数学期望的求解及其应用文献综述
数学期望及方差的实际应用论文
例说数学期望与方差的实际应用【摘要】数学期望作为概率分布中重要的数字特征之一，反应的是随机变量取值的平均水平，方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。
利用概率论中数学期望与方差的思想可以计算出实际生活中的许多问题的最大可能值以及该事件发生的偏差的大小，从而为实际决策提供更具体的参考。
[关键词]数学期望方差最佳决策数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。
现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案。
在当前社会生产中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我将就现实生活中的种种问题，利用离散型随机变量的期望和方差的思想对实际问题进行分析计算，并通过各个方案的比较得出最佳方案。
首先介绍一些基本概念知识：（1）概率分布，（i=1,2,3，、、、，ｎ，、、、，），离散型随机变量的概设离散型随机变量为i率为Ｐi，其概率分布如下：（1）数学期望根据（1）的概率分布，即Ｐ（ξ=i χ）=i P ，i =1,2，…，n,…,称和数∑ii χiP 为随机变量ξ的数学期望，简称期望，记作E(ξ)，则E(ξ)=1χp 1+2χp 2+…+n χp n +…。
（3）方差由（2）推出数学期望E （ξ）存在时，如果E[ξ-E(ξ)]2存在，则称E[ξ-E(ξ)]2为随机变量ξ的方差，记为D(ξ),有D(ξ)=E[ξ-E(ξ)]2=E(2ξ)-E 2(ξ)。
1、数学期望与方差在投资风险程度分析中的应用在市场经济条件下，要想获得较高的期望收益，必须把资金投向几种不同的收益不同风险的金融资产上，而这将为投资者选择投资方案提供一定的理论依据和数字参考，以便于投资者选择可行的投资决策方案。
下面以两个例子进行说明： 例1、某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息。
数学期望应用毕业论文（2）
数学期望应用毕业论文(2)数学期望应用毕业论文篇三【摘要】数学期望是随机变量最重要的特征数之一，它是消除随机性的主要手段.本文通过对数学期望的概念、性质以及应用性的举例，阐述了数学期望在随机事件中的重要地位和很强的应用性.【关键词】数学期望;概率;随机事件引言在17世纪中叶，以为赌徒向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼长久的份赌本问题：甲、乙两赌徒赌技不相上下，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部的赌本100法郎.当甲赢二局、乙赢了一局时，因故(国王召见)要中止赌博，现在要分这100法郎.1654年帕斯卡提出了分法，在其解法里面也首次出现了“数学期望”.本文通过借鉴诗松的《概率论与数理统计》、中山大学数力系翻译的P.L.Meyer的《概率引论及统计应用》和石庆东发表在中国科技信息上的例谈数学期望这篇文章，对数学期望的相关性质以及应用做了进一步的探讨.1.数学期望的定义由于随机变量分为离散随机变量和连续随机变量，所以在定义数学期望式分两种情况.1.1 离散随机变量的数学期望设离散随机变量X的分布列为：这里例题所求运用了期望的定理1，对随机变量所得函数进行了期望计算.3.2 数学期望在实际生活中的应用3.2.1 数学期望在商店进货问题中应用例2 设某商店销售某种商品，该商品每周的需求量ξ是一个服从区间[100，300] 上的均匀分布的随机变量.正常情况下，每销售一单位商品可获利500元.若供大于求，则削价处理，每处理一单位剩余商品亏损100元;若供不应求，可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元.问该商店进货量应该为多少，可使平均每周的利润达到最大?y实际上为变量，对y求导得0，得到y=23.33.又因为E L ″ y=-15<0.所以当y=23.33时，利润的数学期望E L 取得最大值.3.2.2 数学期望在法律纠纷中的应用在民事纠纷案件中，受害人如果将案件提交法院诉讼，其不仅需要考虑诉讼胜利的可能性，还应该考虑承担诉讼的费用问题.如果对案件进行理性思考，一般人往往会选择私下解决而不通过法院.现在以一个民事纠纷案件来说明.例3 某施工单位A在施工过程中由于某种原因致使居民B受伤，使居民受伤并使其遭受了20万元的经济损失.若将该案件提交诉讼，则诉讼费共需要0.8万元，并按所负责任的比例双方共同承担.而根据案件发生的情形以及外部因素的影响，法院最后的判决可能有三种情况：(1)施工单位A承担事故100 % 责任，要向受害人B支付20万元的赔偿费，并支付诉讼费0.8万元;(2)施工单位A承担70 % 的责任，要向受害人B支付14万元的赔偿费，并支付诉讼费0.56万元，另外0.24万元诉讼费由受害人支付;(3)施工单位A承担50 % 的责任，要向受害人B支付10万元的赔偿费，并支付诉讼费0.4万元，另外0.4万元诉讼费由受害人支付.居民B估计法院三种判决的可能性分别为0.2，0.6，02，如果施工单位A想私下和解而免于诉讼，至少应向受害人B赔偿多少数额的赔偿费，才能使受害居民B从经济利益考虑而选择私下和解?首先从受害人B的角度来看受害人通过法院诉讼所获得的期望赔偿.设受害人B上诉可获赔偿为：(万元)，则ξ的分布列：由上述分析和求解可以看出，若从经济利益角度来看，私下和解赔偿给受害人B的数额应该不超过14.976万元，否则，私下和解对于施工单位A便失去了意义.结束语本论文主要涉及了数学期望的概念，性质，定理并通过商品进货，法律问题方面的举例来说明数学期望在实际生活中的应用.整体是由数学期望的理论转向其在实际生活中的应用.从上述众多性质和所列举的例子中可以体会到数学期望的奇妙之处和应用的广泛性，它是减少随机性的重要手段，在涉及概率统计和决策时，往往会利用数学期望理论，但数学期望只是一种平均值，在实际问题中往往要结合其他的数字特征才能更好的解决问题.。
数学期望在实际问题中的应用探讨
数学期望在实际问题中的应用探讨摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。
关键词：数学期望；实际问题；应用在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。
数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。
1 期望的概念及性质1.1 离散型随机变量的数学期望设X 是离散型随机变量，其分布律为P(X =i x )= i p （i=1，2……），若级数1i i i x p ∞=∑ 绝对收敛，则称该级数的和为X 的数学期望，记作)(X E ，即： ∑∞==1)(i i i p x X E1.2 连续型随机变量的数学期望设)(x f 为连续型随机变量X 的概率密度，若积分()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛，则称它为X 的数学期望，记作)(X E ，即： ⎰∞∞-=dx x xf X E )()( 1.3 期望的性质1）c c c E ,)(=为任意常数；2）c X cE cX E ),()(=为常数，X 为变量；3）Y X Y E X E Y X E ,),()()(+=+为变量；4）若Y X ,独立，则)()()(Y E X E XY E =。
2 期望的应用2.1 求职面试问题假如你得到三个有可能成为你的雇主的面试通知，每个雇主都有不同的空缺职位：一般的，好的，极好的，其工资分别为Y2500，Y3000，Y4000．你估计你得到一般的职位可能为0.4，而得到好的和极好的职位的可能性分别为0.3和0.2，有0.1的可能性使你得不到任何职位．每家公司都要求你在面试结束时表态接受或拒绝他们提供给你的职位你应遵循什么策略呢？分析：一般来说，你可以采取的每个行动方案的期望值把决策建立在第一次面试该做什么的基础上，就本问题而言要这样做是困难的，因为一种决策方案(继续去做第二次面试)会由于在第一次面试结束时我们可以做出另一个决策而有不确定的结果。
数学专业文献综述范文
数学专业文献综述范文文章一：数学专业文献综述——函数逼近理论函数逼近理论是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是利用已知的函数近似地求解未知函数。
本篇文章将从函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近三个方面探讨函数逼近理论的研究进展。
一、函数逼近基础函数逼近基础是函数逼近理论的重要组成部分，主要研究的是通过一定的逼近方法，构造近似函数，从而近似地求得未知函数。
在函数逼近基础领域，研究者主要关注的是逼近过程中的误差估计和收敛性质。
二、线性逼近线性逼近是函数逼近中的一种常见方法，它是指使用一组线性函数去近似未知函数。
在线性逼近领域，研究者主要关注的是基函数的选取和线性组合的系数计算方法。
近年来，深度学习技术的发展使得线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
三、非线性逼近非线性逼近是函数逼近中的另一种常见方法，它是指使用一组非线性函数去近似未知函数。
在非线性逼近领域，研究者主要关注的是选取的非线性函数的充分性和逼近精度等问题。
近年来，机器学习技术的发展使得非线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
综上所述，函数逼近理论的研究涵盖了函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近等多个方面。
未来，基于机器学习技术的函数逼近方法将得到更加广泛的应用。
文章二：数学专业文献综述——微分几何微分几何是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是空间上的曲面和流形的性质。
