC =P BD M DC N AB PMN PNM ∠=∠（2）连接图1中的，并取中点，连结、．①如图2，若，求四边形的周长：②如图3，若，且，求四边形的面积．26．实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为（点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．(1)初步思考：若点P 落在矩形的边上（如图①）．①当点P 与点A 重合时， , 当点E 与点A 重合时，；AC AC Q MQ NQ 8AD =PMQN 4=AD 90DAB ABC ∠+∠=︒PMQN ABCD 4AB =3AD =EF ABCD AB DEF ∠=DEF ∠=②当点E 在上，点F 在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．(2)深入探究：点F 与点C 重合，点E 在上，线段与线段交于点M （如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE 的长度；若不存在，请说明理由．AB DC DEPF 3.5AP =EPFD AD BA FP AM DE1．随机【分析】本题考查事件的分类，关键是理解相关概念：一定会发生的事件叫做必然事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．据此判断即可．【详解】解：由“某种彩票的中奖率为知，购买100张这种彩票能中奖”可能中奖，也有可能不中奖，是随机事件，故答案为：随机．2．普查【分析】本题考查了抽样调查和普查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，事关重大的事情必须用普查，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少，根据抽样调查和全面调查的特点分析解答即可．【详解】解：要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用“普查”的方式比较合适，故答案为：普查3．100【分析】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．根据平行四边形的性质进行求解即可．【详解】∵四边形是平行四边形，，∴．故答案为：100．4．13【分析】先求得第二与第四组的频数之和，据此即可求得第三组的频数．【详解】解：第二与第四组的频数之和是，∴第三组的频数是，故答案为：13．【点睛】本题考查了频数与频率，熟记频率的计算公式是解题关键．5．3【分析】由菱形的性质得出，即可得出答案．【详解】解：∵菱形的周长为12，∴；1%ABCD 80A ∠=︒180100B A ∠=︒-∠=︒500.4824⨯=50582413---=AB BC CD AD ===ABCD 1234AB BC CD AD =====故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质；熟记菱形的四边相等是解此题的关键．6．750【分析】本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，掌握样本概率估计总体概率是解题的关键．首先计算出记号豆子占所有记号豆子的比例，再用取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出．【详解】解：根据题意可得记号豆子的比例：，此时瓶中的豆子总粒数大约是：．故答案为：750．7．（答案不唯一）【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】添加条件为：，理由如下：∵，，∴四边形为平行四边形，故答案为：（答案不唯一）．8．96【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴，∵，∴∴．∴．故答案为：96．213015=15075015÷=ABCD =AB CD =AB CD =AB CD =ABCD AB CD =BO DO =AO CO =AC DB ⊥BO ABCD BO DO =AC DB ⊥AO CO =16cm AC =8cm AO CO ==10cm AB =()6cm BO ===212cm BD BO ==()211·161296cm 22ABCD S AC BD ==⨯⨯=菱形【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．9．【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意作轴，轴，证即可求解．【详解】解：如图所示：作轴，轴，由题意得：∴∴∵∴∴∴的坐标为故答案为：．10．5【分析】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则．【详解】解：∵垂直且平分线段，∴，∵四边形是矩形，对角线与相交于点O ，，()3,2-PA y ⊥P B y '⊥PAO OBP 'V V ≌PA y ⊥P B y '⊥90,POP OP OP ''∠=︒=90AOP BOP AOP OPA '∠+∠=∠+∠=︒BOP OPA'∠=∠90PAO OBP '∠=∠=︒()AAS PAO OBP ' ≌2,3OB AP BP AO '====P '()3,2-()3,2-AB AO =5cm AO =5cm AB AO ==AE BO AB AO =ABCD AC BD 10cm BD =∴，∴．故答案为：5．11【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，在中，，，由折叠的性质可知，，，，，设，则，在中，，，解得：，即，，在中，．12．【分析】作于点，由菱形的性质得，因为，所以，而，则，所以，求得，则，因为，所以，即可求得的最小值为，于是得到问题的答案．115cm 22AO AC BD ===5cm AB AO ==10AC =5OC =DE EF =6AF AD ==90AFE ADE∠=∠=︒DE EF x ==3DE EF ==OE ABCD 8AB =6BC =8CD AB ∴==6AD BC ==90ADC ∠=︒OA OC =Rt ACD 10AC ===152OC AC ∴==DE EF =6AF AD ==90AFE ADE ∠=∠=︒1064CF AC AF ∴=-=-=DE EF x ==8CE CD DE x =-=-Rt CEF 222CE EF CF =+()22284x x ∴-=+3x =3DE EF ==541OF OC CF =-=-= Rt EOF △OE ==2EF BC ⊥F 2BC CD AB ===BE CE =1BF CF ==30B ∠=︒2BE EF =1BF ==EF 2BE CE EF ==2CD CD '==D E CE CD '+≥'2D E 'D E '2【详解】解：作于点，则，四边形是菱形，，，，，，，，，，由折叠得，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．13．DEF BC ⊥F 90CFE∠=︒ ABCD 2AB =30B ∠=︒2BC CD AB ∴===BE CE = 112BF CF BC ∴===30B ∠=︒ 2BE EF ∴=1BF ∴===EF ∴=22BE CE EF ∴===2CD CD '==D E CE CD '+≥' 2D E ∴'+≥2D E ∴≥'D E ∴'2230︒【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：选项A 、B 、C 的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D 的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．14．A【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．【详解】A 选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；B 选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；C 选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；D 选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．15．C【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．【详解】解：A 、该调查方式是抽样调查，故A 不符合题意；B 、样本容量是，故B 不符合题意；C 、每名学生的百米测试成绩是个体，故C 符合题意．D 、名学生的百米测试成绩是总体，故D 不符合题意；故选：．16．B【分析】由矩形的判定可判断A ，由正方形的判定可判断B ，由菱形的判定可判断C ，由平180 2001000C行四边形的判定可判断D ，从而可得答案．【详解】解：四个角相等的四边形是矩形，判断正确，故A 不符合题意；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原判断不准确，故B 符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判断正确，故C 不符合题意；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判断正确，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，矩形，菱形，正方形的判定，掌握“特殊四边形的判定方法”是解本题的关键．17．C【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，角平分线的定义和尺规作图，等角对等边，先由平行四边形的性质得到，，则，由作图方法可知，平分，则可得，进而推出，则．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，由作图方法可知，平分，∴，∴，∴，∴，故选；C ．18．B【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，AD BC ∥8AD BC ==AGB CBG ∠=∠BG ABC ∠ABG AGB ∠=∠6==AG AB 2DG AD AG =-=ABCD AD BC ∥8AD BC ==AGB CBG ∠=∠BG ABC ∠ABG CBG ∠=∠ABG AGB ∠=∠6==AG AB 2DG AD AG =-=ABCD PD BQ PD BQ =P D Q B 、、、PD BQ =ABCD PD BQ P D Q B 、、、PD BQ =设运动时间为，当时，，，∴，，∴(舍去)；当时，，∴，解得：；当时，，∴，解得：(舍去)；综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．故选:B ．19．证明见解析．【分析】由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论．【详解】证明：是平行四边形，，，∴,又，∴，即，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．20．(1)30，20(2)见解析(3)(4)估计该校本次听写比赛不合格的学生人数约为450人．【分析】（1）根据B 组的人数是15，所占的百分比是，据此即可求得总人数，然后根t 04t <≤AP t =10, 2.5, 10 2.5PD t CQ t BQ t =-==-1010 2.5t t -=-1.5 0t =0t =48t <≤, 10, 2.510AP t PD t BQ t ==-=-10 2.510t t -=-407t =810t <≤, 10,2.520, 30 2.5AP t PD t CQ t BQ t ==-=-=-1030 2.5t t -=-403t =t 407, , , P D Q B AD BC =AD BC ∥ED BF =ABCD AD BC ∴=AD BC ∥EF BF ∥AE CF = AD AE BC CF -=-ED BF =∴BFDE 90︒15%据百分比的意义求得m 和n 的值，（2）根据（1）的数据进而补全直方图；（3）利用乘以对应的比例即可求解；（4）利用总人数900乘以对应的比例即可求得．【详解】（1）解：调查的总人数是（人），则，；故答案为：30，20；（2）解：补全图形如下：；（3）解：扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是：；故答案为：；（4）解：该校本次听写比赛不合格的学生人数是：（人）．答：估计该校本次听写比赛不合格的学生人数约为450人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．(1)见解析(2)20°【分析】本题考查尺规作线段，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相关性质，并灵活运用．360︒1515%100÷=10030%30m =⨯=10020%20n =⨯=2536090100︒⨯=︒90︒101525900450100++⨯=（1）以为圆心，的长为半径，画弧，交于点，点即为所求；（2）平行线的性质，角的和差关系推出，进而得到，证明，得到，利用，即可得出结果．