高考领航新一轮数学理科总复习基础盘点AB演练2.6对数与对数函数(含答案详析)
2.6对数与对数函数(一轮复习)
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第 8页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
考点 4
反函数
ax
lg 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数 y＝ o
(a＞0 且
a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
[双基夯实]
真 题 演 练 集 训
1 ( .) 1 A. 2
[教材习题改编]lg 5＋lg 20的值是( B ) B．1 D．100
题 型 重 点 研 讨
C．10
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第12页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
( 2 ) [教材习题改编]( o lg 1 A. 4 C．2 1 B. 2
o ( l ) · g 29
34)＝(
D )
D．4
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第13页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
题 型 重 点 研 讨
必考部分
真 题 演 练 集 训
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第 1页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
题 型 重 点 研 讨
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2020_2021学年高考数学一轮复习专题2.6对数与对数函数知识点讲解理科版含解析
对数与对数函数【核心素养分析】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】 知识点一 对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).知识点三 对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质知识点四 反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.【特别提醒】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n mlog a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限.【典型题分析】高频考点一 对数的化简与求值例1．【2020·全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<.【变式探究】（2020·广东中山中学模拟）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.【答案】－20【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【变式探究】（2020·河南洛阳一中质检）计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________．【答案】1【解析】原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.高频考点二 对数函数图象及其应用例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A BC D 【答案】D【解析】对于函数y ＝log a (x ＋12)，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a (x ＋12)的图象恒过定点(12，0)，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a (x ＋12)在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D 。
(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题2.6对数与对数函数(讲)(含解析)
第06讲对数与对数函数---讲1.理解对数的看法，掌握对数的运算，会用换底公式.2．理解对数函数的看法，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.认识对数函数的变化特色.4.高考展望：（1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独观察外，在大题中观察对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热门.5.备考要点：（1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类谈论问题.知识点1．对数及其运算1.对数的看法（1）假如x ＝(>0，且≠1) ，那么叫做以为底的对数，记作＝log ，此中叫做对数的底数，a x a x aaN叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②log a1 0；③log a a 1；（3）对数恒等式logN a a＝N2.对数的运算法规假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；M②log a N＝log a M－log a N；a n a③log M＝n log M(n∈R)；④log a n nm M＝log a M(m，n∈R，且m≠0).m(3)对数的重要公式log a N①换底公式：log b N＝log a b(a，b均大于零且不等于1)；1②log a b＝log b a，推行log a b·log b c·log c d＝log a d.③log a a b＝b(a>0，且a≠1)【典例1】（2019·山东高考模拟（文））设函数，则（）A．9B．11C．13D．15【答案】B【分析】∵函数，∴=2+9=11．应选：B．【规律方法】对数运算的一般思路(1)拆：第一利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，而后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，而后逆用对数的运算性质，转变为同底对数真数的积、商、幂的运算．【变式1】【2018届安徽省宿州市第三次检测】已知，，，则（）A.-2B.2C.D.【答案】C【分析】由题意，设，则，，，据此有：，则：，即，据此可得：或，此中：，据此可得：，则.本题选择C选项.知识点2．对数函数及其性质(1)看法：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，此中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)性质当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y<0在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数【典例2】（2019·北京高考模拟（理））若函数则函数f(x)的值域是（）A．(,2)B．(,2]C．[0,)D．【答案】A【分析】画出函数的图像以以下图所示，由图可知，函数的值域为,2，应选A.【要点总结】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转变为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式2】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的分析式可得函数为奇函数，绘制函数图像以以下图，则不等式即，即fm 0，观察函数图像可得实数m的取值范围是.应选：A.考点1【典例对数的化简、求值3】（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，此中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1【答案】A【分析】两颗星的星等与亮度满足,令,.应选：A.【易错提示】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中全部的对数符号有意义的前提下才成立的，不可以出现log212＝log2[( －3)×(－4)] ＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不一样底的对数式转变为同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式3】则a＝，b＝.