2.2.1用样本频率分布估计总体分布(周军)

归纳1：当总体中的个体所取的不同数值较少 时，其随机变量是离散型。则样本的频率分布表 示形式有： （1）样本频率分布表
试验结果
频数
频率
（2）频率分布条形图
0.7 频率
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
试验结果 1
例1. 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本， 检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件．
2.2.1 用样本的频率分 布估计总体分布
1、用样本去估计总体，是研究统计问题的一个基本思想
2、前面我们学过的抽样方法有:简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样。要注意这几种抽样方法的联系与区别。
3、 初中时我们学习过样本的频率分布，包括频数、 频率的概念，频数分布表和频数分布直方图的制作。
频率分布
样本中所有数据（或数据组）的频数和 样本容量的比，叫做该数据的频率。
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44， 40，59，39，42，44，50，37，44，45，29， 48，45，53，48，37，28，46，50，37，44， 42，39，51，52，62，47，59，46，45，67， 53，49，65，47，54，63，57，43，46，58. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例 约是多少.
〖例2〗：为了了解高一学生的体能 情况,某校抽取部分学生进行一分钟 跳绳次数次测试，将所得数据整理 后，画出频率分布直方图(如图)， 图中从左到右各小长方形面积之比 为2：4：17：15：9：3，第二小组 频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容 量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为 达标，试估计该学校全体高一学生 的达标率是多少？
显然：这个例子与前面抛掷硬币的问题是不同的，这 里的总体可以在一个实数区间取值，称为连续型总体。 样本的频率分布表示形式有：
频率分布表和频率分布直方图
1.极差：样本数据中的最大值和最小 值的差称为极差
0.2～4.3
2.确定组距，组数：.如果将上述 100个数据按组距为0.5进行分组， 那么这些数据共分为多少组？
0.4 组距 0.3 0.2 0.1
O
123
4 5 月均用水量/t
小结
画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1
2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
3、
知识探究（二）：频率分布直方图
5 画频率分布直方图 为了直观反映样本 数据在各组中的分布情况，我们将上述 频率分布表中的有关信息用下面的图形 表示： 频率
组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
（2）样本频率分布直方图：
频率 组距
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O 27 32 37 42 47 52 57 62 67 年龄
（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7， 故年龄在32～52岁的知识分子约占70%.
频率/组距
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
(1) 列出样本的频率分布表； (2) 画出表示样本频率分布的条形图；
(3)根据上述结果，估计此种产品为二级品或三级品的概率 约是多少．
解解：：
0.7 频率
0.6
产品 频数 频率
0.5 一级品 5
（（21））样样本本的频频率率分分布布表为0.4： 二级品 8
的条形图为： 0.3 0.2
三级品 13
0.1
（4.3-0.2）÷0.5=8.2
3 将数据分组，决定分点：以组距为 0.5进行分组，上述100个数据共分为9组， 各组数据的取值范围可以如何设定？
[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5）， …，[4，4.5].
4 画频率分布表：如何统计上述100个数 据在各组中的频数？如何计算样本数据 在各组中的频率？你能将这些数据用表 格反映出来吗？
积之和为多少？ 频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
宽度：组距
高度：
频率 组距
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
各小长方形的面积=频率
各小长方形的面积之和=1
3 分析例题：频率分布直方图非常直观 地表明了样本数据的分布情况，使我们 能够看到频率分布表中看不太清楚的数 据模式，但原始数据不能在图中表示出 来.你能根据上述频率分布直方图指出居 民月均用水量的一些数据特点吗？
（1）上例的样本容量为100，如果增至1000， 其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增 至10000呢？
（2）样本容量越大，这种估计越精确。
总体密度曲线
当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么
频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线——总体密
度曲线．
频率
总体密度曲线
组距
月均用 水量/t
ab
茎叶图
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的 原始记录如下：
(1)甲运动员得分：
13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39
(2)乙运动员得分： 49，24，12，31，50，
31，44，36，15，37，25，36，39
甲 8
463 368 389
1
乙 0 1 25 2 54 3 1 61679 4 49 50
(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.
样本频率分布表：
分组 [27，32） [32，37） [37，42） [42，47） [47，52） [52，57） [57，62） [62，67）
合计
频数 3 3 9 16 7 5 4 3 50
频率 0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00
反面向上 35 964 0.498 9
频率分布条形图
结论：当试验次数
0.7 频率 “正面向上”记 无限增大时，两种试验
0.6
“反面向为上0”记为1 结果的频率大致相等。
0.5
注意：
0.4
① 各长方形长条的宽度要相同。
0.3
②相邻长条的间距要适当。
0.2
0.1
试验结果 ③长方形长条的高度
0
1
表示取各值的频率。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所有数据（或数据组）的频数的分布 变化规律叫做样本的频率分布。
频率分布的表示形式有：
①样本频率分布表 ②样本频率分布图
样本频率分布条形图 样本频率分布直方图 ③样本频率分布折线图
1、抛掷硬币的大量重复试验的结果：
频率分布表：样本容量为72 088
实验结果 频数
频率
正面向上 36 124 0.501 1
注：中间的数字表示得分的十位数字。
旁边的数字分别表示两个人得分的 个位数。
茎叶图
当样本数据较少时，用茎叶 图表示数据的效果较好，它不但 可以保留所有的信息，而且 可以 随时记录，给数据的记录和表示 都方便。
练习：某中学高一（2）班甲，乙两 名同学自高中以来每场数学考试成 绩情况如下：
甲的得分：95，81，75，91，86， 89，71，65，76，88，94
次品 4
0.17 0.27 0.43 0.产13品
一级品 二级品 三级品 次品
(3)此种产品为二级品或三级品的概率约为 0.27＋0.43＝0.7．
知识探究（一）：频率分布表
【问题】 我国是世界上严重缺水的国
家之一，城市缺水问题较为突出，某市 政府为了节约生活用水，计划在本市试 行居民生活用水定额管理，即确定一个 居民月用水量标准a，用水量不超过a的 部分按平价收费，超出a的部分按议价 收费.通过抽样调查，获得100位居民 2007年的月均用水量如下表（单位： t）：
按数据多少常分5-12组。 将数据分组(8.2取整,分为9组)
组数=
极差 组距

