(整理)微积分知识点归纳.

知识点归纳

1. 求极限

2.1函数极限的性质P35

唯一性、局部有界性、保号性

P34 A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是

：A x f x f x f x f x x x x ==

+==-+-→→)()0()()0(lim lim 0

000 2.2 利用无穷小的性质P37：

定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

0)sin 2(30

lim =+→x x x

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

0)1sin (20lim =→x

x x

定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。

例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131

23523+--+x x x x 0=

2.3利用极限运算法则P41

2.4利用复合函数的极限运算法则P45

2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47

夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0

→x x x arcsin 1=，

lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0)(→x ?)(1

))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55

当0→x 时，

x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，22

1~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66

)(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )

(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120

lim a x →)()(x g x f )

()(lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞，

其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数）

2. 求导数的方法

2.1导数的定义P77：

lim 0

0|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+=??→?)()(000lim h x f h x f h )()(000

lim -+=→

x f h x f h ---=→)()(000lim 00)()(lim 0

x x x f x f x x --=→ 左极限：h

x f h x f x f h )()()(0000lim -+='-→- 右极限：h x f h x f x f h )()()(0000lim -+='+

→+ 定理1：)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是：)()(00x f x f +-'='

2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、

复合函数的导数P87

2.3高阶导数P92

2.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P98

2.5函数的微分定义P100

2.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P103

3.求积分的方法

3.1原函数的定义、不定积分的定义P161

3.2不定积分的性质P163：性质1－性质4

例10 ,P165

3.3基本积分表

3.4换元积分法

3.4.1凑微分法P167

常用凑微分公式P168

3.4.2变量代换法P170

补充基本积分公式P173

3.5分部积分法P175

3.6有理函数的积分

4.6.1有理函数的积分P180

4.6.2三角有理函数的积分

万能置换公式，修改的万能置换公式

4.6.3简单无理函数的积分P186

4.其它

4.1 判断函数连续性及间断性P59

例1,例2,例4,例5,例6,例8

4.2求方程的根

4.2.1零点定理P67,例5,例6

4.2.2罗尔定理P114,例1,例2

4.4.3判断根的唯一性：罗尔定理P114 的例2,单调性P132例5 4.4.4导数的几何意义P80、可导性与连续性的关系P81例10,例11 4.4证明恒等式P116,例3

4.5证明不等式

4.5.1用拉格郎日中值定理P117,例4

4.5.2利用函数单调性P132,例4

4.5判断单调性P131与凹凸性P133、求拐点P134

4.6求函数的极值及最值

4.6.1求函数的极值P136

必要条件P137，第一充分条件P137，第二充分条件P139 4.6.2求函数的最值P140

4.7求曲线的渐近线P144

4.8导数在经济学中的运用

4.8.1边际函数及其经济意义P147

4.8.2弹性函数及其经济意义P150

《促织》知识点整理(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。《促织》知识点整理一、古今异义 1．市中游侠儿得佳者笼养之 ①古义：游手好闲、不务正业的人。②今义：行侠仗义的人。 3．两股间脓血流离 ①古义：大腿。②今义：事物的一部分；量词。 4．儿涕而去涕：①古义：哭泣，流眼泪。（作名词用则意为眼泪）②今义：鼻涕。去：①古义：离开。②今义：与“来”相对。 5．村中少年好事者驯养一虫 ①古义：青年男子，与“老年”相对。②今义：十二岁到十六岁这一时期。 6．民日贴妇卖儿 ①古义：抵押、典当。②今义：粘贴、贴补。三、一词多义 1．责（1）因责常供/令责之里正（要求，责令）（2）每责一头（索要，索取）（3）以塞官责（责任，差使）（4）受扑责时（责罚） 2．靡（1）靡计不施（无，没有）（2）虫尽靡（败退，失败） 3．顾（1）成顾蟋蟀笼/徘徊四顾（看，动词）（2）顾念蓄劣物终无所用（但、只是、不过，连词）4．发（1）窃发盆（打开）（2）探石发穴（掏、挖开）（3）无毫发爽（毛发，头发）5．售（1）久不售（考试中第，考取）（2）亦无售者（买） 6．岁