本篇文章将从微分流形、黎曼度量和微分流形上的微积分三个方面探讨微分几何的研究进展。
一、微分流形微分流形是微分几何中的关键概念，它是指一个可以被局部地看做与欧几里得空间同构的空间。
在微分流形领域，研究者主要关注的是流形的切空间、切丛和余切丛等基本概念，以及它们的光滑性质。
二、黎曼度量黎曼度量是微分几何中的重要工具，它是指在微分流形上定义的一个内积和长度的概念。
在黎曼度量领域，研究者主要关注的是黎曼度量的充分性和唯一性、范数和距离的定义，以及它们在诸如广义相对论等领域的应用。
简述数学期望的性质及其应用
编号：***********南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：简述数学期望的性质及其应用完成人：xxx班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：xxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)关键词 (1)0引言 (1)1 数学期望的定义 (1)2 数学期望的性质 (1)2.1一维随机变量数学期望的性质 (1)2.2多维随机变量数学期望的性质 (3)3数学期望的应用 (5)3.1数学期望在农业中的应用 (5)3.2数学期望在生活中的应用 (7)3.3数学期望在经济中的应用 (9)3.4数学期望在数学中的应用 (11)参考文献 (12)Abst ract (12)简述数学期望的性质及其应用作者：xxx指导老师：xxx摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活.关键词：随机变量；风险概率；数学期望0引言概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期望在当今乃至未来的重要作用。
列举一些生产和生活实际中具有重要指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题.1数学期望的定义数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随即变量，其定义如下：广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值.数学定义：设ξ为随机变量，其分布函数为()F x ，若()x dF x ∞-∞∞⎰，则记()()xdF x ξ∞-∞E =⎰，并称()E ξ为ξ的数学期望.2数学期望的性质2.1一维随机变量数学期望的性质性质[]11：设随机变量ξ有数学期望()E ξ，则η=a ξ+b ，（,a b 均为常数）的数学期望是E (η)=a E （ξ）+b ,特别当a =0时有E （b ）=b ，即常数b 的数学期望就是他自己本身. 例（均匀分布）设随机变量ξ的密度函数为()1,;0,a x b b a f x ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩当其他，试求()E ξ与()D ξ.解()()221=-2b x b a E xf x dx dx a b a b a ξ∞-==⋅⎰⎰∞--=2a b +.()()()22D x f x dx E ξξ∞-∞=-⎡⎤⎣⎦⎰=()222b x b a dx a b a +-⎰-=33222134b a b a ab b a -++⋅--=2222234b ab a b a ab ++++-=()2222.1212b a b ab a --+= 故 ()()(),22.12b a E b a D ξξ⎫+⎪=⎪⎬-⎪=⎪⎭性质[]12：设ξ唯一随机变量，()2E ξ<∞，则E （ξ）及D （ξ）存在且()()()22.D ξξξ=E -E ⎡⎤⎣⎦证 由R-S 积分的性质，利用熟知得不等式21x x ≤+有 ()()21x dF x x dF x ξ∞∞-∞-∞⎡⎤E =≤+⎣⎦⎰⎰ ()()()221.dF x x dF x ξ∞∞-∞-∞=+=+E ∞⎰⎰故E （ξ）存在.另一方面：()()()()22D x dF x ξξξξ∞-∞=E -E =-E ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()()222x dF x xdF x dF x ξξ∞∞∞-∞-∞-∞=-E +E ⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰=()()22.ξξE -E <∞⎡⎤⎣⎦最后由()0D ξ≥即得.性质[]13：设随机变量ξ的分布函数为()F x ，方差D （ξ）存在， 则a b ηξ=+的方差()()()2.D D a b a D ηξξ=+=特别当a =0则有D （b ）=0. 证 由性质1得()()()2D D a b a b a b ηξξξ=+=E +-E +⎡⎤⎣⎦()2a b a b ξξ=E +-E -⎡⎤⎣⎦ (){}2a ξξ=E -E ⎡⎤⎣⎦()()22a x dF x ξ∞∞=-E ⎡⎤⎣⎦⎰ =()()22ax dF x ξ∞-∞-E ⎡⎤⎣⎦⎰=()2.a D ξ性质[]14：函数()F x =()2x ξ⎡⎤E -⎣⎦，x ∈R,当x = E （ξ）时达到 最小值.例 设ξ与η相互独立，且都服从()0,1,N 求()min ,.E ξη 解 有对称性，得()2212min ,22x y x E y edydx ξηπ+-∞=⋅⎰⎰-∞-∞ =22221y x e y xedx y π⎛⎫⎪- ⎪-⋅- ⎪ ⎪=∞⎝⎭⎰-∞=-∞=21x e dx π-∞-=⎰-∞性质[]15：若D （ξ）=0，则ξ以概率为1地等于它的数学期望E （ξ），即P {ξ= E （ξ）}=1.2.2多维随机变量数学期望的性质性质[]16：数学期望具有单调性.性质[]17：设n 维随机变量（12,,...,n ξξξ）的数学期望存在，则有（1）线性性质：对任意常数()1,2,...,i c i n =有()11.n ni i i i i i c c ξξ==⎛⎫E =E ⎪⎝⎭∑∑（2）若12,,...,n ξξξ相互独立，则()11().n ni i i i ξξ==E =E ∏∏证 （1）由R-S 积分的性质得()1211...,,...,n n i i i i n i i c c x dF x x x ξ∞∞∞-∞-∞-∞==⎛⎫⎛⎫E = ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰⎰ =()121...,,...,ni i n i c x dF x x x ∞∞∞-∞-∞-∞=∑⎰⎰⎰()1.ni i i c ξ==E ∑（2）仅证n=2并设()12,ξξ为连续性的情形.设12(,)f x x 及()()1122,f x f x 为()12,ξξ及12,ξξ的密度函数，按性质7（1），并有12,ξξ的独立性，有()212121(),i i x x dF x x ξ∞∞-∞-∞=E =∏⎰⎰()121212,x x f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ()()12112212x x f x f x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ()()11112222x f x dx x f x dx ∞∞-∞-∞=⋅⎰⎰ ()()12.ξξ=E ⋅E性质[]18：设i c 为常数，i ξ为随机变量，且()()21,2,...,,i i n ξE ∞=则（1）()2,11,1n n n D c c D c c b i i i i i k iki i i k i kξξ⎛⎫=+∑∑∑ ⎪ ⎪===⎝⎭≠ 其中ik b ()(){}.i i k k ξξξξ=E -E -E ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦特别，若12,,...,n ξξξ相互独立，则ik b =0（当i k ≠），且()2.11n n D c c D i i i i i i ξξ⎛⎫=∑∑⎪ ⎪==⎝⎭（2）()()()()2221212.ξξξξE ⋅≤E ⋅E （施瓦兹不等式）3数学期望的应用3.1数学期望在农业中的应用 (1)案列1某农场种植某种蔬菜，根据以往经验，这种蔬菜的市场需求量 X （t ）服从（500，800）上的均匀分布.每售出一t 此种蔬菜，农场可 获利2.0万元；若销售不出去，则农场每吨亏损0.5万元.问该农场应 该生产这种蔬菜多少吨才能使平均收益最大？解析：该农场种植此种蔬菜m t ，则有500≤m ≤800，设Y 为 在生产m t 蔬菜条件下的收益额（万元），则收益额Y 和蔬菜需求量 X 的函数关系为Y=f （X ）.有所设条件知，当X ≥m 时，则此m t 蔬 菜全部售出，获利2.0 m ；当X m 时，则售出X ，获利2.0 X ，还有（m-X ）t 卖不出去，获利-0.5（m-X ），因此共获利2.5X-0.5m ， 故有：(){2.0; 2.50.5;m X mf X X m Xm≥=-由定理可得：()()()Mx M Y f x p x dx +-E =⎰()8001300500f x dx =⎰ 80013005002.0(2.50.5)m M mdx X m dx ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰=()2212401480500m m -+-根据极值定理，易知当m=740 t 时，能使E (Y) 达到最大值，即该 农场生产此种蔬菜740 t. (2)案列2某农产拟投资2个项目：生产西红柿和辣椒，其收益都与市场状态有关.若把未来市场划分为好，中，差三个等级，根据市场调查 研究，其发生的概率分别为0.3，0.5，0.2，生产西红柿的收益X （万 元）分别为12，7，-4时，对应的P 值分别为0.3，0.5，0.2；生产辣 椒的收益Y （万元）分别为9，5，-2时，对应的P 值分别为0.3，0.5 ，0.2.