4.1 0.5

8.2
4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。
思考： 频率分布条形图和频率分布直方图是两个
相同的概念吗？ 有什么区别？
频率分布的条形图和频率分布直方图的区别
两者是不同的概念；
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
（1）居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而 且是“单峰”的；
乙的得分：83，86，93，99，88， 96，98，98，79，85，97
画出两人数学成绩茎叶图，请根据 茎叶图对两人的成绩进行比较。
小结
图形 频率分布 直方图
茎页图
优点 1）易表示大量数据
缺点 丢失一些
2）直观地表明分布地 情况 信息
1）无信息损失
只能处理样本
2）随时记录方便记录和表示 容量较小数据
宽度：组距
高度：
频率 组距
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
上图称为频率分布直方图，其中横轴 表示月均用水量，纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的宽度 和高度在数量上有何特点？
图形的意义：频率分布直方图中各小长
方形的面积表示什么？各小长方形的面
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的 百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总 体分布的工具.
用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 百分比。
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
横轴：两者表示内容相同 纵轴：两者表示的内容不相同
频率分布条形图的纵轴（长方形的高）表示频率
频率分布直方图的纵轴（长方形的高）表示
频率与组距的比值， 其相应组距上的频率等于该组距上长方形的面积。
•长方形的面积=
频率 组距

组距

频率
理论迁移
例 某地区为了了解知识分子的年龄结构， 随机抽样50名，其年龄分别如下：
o 90 100 110 120 130 140 150 次数
频率分布直方图如下：
频率
连接频率分布直方图
组距
中各小长方形上端的
中点,得到频率分布折
线图
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
利用样本频分布对总体分布进行相应估计
（2）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值 附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少；
（3）居民月均用水量的分布有一定的对称性等.
思考：对一组给定的样本数据，频率分 布直方图的外观形状与哪些因素有关？ 在居民月均用水量样本中，你能以1为组 距画频率分布直方图吗？
与分组数（或组距）及坐标系的单位长 度有关. 频率
分组 [0，0.5） [0.5，1） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5） [3.5，4） [4，4.5]
合计
频数累计
频数
4
正
8
正正正
15
正 正 正 正 22
正 正 正 正 正 25
正正
14
正一
6
4
2
100
频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00