专题 直线与圆圆锥曲线知识点
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解27---直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解直线与圆锥曲线的位置关系【高考展望】1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容；2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容；3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法；4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。
【知识升华】知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。
1．直线Ax+By+C ＝0和椭圆+=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C ＝0和双曲线-=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。
（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点.3．直线Ax+By+C ＝0和抛物线y 2＝2px(p ＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程。
（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点. 知识点二：圆锥曲线的弦长1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212tan x x y y k --==α2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x ya b+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .4、对于直线：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=6、点到直线距离公式： 2200BA CBy Ax d +++=7、两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22DE--，半径为r =2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .弦长公式：222d r l -==3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<. 3、空间中两点间距离公式： ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=三、圆锥曲线与方程关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin pAB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切。
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置课件
直线是二维空间中的一维图形，表示 两点之间所有点的集合。
位置关系的分类与定义
相交
当直线与圆锥曲线至少有一个交点时，称为 相交。
相切
当直线与圆锥曲线仅有一个交点时，称为相 切。
相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，称为相离。
02 直线与圆锥曲线相交的位 置关系
直线与圆锥曲线交点个数的问题
01 直线与圆锥曲线可能有一个、两个或无交点。 02 判断交点个数需要利用代数方法，如判别式法。 03 交点个数与直线的斜率和圆锥曲线的类型有关。
离点距离的计算
离点距离是指离点到直线或圆锥曲线的 某一点的距离，可以通过坐标计算得到。
计算方法为使用两点间距离公式，即 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
根据具体问题，可以选择不同的点 作为计算离点距离的基准点，如直 线的交点、圆锥曲线的顶点等。
05 直线与圆锥曲线位置关系 的几何意义
几何问题的求解方法
代数法
通过代数运算和方程求解的方法，求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
解析几何法
利用解析几何的基本原理和方法，通过代数运算和方程求解的方法， 求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
几何直观法
通过观察和想象，利用几何图形的性质和特点，直接求解几何问题。
06 直线与圆锥曲线位置关系 的实际应用
几何图形的构造与解释
直线与圆锥曲线相交
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线相切； 当直线与圆锥曲线有两个交点时，表示直线与圆锥曲线相交。
直线与圆锥曲线相切
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线 相切。
直线与圆锥曲线相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，表示直线与圆锥曲线相离。
高考数学复习：直线与圆锥曲线
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与双曲线位置关系的有关结论
(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个
公共点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是
一条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间的距离公式求解弦
长.
3.圆锥曲线的中点弦问题
2
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆 2 +
2
2
0
2 =1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 k=-2 ;在双曲
0
2 2
所以|PQ|=2 2
+ 1=2 2
2
2
2
b2= 2 >0,所以2
-1
2
1
2
2
1+
2-1
+ 1.
1
2
1+
=
2
,
2
-1
2
+ 1.
因为 a >1,所以
2
2
1+ 2 >1,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
1
<1,所以|PQ|=2 2
2
1+
2-1
所以 0<
所以|PQ|的取值范围为(2 2,4).
1
2
1+
2-1
所以 c=
2 - 2 =1,所以离心率
直线与圆圆锥曲线知识清单
直线与圆圆锥曲线知识清单一、直线1. 直线的斜率：直线与水平线的夹角α的正切值定义为该直线的斜率，记作k。
2. 直线的方程：点斜式、斜截式、两点式和截距式是直线的四种方程形式。
3. 特殊直线：垂直于x轴的直线斜率为0，平行于x轴的直线斜率不存在。
二、圆1. 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心，r为半径。
2. 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F>0。
3. 圆的性质：圆心到圆上任一点的距离相等，都等于半径。
4. 圆与直线的位置关系：相交、相切和相离。
5. 圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切和内含。
三、圆锥曲线1. 椭圆：长轴在x轴上，方程为x²/a²+y²/b²=1，其中a>b>0。
2. 双曲线：长轴在x轴上，方程为x²/a²-y²/b²=1，其中a>0，b>0。
3. 抛物线：顶点在原点，焦点在x轴上，方程为y²=2px，其中p>0。
4. 圆锥曲线的标准方程和一般形式。
5. 圆锥曲线的性质：对称性、范围、顶点、焦点、准线等。
6. 圆锥曲线与直线的位置关系：相交、相切和相离。
7. 圆锥曲线的光学性质：椭圆和双曲线的凹面和凸面分别反射光线和使光线发散。
8. 极坐标系与直角坐标系的转换公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ。
四、平面直角坐标系1. 坐标系：直线与x轴的交点称为x轴的坐标，与y轴的交点称为y轴的坐标。
2. 平面直角坐标系：在平面上，以原点为参考点，向左、右、上、下分别定义x、y轴，并规定正方向为正数，负方向为负数。
3. 平面直角坐标系的性质：坐标系内任意一点P(x，y)到原点的距离相等。
4. 平面直角坐标系的单位：长度单位为1个单位长度，角度单位为1个单位角度。
课件2：2.5 直线与圆锥曲线
A．( 41，0) 10
C． 4, 0
B．(18 ，0) 5
D．( 22，0) 5
此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即AB
与x轴垂直时，便可得出一个定点( 41，0)，故选A.