该农场是生产西红柿还是生产辣椒好呢? 解析：先考察数学期望()()31 6.5i i X x p x E ==∑万元()()314.8i i Y x p x E ==∑万元从数学期望来看，生产西红柿收益大，比生产辣椒多收益1.5 万元.再考察它们各自的方差于标准差. ()31.21Var X = ()14.56Var Y = () 5.59X σ= () 3.82Y σ=因为方差于标准差越大，收益的波动越大，从而风险也越大. 因此，从方差于标准差来看，种植辣椒较稳妥，减少风险约3200， 但少收入1.5万元.若农场的负责人敢于冒险，就选择种西红柿，成功 后可以增加收益1.5万元.3.2数学期望在生活中的应用 (1)求职决策问题设想某大学生甲在求职过程中收到了三个公司的面试结果，如果 按照面试时间的顺序来划分，我们将其标记为A 公司，B 公司，C 公 司.假定这三个公司每个公司有三种不同的职位：极好，好及一般.估 计能得到这些职位的概率为0.2,0.3,0.4，被拒绝的可能性为0.1，按规 定，双方在面试后要立即作出决定提供，接受或是拒接某种职位，那 么应该遵循什么策略应答呢？ 三家公司的工资承诺如下表：300035002200295039002500300040002500A B C 公司好极好一般 我们的方案是采取最大期望收益最大原则.按照面试顺序的规则来看，我们先从A 公司开始面试，这样甲 在面试A 公司时必然会权衡考虑B ，C 公司的机会和待遇.同样道理， 在选择面试B 公司时自然也会考虑C 公司的机会和待遇.通过三个公 司机会和待遇的横向和纵向比较，从而选择一个效益最大化的公司. 一般来说，从第三次的面试期望值来看，也就是从C 公司来看，其 工资的期望值表现为：2700元1(=4000*0.23000*0.32500*0.4)E ++.而B 公司的职位工资是2500元，这样经过横向比较，往往会选择去C 公 司.而第二次面试的期望值可有以下数据求出：极好的职位工资3900 元，好的职位工资2950元，接受第三次面试期望工资2700.所以在最 后考虑A 公司时，只有极好的职位工资超过3015元，甲才会接受. 这样，对于三次面试应采取的策略是：A 公司只接受极好的职位， 否则去B 公司，在B 公司可接受极好的和好的职位，否则去C 公司， 在C 公司可接受任何可能提供的职位.在这一策略下甲工资总的期望 值为3500*0.2+3015*0.8=3112元.因此，当我们在求职时如果得到多份面 试时，应该进行横向纵向的衡量比较，遵循效益期望最大化原则，从 而提高决策的满意度和期望值. (2)风险投资问题假设这样的情形：一个人想用10万元进行一年的短期投资.常 见的做法往往是进行购买股票和存入银行.股票的收益要取决于经济 的运行趋势，如果经济运行较好则获利较多，运行一般则获利中等， 运行不好则要损失许多.当时如果存入银行，假定年利率为500，则利 息为5000元.我们假定经济运行情况的良好，中等，较差的概率为 2000,4000,1000，那么我们该选择哪种方案才能获得利益最大呢? 我们可以看出，如果在经济运行良好的情况下，显然购买股票时 最划算的.但如果经济运行较差的话，存入银行有比较合适.然而，在 现实情况中，我们无法估计这种不确定性，就要估计二者直接的获利 期望大小.通过二者期望值的综合比较，发现购买股票的获利收益更大，因此，选择购买购买股票这一方案更为合适.(3)彩票概率问题我们首先假设福利彩票每张为2元钱，每张彩票对应一个中奖号 码，每售出一百万张设置一个开组奖项.中奖号码为一个6位数（可 以认为从000000到999999中的每一个数出现的可能性相同），兑奖 股则如下：如果兑奖号码与中奖号码的最后一位是一致的，则获六等 奖，奖励为4元钱（中奖概率为0.1），以此类推，如果最后两位一致， 则获五等奖，奖励为20元（中奖概率为0.01），最后三位如果一致， 则获四等奖，奖励为200元（中奖概率为0.001），最后四位一致，则 获三等奖，奖励为2000元（中奖概率为0.0001），接着后五位相同， 则获二等奖，奖励为20000元（中奖概率为0.00001），同时规定，奖 项不叠加，只取最高奖励，那么每张彩票的平均所得应该是多少？ 我们可以算出，彩民对每张彩票的期望值为：0.1*4+0.01*20+0.001*200+0.0001*2000+0.00001*20000=1.4元.而同样我们 也可以算出一个开组奖项在得到200万元的销售中，其中140万元作 为奖励返还为彩民，但是剩余的60万元却作为剩余所得用于福利事 业等其他费用的支出，实际而言，就是将多数人的钱以一种概率的形 式转移给某些少数人.因此，我们可以看出，谁中奖虽然是随机的， 但是彩票得期望所得却是可以预算出来的，这也是彩票事业生存下来 的条件和原因.3.3数学期望在经济中的应用(1)保险公司获利问题一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万 元以上家庭财产保险，参加者需缴纳保险费100元，若在一年内，万 元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元（232026a ≤≤），试问a 如何确定， 才能是保险公司期望获利？解析：只需考察保险公司对任一参保家庭的获利情况，设ξ表示 保险公司对任一参保家庭的收益，则ξ的取值为100或100-a ，其分 布为100100-a0.990.01P ξ根据题意，()()=100*0.99+100-a *0.01ξE=100-0.01a解得10000a ，又100a ，所以()a 100,10000∈时保险公司才能期望获 利.(2)机器故障问题一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停 工，如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万元，发生一 次故障可获利5万元，发生两次故障不获利也不亏损，而发生三次或 三次以上的故障，则要亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润. 解：以ξ表示一周内机器发生故障的天数，则ξ是n=5的二次分 布B （5,0.2），()()55P =K =0.20.80,1,2,3,4K K K C K ξ-•=，以η表示工厂一周内 所获利润，则()10 =05 =10 =2-2 3=g =ξξξξηξ≥⎧⎨⎩ η的概率分布为：1050-20.3280.4100.2050.057P η()()=10*0.328+5*0.410+0*0.205+-2*0.057=5.216ηE故工厂一周的期望利润是5.216万元.(3)进货问题设某种商品每周的需求ξ是取从区间[]10,30上均匀分布的随机变 量，经销商进货量为区间[]10,30中的某一整数，商店每销售一单位商 品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏 损100元.若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品可多 获利300元.为使商品所获利润期望不少于9280元，试确定进货量. 解：设进货量为a ，则利润为()=g ηξ()()500a+300-a) ( a x 30=500-100a-) (10x x ξξξ⎧≤⎨≤≤⎩ 300200-a x a a ξξ+≤=≤≤ ａｘ３0600100 10 期望利润为()()301200=g x dx ηE ⎰ ()()301120200600100300200a a x a dx x a dx =-++⎰⎰27.535052509280a a =-++≥以题意有：27.535052509280a a -++≥ 解得：232026a ≤≤故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位.3.4数学期望在数学上的应用(1)例 向上抛一颗制造均匀对称的骰子，当它落地时，其向上的 表面出现的点数是一个随机变量ξ，求E ξ.解：随机变量ξ可能取值为1,2,3,4,5,6ξ的概率分布为111111666666123456P ξ()ξE 111111666666*1*2*3*4*5*6=+++++=216从以上内容我们可以看出，生活中的方方面面都有着概率的影子，小到天气预报，大到火箭升天，并且随着农业产业化和现代化的发展，农业生产对数学的依赖会越来越密切，保险业，金融业的风险预测更适于概率论休戚相关，在理性决策中多运用概率论可以让我们的生活更明智.参考文献[1] 中山大学，概率论及数理统计[M].高等教育出版社,2009：213-235.[2] 赵舜仁，一个数学期望性质的推广[J].青岛建筑工程学院学报，1997,04：86.[3] studa20，开发学生数学潜能优化学生数学能力结构[J].中国教育资源网，2006,11,27：201.[4] 陈洪波谭桂艳，高中数学教师新课改下的新角色[J].维普中文期刊，2012,02,14：196.[5] 侯文高洋，有关数学期望计算的一个典型错误[J].高等数学研究，2011,03：10.[6] 张志强，随机置换的有关概率问题[J].通信学报，2006,27：18.[7] 王妍，概率统计在实际问题中的应用举例[J].中国传媒大学学报自然科学版，2010,24：28.[8] 张慧，条件概率与条件数学期望及其在期权定价中的应用[J].山东师范大学学报，2009，02：69.[9] 徐丽君，浅谈数学期望的计算与应用[J].攀枝花学院学报，2005,06：108.[10] 姚仲明，条件数学期望与随机变量独立性的一个冲要条件[J].计算机教与学，2007,03：23.Brief mathematical expectation Properties and ApplicationsZhai Zhong-liangAbst ract：In the theory of probability and mathematical statistics，Mathematical expectation is random variable of the most important one of digital features，Many of the random variables and the expectations of his distribution related, the article analyzes the mathematical expectation in daily life application, such as job decision making problems, investment, the lottery, etc, so as to constantly motivating students to learn mathematics the enthusiasm and initiative, get them interested in learning to explore, and applied to life, let math changes life.Key words：Random variable, Probability; Mathematical expectation。