（1）岁征民间（名作状，每年）（2）成有子九岁（年龄）（3）后岁余/不终岁（年）7．故（1）此物故非西产（本来）（2）故天子一跬步（所以） 8．令（1）有华阴令欲媚上官/令以责之里正（县令，名词）（2）急解令休止（让，动词） 9．上（1）有华阴令欲媚上官（上级）（2）见虫伏壁上（上面）（3）上于盆而养之（放置）（4）以金笼进上（皇上） 10．益（1）死何裨益（好处）（2）成益愕/成益惊喜（更加） 11．掷（1）帘内掷一纸出（抛，扔）（2）虫跃掷径出（腾跃） 12．异（1）宰以卓异闻（与众不同）（2）成述其异（奇特本领） 13．过（1）折过墙隅（经过）（2）裘马过世家（超过）（3）未必不过此已忘（用过）14．强（1）乃强起扶杖（勉强）（2）少年固强之（迫使） 15．中（1）又劣弱不中于款（符合，适应）（2）中绘殿阁（当中） 16．然（1）成然之（意动用法，认为…是对的）（2）然睹促织（连词，表转折，然而）（3）俨然类画（副词词尾，……的样子）（4）庞然修伟/相对默然（形容词词尾，……的样子） 17．逼 ①鸡健进，逐逼之（动词，逼近）②与村东大佛阁逼似（副词，极）18．进 ①以一头进（动词，进献）②径进以啄（动词，前进）19．为 ①为人迂讷（对待）②遂为猾胥报充里正役（被）

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

微积分知识点小结

第一章函数一、本章提要基本概念函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数第二章极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分一、本章提要

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数．第四章微分学的应用一、本章提要 1. 基本概念未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则．第五章不定积分一、本章提要 1. 基本概念原函数，不定积分．

大学微积分l知识点总结二

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。（2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数）（3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数）（4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数（6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】数乘运算加减运线性运（8

释义：函数对应：y=f(u) 说明：（11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一（16）隐函数求不定积分例题说明：（17）三角有理函数积分的万能变换公式（18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换（19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法值得注意的问题：

促织-知识点整理

十九、促织蒲松龄【一】《促织》文言文字词知识整理归纳一、通假字 1、昂其直而高其直（通“值”，价值） 2、手裁举（通“才”，刚刚） 3、而翁归（通“尔”，你的） 4、翼日进宰（通“翌”，明天） 5、虫跃去尺有咫（通“又”） 6、两股间脓血流离（通“淋漓” ） 7、牛羊蹄躈各千计（通“噭” ）二、一词多义 1、责（1）因责常供要求，责令（2）令责之里正要求，责令（3）每责一头索要，索取（4）以塞官责责任，差使（5）受扑责时责罚 2、靡（1）靡计不施无，没有（2）虫尽靡败退 3、顾（1）成顾蟋蟀笼回头看（2）徘徊四顾看，环视（3）顾念蓄劣物终无所用只是，但是 4、发（1）窃发盆打开（2）探石发穴掏（3）无毫发爽古长度单位，十毫为发，极言少

（1）又劣弱不中于款符合，适应（2）中绘殿阁当中 16、然（1）然睹促织然而（2）俨然类画形容词词尾（3）成然之认为…是对的三、词类活用 1、名词作状语（1）岁征民间【每年】（2）得佳者笼养之【用笼子】（3）早出暮归【在早上、在晚上】（4）取儿藁葬【用草席（裹）】（5）日与子弟角【每天】（6）力叮不释【用力】（7）民日贴妇卖儿【每天】 2、名词作动词（1）试使斗而才有才能（2）旬余，杖至百用杖打（3）大喜，笼归用笼子装（4）上于盆而养之装、放置（5）儿涕而去流着泪（6）自名“蟹壳青” 命名（7）细疏其能陈述（8）故天子一跬步走半步一步（9）裘马扬扬穿着皮衣；骑着马（10）独是成氏子以蠹贫以促织富受穷；变富（11）仙及鸡犬成仙 3、使动用法（1）昂其直【使…高，抬高】（2）辄倾数家之产【使…倾尽/竭尽】（3）而高其直【使…高，抬高】 4、意动用法（1）成然之【认为…是对的】（2）成以其小，劣之【认为…劣/差】（3）益奇之【认为…奇特】

大一上微积分知识点重点(供参考)

大一（上）微积分知识点第一章函数一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。第二章极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、

