2020高考数学第六章 第五节 数列的综合应用

第五节 数列的综合应用

题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用

[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )

A ．60里

B ．48里

C ．36里

D ．24里

(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．

[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1

2的等比数列{a n }，

设等比数列的首项为a 1，则a 1???

?1－1261－12

＝378，

解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1

2＝12，

则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]

1－(1＋p )

＝a

p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a

p [(1＋p )5－1－p ]．

[答案] (1)C (2)a

p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧]

1．数列与数学文化解题3步骤

1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )

A ．9日

B ．8日

C ．16日

D ．12日

解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋

m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)

2

＝

2×1 125，解得m 1＝9或m 2＝－40(舍去)，故选A.

2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )

A ．11

B ．13

C ．15

D ．17

解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1????1＋q 2＝a (1＋q )????1＋q 2，…，a 5

＝a (1＋2)×(1＋1)×????1＋12×????1＋122×????1＋123＝405

32

a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 题型二 数列中的新定义问题

[典例] 若数列{a n }满足

1

a n ＋1－1

a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”，已知正项数列?

???

??

1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝20 190，则b 2b 2 018的最大值是

________．

[解析] 因为数列????

??

1b n 是“调和数列”，

所以b n ＋1－b n ＝d ，即数列{b n }是等差数列， 所以b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝

2 019(b 1＋b 2 019)2＝2 019(b 2＋b 2 018)

2

＝20 190，

所以b 2＋b 2 018＝20.

又1

b n

>0，所以b 2>0，b 2 018>0，

所以b 2＋b 2 018＝20≥2b 2b 2 018，

即b 2b 2 018≤100(当且仅当b 2＝b 2 018时等号成立)， 因此b 2b 2 018的最大值为100. [答案] 100 [方法技巧]

新定义数列问题的特点及解题思路

新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．

[针对训练]

1．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n ＋2)※2 019＝(2n )※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.

解析：设a n ＝(2n )※2 019，则由运算性质(1)知a 1＝1， 由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3. 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，

故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 025

2．定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为

n

p 1＋p 2＋…＋p n

(n ∈N *)．若各项为正数的

数列{a n }的“美数”为12n ＋1

，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1

b 2 018b 2 019＝________.

解析：因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为1

2n ＋1，

所以

n a 1＋a 2＋…＋a n ＝1

2n ＋1

.

设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n (2n ＋1)， S n －1＝(n －1)[2(n －1)＋1]＝2n 2－3n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＝S n －S n －1＝4n －1(n ≥2)．

又1a 1＝1

3，所以a 1＝3，满足式子a n ＝4n －1， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *)．

又b n ＝a n ＋1

4

，所以b n ＝n ， 所以

1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019

＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019

. 答案：

2 018

2 019

题型三 数列与函数的综合问题

[典例] (1)(2019·重庆模拟)已知f (x )＝x 2＋a ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －3＝0，a n ＝1

2

f ′(n )－n (n ≥1，n ∈N *)，{a n }的前n 项和为S n ，则下列选项正确的是( )

A ．S 2 018－1

B ．S 2 018>ln 2 018＋1

C ．ln 2 018

D ．ln 2 018>S 2 017

(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.

[解析] (1)由题意得f ′(x )＝2x ＋a x ，∴f ′(1)＝2＋a ＝4，解得a ＝2.∴a n ＝1

2f ′(n )－n

＝12????2n ＋2n －n ＝1n (n ≥1，n ∈N *)．设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝1x ＋1－1＝

－x x ＋1

<0，∴g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )

n ，则ln ????1n ＋1＝ln n ＋1n <1n ，∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n <1＋12＋13＋…＋1

n ，故ln(n ＋1)

＝ln x ＋1x －1，则当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝1x －1

x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，

∴h (x )>h (1)＝0，即ln x >1－1x ，x ∈(1，＋∞)．令x ＝1＋1n ，则ln ????1n ＋1＝ln n ＋1n >1n ＋1，∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >12＋13＋…＋1n ＋1

n ＋1

，故ln(n ＋1)>S n ＋1－1.故选A.

(2)因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1·n －1n －2·n －2n －3·n －3n －4·…·

21×1＝n ，即a n ＝n ，所以a 36＝36，a 37＝37，又因为f (－1)＝3，f (0)＝0，所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1)＝f (1)＝－f (－1)＝－3.

[答案] (1)A (2)－3 [方法技巧]

数列与函数综合问题的类型及注意点

1．(2019·玉溪模拟)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝( )

A ．18

B ．21

C ．24

D ．30

解析：选B ∵函数y ＝x 2(x >0)的导函数为y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2

k ＝2a k (x －a k )．令y ＝0，可得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，∴数列{a n }为等比数列，a n ＝16×????12n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.故选B.