数学期望论文
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 数学期望的来由 (1)2 数学期望的定义及其性质 (1)2.1 数学期望的定义 (1)2.2 数学期望的基本性质 (2)2.3 利用数学期望证明 (3)3 数学期望在实际生活中的应用 (4)3.1 免费抽奖问题 (4)3.2 保险公司获利问题 (4)3.3 决定生产批量问题 (5)3.4 机器故障问题 (5)3.5 在医学疾病普查中的应用 (6)3.6 最佳进货量问题 (6)3.7 求职决策问题 (7)3.8 数学期望在体育比赛中的应用 (8)致谢 (9)参考文献 (9)数学期望及其应用数学与应用数学专业学生 薛晓东指导教师 宗昭军摘要：本文介绍了数学期望的起源,定义,及其性质,并给出了数学期望在实际生活中的若干应用,更清楚的认识到数学期望的广泛应用以及它的重要性所在.关键词:数学期望 随机变量 性质 应用Mathematical Expectation and its ApplicationsStudent majoring in mathematics and applied mathematics Xue XiaodongTutor Zong ZhaojunAbstract: This thesis introduces the origin, the definition and the properties of mathematical expectation. A number of applications of the mathematical expectation in real life are given to generate a better understanding of its extensive applications and significance.Key words: mathematical expectation; random variable; properties; applications数学期望是随机变量的重要数字特征之一，本文通过不等式的证明，效益与利益等一些例子，阐述数学期望在其他分支和实际问题的广泛应用。
随机变量数学期望的求法及应用论文04693
题目: 随机变量数学期望的求法及应用学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录前言 (1)第一章基础知识 (2)1.1 数学期望的定义 (2)1.2 数学期望的性质 (3)第二章数学期望的求法 (3)2.1 利用数学期望定义 (4)2.2 利用数学期望的性质 (4)2.3 利用特征函数 (5)2.4 利用条件数学期望法 (6)2.5 利用微分法 (7)2.6 利用分布的对称性 (8)2.7 利用递推法 (9)第三章数学期望的应用 (10)3.1 数学期望在生产和销售利润中的应用 (10)3.2 数学期望在风险与决策中的应用 (12)3.3 数学期望在物流管理中的应用 (14)3.4 数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用 (17)结束语 (20)参考文献 (21)致谢 (22)摘要概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的数学学科.其中，数学期望反映的是随机变量取值的平均程度.通过举例对随机变量的数学期望的求法进行探究, 利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及特征函数等，给出了数学期望的几种计算方法，并在此基础上，探讨了数学期望在生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗卫生和体育等方面的应用，有利用于我们进一步了解随机变量数学期望的性质和应用.关键词：随机变量；数学期望；分布；应用AbstractProbability theory and mathematical statistics is a subject which research the random phenomena and its statistical laws. Within, mathematical expectation reflecting the average value of the figure.Research the solution of mathematical expectation through the example, conducted by mathematical expectation definition, properties, formulas, random variable distribution of symmetry, and the characteristic function, and so on, give the calculation method of the mathematical expectation. And on this basis, discuss the application of mathematical expectation in production and marketing, risk management, logistics, civil disputes, medical and sporting, beneficial for us to gain a better understanding of the random variable mathematical expectation of the properties and applications.Key words：random variable；mathematical expectation；distribution；application随机变量数学期望的求法及应用前 言数学期望是随机变量的数学特征之一，反映随机变量平均取值的大小，又称期望或均值.它是简单算术平均的一种推广，在理论和实践中具有广泛的应用.本文总结随机变量、数学期望的有关性质，总结了计算数学期望的多种方法，给出了数学期望在经济活动与日常生活中的应用实例，以便使数学期望更好的与实际问题相结合.定义1 设随机试验的样本空间为{}e S =，{}e X X =是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称{}e X X =为随机变量.定义2 随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.设离散型随机变量X 所有可能取的值为),2,1( =k x k ，X 取各个可能值的概率，即事件{}k x X =的概率，为{} ,2,1,===k p x X P k k .由概率的定义，k p 满足如下两个条件：1' ;,2,1,0 =≥k p k2' 11=∑∞=k k p .我们称{} ,2,1,===k p x X P k k 为离散型随机变量的分布律.定义3 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数{}x X P x F ≤=)(称为X 的分布函数.如果对于X 的分布函数()F x ，存在非负函数)(x f ，使对于任意的实数x 有dt t f x x F )()(⎰∞-=， 则称X 为连续型随机变量，其中函数)(x f 称为X 的概率密度函数.第一章 基础知识1.1 数学期望的定义设离散型随机变量X 的分布列为{} ,2,1,===k p x X P k k .若级数∑∞=1k k k p x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k k p x 的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑∞==1)(k k k p x X E .设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分dx x xf )(⎰∞-∞绝对收敛，则称dx x xf )(⎰∞-∞的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即 dx x xf X E )()(⎰∞-∞=.数学期望有以下重要性质:1'设C 是常数，则有C C E =)(.2'设X 是一个随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E =.3'设X ，Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+.