促织文言知识点整理

促织一、文学常识： 1、作者：蒲松龄，清代文学家，字留仙（剑臣），号柳泉居士，世称聊斋先生。文中自称：“异史氏”。 2、本文选自《聊斋志异》，古代文言短篇小说集。如《画皮》、《阿宝》、《婴宁》。 “聊斋”：书斋名。志异：专记奇闻异事。二、通假字 ①昂其直，居为奇货：直通值，价值②手裁举：裁通才，刚刚 ③翼日进宰：翼通翌，第二天④虫跃去尺有咫：有通又 ⑤而翁归：而通尔，你的三、古今异义 ①两股间脓血流离股，古义：大腿今义：臀部 ②儿涕而去涕，古义：眼泪（文中是名词作动词流眼泪），今义，鼻涕。四、一词多义 1、益死何神益（名词，好处，利益）益奇之（副词，更加） 2、逼鸡健进，逐逼之（动词，逼近）与村东大佛阁逼似（副词，极，非常） 3、然然睹促织（连词，表转折，然而）成然之（意动用法，以之为然） 4、故此物故非西产（副词，本来）故天子一畦步（连词，所以） 5、售操童子业，久不售（动词，考取）亦无售者（动词，买） 6、岁后岁余，成子精神复旧（名词，年）宣德间，宫中尚促织之戏，岁征民间（岁，名词作状语，每年） 7、顾顾念蓄劣物终无所用（副词，表转折，但）成顾蟋蟀笼虚（动词，“看”） 8、以以一头进（介词，用）能以神卜（介词，凭借）成以其小（介词，因为）欲居之以为利（连词，来） 9、靡靡计不施（副词，无，不，没有）虫尽靡（动词，失败）五、词类活用 1、名词作状语：（1）岁征民间（每年）（2）市中游侠儿得佳者笼养之（用笼子）

（3）早出暮归（在早上，在傍晚）（4）日与子弟角（每天）（5）力叮不释（用力）（6）民日贴妇卖儿（每天） 2、名词作动词：（1）试使斗而才（有才能）（2）杖至百（用杖打）（3）儿涕而去（流泪）（4）上大嘉悦，诏赐抚臣名马衣缎（传诏）（5）裘马扬扬（穿着裘衣，骑着马）（6）仙及鸡犬（成仙）（7）笼归，举家庆贺（用笼子装）（8）细疏其能（陈述）（9）取儿藳葬（用草席裹）（10）上于盆而养之（放进去，放置）（11）自名“蟹壳青”（命名） 3、形容词作动词（1）有华阴令欲媚上官（献媚，讨好，巴结）（2）薄产累尽（赔光）（3）而心目耳力具穷（用尽）（4）宰严限追比（严定）（5）独是成氏子以蠹贫，以促织富（变穷，变富） 4、、使动用法（1）辄倾数家之产（使……倾，用尽）（2）欲居之以为利，而高其直（使……高，抬高）（3）昂其直（使……高，抬高）（4）不如拼搏一笑（使……拼一下） 5、意动用法（1）成以其小，劣之（认为……不好）（2）益奇之（以……为奇）（3）成然之（认为……对） 6、、形容词作名词 1、成述其异，宰不信：异，特殊的本领六、本文中表时间的词语 ①少间，帘内掷一纸出（一会儿） ②食顷，帘动，片纸抛落（一顿饭功夫） ③及扑入手，已段落腹裂，斯须就毙：斯须，（一会儿，一刻工夫） ④既而得其尸于井（过一会，不久）

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ，其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法分积元换一第换元公式积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

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7、牛羊蹄躈各千计（通“噭” 、重点词语 1、尚:宫中尚促织之戏（崇尚,爱好。 2、居:居为奇货（积,储存。 3、比:宰严限追比（追征 4、啻:虽连城拱璧不啻也（比 5、造:径造庐访成（到 6、固、强 :少年固强之（坚持,一定;强迫。 7、庠:又嘱学使俾入邑庠（学校。 8、过:裘马过世家焉（超过。 9、贴:民日贴妇卖儿（抵押。、通假字 1、昂其直 /而高其直（通“值”价, 值 2、手裁举（通“才”刚, 刚 3、而翁归（通“尔”你, 的 4、翼日进宰（通“翌”明, 天 5、虫跃去尺有咫（通“又” 6、两股间脓血流离（通“淋漓” 三、一词多义

1、责:①因责常供（动词，责令②每责一头（动词，索取③当其为里正、受扑责时（动词, 责罚④以塞官责（名词,差使 2、进:①以一头进（动词，进献②径进以啄（动词，前进 3、益:①死何裨益（名词,好处②益奇之（副词，更加 4、逼:①鸡健进,逐逼之（动词，逼近②与村东大佛阁逼近（副词，极 5、故:①此物故非西产（副词，本来②故天子一跬步（连词，所以 6然:①然睹促织（连词,表转折，然而②俨然类画（副词词尾,……的样子③成然之（动词，认为 . 是对的 7、售:①久不售（动词，考取②亦无售者（动词，买 8、岁:①后岁余（名词，年②岁征民间（名作状，每年 8、咼:欲居之以为利，而咼其直（形容词使动，使咼，抬咼