2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )

A ．S n ＝2T n

B ．T n ＝2b n ＋1

C ．T n >a n

D ．T n

解析：选D 因为点(n ，S n ＋3)在函数y ＝3×2x 的图象上， 所以S n ＋3＝3×2n ，即S n ＝3×2n －3.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×2n －3－(3×2n －

1－3)＝3×2n －

1，

又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3×2n －

1.

设b n ＝b 1q n －

1，则b 1q n －

1＋b 1q n ＝3×2n －

1，可得b 1＝1，q ＝2，

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －

1.

由等比数列前n 项和公式可得T n ＝2n －1. 综合选项可知，只有D 正确．

3．(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1，0)点，且在x ＝－1处的切线斜率为－1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列????

??

1a n ·

a n ＋1前n 项的和T n . 解：(1)函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1,0)点，

则a －b ＝0，即a ＝b .①

因为f ′(x )＝2ax ＋b ，函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝－1处的切线斜率为－1， 所以－2a ＋b ＝－1.② 由①②得a ＝1，b ＝1，

所以数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )＝n 2＋n . 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n .

当n ＝1时，a 1＝2符合上式，则a n ＝2n . (2)由于a n ＝2n ， 则

1a n ·a n ＋1＝12n (2n ＋2)＝14?

???1

n －1n ＋1，

则T n ＝14????1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1

4????1－1n ＋1＝

n 4n ＋4.

题型四 数列与不等式的综合问题

[典例] (2019·福州八校联考)数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2(n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝

n a n ＋2

，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，证明：对任意n ∈N *，都有15≤S n <4

5.

[证明] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)．∵{a n ＋2}是以a 1＋2＝5为首项，公比q ＝2的等比数列，∴a n ＝5×2n －

1－2.

(2)由(1)可得b n ＝

n

5×2n －1

， ∴S n ＝1

5????1＋22＋322＋…＋n 2n －1，①

12S n ＝15????12＋222＋3

23＋…＋n 2n ，② ①－②可得S n ＝2

5?

???1＋12＋122＋…＋12n －1

－n 2n

＝25? ??

??1－

1

2n

1－12－n 2n

＝25????2－2＋n 2n

<45.

∴S n <4

5，又∵S n ＋1－S n ＝b n ＋1＝n ＋15×2n >0，

∴数列{S n }单调递增，S n ≥S 1＝15，

∴对任意n ∈N *，都有15≤S n <4

5.

[方法技巧]

数列中不等式证明问题的解题策略

数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．

放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2<1k 2－1＝12????1

k －1－1k ＋1. (2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )<1

n

<2(n －n －1)． [针对训练]

(2019·广安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列????

??1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ≥19

10的最小正整数n .

解：(1)由S n ＋1＝S n ＋a n ＋n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，又a 1＝1， 所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝(1＋n )n

2

. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝

(1＋n )n

2

. (2)由(1)知1a n ＝2

(1＋n )n ＝2???

?1n －1n ＋1，

所以T n ＝2[ ????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ]＝2????1－1n ＋1＝2n n ＋1. 令

2n n ＋1≥19

10

，解得n ≥19， 所以满足不等式T n ≥19

10

的最小正整数n 为19.

[课时跟踪检测]

1．(2019·深圳模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?

???

??

1f (n )(n ∈N *)

的前n 项和是( )

A.n n ＋1 B ．

n ＋2

n ＋1

C.n n －1

D ．n ＋1n

解析：选A ∵f ′(x )＝mx m －

1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，则

1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

，用裂项法求和得S n ＝1－12＋12－13＋…＋1

n

－1

n ＋1＝n n ＋1

. 2．已知函数f (n )＝?

????

n 2，n 为奇数，

－n 2

，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝( )

A ．－2 017

B ．－2 018

C ．2 017

D ．2 018

解析：选D 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，则a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．当n 为偶数时，n ＋1为奇数，则a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故选D.

3．(2017·四川乐山模拟)对于数列{a n }，定义H 0＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

1a n

n

为{a n }的“优

值”．现已知某数列的“优值”H 0＝2n ＋

1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小

值为( )

A ．－64

B ．－68

C ．－70

D ．－72

解析：选D 由题意可知：H 0＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

1a n n ＝2n ＋

1，

则a 1＋2a 2＋…＋2n －

1·a n ＝n ·2n ＋

1.