【详解】（1）解：如图，点E 就是所求作的点；由作图可知：，∵，∴是等边三角形，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴由（1）得， 是等边三角形，∴，，∴，∴，在和，∴，∴，又∵，∴；B AB BC E E 60EAD ∠=︒B BAE ∠=∠()SAS ABC EAD ≌BAC AED ∠=∠EAC BAC BAE ∠=∠-∠AB BE =60B ∠=︒ABE BE AE =AD BC ∥180BAD ACB ∠+∠=︒=B CAD∠∠60B ∠=︒120BAD ∠=︒ABE AE AB =60=︒∠BAE 60EAD ∠=︒B BAE ∠=∠ABC EAD AB EA B DAE BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，()SAS ABC EAD ≌BAC AED ∠=∠80AED ∠=︒806020∠=∠-∠=︒-︒=︒EAC BAC BAE22．(1)作图见解析；(2)(3)，，【分析】本题主要考查了作图旋转变换，平行四边形的判定，准确找到旋转中心是解题的关键．（1）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）根据旋转的性质求解即可；（3）根据平行四边形的判定求解即可．【详解】（1）如图所示，即为所求；的坐标；（2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P ，∴旋转中心点P 的坐标为；（3）如图所示，()1,1--()1,0()0,0()0,4()2,2---111A B C △1C ()1,1--12A A 12C C 12A A 12C C ()1,0当以为对角线时，可得平行四边形，此时的坐标为；当以为对角线时，可得平行四边形，此时的坐标为；当以为对角线时，可得平行四边形，此时的坐标为；综上所述，点Q 的坐标为或或．23．(1)见解析(2)8【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）证，得，再由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，平行四边形是菱形；（2）解：设交于点，如图所示：2CC 121CC C Q 1Q ()0,41CC 212CC C Q 2Q ()2,2--3CC 132CC Q C 3Q ()0,0()0,0()0,4()2,2--()ASA AEB AFD ≌AB AD =132AO AC ==2BD BO =BD AC ⊥4BO = ABCD B D ∴∠=∠AE BC ⊥ AF CD ⊥90AEB AFD ∴∠=∠=︒AEB △AFD △B D BE DFAEB AFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AEB AFD ∴ ≌AB AD ∴=∴ABCD BD AC O由（1）得：平行四边形是菱形，，，，在中，由勾股定理得：，，故答案为：8．24．(1)0.7(2)0.4(3)封闭图形的面积为10π平方米．【分析】（1）根据提供的m 和n 的值，计算m ：n 后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．【详解】（1）解：20÷29≈0.69；59÷91≈0.65；123÷176≈0.70，…当投掷的次数很大时，则m ：n 的值越来越接近0.7；故答案为：0.7；（2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，故答案为：0.4；（3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4，解得：a =10π，答：封闭图形的面积为10π平方米．ABCD 132AO AC ∴==2BD BO =BD AC ⊥Rt AOB △4BO ===2248BD BO ∴==⨯=4aπ【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）见解析；（2）①四边形的周长为；②．【分析】（1）运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；（2）①运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；②由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案．【详解】（1）证明：如图①，、、分别是、、的中点，、分别是、的中位线，，，，，．（2）①：如图②，、、、分别是、、、的中点，，，，，四边形的周长为16；PMQN 164PMQN S =四边形12PN MQ AD ==12PM QN BC ==8AD BC ==4PN MQ PM QN ====4PN MQ PM QN ====PNQM 90PNQ ∠=︒PNQM P M N BD DC AB PN ∴PM ABD △BCD △12PN AD ∴=12PM BC =AD BC = PN PM ∴=PMN PNM ∴∠=∠P Q M N BD AC DC AB 12PN MQ AD ∴==12PM QN BC ==8AD BC == 4PN MQ PM QN ∴====∴PMQN②：如图③，、、、分别是、、、的中点，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，菱形是正方形，．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．26．(1)①；②证明见解析，菱形的边长为 (2)存在， 【分析】（１）①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形，设，，勾股定理求得，得菱形边长为．（2）如图④中，连接 ．可证，于是，设 ，则，中，运用勾股定理，，解得，P Q M N BD AC DC AB 12PN MQ AD ∴==12PM QN BC ==PN AD ∥QN BC ∥BNP DAB ∴∠=∠ANQ ABC ∠=∠4AD BC == 2PN MQ PM QN ∴====∴PNQM 90DAB ABC ∠+∠=︒ 90BNP ANQ ∴∠+∠=︒90PNQ ∴∠=︒∴PNQM 224PMQN S ∴==四边形9045︒︒，EPFD 852835AE ==DF PF DE PE =DFE FEP ∠=∠PFE PEF ∠=∠DE DF PE PF ===DEPF AE x = 3.5PE DE x ==-1328x =8528EM EAM MPE HL ≌（） AE PM =AE x =3AM DE x ==-Rt CMB △222134x x ++=-（）（）35x =．【详解】（1）①如图，当点P 与点A 重合时， , 当点E 与点A 重合时，；（2）如图②，由折叠可知，，，∵∴，∵，∴，∴，∴∴四边形为菱形时，设 ，则 则 ，解得，∴所以菱形边长为．35AE =1180902DEF AEF Ð=Ð=´°=°190452DEF BEF Ð=Ð=°=°=DF PF DE PE =DF EP ∥DFE FEP ∠=∠DFE PFE Ð=ÐPFE PEF ∠=∠PF PE =DE DF PE PF ===DEPF 3.5AP =AE x = 3.5PE DE x==-2223 3.5x x +=-（）1328x =8132853.528AP ==-8528（2）如图④中，连接 ．∵，∴，∴，设 ，则 ,则 ∵，∴∴，∴．∴．【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．EM DE EP AM ==EAM MPE HL ≌（） AE PM =AE x =3AM DE x ==-1BM x =+MP EA x ==4CP CD ==4MC x=-222134x x ++=-（）（）35x =35AE =。
(必考题)初中数学八年级下期中复习题(提高培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：9931]下列命题中，真命题是（ ）A ．四个角相等的菱形是正方形B ．对角线垂直的四边形是菱形C ．有两边相等的平行四边形是菱形D ．两条对角线相等的四边形是矩形2．(0分)[ID ：9914]下列函数中，是一次函数的是（ ）A ．11y x =+B ．y=﹣2xC ．y=x 2+2D ．y=kx+b （k 、b 是常数） 3．(0分)[ID ：9904]某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示：决赛成绩/分95 90 85 80 人数 4 6 8 2那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( )A ．85，90B ．85，87.5C ．90，85D ．95，904．(0分)[ID ：9902]估计26的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．(0分)[ID ：9893]如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（ ）米A ．5B ．3C ．5+1D ．36．(0分)[ID ：9886]如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为,CE 且D 点落在对角线'D 处．若3,4,AB AD ==则ED 的长为（ ）A ．32B ．3C ．1D ．437．(0分)[ID ：9880]如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60︒，得到线段BM .连接AM 并延长交CD 于点N ，连接MC ，则MNC ∆的面积为（ ）A ．2312a -B ．2212a -C ．2314a -D ．2214a - 8．(0分)[ID ：9871]如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140° 9．(0分)[ID ：9868]若一次函数y ＝(k －3)x －k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是( )A ．k ＜3B ．k ＜0C ．k ＞3D ．0＜k ＜310．(0分)[ID ：9849]若x < 0，则2x x x-的结果是（ ） A ．0 B ．－2 C ．0或－2 D ．211．(0分)[ID ：9921]已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm ，则另一条直角边的长是（ ）A ．4cmB ．43 cmC ．6cmD ．63 cm12．(0分)[ID ：9916]如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413．(0分)[ID ：9834]下列运算正确的是( )A ．532-=B ．822-=C ．114293=D ．()22525-=-14．(0分)[ID ：9910]小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A ．2.7 米B ．2.5 米C ．2.1 米D ．1.5 米15．(0分)[ID ：9885]如图，ABC 中，CD AB ⊥于,D E 是AC 的中点．若6,5,AD DE ==则CD 的长等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题16．(0分)[ID ：10020]若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m ﹣1的图象不经过第_____象限．17．(0分)[ID ：10019]当直线y=kx+b 与直线y=2x-2平行，且经过点(3，2)时，则直线y=kx+b 为______．18．(0分)[ID ：9989]若函数()12m y m x-=+是正比例函数，则m=__________. 19．(0分)[ID ：9980]如图，已知正方形ABCD ，以BC 为边作等边△BCE ，则∠DAE 的度数是_____．20．(0分)[ID ：9972]211a a a a--=，则a 的取值范围是________ 21．(0分)[ID ：9969]已知实数m 、n 满足22112n n m -+-+=m +n ＝__． 22．(0分)[ID ：9961]如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，对角线AC ，BD 满足________，才能使四边形EFGH 是矩形．23．(0分)[ID ：9952]在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB 边上的中线CD=______．24．(0分)[ID ：9951]矩形两条对角线的夹角为60°，矩形的较短的一边为5，则矩形的对角线的长是_____．25．(0分)[ID ：9941]已知矩形ABCD 如图，AB ＝4，BC ＝43，点P 是矩形内一点，则ABP CDP S S ∆∆+＝______________．三、解答题26．(0分)[ID ：10106]如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且 DE ∥AC ，DE=AF ，延长FD 到G ，使DG=DF ，求证：AG 和DE 互相平分．27．(0分)[ID ：10065]下图是某汽车行驶的路程S ()km 与时间t （分钟）的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是 .