四、词类活用 1、岁:岁征民间（名作状,每年 2、才:试使斗而才（名作动,有才能 3、笼:市中游侠儿得佳者笼养之（名作状,用笼子 4、倾:辄倾数家之产（使动用法，使.. 倾尽，用尽 5、然:成然之（形容词意动，认为.. 是对的 6、笼:大喜,笼归（名作动,用笼子装 7、日:日与子弟角,无不胜（名作状,每天 9、又试之（于鸡（省略句

《促织》知识点整理

《促织》知识点整理一、通假字 1.昂其直．/而高其直．(直,通“值”，价值、价格） 2.而．翁归(而,通“尔”，你的) 3.手裁．举(裁，通“才”，刚刚) 4．虫跃去尺有．咫(有，通“又”） 5．翼．日进宰（翼，通“翌”，次于“今”的) 6．牛羊蹄躈．各千计（躈，通“噭”，口) 二、古今异义１．市中游侠儿得佳者笼养之 ①古义:游手好闲、不务正业的人。②今义:行侠仗义的人。 3．两股．间脓血流离 ①古义：大腿。②今义：事物的一部分;量词。４.儿涕．而去．涕:①古义：哭泣，流眼泪。（作名词用则意为眼泪）②今义:鼻涕。去：①古义：离开。②今义：与“来”相对。 5．村中少年好事者驯养一虫 ①古义：青年男子,与“老年”相对。②今义：十二岁到十六岁这一时期。 6.民日贴．妇卖儿 ①古义:抵押、典当。②今义：粘贴、贴补。三、一词多义 1．责 (1)因责常供／令责之里正(要求,责令) (2）每责一头(索要,索取）（3)以塞官责(责任，差使） (４)受扑责时（责罚）２．靡 (1）靡计不施（无，没有) （2）虫尽靡(败退，失败) 3.顾 (1）成顾蟋蟀笼/徘徊四顾(看,动词) （２)顾念蓄劣物终无所用（但、只是、不过，连词） 4.发 (1)窃发盆(打开）（2）探石发穴（掏、挖开) (3）无毫发爽(毛发，头发) 5.售 (１)久不售（考试中第,考取） (２）亦无售者(买）６．岁 (1)岁征民间(名作状,每年）

(2）成有子九岁(年龄) (3）后岁余/不终岁（年） 7．故（1）此物故非西产(本来） (2)故天子一跬步（所以) ８．令（１)有华阴令欲媚上官/令以责之里正（县令，名词）（2）急解令休止(让,动词) 9.上（１)有华阴令欲媚上官（上级) (2)见虫伏壁上(上面） (3）上于盆而养之（放置）（４）以金笼进上(皇上） 10.益 (1)死何裨益(好处）（２)成益愕/成益惊喜(更加） 11.掷 (1)帘内掷一纸出（抛，扔) （2)虫跃掷径出(腾跃) 12．异（１）宰以卓异闻（与众不同) (2)成述其异(奇特本领) 1３．过（１）折过墙隅(经过）（2）裘马过世家(超过) （3)未必不过此已忘(用过) 14．强 (1）乃强起扶杖（勉强） (2）少年固强之（迫使) 15.中（1）又劣弱不中于款（符合,适应) (2)中绘殿阁（当中） 16．然 (１）成然之（意动用法,认为…是对的） (２）然睹促织（连词,表转折,然而) （3)俨然类画（副词词尾,……的样子）（4)庞然修伟/相对默然（形容词词尾，……的样子）1７．逼 ①鸡健进，逐逼之（动词,逼近) ②与村东大佛阁逼似(副词,极) 18．进 ①以一头进(动词，进献) ②径进以啄(动词，前进) 19．为

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

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一、重点词语 1、尚:宫中尚促织之戏(崇尚,爱好。 2、居:居为奇货(积,储存。 3、比:宰严限追比(追征 4、啻:虽连城拱璧不啻也(比 5、造:径造庐访成(到 6、固、强:少年固强之(坚持,一定;强迫。 7、庠:又嘱学使俾入邑庠(学校。 8、过:裘马过世家焉(超过。 9、贴:民日贴妇卖儿(抵押。二、通假字 1、昂其直 /而高其直(通“ 值” ,价值 2、手裁举(通“ 才” ,刚刚 3、而翁归(通“ 尔” ,你的 4、翼日进宰(通“ 翌” ,明天 5、虫跃去尺有咫(通“ 又” 6、两股间脓血流离(通“ 淋漓” 7、牛羊蹄躈各千计(通“ 噭” 三、一词多义