【答案】4，2.【分析】设，由于，所以考点2对数函数的图象及应用【典例4】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同向来角坐标系中的图象可能是（）A． B ．C．D．【答案】D【分析】关于A、B两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，关于C、D两图，0＜＜1，在C图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C错，D正确．应选：D．【总结提高】ylog a x的底数变化，其图象拥有以下变化规律：（1）上下比较：在直线x 1的右边，a 1时，底大图低（凑近x轴）；0 a 1x轴）．（2）左右比较（比较图象与y1的交点）：交点横坐时，底大图高（凑近标越大，对应的对数函数的底数越大.【变式4】【2018届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的选项是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】由于，.所以函数单调递减，消除B，D.与的图象关于轴对称.消除A.应选A.考点3对数函数的性质及应用【典例5】【2018年天津卷理】已知，，，则a，b，c的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【分析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.【总结提高】比较对数式大小的种类及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类谈论．(2)若底数不一样，真数同样，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不一样，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．【变式5】【2017天津，理6】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若，b g(20.8)，c g(3)，则a，b，c的大小关系为（A）abc（B）cba（C）bac（D）bc a【答案】C【分析】由于f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x0时，f(x)0，从而是R上的偶函数，且在[0,)上是增函数，，20.8 2，又 4 5.1 8，则，所以即，，所以b a c，应选C．【典例6】（2019·山东高考模拟（文））已知，若正实数a满足，则a 的取值范围为（）A．a 3 3 4 4B．0a 或a4 33D．a1C．0a 或a14 【答案】C【分析】由于y e x1 与y4x 4都是R上的增函数，所以是R上的增函数，又由于等价于log a3所以1，4由1 log a a ，知,当0a1时，ylog a x 在0, 上单调递减，故a3a3，从而0；44当a 1时，ylog a x 在0,3 ，从而a 1，上单调递加，故a34综上所述，a 的取值范围是0 或a1，应选C.a4【技巧点拨】解对数不等式的种类及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助 y ＝log a x 的单调性求解，假如a 的取值不确立，需分a ＞1与0＜a＜1两种状况谈论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将 b 化为以a 为底的对数式的形式．【变式6】（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数f x 在区间[0，上单调递加，且的图象关于x1对称，若实数a 满足，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．1,4D ．4,444【答案】C 【分析】依据题意，的图象关于x1对称，则函数 fx 的图象关于y 轴对称，即函数fx 为偶函数，又由函数 fx在区间[0，上单调递加，则，即，解得：1a 4，4即a 的取值范围为1,4；4应选：C ．考点4对数函数的综合应用【典例 7】(2019·宜春中学、新余四中联考 )已知函数f (x )＝a －x＋4－2， ＜1，ax若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )1＋log 2x ，x ≥1，A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)【答案】B【分析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 一定是增函数，1，才能满足f (x )的值域为R ，可得a －1＞0， 且最大值大于或等于 解得a ∈(1,2]．a －1＋4－2a ≥1，【总结提高】应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，一定弄清三方 面的问题：一是定义域，全部问题都一定在定义域内谈论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．别的，解题时要注意数形结合、分类谈论、转变与化归思想的使用． 【变式7】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】B 【分析】由题意知函数的定义域为， 当 时， ， ∴ 在 上单调递减，∵ 是偶函数， ∴ 在上单调递加． ∵，∴ ， 两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是．应选B．。
2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.6对数与对数函数(练)含解析
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章 函 数第06讲 对数与对数函数---练1．（2019·陕西西安中学高考模拟（理））已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵； ∴；∴．故选：D ．2．（2019·江西高三月考（文））已知,函数与函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由于，故,a b 互为倒数，而，，故()(),f x g x 的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C 选项，故选C.3．（2019·西藏林芝一中高三月考（理））当0＜a ＜1时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵函数y=a ﹣x与可化为 函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x ，当0＜a ＜1时是减函数， 两个函数是一增一减，前增后减． 故选：C ．4．（2019·浙江高三会考）函数的定义域是A ．B ．C ．[0，2]D ．（2，2）【答案】A 【解析】 由函数的解析式，可得，解不等式可得，函数的定义域是，故选A .5．（2019·北京高考模拟（文））已知3log a e =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】是增函数，所以，即a c ＞，，，所以b a c ＞＞, 故选：D6．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 由于，，，可得b c >，综合可得a b c >>， 故选B.7.（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，则(7)f =（ ）．A ．3-B ．2log 6C ．3D ．2log 6-【答案】A 【解析】 由题意得，，函数()y f x =为奇函数，所以，，故选：A.8.（2019·河南高考模拟（理））设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=（ ）A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+-【答案】D 【解析】，，则.故选：D9.（2019·北京高考模拟（理））设,a b R +∈，且1,1a b ≠≠，能说明“若，则b a >”为假命题的一组,a b 的值依次为_____. 【答案】13,3答案不唯一 【解析】a ＞1，0＜b ＜1时，，满足，但b a >不成立，所以，只要举a ＞1，0＜b ＜1的例子即可， 如,a b 的值依次为13,3答案不唯一 10.（2019·江苏高考模拟）已知函数，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 ∵∴∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a >所以解得a ．1.