（2）汽车在中途停了多长时间？（3）当1630t ≤≤时，求S 与t 的函数关系式28．(0分)[ID ：10058]邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，平行四边形ABCD 中，若1,2AB BC ==，则平行四边形ABCD 为1阶准菱形．（1）判断与推理：① 邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形；② 小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD 沿着BE 折叠（点E 在AD 上）使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ，请证明四边形ABFE 是菱形．（2）操作、探究与计算：① 已知平行四边形ABCD 的邻边分别为1，(1)a a >裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值；② 已知平行四边形ABCD 的邻边长分别为,()a b a b >，满足6,5a b r b r =+=，请写出平行四边形ABCD 是几阶准菱形．29．(0分)[ID ：10045]某学校为改善办学条件，计划采购A 、B 两种型号的空调，已知采购3台A 型空调和2台B 型空调，需费用39000元；4台A 型空调比5台B 型空调的费用多6000元．（1）求A 型空调和B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A 、B 两种型号空调共30台，且A 型空调的台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？30．(0分)[ID ：10043]一天李师傅骑车上班途中因车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，回答下列问题：（1）李师傅修车用了多时间；（2）修车后李师傅骑车速度是修车前的几倍．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．B3．B4．D5．C6．A7．C8．A9．D10．D11．C12．A13．B14．C15．C二、填空题16．一【解析】∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根∴△=4+4m＜0解得m＜-1∴m+1＜0m-1＜0∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象经过二三四象限不经过第一象限故答案是：一17．y=2x﹣4【解析】【分析】根据两直线平行可得出k=2再根据直线y=kx+b过点（32）利用一次函数图像上点的坐标特征即可得出关于b的一元一次方程解方程即可求出b值即可求y=kx+b【详解】解：∵直18．2【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得|m|-1=1m+2≠0【详解】因为函数是正比例函数所以|m|-1=1m+2≠0所以m=2故答案为2【点睛】考核知识点：正比例函数的定义理解定义是关键19．15°【解析】【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得∠DAB=∠ABC=90°AB=BC=BE∠EBC=60°可求∠BAE=75°即可得∠DAE的度数【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠DAB20．【解析】【分析】根据二次根式得非负性求解即可【详解】解：∵成立则有：并且即：∴故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的取值范围在二次根式里被开方数必须是非负数21．2【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出n的值进而求出m的值然后代入求解即可得【详解】∵∴解得将代入得：则故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件利用二次根式有意义的条件求出参数22．AC⊥BD【解析】【分析】本题首先根据三角形中位线的性质得出四边形为平行四边形然后根据矩形的性质得出AC⊥BD【详解】解：∵GHE分别是BCCDAD的中点∴HG∥BDEH∥AC∴∠EHG=∠1∠1=23．【解析】【分析】先运用勾股定理求出斜边AB然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：由勾股定理得AB∵∠C=90°CD为AB边上的中线∴CD=AB=故答案为【点睛】本题考查的24．10【解析】【分析】首先根据题意画出图形然后再根据矩形两条对角线的夹角为60°证得△AOB是等边三角形即可解答本题【详解】解：如图：∵四边形ABCD是矩形∴OA=ACOB=BDAC=BD∴OA=OB25．【解析】【分析】根据三角形的面积公式求出△APD和△BPC的面积相加即可得出答案【详解】过点P作MN∥AD交AB于点N交CD于点M如图∴AB∥CDAD∥BCAD=BC=AB=CD=4∴S△APB+S三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据菱形的判断方法、正方形的判断方法和矩形的判断方法逐项分析即可．详解：A选项：∵四个角相等的菱形，∴四个角为直角的菱形，即为正方形，故是真命题；B选项：对角线垂直的四边形可能是梯形，故对角线垂直的四边形是菱形是假命题;C选项：当相等的边是对边时，它不是菱形，故有两边相等的平行四边形是菱形是假命题；D选项：两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故两条对角线相等的四边形是矩形是假命题；故选A.点睛：考查的是命题与定理，熟知正方形、菱形、矩形的判定定理与性质是解答此题的关键，用举反例来证明命题是假命题是判断命题真假的常用方法.2．B解析：B【解析】A、y=1x+1不是一次函数，故错误；B、y=-2x是一次函数，故正确；C、y=x2+2是二次函数，故错误；D、y=kx+b（k、b是常数），当k=0时不是一次函数，故本选项错误，故选B．3．B解析：B【解析】试题解析：85分的有8人，人数最多，故众数为85分；处于中间位置的数为第10、11两个数，为85分，90分，中位数为87.5分．故选B ．考点：1.众数;2.中位数4．D解析：D【解析】【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为3656，故选择D.【点睛】本题考查了二次根式的相关定义.5．C解析：C【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则=；∴AC+BC=（m.答：树高为（故选C.6．A解析：A【解析】【分析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得DEC ≌'D EC ，设ED x =，则'=D E x ，''2=-=AD AC CD ，4AE x =-，再根据勾股定理可得方程2222(4)x x +=-，解方程即可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，3,4AB AD ==，∴3,4====AB CD AD BC ，90ABC ADC ∠=∠=︒，∴ABC 为直角三角形，∴5AC ===，根据折叠可得：DEC ≌'D EC ，∴'3==CD CD ，'DE D E =，'90∠=∠=︒CD E ADC ，∴'90∠=︒AD E ，则AD'E △为直角三角形，设ED x =，则'=D E x ，''2=-=AD AC CD ，4AE x =-，在'Rt AD E 中，由勾股定理得：222''+=AD D E AE ，即2222(4)x x +=-， 解得：32x =， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了轴对称的折叠问题，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．C解析：C【解析】【详解】如图，作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ，则BG=GC ，AB ∥MG ∥CD ，∴AM=MN ，∵MH ⊥CD ，∠D=90°，∴MH ∥AD ，∴NH=HD ，由旋转变换的性质可知，△MBC 是等边三角形，∴MC=BC=a ，∠MCD=30°，∴MH=12MC=12a ，CH=32a ， ∴DH=a 3， ∴CN=CH ﹣3﹣（a 3）=3﹣1）a ， ∴△MNC 的面积=12×2a ×3﹣1）31-a 2. 故选C. 8．A解析：A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．9．D解析：D【解析】【分析】由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵一次函数y=（k-3）x-k的图象经过第二、三、四象限，∴{k−3＜0−k<0，解得：0＜k＜3，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．10．D解析：D【解析】∵x < 0，则2x=x x=-，∴2x xx-=()22x x x x xx x x---===.故选D.11．C解析：C【解析】如图，∵∠C=90°，∠B=30°，3，∴3cm，由勾股定理得：，故选C．12．A解析：A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．13．B解析：B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A．≠A错误；B．=，故B正确；C．=，故C错误；D．2=,故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．14．C解析：C【解析】【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【详解】=2.1（米）．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键．15．C解析：C【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】⊥于D，解：∵ABC中，CD AB∴∠ADC=90°，则ADC为直角三角形，∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt ADC中，AD=6，AC=10，∴8CD=，故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．二、填空题16．一【解析】∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根∴△=4+4m＜0解得m＜-1∴m+1＜0m-1＜0∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象经过二三四象限不经过第一象限故答案是：一解析：一【解析】∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，∴△=4+4m＜0，解得m＜-1，∴m+1＜0，m-1＜0，∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象经过二三四象限，不经过第一象限．故答案是：一．17．y=2x﹣4【解析】【分析】根据两直线平行可得出k=2再根据直线y=kx+b 过点（32）利用一次函数图像上点的坐标特征即可得出关于b的一元一次方程解方程即可求出b值即可求y=kx+b【详解】解：∵直解析：y=2x ﹣4【解析】【分析】根据两直线平行可得出k=2，再根据直线y=kx+b 过点（3，2）利用一次函数图像上点的坐标特征即可得出关于b 的一元一次方程，解方程即可求出b 值，即可求y=kx+b ．【详解】解：∵直线y=kx+b 与直线y=2x-2平行，∴k=2．又∵直线y=kx+b 过点（3，2），∴2=2×3+b ，解得：b=-4． ∴y=kx+b=2x-4．故答案为y=2x-4．【点睛】本题考查的知识点是两直线相交或平行问题已经一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是求出k 和b 的值．18．2【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得|m|-1=1m+2≠0【详解】因为函数是正比例函数所以|m|-1=1m+2≠0所以m=2故答案为2【点睛】考核知识点：正比例函数的定义理解定义是关键解析：2【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得|m|-1=1,m+2≠0.【详解】因为函数()12m y m x-=+是正比例函数，所以|m|-1=1,m+2≠0所以m=2故答案为2【点睛】考核知识点：正比例函数的定义.理解定义是关键. 19．15°【解析】【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得∠DAB=∠A BC=90°AB=BC=BE ∠EBC=60°可求∠BAE=75°即可得∠DAE 的度数【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB解析：15°【解析】【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=BE ，∠EBC=60°，可求∠BAE=75°，即可得∠DAE 的度数．