推广到任意有限个随机变量之和的情况∑∑===nk k n k k E E 11)()(ξξ.4'设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =.推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况)()(11i nk k n k E E ξξ∏∏===.第二章 数学期望的求法数学期望是概率论的重要内容之一,随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征,随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的,因此数学期望的计算问题显得非常重要,由于随机变量的分布形式不同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分布，其解法也多种多样，技巧性较强，因此，探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义,下面介绍一些计算数学期望的不同方法.此法是计算数学期望最常用的一种方法.它是先通过数学手段将∑∞=1k k k p x 转化成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式 ,然后求和获解.该方法思路明确，但有时运算比较麻烦.例1 设随机变量X 服从泊松分布)(~λπX ,求它的数学期望)(X E .解 X 的分布律为{},,2,1,0! ===-k k e k X P k ，λλ0>λ.X 的数学期望为λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k e k e kX E k k k k 110)!1(!)(, 即 λ=)(X E .例2 设随机变量X 服从指数分布)exp(~λX ,求它的数学期望)(X E .解 X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0;0,1)(其他x e x f x θθ X 的数学期望为λλλλλλ1)(00)(=∞-=⋅∞=⋅∞-∞=---⎰⎰⎰x x x e xd dx e x dx e x X E . 即 λ1)(=X E .2.2 利用数学期望的性质有些随机变量的结构很复杂 ,利用定义求其数学期望需要求其概率分布,若直接求概率分布很困难，此时可以根据实际意义将要求数学期望的随机变量X 分解为数个简单随机变量的和,然后利用数学期望的性质求解，从而化整为零、化繁为简，这也是概率论学习中一种很重要的思想方法（又称分解随机变量法）,这种处理方法带有一定的普遍意义.常用的公式为11()()n nk k k k E E ξξ===∑∑.特别是常把复杂的随机变量分解成若干个服从贝努利分布的随机变量之和，即设),,2,1(1.,1;,0n i q p p q x i i i i i ==+⎩⎨⎧=概率为概率为.易得,若∑==n i i x y 1，且n x x x ,,,21 相互独立，则∑==ni i p y E 1)(.例3 一公交车上载有30位乘客自火车站开出,乘客有15个站可以下车.如果到达一个车站没有乘客下车就不停车,以X 表示停车次数,求)(X E .解 由题意知15,,2,1.,1;,0 =⎩⎨⎧=i i i X i 站无人下车在第站无人下车在第. {}30)1514(0==i X P ，{}30)1514(11-==i X P ，15,,2,1 =i . 因为1521X X X X +++= ， 所以823.7)1514(115)()(30151151=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑∑==i i i i X E X E 次. 例4 某人一次写了n 封信,又写了n 个信封,如果他任意地将n 张信纸装入n 个信封中,求平均装对的信件数.解 设 ⎩⎨⎧=.,0;,1封信没有装入其信封第封信恰好装入其信封第k k X k 则∑==n k k X X 1为所有装对的信件数，则{}{}n X P X P X E k k k 10011)(==⋅+=⋅=, 11)(1=⋅==∑=nn X X E n k k . 2.3 利用特征函数有时计算随机变量的特征函数())(itx e E t f =比直接计算)(X E 要简单,此时可以考虑先算出特征函数,再利用它与数学期望的关系,求出数学期望本身.随机变量X 的特征函数定义为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞-∞+==⎰∑).)(()();()()(的分布密度函数为为连续型时，为离散型时X x P X dx x P e X x X P e Ee t f itX i i itX itx i 则)0(1)()(k k k f iX E =.特别地，)0(1)(f i X E '=. 例5 设随机变量X 服从正态分布),(~2σμN X ,求它的数学期望)(X E . 解 由),(~2σμN X ，可求特征函数)(t f 为2222212)(21)()(t t i x itx itx e dx e e e E t f σμσμσπ---=⋅∞-∞+==⎰. 所以μσμσμσμ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-=-0212021222222111)(t t t i t t t i e t i i e i X E . 即 μ=)(X E .2.4 利用条件数学期望法利用条件期望公式)()|()(i ii y Y P y Y X E X E ===∑或dy y P y Y X E X E )()|()(=∞-∞+=⎰， 可得数学期望.例6 设)1,0(~U ξ,当x =ξ时,),0(~x U η,求)(ηE .解 由题意 {}10,2|<<==x x x E ξη，于是 41201)()|()(===∞-∞+=⎰⎰dx x dx x P x E E ξξηη, 即41)(=ηE . 例7 设质量m 与加速度a 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,2)(其他x m m x ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0;10,9)(2其他x a a y 试求外力ma F =的均值.解 )()()()(a E m E ma E F E ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∞+=∑⎰∞=1)()(0i da a y a dm m x m =23)(N . 2.5 利用微分法若随机变量的分布律中含有参数，可对分布律的性质1=∑ii P 两边关于参数求导来达到目的.例8 设随机变量ξ服从几何分布),(p k g ,求它的数学期望)(ξE .解 因为1)1()(--==k p p k P ξ),2,1,10( =<<k p ，根据分布律的性质得1)1(11=-∑∞=-k k p p两边对p 求导数，得[]0)1)(1()1(121=----∑∞=--k k k p k p p ， 0)1(11)1(11)1(1111111=--+----∑∑∑∞=-∞=-∞=-k k k k k k p p p p kp p p p p ， 即011)(111=-+--pE p p ξ， 因此pE 1)(=ξ.2.6 利用分布的对称性对称的概念在概率中有着非常广泛且重要的作用,利用这一技巧可以简化解题的步骤.一般的几何概率问题要用积分进行计算比较复杂,但利用对称性计算简单便捷,当随机变量的分布律或分布密度函数较复杂时,如果随机变量的分布律或分布密度函数具有对称性,则其数学期望就是其取值的对称中心.例9 设在区间)1,0(上随机地取n 个点 ,以X 表示相距最远的两点间的距离 ,求 )(X E .解 n 个点把)1,0(区间分成)1(+n 段,它们的长度分别依次记为121,,,+n X X X .根据对称性,每一个i X 的概率分布都应相同,从而数学期望也都相同.但1121=++++n X X X ,因此，11)(+=n X E i .相距最远的两点间的距离为n X X ++ 2,因此11)(+-=n n X E . 例10 若n X X X ,,,21 为正的独立随机变量，服从相同分布，试证明n k X X X X X X E n k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++ 2121. 证 由对称性知nn n n X X X X X X X X X X X X +++++++++ 21212211,,, 同分布，故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++n n n n X X X X E X X X X E X X X X E 21212211)(. 而12121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++n n X X X X X X E ，故n i n X X X X E n i ,,2,1,121==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++. 因此，由数学期望的可加性知n k X X X X X X E n k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++ 2121.2.7 利用递推法对于某些随机变量的数学期望,可以容易求得其邻近数值的关系,进而得出其递推公式.例11 设试验有m 个等可能的结果. 求至少一个结果连续发生k 次的独立试验的期望次数.