（2019·福建高三高考模拟（文））已知，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】,∴∴而结合选项∴，故选：B2.（2019·山东高考模拟（文））设a ，b 都是不等于1的正数，则“”是“222a b ＞＞”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】 由“”，得，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或或，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，3.（2019·安徽高考模拟（理））若函数的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D 【解析】当x 2≤时，f （x ）＝22x 22x --=，单调递减，∴f （x ）的最小值为f(2)=1， 当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增，若满足题意，只需恒成立，即2x a +≥恒成立， ∴，∴a ≥0，故选：D ．4.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数在R 上为减函数，则函数的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由函数f （x ）＝a x﹣a ﹣x（a ＞0且a ≠1）在R 上为减函数，故0＜a ＜1．函数y ＝log a （|x |﹣1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜﹣1，函数y ＝log a （|x |﹣1）的图象，x ＞1时是把函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．5．（2019·山东高考模拟（文））已知，，则_________．【解析】 由题意可得：，由对数恒等式可知：，则.6．（2019·陕西西安中学高三期中（文））已知函数的定义域为______．【答案】【解析】要是函数有意义，则需，解得，故函数定义域为.1.（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数且0)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.2.【2019年高考北京理】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而10.11210E E =. 故选A.3.（2019·天津高考真题（理））已知5log 2a =，，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】，，，故112c <<， 所以a c b <<. 故选A.4.【2019年高考全国Ⅲ卷理】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，．，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.【2018年新课标I 卷文】已知函数，若，则________．【答案】-7 【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是..6.【2019年高考全国Ⅱ卷理】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以，两边取以e 为底数的对数，得，所以3a -=，即3a =-．。
高考数学2.6对数与对数函数跟踪检测(含答案解析)
数 y＝ log5(2x＋ 1)的单调增区间为
－ 1，＋ ∞ . 2
2． 函数 y＝ loga(x＋ 3)－ 1 (a>0 且 a≠ 1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋ 1＝ 0 上 (其 中 mn>0) ，则 m1 ＋ 2n的最小值为 ________． 答案 8
解析 y＝ loga(x＋ 3)－1 (a>0 且 a≠ 1)的图象恒过点 A(－ 2，－ 1)， A(－ 2，－ 1)在直线
(2) 值域： R
性质 [来源:www ]
(3)过定点 (1,0)，即 x＝ 1 时， y＝ 0
(4)当 x>1 时， y>0
(5)当 x>1 时， y<0
当 0<x<1 时， y<0
当 0<x<1 时， y>0
(6) 在 (0，＋∞ )上是增函数
(7) 在 (0，＋∞ )上是减函 数
mx＋ny＋ 1＝ 0 上， 即 2m＋ n＝ 1.
∴ 1 ＋ 2＝ mn
1＋2 mn
(2
m＋
n)＝
4＋
n＋ m
4m≥ n
4＋
2
4＝ 8，
当且仅当 4m2＝n2 时取等号．
3
．
(2012 · 安
徽
)(log 29) ·(log 34)
等
于
()
1
1
A. 4
B.2
答案 D
C．2
D ．4
解析
方法一
原式＝
系是
()
A ． a＝ b<c
B． a＝b>c
C． a < b< c 答案 B
2021年高考数学(理)复习学与练：2.6 对数与对数函数(精练)((教师版))
『高考复习|学与练』『汇总归纳·备战高考』【基础测试】1．（2020·山西省长治市第六中学模拟）函数y ＝的定义域是( )log3（2x －1）＋1A ．[1，2] B ．[1，2)C. D ．[23，＋∞)(23，＋∞)【答案】C【解析】由{log3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，)即解得x ≥.{log3（2x －1）≥log313，x >12，)232．(2020·山西吕梁模拟)已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <b D ．a <b <c【答案】A【解析】1<a ＝log 35＝log 325<log 327＝1.5，b ＝1.51.5>1.5，c ＝ln 2<1，所以c <a <b ，故选A.12123．（2020·辽宁省灯塔市第一中学模拟）如果log x <log y <0，那么( )12 12A ．y <x <1 B ．x <y <1C ．1<x <y D ．1<y <x【答案】D【解析】由log x <log y <0，得log x <log y <log 1，所以x >y >1.12 12 12 12 124．（2020·黑龙江省齐齐哈尔市第六中学模拟）函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )【答案】C【解析】函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．（2020·浙江省乐清中学模拟）若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2 D ．a ≥2【答案】C【解析】当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．（2020·江苏省江阴高级中学模拟）已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ＝________．(12)【解析】由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－，所以2log32f ＝＋a log 3＝－a log 32＝＋×log 32＝.(12)181218182log32178【答案】1787．（2020·安徽省马鞍山市红星中学模拟）已知2x ＝72y ＝A ，且＋＝2，则A 的值是________．1x 1y 【解析】由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝log 7A ，则12＋＝＋＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝＝7.1x 1y 1log2A 2log7A 982【答案】728．（2020·福建省莆田第六中学模拟）已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则＝________．nm 【解析】因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么＝3÷＝9.同13nm 13理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得＝9.19n m 【答案】99．（2020·江西省南昌大学附属中学模拟）设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间上的最大值．[0，32]【解析】(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2.由得－1<x <3，{1＋x >0，3－x >0，)所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[0，32]10．（2020·山东省安丘市第一中学模拟）已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．