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∵△BEC 是等边三角形∴BC ＝BE ，∠EBC ＝60°∴AB ＝BE ＝BC ，∠ABE ＝∠ABC ﹣∠EBC ＝30°∴∠BAE ＝75°∴∠DAE ＝∠BAD ﹣∠BAE ＝15°故答案为15°. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．20．【解析】【分析】根据二次根式得非负性求解即可【详解】解：∵成立则有：并且即：∴故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的取值范围在二次根式里被开方数必须是非负数解析：01a <≤【解析】【分析】根据二次根式得非负性求解即可．【详解】=成立， 则有：10a ->，0a ≠ ， 10aa ，即：0a >，∴01a <≤，故答案为：01a <≤．【点睛】本题考查的是二次根式的取值范围，在二次根式里被开方数，必须是非负数．21．2【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出n 的值进而求出m 的值然后代入求解即可得【详解】∵∴解得将代入得：则故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件利用二次根式有意义的条件求出参数 解析：2【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出n 的值，进而求出m 的值，然后代入求解即可得．【详解】∵m =∴22101010n n n ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩解得1n =将1n =代入得：2211111121m -+-+==+ 则112m n +=+=故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件求出参数的值是常考知识点，需重点掌握．22．AC⊥BD【解析】【分析】本题首先根据三角形中位线的性质得出四边形为平行四边形然后根据矩形的性质得出AC⊥BD【详解】解：∵GHE 分别是BCCDAD 的中点∴HG∥BDEH∥AC∴∠EHG=∠1∠1=解析：AC ⊥BD【解析】【分析】本题首先根据三角形中位线的性质得出四边形为平行四边形，然后根据矩形的性质得出AC ⊥BD ．【详解】解：∵G 、H 、E 分别是BC 、CD 、AD 的中点， ∴HG ∥BD ，EH ∥AC ，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2， ∴∠2=∠EHG ，∵四边形EFGH 是矩形， ∴∠EHG=90°， ∴∠2=90°， ∴AC ⊥BD ．故还要添加AC ⊥BD ，才能保证四边形EFGH 是矩形．【点睛】本题主要综合考查了三角形中位线定理及矩形的判定定理，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是要明确矩形的性质以及中位线的性质．23．【解析】【分析】先运用勾股定理求出斜边AB 然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：由勾股定理得AB∵∠C=90°CD 为AB 边上的中线∴CD=AB=故答案为【点睛】本题考查的5 【解析】【分析】先运用勾股定理求出斜边AB，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：由勾股定理得，AB22125+=∵∠C=90°，CD为AB边上的中线，∴CD=12AB=52，故答案为52．【点睛】本题考查的是勾股定理和直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答本题的关键．24．10【解析】【分析】首先根据题意画出图形然后再根据矩形两条对角线的夹角为60°证得△AOB是等边三角形即可解答本题【详解】解：如图：∵四边形ABCD是矩形∴OA=ACOB=BDAC=BD∴OA=OB解析：10【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后再根据矩形两条对角线的夹角为60°，证得△AOB是等边三角形，即可解答本题．【详解】解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OB=12BD，AC=BD∴OA=OB，∵∠A0B=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=5，∴AC=2OA=10，即矩形对角线的长为10.故答案为：10.【点睛】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，弄清题意、画出图形是解答本题的关键．25．【解析】【分析】根据三角形的面积公式求出△APD和△BPC的面积相加即可得出答案【详解】过点P作MN∥AD交AB于点N交CD于点M如图∴AB∥CDAD∥BCAD=BC=AB=CD=4∴S△APB+S解析：83【解析】【分析】根据三角形的面积公式求出△APD和△BPC的面积，相加即可得出答案.【详解】过点P作MN∥AD，交AB于点N，交CD于点M．如图，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC=3AB=CD=4，∴S△APB+S△DPC=12×AB×PN+12CD×PM=12×4×PN +12×4×PM =12×4×(PM+PN)=12×4×4383.故答案为：3【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形的面积公式，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力．三、解答题26．证明过程见解析.【解析】【分析】由一组对边平行且相等求解四边形AEGD是平行四边形，即可得出结论.【详解】证明：∵DE∥AC，DE=AF∴四边形AEDF是平行四边形∴AE=DF，AE∥DF∵DG=DF∴AE=DG∴四边形AEGD是平行四边形∴AG和DE互相平分【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定. 应熟练掌握平行四边形的判定定理.27．（1） 80/km h ；（2）7分钟；（3）220=-S t .【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得汽车在前9分钟内的平均速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得汽车在中途停了多长时间；（3）根据函数图象中的数据可以求得当16≤t ≤30时，S 与t 的函数关系式．【详解】解：（1）由图可得，汽车在前9分钟内的平均速度是：12÷9=43km/min ； （2）由图可得，汽车在中途停了：16-9=7min ，即汽车在中途停了7min ；（3）设当16≤t ≤30时，S 与t 的函数关系式是S=at+b ，把（16,12）和（30,40）代入得 16123040a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得220a b =⎧⎨=-⎩， 即当16≤t ≤30时，S 与t 的函数关系式是S=2t-20．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．28．（1）① 2，②证明见解析；（2）①见解析，②▱ABCD 是10阶准菱形．【解析】【分析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE ∥BF ，进而得出AE=BF ，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r ，b=5r ，用r 表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD 是几阶准菱形．【详解】解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②答：10阶菱形，∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．29．（1）A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；（2）共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，案三：采购A型空调12台，B型空调18台；（3）采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．【解析】分析：（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．详解：（1）设A 型空调和B 型空调每台各需x 元、y 元，3239000456000x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，解得，90006000x y ⎧⎨⎩＝＝， 答：A 型空调和B 型空调每台各需9000元、6000元；（2）设购买A 型空调a 台，则购买B 型空调（30-a ）台，()()13029000600030217000a a a a ⎧≥-⎪⎨⎪+-≤⎩， 解得，10≤a≤1213， ∴a=10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购A 型空调10台，B 型空调20台，方案二：采购A 型空调11台，B 型空调19台，方案三：采购A 型空调12台，B 型空调18台；（3）设总费用为w 元，w=9000a+6000（30-a ）=3000a+180000，∴当a=10时，w 取得最小值，此时w=210000，即采购A 型空调10台，B 型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．点睛：本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答． 30．（1）5分钟；（2）2倍【解析】【分析】（1）观察图象可得李师傅离家10分钟时开始修车、离家15分钟修完车，两数相减即可得解；（2）观察图象可得李师傅修车前后行驶的路程和时间，即可求得相应的行驶速度，两速度相除即可得解．【详解】解：（1）由图可得，李师傅修车用了15105-=（分钟）；（2）∵修车后李师傅骑车速度是200010002002015-=-（米/分钟），修车前速度为100010010=（米/分钟） ∴2001002÷=∴修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍．【点睛】本题考查了从图象中读取信息的数形结合的能力，需要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各部分图象的变化趋势．。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。
2023-2024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=62. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=63. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=64. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8D. 4x2y=65. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=66. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=67. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=68. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=69. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10C. 5x+3y=15D. 4x2y=610. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=6二、填空题（每题2分，共20分）1. 2x+3y=6，求x的值。
2. 3x+5y=10，求y的值。
3. 4x2y=6，求x的值。
4. 5x+3y=15，求y的值。
5. 2x4y=8，求x的值。
6. 3x+5y=10，求y的值。
7. 4x2y=6，求x的值。
8. 5x+3y=15，求y的值。
9. 2x4y=8，求x的值。
10. 3x+5y=10，求y的值。