当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －

2·a n －1＝(n －1)·2n ，

两式相减得2n －

1·a n ＝n ·2n ＋

1－(n －1)·2n ，a n ＝2(n ＋1)，

当n ＝1时成立，∴a n －20＝2n －18，显然{a n －20}为等差数列． 令a n －20≤0，解得n ≤9，

故当n ＝8或9时，{a n －20}的前n 项和S n 取最小值， 最小值为S 8＝S 9＝

9×(－16＋0)

2

＝－72，故选D.

4．(2019·湖北襄阳联考)已知函数f ????x ＋1

2为奇函数，g (x )＝f (x )＋1，若a n ＝g ????n 2 019，则数列{a n }的前2 018项和为( )

A ．2 017

B ．2 018

C ．2 019

D ．2 020

解析：选B ∵函数f ????x ＋1

2为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点????12，0对称，∴函数g (x )＝f (x )＋1的图象关于点???

?1

2，1对称，∴g (x )＋g (1－x )＝2，

∵a n ＝g ????n 2 019，∴数列的前2 018项之和为g ????12 019＋g ????22 019＋g ????32 019＋…＋g ????2 0172 019＋g ????

2 0182 019＝2 018.故选B.

5．(2019·林州一中调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝5，a n ＋1＝－1

2a n ＋6，若

对任意的n ∈N *,1≤p (S n －4n )≤3恒成立，则实数p 的取值范围为( )

A ．(2,3]

B ．[2,3]

C ．(2,4]

D ．[2,4]

解析：选B 由数列的递推关系式可得a n ＋1－4＝－1

2(a n －4)，则数列{a n －4}是首项为

a 1－4＝1，公比为－1

2的等比数列，∴a n －4＝1×????－12n －1，∴a n ＝????－12n －1＋4，∴S n ＝ 23????1－????－12n ＋4n ，∴不等式1≤p (S n

－4n )≤3恒成立，即1≤p ×23????

1－????－12n ≤3恒成立．当n 为偶数时，可得1≤p ×23????1－????12n ≤3，可得2≤p ≤92，当n 为奇数时，可得1≤p ×23????1＋

????12n ≤3，可得3

2

≤p ≤3，故实数p 的取值范围为[2,3]．

6．(2019·昆明适应性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4n ，若不等式S n ＋8≥λn 对任意的n ∈N *都成立，则实数λ的取值范围为________．

解析：因为a n ＝4n ，所以S n ＝2n 2＋2n ，不等式S n ＋8≥λn 对任意的n ∈N *恒成立，即λ≤2n 2＋2n ＋8n ，又2n 2＋2n ＋8n ＝2n ＋8n ＋2≥10(当且仅当n ＝2时取等号)，所以实数λ的取

值范围为(－∞，10]．

答案：(－∞，10]

7．(2019·济宁模拟)若数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，那么就称数列{a n }具有性质P .已知数列{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 2 020＝____________.

解析：根据题意，数列{a n }具有性质P ，且a 2＝a 5＝2， 则有a 3＝a 6＝3，a 4＝a 7，a 5＝a 8＝2. 由a 6＋a 7＋a 8＝21，可得a 3＋a 4＋a 5＝21， 则a 4＝21－3－2＝16，

进而分析可得a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3n ＝3，a 4＝a 7＝a 10＝…＝a 3n ＋1＝16，a 5＝a 8＝…＝ a 3n ＋2＝2(n ≥1)，

则a 2 020＝a 3×673＋1＝16. 答案：16

8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一

日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a 1＝3，公比为1

2的等比数列{a n }，设其前n 项

和为A n ；莞草的高度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3????1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3????1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所

以n ＝

lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2

≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同． 答案：3

9．(2019·安阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝x 2＋Bx ＋C －1(B ，C ∈R)的图象上，且a 1＝C .

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记数列b n ＝a n (a 2n －1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋

n (n －1)2d ＝d 2

n 2＋????a 1－d

2n . 又S n ＝n 2＋Bn ＋C －1，

两式比较得d 2＝1，B ＝a 1－d

2，C －1＝0.又a 1＝C ，

解得d ＝2，C ＝1＝a 1，B ＝0， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.

(2)∵b n ＝a n (a 2n －1＋1)＝(2n －1)(2×2n －

1－1＋1)＝(2n －1)×2n ，

∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n ， ∴2T n ＝22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋

1，

∴－T n ＝2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋

1

＝2＋2×4(2n －

1－1)2－1

－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )×2n ＋

1－6，

故T n ＝(2n －3)×2n ＋

1＋6.

10．2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险