解 设1-k A =“至少一个结果连续发生1-k 次”,k A =“至少一个结果连续发生k 次”.在1-k A 发生的条件下,或者继续试验一次,同一结果又发生的概率为m 1,导致k A 发生;或者继续试验一次,而发生其它结果,这样,要使k A 发生,犹如从头开始.由此得 k k k E m m E E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+=-11111,即11+=-k k mE E ,而11=E ，故 )1/()1(112--=++++=-m m m m m E k k k .以上讨论了几种简化计算数学期望的方法和技巧，但不是全部，在此不再列举.不过，我们在计算随机变量X 的数学期望时，要注意:对于离散型随机变量X 的数学期望，其数值是级数的和,而且数学期望完全是由X 的分布列确定，而不受X 的可能取值的排列次序的影响，因此，要求级数∑∞=1k k k p x 绝对收敛，若级数∑∞=1k k k p x不是绝对收敛，则其数学期望不存在.对于连续型随机变量X 的数学期望，其数值是积分dx x xf )(⎰∞-∞+的值，若该积分不是绝对收敛，则其数学期望也不存在. 总之，只要对数学期望的基本定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么,对各种简化计算方法和技巧的应用就会游刃有余了.第三章 数学期望的应用概率论与数理统计学科是一门研究随机现象的学科，它的思想方法与我们以往接触过的任何一门学科有所不同，在概率论与数理统计中,许多概念抽象、难懂，许多学生一时无法接受随机的思维方式，若仍采用刻板的数学学习方式，得到的学习效果恐怕不尽人意，若在学习的过程中能结合实际生活中的所见所闻，举出相应的实例，不仅能启发学习思维，提高学习兴趣，也能用所学知识去解决实际生活中的问题.数学期望是随机变量的一个很重要的数字特征，在现实生活中，如生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗、体育等很多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决.3.1 数学期望在生产和销售利润中的应用在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化，供大于求或供不应求都不利于获得最大利润，但供应量和需求量又不是预先知道的,理性的厂家或商家往往根据过去的生产或销售数据（概率）制定生产或销售量.3.1.1 数学期望在生产利润中的应用例12 假设一部机器在一天内发生故障的概率0.2，机器发生故障则全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生1次故障仍可获利润5万元发生；次故障所获利润0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少元？解 设一周5天内机器发生故障的天数为ξ则服从参数)2.0,5(的二项分布：.057.0)2()1()0(1)3(,205.08.02.0)2(,410.08.02.0)1(,328.08.02.0)0(),5,4,3,2,1,0(8.02.0)(32254115500555==-=-=-=≥============-ξξξξξξξξP P P P P P P k k P C C C C k k k以η表示所获利润，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====.3,2;2,0;1,5;0,10)(ξξξξξηf η的概率分布为)(216.5057.0)2(205.00410.05038.010万元=⨯-+⨯+⨯+⨯=ηE .故工厂一周内期望利润是5.216万元 .3.1.2 数学期望在销售利润中的应用例13 某商场某品牌的空调器每周的销售量ξ是一个随机变量,分布列为)30,,13,12,11(201)( ===k k P ξ而商场每周的进货量为区间[]30,11中的某一整数,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求则每台多余的空调器需交保管费用100元,若供不应求,则可从其它商店调剂供应,此时每一台空调器仅获利 200元,问此商场周初进货量(含上周余量)应为多少才可获最大利润?解 设商场周初进货量(含上周余量)为x 台,周利润为随机变量η则⎪⎩⎪⎨⎧++=+=-+=-=-=--=.30,,2,1,200300)(200500;,500;1,12,11,100600)(100500 x x x x x x x x ξξξξξξξξξη又)30,,13,12,11(201)( ===k k P ξ，所以.300051010)1015(25)530()200300(201500201)100600(2012301111301111++-=+++-=++⨯+-=∑∑∑∑+=-=+=-=x x x x x x x x E x x x x ξξξξξξξξη为求ηE 的最大值令0)(='ηE 即5.25,051020==+-x x .由于x 是正整数,所以25=x 或26即商场周初进货量(含上周余量)为25或26台时,可获最大利润.3.2 数学期望在风险与决策中的应用在日常生活中，人们经常要面临“风险”.在充满生存竞争的世界里，商人若进行一次投资，他需要精确算出是否赢利，赢利多少需要算出投资的风险，我们理解与掌握风险的目的就是要采取科学的方法对其进行评价，从而制定出有效的“决策”.决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策.它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定.具体的做法为：如果知道任一方案),,2,1(m i A i =在每个影响因素),,2,1(n j S j =发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案.3.2.1 风险方案例14 假设某公司预计市场的需求将会增长，目前公司员工都在满负荷的工作着，为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的方法提高产量.假设公司预测市场需求量增加的概率为P ，同时还有P -1的可能市场需求会下降.若将已知的相关数据列于表1：表1由条件可知，在市场需求增加的情况下，使员工超时工作或添置设备都是合算的.然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的期望大小.用期望值判断，有.44)1(25)(.42)1(39)(.34)1(30)(321p p A E p p A E p p A E +-=+-=+-=事实上，若8.0=p ，则2.33)(1=A E （万），4.39)(2=A E （万），2.40)(3=A E （万），于是公司可以决定更新设备，扩大生产.若5.0=p ，则32)(1=A E （万），35.5)(2=A E （万），34.5)(3=A E （万），此时公司可决定采取员工超时工作的应急措施.由此可见，只要市场需求增长可能性在50%以上，公司就应采取一定的措施，以期利润的增长.3.2.2 投资方案例15 假设某人用10万元进行一年的投资，有两种投资方案，一是购买股票，二是存入银行获取利息.买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元.如果存入银行，假设利率为8%，可获利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率为30%、50%、20%.试问应选择哪一种投资方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的数学期望是3.12.0)2(5.013.04)(1=⨯-+⨯+⨯=A E （万元），存入银行获利期望是8.0)(2=A E （万元），由于)()(21A E A E >，所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应该用购买股票的方案.在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定的因素，做出选择的根据必须是数学期望高的方案.3.2.3 面试方案例16 有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会,按面试的时间顺序,这三家公司分别记为A, B, C.每家公司都可提供极好、好和一般三种职位.每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位.按规定, 双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某种职位,且不许毁约.咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后,认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2,0.3和0.4，三家公司的工资承诺如表2:表2如果甲把工资作为首选条件,那么甲在各公司面试时,对该公司提供的各种职位应作何种选择?分析 由于面试从A 公司开始, 甲在选择A 公司三种职位时必须考虑后面B,C公司提供的工资待遇,同样在B 公司面试后,也必须考虑C 公司的待遇.因此我们先从C 公司开始讨论由于C 公司的工资3x 期望值为27004.027003.030002.04000)(3=⨯+⨯+⨯=x E (元)再考虑B 公司,由于B 公司一般职位工资只有2500,低于C 公司的平均工资, 因此甲在面对B 公司时,只接受极好和好两位职位,否则去C 公司.如此决策时甲工资2x 的期望值为30155.027003.029502.03900)(2=⨯+⨯+⨯=x E （元）.最后考虑A 公司,A 公司只有极好职位工资超过3015,因此甲只接受A 公司的极好职位.