三、解答题（每题5分，共25分）1. 解方程组：2x+3y=63x+5y=102. 解方程组：5x+3y=153. 解方程组：2x4y=83x+5y=104. 解方程组：3x+5y=104x2y=65. 解方程组：5x+3y=152x4y=8四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算：2x+3y=63x+5y=102. 计算：4x2y=65x+3y=153. 计算：2x4y=83x+5y=10五、应用题（每题10分，共20分）1. 应用题：2x+3y=62. 应用题： 4x2y=6 5x+3y=15答案解析：一、选择题1. A2. B3. C4. D5. A6. B7. C8. D9. A10. B二、填空题1. x=12. y=23. x=24. y=35. x=26. y=27. x=28. y=39. x=210. y=2三、解答题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=24. x=2, y=35. x=2, y=2四、计算题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=2五、应用题1. x=1, y=22. x=2, y=38. 简答题（每题5分，共25分）1. 简述一元二次方程的一般形式。
2022-2023学年八年级数学上学期期中考前必刷卷含答案解析(人教版)(一)
2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷01数学（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：八年级上册第11-13章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作“沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合”的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（）A．13°B．23°C．33°D．43°3．（2022·江西赣州·八年级期中）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+2b-=0，则c的值可以为（）A．6B．7C．8D．94．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，要使ABC ABD△≌△，下面给出的四组条件，错误的一组是（）A．C D∠=∠，BAC BAD∠=∠B．BC BD=，AC AD=C．BAC BAD∠=∠，ABC ABD∠=∠D．BD BC=，BAC BAD∠=∠5．（2021·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()A．B．C．D．6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，∠O=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=90°则∠O的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．20°7．（2021·黑龙江·同江市第三中学八年级期中）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16B．18C．26D．288．（2022·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是ABC三条角平分线的交点，则ABOS：BCOS△：CAOS△等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：59．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）如图，在ABC 中，4AB AC ==，15B ∠=︒，CD 是腰AB 上的高，则CD 的长（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1210．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图所示，ABC 的两条角平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，若AEF 的周长为30cm ，则AB AC +=（ ）cm ．A ．10B ．20C ．30D ．4011．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∠BAC ＝70︒，则∠EAN 的度数为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．55︒12．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上；④1:3ACDACBSS=：．其中正确的有（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有①③④D ．①②③④13．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP CQ =时，PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．不能确定14．（2022·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，点D 是线段AB 的中点，将一块锐角为45︒的直角三角板按如图()ADE 放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、CE ，CE 与AB 交于点.F 下列判断正确的有（ ）①ACE ≌DBE ；②BE CE ⊥；③DE DF =；④DEFACFSS=A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④第Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上.15．（2020·福建省福州延安中学八年级期中）已知点Р(a ，3)和点Q (4，b )关于x 轴对称，则()2021a b +=________．16．（2022·福建省龙岩市永定区第二初级中学九年级期中）如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A 、B 、C 、D 四点共线，E 为公共顶点．则∠BEC ＝_____．17．（2021·福建·福州教院二附中八年级期末）如图，将等边△ABC 的三条边向外延长一倍，得到第一个新的111A B C △，第二次将等边111A B C △的三边向外延长一倍，得到第二个新的222A B C △，依此规律继续延长下去，若△ABC 的面积01S =，则第2022个新的三角形的面积2022S 为________18．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝10cm ，∠B ＝∠C ，BC ＝8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段AC 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v cm/s ，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值为_______cm/s ．三、解答题：本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分.19．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，BE ＝CF ，AC DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：△ABC ≌△DFE ； (2)若BF ＝12，EC ＝4，求BC 的长．20．（2019·北京市八一中学八年级期中）在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出ABC 关于y 轴对称的A B C '''（其中A '，B '，C '分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法）； (2)直接写出A '，B '，C '三点的坐标：A '（ ），B '（ ），C '（ ）(3)在x 轴上找出点P ，使得点P 到点A 、点B 的距离之和最短（保留作图痕迹）(4)点Q 在坐标轴上，且满足BCQ △是等腰三角形，则所有符合条件的Q 点有__________个．21．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．(1)若D 恰好在BC 的中点上(如图1) ①求证CD =CE ；②求证：△ADE 是等边三角形；(2)若D 为直线BC 上任一点(如图2）其他条件不变，“△ADE 是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．22．（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）（1）如图，在7×6的方格中，△ABC 的顶点均在格点上．试只用不带刻度的直尺，按要求画出线段EF （E ，F 均为格点），各画出一条即可．（2）如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC 的角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）．23．（2022·河南信阳·八年级期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC ，求作一个△DEF ，使EF =BC ，∠F =∠C ，DE =AB （即两边和其中一边所对的角分别相等）．(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF =BC ；②在线段EF 的上方画∠F =∠C ； ③画DE =AB ；④顺次连接相应顶点得所求三角形．(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC 明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．24．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC 中，点D 在边BC 延长线上，100ACB ∠=︒，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ，且50CEH ∠=︒．(1)求∠ACE 的度数； (2)求证：AE 平分∠CAF ； (3)若AC+CD ＝14，AB ＝8.5，且21ACDS=，求△ABE 的面积．25．（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图①，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部点A '的位置时，∠A 、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图②，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 外部点A '的位置时，∠A 、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图③，把四边形ABCD 沿EF 折叠，当点A 、D 分别落在四边形BCFE 内部点A '、D 的位置时，你能求出∠A '、∠D 、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．26．（2021·辽宁葫芦岛·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为﹣3，点B 的坐标为 ；（2）如图②，若x 轴恰好平分∠BAC ，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD 垂直x 轴于D 点，试猜想线段CD 与AM 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，OB ＝BF ，∠OBF ＝90°，连接CF 交y 轴于P 点，点B 在y 轴的正半轴上运动时，△BPC 与△AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷01（人教版2022）数学·全解全析【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】根据△ABC△△DEF，△FED=15°，得△CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：△△ABC△△DEF，△FED=15°，△△CBA=△FED=15°，△△A=132°，△△C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．3．A【分析】先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值．【详解】解：△|a﹣，△a﹣5=0，a=5；b﹣2=0，b=2；则5﹣2＜c＜5+2，3＜c＜7，6符合条件；故选：A．【点睛】本题考查非负数的性质和三角形三条边的关系，准确求出a、b的值是解题的关键.4．D【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．