10
17
3.最值问题
【例3】(2009江苏启东模拟)设椭圆方程为x2 y2 1，过 4
点M 0,1的直线l交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，
2 0.
2由题意知椭圆的另一个焦点为F1 2, 0，且椭圆
过点P(3，2 )，
所以2a | PF1 PF | 4 3， 所以a2 12，b2 a2 c2 8.
所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1. 12 8
2x y 2 0
3由题意，得
x
2
y2
1
，
12 8
10
解得
x
3
或
5
1 证明：由题可知直线MA的斜率存在，且
MA与MB的斜率互为相反数，不妨设直线MA的斜率
为k(k 0)，则直线MA的方程为：y 2 k(x 2)， 2
直线MB的方程为y 2 k(x 2)， 2
代入 x2 y2 1可分别求得， 4
xA
2(4k2 4k 4k 2 1
1），xB
2(4k 2 4k 1）， 4k 2 1
所以k AB
yA xA
yB xB
k(xA xB 2 xA xB
2) 1. 2
即直线AB的斜率为定值 1 .
2
6
2设直线AB的方程为y 1 x m(m 0)，
2 代入 x2 y2 1得，
4 x2 2mx 2m2 2 0，由 0，得0 m2 2. 而xA xB 2m，xA xB 2m2 2. 所以 | AB | (1 k 2 )[(xA xB )2 - 4xA xB ]
高中数学课件-第8讲 直线与圆锥曲线
第8讲 直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线考试要求被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.01聚焦必备知识知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有______、______、______；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By ＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C______；Δ＝0时，直线l与曲线C______；Δ＜0时，直线l与曲线C______.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________________＝________________________________或|AB|＝___________________＝___________________________________，k为直线斜率且k≠0.与椭圆有关的结论常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.( )(3)“直线l 与双曲线C 相切”的充要条件是“直线l 与双曲线C 只有一个公共点”.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )夯基诊断√ √ × × 2.回源教材B A.相离 B.相交C.相切D.无法确定(3)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝________.答案：202突破核心命题考 点 一直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x (或y )，得到关于y (或x )的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.反思感悟C A.1个 B.至多1个C.2个 D.0个C 因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，答案：(1，2)考 点 二弦长问题求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x 1－x 2)2，(y 1－y 2)2，代入两点间的距离公式.(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.反思感悟考 点 三中点弦考向 1利用中点弦确定直线或曲线方程D A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)D 法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B 在双曲线上，由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图.用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤反思感悟2对称问题所以直线l斜率k的取值范围是(－2，2). 反思感悟(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.03限时规范训练(六十四)A级 基础落实练A A.相交B.相切C.相离D.不确定A 直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0).( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)B 由Δ＞0且m ≠3及m ＞0，得m ＞1且m ≠3.D B A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0。
高考数学总复习考点知识及题型专题讲义45 直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学总复习考点知识及题型专题讲义四十五 直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点，且①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|. 3．中点弦问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)点差法即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． 点差法解题的实质是建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的联系，也是“设而不求”思想的具体应用．(2)根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． (3)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.典例剖析题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条 答案 3条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，23 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 解题要点 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解． 题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．答案 3x ＋4y －13＝0解析 法1：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由于A 、B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.∵ P 是A 、B 的中点，∴ x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴ k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴ 直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.法2：直接利用结论k ＝－b 2x 0a 2y 0由中点弦斜率公式可得，中点弦所在直线斜率k ＝－4×316×1＝－34，∴所求直线方程为：y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________． 答案 x 24－y 25＝1解析 法1：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.法2：直接利用结论k ＝b 2x 0a 2y 0∵k AB ＝k FN ＝－15－0－12－3＝1，又由中点弦斜率公式k AB ＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，∴4b 25a 2＝1，4b 2＝5a 2c ＝3，a 2＋b 2＝9.联立，解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 解题要点 点差法是解决此类问题的基本方法，体现了“设而不求”的思想，但对计算要求高．记住一些常见结论，更能提高解题效率．常见结论有：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴ |AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.变式训练 过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 16解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.解题要点 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．当堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0. ∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________． 答案 22解析 由题意知，a ＝13，(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝52， ∵|BF 2|＋|AF 2|＝30，∴|AB |＝22.3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．答案303解析 设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k .代入椭圆方程，得x 2＋2(kx ＋1－k )2＝4.∴(2k 2＋1)x 2＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2－4＝0. 