否则去B 公司.甲的整体决策应该如此:先去A 公司应聘,若A 公司提供极好职位就接受之.否则去B 公司, 若B 公司提供极好或好的职位就接受之, 否则去C 公司应聘任一种职位.在这一决策下,甲工资1x 的期望值为)(31128.030152.03500)(1元=⨯+⨯=x E .3.3 数学期望在物流管理中的应用数学期望无论从生产计划,还是从物流决策来看都是至关重要的.在物流管理活动中,人们往往不自觉地利用它.利用它来解决物流管理中诸如生产决策、最优库存、最佳进货量等难以解决的问题,为物流决策提供科学的解决方案,并提高企业物流管理水平和效率.以下通过具体的实例来说明数学期望在物流管理中的应用.3.3.1 决定生产批量问题决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案,多少产量直接关系到企业成本的控制, 收益的高低,这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题,同时也困扰很多管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择:即进行备选方案的收益(或损失)比较,选择收益(或损失)最大(最小)的方法.例17 某厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量,以便及早做好生产前的各项准备工作.根据以往销售统计资料及市场调查和预测得知:未来市场出现销路好销路一般、销路差三种状态的概率分别为0.3、0.5、和0.2若按大、中、小三种不同生产批量投产,今后5年不同销售状态下的益损值如表3所示表3试作出分析, 以确定最佳生产批量.解 比较期望益损法是常用的决策方法之一,下面算出每一方案的期望益损 .4.9102.0105.083.0)(,5.14122.0175.0123.0)(,6.12)2(2.0145.0203.0)(321=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=ξξξE E E)(2ξE 比)(1ξE 和)(3ξE 均大，所以认为选择中批量生产方案为优.3.3.2 选择最优库存量库存量过大所产生的问题:增加仓库面积和库存保用,从而提高了产品成本， 占用大量的流动资金,造金呆滞,既加重了货款利息等负担,又会影响资金的价值和机会收益，造成产成品和原材料的有形损耗和损耗，造成企业资源的大量闲置，影响其合理配置和优化，掩盖了企业生产、经营全过程的各种矛盾和问题,不利于企业提高管理水平.库存量过小所产生的问题:造成服务水平的下降,销售利润和企业信誉；造成生产系统原材料或其他物应不足,影响生产过程的正常进行;使订货间隔期缩短，订货次数增加,使订货（生产）成本提高; 影响过程的均衡性和装配时的成套性.当企业面对库存问题时,企业管理人员可以利用数望的性质与特征,决定最佳库存量,以此来减少企业,提高企业对市场的反应能力.例18 一商场某种食品的进价为65元/千克，零售 70元/千克,若卖不出去，则削价20%处理，如供缺，有关部门每千克罚款10元.已知客户对该食品的需求量服从[20000,80000]上的均匀分布,求该商春节期间对该食品的最优库存策略.解 设库存量为y ，则8000020000≤≤y ，库存量为y 是所得利润为⎩⎨⎧≤≤--≤≤--=).20000(),(95);80000(),(105)(y y y y y g ξξξξξξ 期望利润为).1048.3138000012(600001])1015(80000)914(20000[600001)]([102⨯-+-=-+-=⎰⎰y y d y y d y y g E ξξξξξ 令0)]([=dyE d ξ，可得57500=y ，即当库存量为57500千克时期望利润最大，且利润为81250元.3.3.3 选择最佳进货量商场要进某种商品,作为商场而言,必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求,又不会产生积压，使资金使用最佳、收益最优.在概率论中，运用数学期望的概念,此问题可以从平均收益，即期望着手处理.例19 设某种商品每周的需求量ξ是服从区间]30,10[上均匀分布的随机变量, 而经销的商场进货数量为区间]30,10[中的某一整数.商场每销售一单位商品可获利 500元;若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂，此时每一单位商品仅获利300元.为使商场所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.解 设进货量为a ，利润为η，则利润函数为⎩⎨⎧≤<-+≤≤--==.30),(300500;10),(100500)(ξξξξξξηa a a a a g 期望利润为.52503505.7)200300(30201)100600(10201)(2011030)(2---=++-==⎰⎰⎰a a d a ad a a d g E ξξξξξξη 依题意有928052503505.7)(2≥---=a a E η.解得263220≤≤a . 以上通过对实际案例的分析表明当企业面对选择最优生产批量、选择最优库存量、选择最佳进货量等物流问题时,可以在充分预见这些问题中面临的变数的基础上,利用经济数学的基本原理和方法来量化物流管理中定性的问题.即只要企业的物流管理和控制人员懂得应用数学期望的质与特征,并能够加以应用,就能既保证客户服务水平，又能大幅度降低企业成本,从而提高收益.3.4 数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用数学期望不仅在经济活动中有着广泛的应用，而且在于我们联系密切的民事纠纷、医学、体育的日常生活中也具有广泛的应用，下面通过几个具体的实例加以说明.例20 在民事纠纷案件中，如果受害人将案件提交法院诉讼，他（她）除了要考虑胜诉的可能性外，还应考虑到诉讼费用的负担.理性的当事人往往通过私下协商赔偿费用而趋于和解，免于起诉.在一个典型的交通事故案件中，司机（致害人）开车撞伤了受害人，使受害人遭受了10万元的经济损失.假若将案件提交诉讼，诉讼费用共需要0.4万元并按所负责任的比例由双方承担.从事故发生的情形分析，法院对事故判决可能有三种情况：1、致害人应承担100%的责任，要向受害人赔偿10万元的损失费用，并支付全部0.4万元的诉讼费；2、致害人应承担70%的责任，要向受害人赔偿7万元的损失费用并支付0.4万元诉讼费的70%,诉讼费另外的30%由受害人支付；3、致害人应承担50%的责任，要向受害人赔偿5万元的损失费用0.4万元的诉讼费由双方各负担一半.受害人估计三种情况发生的概率分别为0.2、0.2和0.6，如果致害人希望私下和解而免于起诉，他应至少给受害人多少数额的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解？解 设受害人上诉时可获得的收益为ξ其分布为则受害人上诉时可获得的期望收益为96.72.0)5.04.05(6.0)3.04.07(2.010=⨯⨯++⨯⨯++⨯=ξE （万元）.因此，致害人至少应给受害人7.96万元的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解.例21 医务系统的检验人员在实际工作中经常遇到在大人群中普查某种疾病，如寄生虫类、肺结核、甲肝等，这分别需要进行粪检、痰检、血检、假设需要检验N 个人的血，如果逐人验血，则共需要检验N 次，平均每人1次，如果把这N 个人大致地分为K N 个组，每组K 个人，把这K 个人的血样混合，首先检验混合血样，平均每人K 1次；如果结果是阳性，则再逐个血样检验，即共需1+K 次!平均每人需K K )1(+次.当被普查人数众多时，应用分组检验的方法能大大减少检验的次数.现知道某地区的群众患有肝炎的概率为0.004左右，假若要对该地区5000人进行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐人检查减少检查次数?如果是,分成几组最好?解 设将这5000人分成组每组k 个人，每人所需检验次数为随机变量ξ，则ξ的概率分布为每人平均所需检验的次数的期望为：])004.01(1[1)004.01(1k k k k k E --++-=ξ .996.011996.01996.011996.01k kk k kk k k -+=-+-+= 易见当 ,4,3,2=k 等自然数时，1<ξE ，即每人平均所需检验的次数小于1这比逐人检验的次数要少.为了确定最佳分组方法，即要使ξE 最小，由数学分析知识可令0)(='ξE 即0996.0ln 996.012=--k k ，996.0ln 996.01k k -=，因为004.0996.0ln ,1996.0-≈≈k ，所以()8.15004.011=-⨯-=k ，由于k 为整数，取16=k ，这时1246.0=ξE ，即将5000人大致分为每组16人检验时，约需要6231246.05000=⨯ 次即可.例22 随着姚明和易建联在NBA 中取得成功,现在NBA 比赛越来越多地受到中国观众的青睐.而由于体育比赛结果的偶然性,使得大家对比赛结果的预测越来越感兴趣.以2008年爵士队和火箭队在NBA 季后赛的第一轮相遇为例.根据NBA 规则,比赛是七场四胜制.现在我们就可以提出这样一个问题,假设火箭对爵士每场比赛的获胜的概率都为50%,那么第一轮比赛结束时两队所需比赛的场数是多少.很容易想到,两个队比赛结束的前提就是其中一个队已经获得四场比赛的胜利.所以上述问题可能的结果有4、5、6、7场四种结果.我们下面应用数学期望的知识对其进行预测.首先,计算四种结果所对应的概率.由于每场比赛双方获胜概率一样,所以只需计算其中一队最后乘以二即可.以两队比赛结束时共赛五场为例,假设火箭最终胜利.即火箭第五场胜利,且前面四场恰好胜三场.又火箭每场胜率为50%,应用二项式定律可知,前面四场火箭恰好胜三场的概率为:25.0)5.01()5.0(1334=-C ;应用概率论中的乘法公式,可知赛五场而火箭获胜的概率为:125.05.025.0=⨯，所以,第一轮比赛恰好赛五场结束的概率为:25.02125.0=⨯.类似的方法,我们可以将另外三个结果对应的概率算出.结束时赛四场的概率为: 125.0)5.0(4=;赛六场的概率为:3125.025.0])5.01()5.0([2335=⨯⨯-C ;赛七场的概率为: 3125.025.0])5.01()5.0([3336=⨯⨯-C .设随机变量X 为比赛场数,则可建立X 的分布律:应用数学期望公式,计算X 的数学期望:。