【详解】解：A 、△C D ∠=∠，BAC BAD ∠=∠，AB =AB ，△ABC ABD △≌△(AAS )，正确，故此选项不符合题意；B 、△BC BD =，AC AD =，AB =AB ，△ABC ABD △≌△(SSS )，正确，故此选项不符合题意； C 、△BAC BAD ∠=∠，ABC ABD ∠=∠，AB =AB ，△ABC ABD △≌△(ASA )，正确，故此选项不符合题意；D 、BD BC =，BAC BAD ∠=∠，AB =AB ，两边以及一边对角对应相等，不能判定ABC ABD △≌△，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL 是解题的关键． 5．D【分析】若使PA +PC ＝BC ，则PA =PB ,点P 在线段AB 的垂直平分线上，需要做线段AB 的垂直平分线．【详解】解：A.由作图可知BA =BP ，△BC =BP +PC =BA +PC ，故A 不符合题意； B.由作图可知PA =PC ，△BC =BP +PC =BP +PA ，故B 不符合题意； C.由作图可知AC =PC ，△BC =BP +PC =BP +AC ，故C 不符合题意； D.由作图可知PA =PB ，△BC =BP +PC =PA +PC ，故D 符合题意； 故选：D.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质及作图，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解题关键． 6．C【分析】设△O=x ，进而根据三角形外角的性质表示出△2，即可表示出△3，同理表示出△4，可得△5，再表示出△6，即可△7，最后根据△8=△O +△7得出答案即可． 【详解】设△O=x ，△△2是△ABO 的外角，且△O =△1， △△2=△O +△1=2x ， △△3=△2=2x ． △△4是△BCO 的外角， △△4=△O +△3=3x ， △△5=△4=3x ． △△6是△CDO 的外角， △△6=△O +△5=4x ， △△7=△6=4x ．△△8是△DEO 的外角， △△8=△O +△7=5x ， 即5x =90°， 解得x =18°． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形外角的性质得出待求角之间的等量关系是解题的关键． 7．B【分析】根据垂直平分线的性质可得EC =AE ，据此即可作答． 【详解】△ED 是边AC 的垂直平分线， △AE =EC ，△AB =10厘米，BC =8厘米，△BC +CE +EB =BC +AE +EB =BC +AB =18厘米， 即△BEC 的周长为18厘米， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得EC =AE ，是解答本题的关键． 8．D【分析】过O 点作⊥OD AB 于D ，OE BC ⊥于E ，OF CA ⊥于F ，如图，利用角平分线的性质得到OD OE OF ==，然后根据三角形面积公式得到ABOS：BCO S △：CAOS AB =：BC ：AC ．【详解】过O 点作⊥OD AB 于D ，OE BC ⊥于E ，OF CA ⊥于F ，如图，点O 是ABC 三条角平分线的交点， OD OE OF ∴==，ABO S∴：BCO S △：12CAOSAB OD ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭：12OE BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭：12OF AC AB ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭：BC ：15AC =：20：253=：4：5．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式． 9．B【分析】根据三角形外角的性质得30DAC ∠=︒，再利用含30角的直角三角形的性质可得CD的长． 【详解】解：AB AC =，15B ∠=︒，15ACB B ∴∠=∠=︒，30DAC ∴∠=︒，CD 是腰AB 上的高， CD AB ∴⊥，122CD AC ∴==， 故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，求出30DAC ∠=︒是解题的关键．10．C【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到△EBD ＝△EDB ，证出ED ＝EB ，同理DF ＝FC ，则△AEF 的周长即为AB +AC ，可得出答案． 【详解】解：△EF ∥BC ， △△EDB ＝△DBC ， △BD 平分△ABC ， △△ABD ＝△DBC ， △△EBD ＝△EDB ， △ED ＝EB ， 同理：FD ＝FC ，△AE +AF +EF ＝AE +EB +AF +FC ＝AB +AC ＝30cm ， 即AB +AC ＝30cm ， 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出ED ＝EB ，FD ＝FC 是解题的关键． 11．B【分析】根据三角形内角和定理可求△B +△C ，根据垂直平分线性质，EA ＝EB ，NA ＝NC ，则△EAB ＝△B ，△NAC ＝△C ，从而可得△BAC ＝△BAE +△NAC －△EAN ＝△B +△C －△EAN ，即可得到△EAN ＝△B +△C －△BAC ，即可得解． 【详解】解：△△BAC ＝70︒ ， △△B +△C ＝18070110︒︒︒﹣＝ ， △AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ， △EA ＝EB ，NA ＝NC ，△△EAB ＝△B ，△NAC ＝△C ，△△BAC ＝△BAE +△NAC －△EAN ＝△B +△C －△EAN ， △△EAN ＝△B +△C －△BAC ， ＝11070︒︒﹣ ＝40︒． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求△EAN 的关系式是关键． 12．D【分析】①根据作图的过程可以判定AD 是△BAC 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知△CAD =30°，则由直角三角形的性质来求△ADC 的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】解：①根据作图的过程可知，AD 是△BAC 的平分线． 故①正确； ②如图，△在△ABC 中，△C =90°，△B =30°， △△CAB =60°．又△AD 是△BAC 的平分线， △△1=△2=12△CAB =30°，△△3=90°-△2=60°，即△ADC =60°． 故②正确； ③△△1=△B =30°， △AD =BD ，△点D 在AB 的中垂线上． 故③正确；④△如图，在直角△ACD 中，△2=30°， △CD =12AD ，△BC =CD +BD =12AD +AD =32AD ，DACS=12AC •CD =14AC •AD ．△ABCS =12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ．△DACS：ABCS=14AC •AD ：34AC •AD =1：3． 故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④， 故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定、线段垂直平分线的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉线段垂直平分线的判定和性质． 13．B【分析】根据题意先过点Q 作AD 的延长线的垂线QF ，证明AEP ≅CFQ ，再证明DEP ≅DFQ 得到DE =DF ，最后可以得到DE =12AC ，求出最终结果． 【详解】如图，过点Q 作AD 的延长线的垂线于点F ， △△ABC 是等边三角形， △△A =△ACB =60°， △△ACB =△QCF ， △△QCF =60°， 又△PE △AC ，QF △AC ， △△AEP =△CFQ =90° ， 又AP =CQ ，△△AEP △△CFQ (AAS ) ， △AE =CF ，PE =QF ， 同理可证，△DEP △△DFQ ， △DE =DF ，△AC =AE +DE +CD =DE +CD +CF =DE +DF =2DE ， △DE =12AC =12 ． 故选B ．【点睛】本题属于全等三角形的综合问题，考查作辅助线、全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是关键．14．C【分析】利用ADE 为等腰直角三角形得到45EAD EDA ∠∠==︒，EA ED =，则135EAC EDB ∠∠==︒，则可根据“SAS ”判断ACE △DBE SAS （），从而对①进行判断；再利用AEC DEB ∠∠=证明90BEC DEA ∠∠==︒，则可对②进行判断；由于9090DEF BED AEC ∠∠∠=︒-=︒-，90DFE AFC ACE ∠∠∠==︒-，而AC AD AE =>得到AEC ACE ∠∠>，所以DEF DFE ∠∠<，于是可对③进行判断；由ACE △DBE 得到ACE DBE S S =，由BD AD =得到DAE DBE S S =，所以ACE DAE S S =，从而可对④进行判断．【详解】解：2AB AC =，点D 是线段AB 的中点，BD AD AC ∴==， ADE 为等腰直角三角形，45EAD EDA ∠∠∴==︒，EA ED =，4590135EAC EAD BAC ∠∠∠=+=︒+︒=︒，180********EDB EDA ∠∠=︒-=︒-︒=︒， EAC EDB ∠∠∴=，在ACE 和DBE 中，EA ED EAC EDB AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACE ∴△SAS DBE （），所以①正确；AEC DEB ∠∠∴=，90BEC BED DEC AEC DEC DEA ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==︒，BE EC ∴⊥，所以②正确；90DEF BED ∠∠=︒-．而AEC DEB ∠∠=，90DEF AEC ∠∠∴=︒-，90DFE AFC ACE ∠∠∠==︒-，而AC AD AE =>，AEC ACE ∠∠∴>，DEF DFE ∠∠∴<，DE DF ∴>，所以③错误； ACE △DBE ，ACE DBE S S ∴=，BD AD =，DAE DBE S S ∴=，ACE DAE SS ∴=， DEF ACFS S ∴=，所以④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．15．1【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：△点P （a ，3）和点Q （4，b ）关于x 轴对称，△a =4，b =-3，则20212021()(43)1a b +=-=．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键． 16．48°##48度【分析】根据多边形的内角和，分别得出△ABE ＝120°，△DCE ＝108°，再根据平角的定义和三角形的内角和算出△BEC ．【详解】解：由多边形的内角和可得，△ABE ＝()621806-⨯︒ ＝120°， △△EBC ＝180°﹣△ABE ＝180°﹣120°＝60°，△△DCE ＝()521805-⨯︒＝108°，△△BCE ＝180°﹣108°＝72°，由三角形的内角和得：△BEC ＝180°﹣△EBC ﹣△BCE ＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故答案为：48°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．17．20227【分析】连接1CB ，根据等底同高可得1111112,2,2B BC A CC A AB S S S ===，从而可得17S =，同样的方法可得227S =，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：如图，连接1CB ，1AB BB =，ABC 的面积01S =，101BCB ABC S S S ∴===，又1BC CC =，1111B CC BCB SS ∴==， 112B BC S ∴=，同理可得：11112,2A CC A AB SS ==， 111122217A B C S S ∴==+++=，同理可得：2221112277A B C A B C S S S ===，归纳类推得：7n n n A B n C n S S==，其中n 为非负整数，202220227S ∴=， 故答案为：20227．【点睛】本题考查了图形类规律探索、三角形中线与面积，正确归纳类推出一般规律是解题关键．18．3或154【分析】分情况讨论BPD △，CQP 全等：①设运动了t 秒，BPD CQP ≅△△，得BP CQ =，3t vt =，算出v ；②设运动了t 秒，BDP QCP ≅，得BD CQ =，PB PC =；得34t =，5vt =，解出v ，即可．10AB AC ==，8BC =【详解】①设运动了t 秒，BP CQ =，BPD CQP ≅△△，△点D 是AB 的中点 △152BD AB == △BD PC =△()853BP cm =-=△B 点向C 点运动了33t =，1t =秒△BPD CQP ≅△△△BP CQ =△31v =⨯△3/s v cm =②设运动了t 秒，当BD CQ =时，BDP QCP ≅△5BD =，142PB PC BC === △34t = 解得43t =秒 △BD CQ = △453v =⨯ △15/s 4v cm = 故答案为：3或154． 