由x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝13.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4－43＝83.∴|AB |＝1＋14·263＝303. 4．(2015四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________． 答案 4 3解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.5．(2013·课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． 答案 x 218＋y 29＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由A ，B 在椭圆上，得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2.∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.其中(x 0，y 0)为A ，B 的中点． ∵k AB ＝0－13－1＝12，x 0＝1，y 0＝－1，∴－b 2a 2·(－1)＝12，即a 2＝2b 2.①又∵c ＝3，∴a 2＝b 2＋9.② 由①②解得a 2＝18，b 2＝9. ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.课后作业一、 填空题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________． 答案 1或0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0,即64－64k＝0,解得k ＝1,因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________． 答案 4解析 ①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________． 答案 4解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，由于直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，所以由抛物线的定义得m ＋n ＋2＝|AB |，其最小值即为通径长2p ＝4．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________． 答案 23解析 PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q (－c ，b 2a )，△PF 2Q 的周长为36.∴4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a ＝5.又a ＝9，解得c ＝6， 解得c a ＝23，即e ＝23.5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________． 答案 3条解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________． 答案 (－153，－1) 7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________． 答案32解析 k AB ＝－12，k OP ＝12，由k AB ·k OP ＝－b 2a 2，得12×(－12)＝－b 2a 2.∴b 2a 2＝14.∴e ＝ca＝1－b 2a 2＝32. 8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________．答案 3个解析 当x ≥0时，曲线为y 29－x 24＝1；当x ＜0时，曲线为y 29＋x 24＝1，如图所示，直线l ：y ＝x ＋3过(0,3)，又由于双曲线y 29－x 24＝1的渐近线y ＝32x 的斜率32＞1，故直线l 与曲线y 29－x 24＝1(x ≥0)有两个交点，显然l 与半椭圆y 29＋x 24＝1(x ≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点.9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________． 答案 x 2＝3y解析 设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py ，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0， ∴x 1＋x 2＝23p ＝3， ∴p ＝32，抛物线的方程为x 2＝3y . 10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5解析 因为直线y －kx －1＝0过定点(0,1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0,1)在椭圆上或椭圆内，即025＋12m≤1，整理，得1m≤1，解得m ≥1.又方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，所以m >0且m ≠5，综上m 的取值范围为m ≥1且m ≠5.11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋y ＝0解析 由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1，∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 二、解答题12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．解析 (1)由题意，可得2a ＋2c ＝6＋42，即a ＋c ＝3＋22， 又b ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，a －c ＝3－22，解得a ＝3，c ＝22， 所以椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t x 29＋y 2＝1消去x 得(m 2＋9)y 2＋2mty ＋t 2－9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋9，y 1y 2＝t 2－9m 2＋9.①因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C (3，0)，所以CA ·CB ＝0. 由CA ＝(x 1－3，y 1)，CB ＝(x 2－3，y 2)得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t 代入上式，得(m 2＋1)y 1y 2＋m (t －3)(y 1＋y 2)＋(t －3)2＝0， 将①代入上式，解得t ＝125或t ＝3.13．(2015陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析 (1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝2,所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知,直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2),代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.。
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专题 直线与圆、圆锥曲线
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2tan x x y y k --=
=α
2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：
121
121
y y y y x x x x --=
-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨
⎧≠=⇔21
2
121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2
12
1b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .
4、对于直线：
0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔12211
22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；
⑶1l 和2l 重合⎩⎨
⎧==⇔1
2211
221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .
5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=
6、点到直线距离公式： 2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7、两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程
1、圆的方程：⑴标准方程：()()22
2
r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：02
2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22D
E
-
-
，半径为r =
2、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .
弦长公式：222d r l -
==3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<. 3、空间中两点间距离公式： ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=
三、圆锥曲线与方程
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 2
21212,;4
p x x y y p ==- ⑵ 2
2;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切。