数学期望的实质和应用
数学期望的实质和應用数学期望是随机变量的重要的数字特征之一﹐作為一種常用的分析預測工具﹐在生產﹑銷售各行業以及人民日常生活中﹐起著不可替代的作用。
辯証思想告訴我們﹐理論應用的基礎是認清理論的實質﹐因此﹐為了充分發揮數學期望的顯著功效﹐我們首先必須摸透它的”筋脈”。
本文以二項分布為引子﹐討論隨機變量的實質及其應用。
1. 實質二項分布﹕設),(~P n B X ﹐則n k P P C K X P k n k k n ,,2,1,0,)1()( =-==-。
二項分布性質﹕（証明省略）1) 當(n+1)P 不是整數時﹐k n k k n k P P C 使P P n K --=+=)1(,)1(達到最大值。
2) 當(n+1)P 是整數時﹐1)1(&)1(-+=+=P n K P n K 對應的概率同時達到最大值。
二項分布的數學期望﹕根據離散型隨機變量數學期望的定義﹐可以求得二項分布的數學期望﹕npp p np P PK k n n n n np P P K k n n n n K P P KCX E n nk k n k n k kn k nk kn k k n=-+=-------=-----=-=-=----=-=-∑∑∑1)1()1(10)]1([)1()!1()]2()1[()2)(1()1(!)]1([)2)(1()1()(也就是二项分布的数学期望为 np ，随机变量的数学期望其实质是﹕ 离散型随机变量X 的一切可能取值为k x x x ,,,21 ﹐相对应的概率是k p p p ,,,21 ﹐即,3,2,1,}{===k p x X P k k ﹐很明显，k x 出现的概率k p 越大﹐X 取到k x 的可能性也越大，那么这个值k x 也越具有资格期望X 的取值。
也就是说X 依k p p p ,,,21 来反映k x x x ,,,21 这组数据，令kx 出现的概率为k p ，自然，应以k p 为权，对k x x x ,,,21 进行平均，这就是X 有代表性的值﹐∑=n k k k p x 1就是这个值．因而称该值为随机变量X 的数学期望，简称为期望或期望值。
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[8]汪敏．浅谈数学期望在企业经济管理工作中的应用[J]. 学苑教育，2010:60-61． [9]郑金玲． 例谈数学期望在效益、 利润等经济问题中的应用[J].数学通讯， 2003 （3） :29-30． [10]董斌斌．数学期望与方差在实际生产中的应用[J].科技信息，2011（1） ：254-255． [11]陈卫东． 离散型随机变量的数学期望在法律、 医学和经济等问题中的应用[J].广东广播 电视大学学报，2005,14（56） ：103-104． [12]刘小红．例谈数学期望在生活中的应用[J]. 南昌教育学院学报，2011,26（5） ：60-66． [13]杨先伟． 数学期望在体育比赛中的应用[J]. 无锡职业技术学院学报， 2009,8 （5） ： 42-43． [14]贺小萍． 数学期望在理性决策中的应用[J]. 重庆电子工程职业学院学报， 2009,18 （2） ： 118-119． [15]张丽娅, 卢志辉． 数学期望在物流管理中的应用[J]. 物流与采购研究， 2009． 5, （19） ： 45-46． [16]亢苏敏，王青．概率论在决策分析中的应用[J]. 科技信息，2009,（21） ：42-46． [17]杜伟娟． 对于条件数学期望应用的探讨[J]. 牡丹江教育学院学报， 2007, （2） ： 142-143． [18]荣腾中， 刘琼荪． 有关数学期望的优化问题[J]. 高等数学研究， 2011． 5,14 （3） ： 16-18． [19]肖文华． 数学期望的计算方法与技巧[J]. 湖南工业大学学报， 2008． 5,22 （3） ： 98-100． [20]廖飞，李楠．数学期望的应用[J]. 牡丹江师范学院学报（自然科学版） ，2007,（4） ： 63-64． [21]匡能晖．超几何分布的数学期望和方差的定义求法[J]. 高等数学研究, 2010, 13(4): 73-74．
二、数学期望的国内外研究现状及存在问题
自从概率论发展以来， 数学家在这门学科上都花了大量的精力。 数学期望是随机变量的 重要数字特征，反映着随机变量取值的平均情况。数学期望虽是一个专业的词语，但紧密联 系实际生活，如它在体育比赛中的应用、在企业经济管理工作中的应用、在理性决策中的应
用、在疾病普查中的应用、数学期望在农业生产中的应用。我们在生活中都有这些领域的一 定的基础知识， 但是就是想不明白为什么这些事情能和数学期望有关系。 看过一些参考文献 后， 我们对数学期望的应用有一定的了解， 但是还是没有对数学期望应用于现实生活有全面 的掌握。人们对于数学知识在实际生活中的应用越来越重视，其中，对数学期望的研究没有 停止过，并且也有成果，但是没有较为系统地对已研究的信息进行整合和扩展，可供参考的 资料比较分散，对解数学期望在生活中的应用也就掌握看到的信息。
有了点眉目。 接下来帕斯卡和好友费马共商得到一致的意见： 之前的赌金分法是合理正确的。 此后，概率论中就开始形成数学期望这个重要的数学特征。在上述问题中，数学期望是一个 平均值， 就是对将来不确定的钱应该怎么算， 这就要用 A 赢输的概率
1 2
去乘上他可能得到的
钱，再把它们加起来。概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。
参考文献
[1]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社,2008.4：80-94. [2]欧俊豪， 王家生， 徐漪萍， 刘嘉焜编.应用概率统计[M].天津大学出版社,1990.1 （2000.8 重印） ：98-114. [3]欧贵兵主编．概率统计及其应用[M].北京：科学出版社，2011.1:95-102． [4]曹菊生，魏国强主编．概率统计与数据处理[M].苏州：苏州大学出版社，2011．1:78-88． [5]魏振军编著． 概率论与数理统计三十三讲[M]. 北京： 中国统计出版社， 2005.4 :154-166． [6]林少安．生活中的数学期望[J].高中数学教与学，2004， （8） ：42-45． [7] 张 少 华 ． 数 学 期 望 在 农 业 生 产 中 的 应 用 [J]. 安 徽 农 业 科 学 ， Journal of Anhui Agri．Sci．2011,39(16):9569-9570．
三、研究方向
数学期望简称期望，又称均值，是概率统计中一项重要的数字特征，它代表了随机变量 取值的平均水平。一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化，从纯数 学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇，但是引入了随机变量和数学期望后，它们就成 为神奇的世界了。因此少了数学期望，概率论就是去了它的色彩。数学期望广泛应用于经济 社会领域，其意义是解决实践中抽象出来的数学模型，从而达到认识客观世界规律的目的， 为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本人将总体介绍离散型随机变量的数学期望和 随机变量的函数的数学期望的求解（从数学期望的概念、性质及其各种形式，如离散型随机 变量函数的几种重要分布列的期望的求解） ，再综合各方面因素进行探讨整合生活中较常用 的数学期望模型， 以便于更多的人能根据数学期望解决自己身边的数学问题， 以达到学以致 用的效果。
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的钱,赢了 3 局的拿
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的钱。为什么呢？假
设再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢，若是 A 赢满了 5 局，钱应该全归他；若是 A 输了，即 A、B 各赢 4 局，这个钱应该对半分。现在，A 赢和输的是
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1 1 3 1 1 ,当然，B 就应该得 。这个问题困扰了帕斯卡很长时间，苦思三年后才算 2 2 2 4 4
文献综述
数学期望的求解及其应用
一、数学期望的历史发展
早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论， 但是对其有数学的描述和处理却是 15 世纪以后的事。l6 世纪早期，意大利出现了卡尔达诺 等数学家研究骰子中的博弈机会， 在博弈的点中探求赌金的划分问题。 这个事件对数学期望 的发展起了决定性作用。1651 年，一位法国贵族梅累向该国的数学家、物理学家帕斯卡提 出一个有趣的“分赌注”问题。有两个赌徒说，他们两个下完赌金后，约定谁先赢满 5 局， 谁就获得全部赌金。最后，赌徒 A 赢 4 局，赌徒 B 赢了 3 局，时间很晚了，二人也不想继 续下去。这个钱应该怎么分？把钱分成 7 等份，赢 4 局的赌徒 A 拿 4 份，赢了 3 局的赌徒 B 拿 3 份呢？或者，因为最早说的是满 5 局，而谁也没达到，所以就一人分一半？当然这两种 分法都不对。正确的分法是：赢了 4 局的人拿