【点睛】本题考查全等三角形、动点问题，解题的关键是以静制动，利用全等三角形的性质进行解答．19．(1)证明见解析(2)8【分析】（1）先根据平行线的性质可得ACB DEF ∠=∠，再根据线段和差可得BC FE =，然后根据AAS 定理即可得证；（2）先根据线段和差可得8BE CF +=，从而可得4BE =，再根据BC BE EC =+即可得．（1）证明：AC DE ∥，ACB DEF ∠=∠∴，BE CF =，BE CE CF CE ∴+=+，即BC FE =，在ABC 和DFE △中，A D ACB DEF BC FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC DFE ∴≅．（2）解：12,4BF EC ==，8BE CF BF EC ∴+=-=，BE CF =，4BE ∴=，448∴=+=+=．BC BE EC【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．20．(1)见解析；(2)4，1；2，3；−1，−2；(3)见解析；(4)10．【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；（2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；（3）作A点关于x轴的对称点A''，连接A B''交x轴于点P，P点即为所求；（4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．（1）如图1：（2）由图可知A（−4，1），B（−2，3），C（1，−2），△A点关于y轴对称的点为（4，1），B点关于y轴对称的点为（2，3），C点关于y轴对称的点为（−1，−2），△A′（4，1），B′（2，3），C′（−1，−2），故答案为：4，1；2，3；−1，−2；（3）如图2：作A点关于x轴的对称点A''，连接A B''交x轴于点P，△AP BP A P BP A B ''''+=+=，此时PA ＋PB 值最小；（4）如图：以B 为圆心，BC 长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C 为圆心，BC 长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，作线段BC 的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，△△BCQ 是等腰三角形时，Q 点坐标有10个，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．21．(1)①见解析；②见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD，AD△BC，进一步求出△EDC=30°，然后根据三角形内角和定理推出△DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出△DEC=30°，从而得出△EDC=△DEC，再根据“等角对等边”即可证明结论；②由SAS证明△ABD△△ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断出△ADE是等边三角形的结论；（1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得△ADF△△EDC得出AD=ED，再运用已证的结论“△ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出△ADE是等边三角形的结论．（1）①证明：△a∥AB，且△ABC为等边三角形，△△ACE=△BAC=△ABD=60°，AB=AC，△D是BC中点，即BD=CD，△AD△BC，△△ADC=90°，△△ADE=60°，△△EDC=△ADC-△ADE=90°-60°=30°，△△DOC=180°-△EDC-△ACB=90°，△△DEC=△DOC-△ACE=90°-60°=30°，△△EDC=△DEC，△CD=CE；②△BD=CD，CD=CE，△BD=CE，在△ABD和△ACE中，△AB ACABD ACEBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD△△ACE（SAS），△AD=AE，又△△ADE=60°，△△ADE是等边三角形；（2）解：“△ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下：在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示：，△△ACB=60°，△△DCF是等边三角形，△DF=CD，△△ADF+△FDE=△EDC+△FDE=60°，△△ADF=△EDC，△△DAF+△ADE=△DEC+△ACE，△ACE=△ADE=60°，△△DAF=△DEC，△△ADF△△EDC（AAS），△AD=ED，又△△ADE=60°，△△ADE是等边三角形．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题目要求，利用数形结合的思想画出线段EF即可；（2）取格点Q，连接AQ，取AQ的中点J，作射线BJ交AC于点D，线段BD即为所求．【详解】解：（1）如图，线段EF即为所求：（2）如图，线段BD即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23．(1)见解析'；(2)2，D EF(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；（2）根据所画图形填空即可；（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．（1）解：如图所示：（2）'（填三角形的名称）与观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形D EF△ABC明显不全等，'；故答案为：2，D EF（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．24．(1)40︒(2)证明见解析(3)514【分析】（1）先求出80ACD ∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余可得40DCE ∠=︒，然后根据ACE ACD DCE ∠=∠-∠即可得；（2）过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，先根据角平分线的性质可得,EM EH EN EH ==，从而可得EM EN =，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，则EM EH EN ==，设EM EH EN x ===，再根据21ACE DCE ACD S S S +==和三角形的面积公式可得x 的值，从而可得EM 的值，然后利用三角形的面积公式即可得．（1）解：100ACB ∠=︒，18080ACD ACB ∴∠=︒-∠=︒，,50EH BD CEH ⊥∠=︒，9040DCE CEH ∴∠=︒-∠=︒，40ACE ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒．（2）证明：如图，过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，BE 平分ABC ∠，,EM BF EH BD ⊥⊥，EM EH ∴=，由（1）可知，40ACE DCE ∠=∠=︒，即CE 平分ACD ∠， EN EH ∴=，EM EN ∴=，又点E 在CAF ∠的内部，AE ∴平分CAF ∠．（3）解：如图，过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，由（2）已得：EM EH EN ==，设EM EH EN x ===，21ACD S =， 21ACE DCE S S +∴=，112221AC EN CD EH ∴⋅+⋅=，即()1221x AC CD +=， 又14AC CD +=，211223142x AC CD ⨯=∴⨯==+， 3EM ∴=，8.5AB =，ABE ∴的面积为11518.53224AB EM ⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．25．（1）2△A ＝△1+△2；见解析；（2）2△A ＝△1﹣△2；见解析；（3）2（△A +△D ）＝△1+△2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出△3、△4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出△3、△4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出△3、△4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，△3=EDA '∠=12（180-△1），△4=DEA '∠=12（180-△2），△△A +△3+△4=180°，△△A +12（180-△1）+12（180-△2）=180°，整理得，2△A =△1+△2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，△3=12（180-△1），△4=12（180+△2），△△A+△3+△4=180°，△△A+12（180-△1）+12（180+△2）=180°，整理得，2△A=△1-△2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，△3=12（180-△1），△4=12（180-△2），△△A+△D+△3+△4=360°，△△A+△D+12（180-△1）+12（180-△2）=360°，整理得，2（△A+△D）=△1+△2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．26．（1）（0，3）；（2）AM ＝2CD ，理由见解析；（3）不变，12【分析】（1）过点C 作CH △y 轴于H ，由全等三角形的判定定理可得ABO BCH ≌，可得3CH BO ==，即可求解； （2）延长AB ，CD 交于点N ，由全等三角形的判定定理可得ADN ADC ≌，得出CD DN =，再依据全等三角形判定定理证明ABM CBN ≌，可得AM CN =，即可得结论；（3）如图③，作CG △y 轴于G ，由全等三角形判定定理可得BAO CBG ≌，得出BG AO =，CG OB =，再依据全等三角形的判定可证CGP FBP ≌，得出PB PG =，可得1122PB BG AO ==，由三角形面积公式可求解． 【详解】解：（1）如图①，过点C 作CH △y 轴于H ，△90BHC ABC ∠=︒=∠，△90BCH CBH ABH CBH ∠+∠=∠+∠=︒，△BCH ABH ∠=∠，△点C 的横坐标为﹣3，△3CH =，在ABO 和BCH 中，BCH ABH BHC AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，△ABO BCH ≌，△3CH BO ==，△点B （0，3）；故答案为：（0，3）；（2）2AM CD =，如图②，延长AB ，CD 交于点N ，△AD 平分BAC ∠，△BAD CAD ∠=∠，在ADN 和ADC 中，90BAD CAD AD AD ADN ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， △ADN ADC ≌，△CD DN =，△2CN CD =，△90BAD ∠+∠=︒N ，90BCN ∠+∠=︒N ，△BAD BCN ∠=∠，在ABM 和CBN 中，BAM BCN BA BC ABM CBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △ABM CBN ≌，△AM CN =，△2AM CD =；（3）△BPC 与△AOB 的面积比不会变化，理由：如图③，作CG △y 轴于G ，△90BAO OBA ∠+∠︒＝，90OBA CBG ∠+∠︒＝，△BAO CBG ∠∠＝，在BAO 和CBG 中，90AOB BGC BAO CBG AB BC ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，△BAO CBG ≌，△BG AO ＝，CG OB ＝，△OB BF ＝，△BF GC ＝，在CGP 和FBP 中，90CPG FPB CGP FBP CG BF ∠=∠⎧⎪∠∠=︒⎨⎪=⎩＝，△CGP FBP ≌，△PB PG ＝， △1122PB BG AO ==， △12AOB S OB OA ∆=⨯⨯，111222PBC S PB GC OB OA ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯， △12PBC AOB S S ∆∆=：． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，理解题意，作出相应辅助线，充分运用全等三角形的判定是解题关键．。
2022-2023学年北京市海淀区第五十七中学八年级上学期期中考试数学试卷带讲解
【详解】过O分别作 ,垂足分别为
则
在 和 中， ,
,
同理： ,
，∠BCO+∠CBO= ，
.