1、责:①因责常供(动词,责令②每责一头(动词,索取③当其为里正、受扑责时(动词, 责罚④以塞官责(名词,差使 2、进:①以一头进(动词,进献②径进以啄(动词,前进 3、益:①死何裨益(名词,好处②益奇之(副词,更加 4、逼:①鸡健进,逐逼之(动词,逼近②与村东大佛阁逼近(副词,极 5、故:①此物故非西产(副词,本来②故天子一跬步(连词,所以 6、然:①然睹促织(连词,表转折,然而②俨然类画(副词词尾, …… 的样子③成然之(动词,认为…… 是对的 7、售:①久不售(动词,考取②亦无售者 (动词,买 8、岁:①后岁余(名词,年②岁征民间(名作状,每年四、词类活用 1、岁:岁征民间(名作状,每年 2、才:试使斗而才(名作动,有才能 3、笼:市中游侠儿得佳者笼养之(名作状,用笼子 4、倾:辄倾数家之产(使动用法,使…… 倾尽,用尽 5、然:成然之(形容词意动,认为…… 是对的 6、笼:大喜,笼归(名作动,用笼子装 7、日:日与子弟角,无不胜(名作状,每天 8、高:欲居之以为利,而高其直(形容词使动,使…… 高,抬高

《促织》知识点整理

《促织》知识点整理一、古今异义 1．市中游侠儿得佳者笼养之 ①古义：游手好闲、不务正业的人。②今义：行侠仗义的人。 3．两股间脓血流离 ①古义：大腿。②今义：事物的一部分；量词。 4．儿涕而去涕：①古义：哭泣，流眼泪。（作名词用则意为眼泪）②今义：鼻涕。去：①古义：离开。②今义：与“来”相对。 5．村中少年好事者驯养一虫 ①古义：青年男子，与“老年”相对。②今义：十二岁到十六岁这一时期。6．民日贴妇卖儿 ①古义：抵押、典当。②今义：粘贴、贴补。三、一词多义 1．责（1）因责常供/令责之里正（要求，责令）（2）每责一头（索要，索取）（3）以塞官责（责任，差使）（4）受扑责时（责罚） 2．靡（1）靡计不施（无，没有）（2）虫尽靡（败退，失败） 3．顾（1）成顾蟋蟀笼/徘徊四顾（看，动词）（2）顾念蓄劣物终无所用（但、只是、不过，连词）4．发（1）窃发盆（打开）（2）探石发穴（掏、挖开）（3）无毫发爽（毛发，头发）5．售（1）久不售（考试中第，考取）（2）亦无售者（买） 6．岁（1）岁征民间（名作状，每年）（2）成有子九岁（年龄）（3）后岁余/不终岁（年）7．故（1）此物故非西产（本来）（2）故天子一跬步（所以） 8．令（1）有华阴令欲媚上官/令以责之里正（县令，名词）（2）急解令休止（让，动词） 9．上（1）有华阴令欲媚上官（上级）（2）见虫伏壁上（上面）（3）上于盆而养之（放置）（4）以金笼进上（皇上） 10．益（1）死何裨益（好处）（2）成益愕/成益惊喜（更加） 11．掷（1）帘内掷一纸出（抛，扔）（2）虫跃掷径出（腾跃） 12．异（1）宰以卓异闻（与众不同）（2）成述其异（奇特本领） 13．过（1）折过墙隅（经过）（2）裘马过世家（超过）（3）未必不过此已忘（用过）14．强（1）乃强起扶杖（勉强）（2）少年固强之（迫使） 15．中（1）又劣弱不中于款（符合，适应）（2）中绘殿阁（当中） 16．然（1）成然之（意动用法，认为…是对的）（2）然睹促织（连词，表转折，然而）（3）俨然类画（副词词尾，……的样子）（4）庞然修伟/相对默然（形容词词尾，……的样子） 17．逼 ①鸡健进，逐逼之（动词，逼近）②与村东大佛阁逼似（副词，极） 18．进 ①以一头进（动词，进献）②径进以啄（动词，前进） 19．为 ①为人迂讷（对待）②遂为猾胥报充里正役（被） 20．自 ①自昏达曙（从，介词）②不如自行搜觅（自己，代词）③自与汝复算耳（自然，副词）

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