故答案为：110°.
19.已知：如图，在等边 和等边 中，点A在DE的延长线上，如果 ，那么 __________度．
【答案】35
【分析】根据等边三角形的性质得到 ， ， ，则 ，然后根据“ ”可判断 ，再根据全等的性质即可得到 ．
求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为2a，
作法：如图，
(1)作线段BC=a；
(2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；
(3)在射线FD上顺次截取线段FG=GA=a，连接AB，AC，
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．
请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：___________________．
A.( ， )B.(3，5)C.(3． )D.(5， )
【答案】B
【详解】根据关于y轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（3，5），
故选：B
4.如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形 ，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10.如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
新人教版八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(含解析)
期中考试重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【知识点1】三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上,锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 【知识点2】全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）【知识点3】轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个 图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰 所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.【考点1 灵活运用三角形三边关系】【例1】（2019秋•洛龙区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【变式1-1】（2019秋•濉溪县期中）设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（）A．﹣6＜a＜﹣3B．﹣5＜a＜﹣2C．﹣2＜a＜5D．a＜﹣5或a＞2【变式1-2】（2019秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8B．0＜AD＜8C．1＜AD＜4D．3＜AD＜5【变式1-3】（2019•防城港期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cmC．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【考点2 角平分线与多边形内角和】【例2】（2019春•沛县期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（）A．90°+αB．﹣90°C．D．540°【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°【变式2-2】（2019秋•香洲区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【变式2-3】（2018秋•遵义期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC＝（）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D【考点3 多边形内角和与外角和】【例3】（2019秋•岳池县期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条【变式3-1】（2019春•内江期中）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是（）A．7B．8C．7或8D．无法确定【变式3-2】（2019春•诸城市期中）过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的（）A．4倍B．5倍C．6倍D．3倍【变式3-3】（2019•凉山州期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【考点4 三角形全等的条件判断】【例4】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4B．3C．2D．1【变式4-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB ＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式4-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【变式4-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点5 等腰三角形中的分类讨论思想】【例5】（2018春•鄄城县期中）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【变式5-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式5-2】（2019秋•绥棱县期中）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【变式5-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【考点6 三种双角平分线应用】【例6】（2018春•翠屏区校级期中）已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝∠A．【变式6-1】（2019秋•新洲区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝度．【变式6-2】（2019秋•高密市期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BD的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为．【变式6-3】（2018秋•江汉区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．【考点7 线段垂直平分线的应用】【例7】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【变式7-1】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【变式7-2】（2019秋•新乡期中）如图，在△DAE中，∠DAE＝30°，线段AE，AD的中垂线分别交直线DE于B和C两点，则∠BAC的大小是．【变式7-3】（2018秋•老河口市期中）如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A＝70°，则∠BPC的度数是．【考点8 利用轴对称变换求最值】【例8】（2017秋•襄州区期中）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是【变式8-1】（2018秋•洛龙区校级期中）如图，等腰三角形ABC的面积是16，且底边BC长为4，腰AC 的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点EF，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CMD周长的最小值是．【变式8-2】（2019秋•北塘区期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．【变式8-3】（2019•黄冈期中）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．【考点9 全等三角形的判定与性质】【例9】（2019秋•吉县期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD ＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．【变式9-1】（2019•内江期中）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE 交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．【变式9-2】（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．【变式9-3】（2019秋•吴兴区校级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE ＝90°，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【考点10 灵活运用30°直角三角形】【例10】（2018秋•天台县期中）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．【变式10-1】（2019秋•江津区校级期中）已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm．求BC的长．【变式10-2】（2019秋•重庆校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，且CF＝3．求BF．【变式10-3】（2018春•槐荫区期中）如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE ∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的大小；（2）若CD＝3，求DF的长．【考点11 灵活运用“三线合一”】【例11】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【变式11-1】（2018秋•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式11-2】（2019春•广饶县期中）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【变式11-3】（2018秋•硚口区期中）如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F．（1）求证：DF＝EF；（2）过点D作DH⊥AC于点H，求．【考点12 复杂的尺规作图】【例12】（2019秋•罗平县期中）作图题，求作一点P，使PM＝PN，且到∠AOB的两边距离也相等．【变式12-1】（2019春•东阳市期中）如图，已知△ABC．（1）用尺规作△ABC的角平分线BD（保留痕迹，不写作法）；（2）画BC边上的高AE；（3）画AB边上中线CF；（4）在AC边上找点P，使得点P到点B与点C的距离相等．【变式12-2】（2019春•雁塔区校级期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，点P到∠ABC两边的距离相等．【变式12-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．【考点13 三角形内角和与等腰三角形】【例13】（2018秋•杭州期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC 的度数．【变式13-1】（2019秋•沛县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC 上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B 向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．【变式13-2】（2018秋•泗阳县期中）已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD ＝BA，CE＝CA．（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为（直接写出结果）；（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？【变式13-3】（2019秋•越秀区期中）在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．（1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【考点14 等腰三角形中的新定义问题】【例14】（2019秋•椒江区校级期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”．（1）请你在图1，图2中用两种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的“三阶等腰线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）．（2）如图3，△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的“三阶等腰线”，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．【变式14-1】（2019春•市北区期中）（本题画图时，直接用直尺画出相关线段即可，不需尺规作图，直接标注等腰三角形顶角度数即可，不需写出求解过程）把一张顶角为36°的等腰三角形纸片折叠两次，得到3个等腰三角形，你能办到吗？图1是其中的一种方法（虚线表示折痕）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）请你在图1后面用另一种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线①标注折痕（折痕用虚线表示）②标注得到的每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（不必标注折痕，若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）【变式14-2】（2019春•顺德区期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE 是△ABC的一条特异线；（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．【变式14-3】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A ＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【考点15 翻折变换中的角度问题】【例15】（2019春•东台市校级期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A′的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2．（1）如图①，当A′落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．（2）如图②，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．【变式15-1】（2019春•淮阴区期中）如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，研究（1）：如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是．研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．【变式15-2】（2019秋•李沧区期中）图形在折叠过程中会形成相等的边和相等的角，下面是同学们在数学课上所做的三角形、四边形折叠实验，请根据实验过程解决问题：问题（一）如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′和∠A的数量关系是；研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是；研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．问题（二）研究（4）：将问题（一）推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．（直接写出结论）【变式15-3】（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【考点16 三角形中的动点问题】【例16】（2019秋•全椒县期中）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF ＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．【变式16-1】（2018秋•开州区期中）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是三角形；（2）若∠BAC＜60°．①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．【变式16-2】（2018秋•十堰期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【变式16-3】（2019秋•洪山区期中）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC，求证：△DEF为等边三角形期中考试重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【知识点1】三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上,锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n ·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 【知识点2】全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）【知识点3】轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个 图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰 所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线.②对称的图形都全等.。
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八年级期中考试数学知识点
八年级数学是中学数学教育的一个重要阶段，学生开始接触更
高深的数学知识。
八年级期中考试是该年级学生的一次重要考试，为此，本文将为大家总结并整理八年级期中考试数学知识点，帮
助同学们复习备考。
一、代数
1. 一次函数： y=kx+b (k为斜率，b为截距)
2. 一元一次方程：ax+b=c
3. 一元一次不等式: ax+b>c (或ax+b<c)
4. 四则运算
5. 密码锁问题：如何确定密码的位数，使用的符号等
二、几何
1. 同比例线段分割线段
2. 全等图形的判定
3. 等腰三角形和等边三角形
4. 圆及其相关概念：圆心角，圆周角，弧，弦等
5. 平行线与平面的关系：两个直线交于一点，两直线交于多点时，两线平行的条件等
三、概率与统计
1. 样本空间和随机事件
2. 活泼的数据、频数、频率、条形图、直方图等
3. 事件的概率及计算方法
4. 排列组合基础
5. 概率的加法和条件概率
四、数论
1. 同余与剩余系
2. 素数、质因数分解
3. 最大公约数、最小公倍数，及其性质
4. 等比数列的概念及其前n项的求和公式
5. 分数、小数、百分数的相互转换，百分数的应用
综上所述，以上是八年级期中考试数学知识点的总结和整理。
针对每一部分的知识点，同学们需要逐个掌握，强化练习，巩固
知识点。
同时，需要严格按照老师的要求，熟悉题型和做题技巧，考试时注意细节和答题方法。
相信通过我们的努力，一定可以取
得好成绩，为自己的中考打下扎实的数学基础。