【解析】(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1，可得g (x )的定义域为(－1，1)．(3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增，可得函数g (x )的单调减区间为(0，1)．【能力测试】1．（2020·河南省郑州市第二中学模拟）若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( )A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5z D ．5z ＜2x ＜3y【答案】B 【解析】设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1, x ＝2t, y ＝3t, z ＝5t, 因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .2．（2020·湖北省黄山市第三中学模拟）已知x 1＝log 2，x 2＝2－，x 3满足＝log 3x 3，则( )1312 (13)x 3A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2【答案】A 【解析】由题意可知x 3是函数y 1＝与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函(13)x数y 1＝与y 2＝log 3 x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 2<0，0<x 2＝2－<1，所以(13)x1312 x 3>x 2>x 1.故选A.3．（2020·湖南省临湘市第一中学模拟）已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( )A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0C ．(b －1)(b －a )＜0 D ．(b －1)(b －a )＞0【答案】D 【解析】由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得，当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1，代入验证只有D 项满足题意．4．（2020·广东省广州市番禺中学模拟）已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( )A ．f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数B ．f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数C ．f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数D ．f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数【答案】D 【解析】函数f (x )的定义域为(－10，10)，又∵f (－x )＝lg(10－x )＋lg(10＋x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．又f (x )＝lg(100－x 2)，令t ＝100－x 2，易知t 在(0，10)上是减函数，结合复合函数可知，故f (x )在(0，10)上是减函数，故选D.5．（2020·广西北海市北海中学模拟）已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围为________．【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以a ≤2且g (2)＞0，12所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4.【答案】(－4，4]6．（2020·四川省攀枝花市第七中学模拟）设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为，则实数a 的值为________．13【解析】作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝，又1a 1－a －＝1－a －＝＜0，故1－a ＜－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝，a ＝.(1a －1)1－a a （1－a ）（a －1）a 1a 1323【答案】237．（2020·四川省宣汉中学模拟）关于函数f (x )＝lg (x ≠0，x ∈R)有下列命题：x 2＋1|x |①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数．其中是真命题的序号为________．【答案】①③④ 【解析】∵函数f (x )＝lg (x ≠0，x ∈R)，显然f (－x )＝f (x )，x 2＋1|x |即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；。
高考数学一轮总复习 2.6 对数与对数函数精品课件 理 新人教版
shù)函数
第一页，共28页。
考纲要求
(yāoqiú)
考纲要求
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自
然对数或常用对数;了解
对数的发现历史以及对简化运算的作用.
2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的
∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(a2b2)=2lg(ab)=2×1=2.
2
关闭
解析
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十三页，共28页。
误区警示
答案
答案
(dá àn)
探究
(tànjiū)突
破
方法提炼
对数式化简求值的基本思路:
n
(1)利用换底公式及 loa m Nn= logaN 尽量地转化为同底的和、差、积、
形结合思想.由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图象可得 0<a<1,0<b<1.则
关闭
x
B
g(x)=a
+b 的图象由 y=ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B.
点(kǎo diǎn)一
解析
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十六页，共28页。
误区警示
答案
一般先研究函数的周期性.
3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函数的单调性.
点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
【三年高考两年模拟】高三数学(浙江版)一轮复习训练：2.6对数与对数函数(含答案解析)
§2.6 对数与对数函数Ａ组基础题组1.(2015嘉兴学科基础测试,5,5分)已知函数y=log a x,y=log b x,y=log c x的图象如图,则()A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b2.(2013陕西,3,5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c3.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2013课标全国Ⅱ,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c5.(2015金华十校高考模拟,4,5分)已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b 满足的关系是()A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<16.(2014天津,4,5分)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)7.(2015慈溪联考,6)函数f(x)=x2lg的图象()A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称8.(2015黑龙江哈尔滨师大附中第一次月考,5)函数y=lo(x≥3)的值域是()A.(0,1]B.[-1,0)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]9.(2013湖南,5,5分)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.010.(2015安徽,11,5分)lg+2lg2-=.11. (2016超级中学原创预测卷二,9,6分)计算:log4=,=.12.(2016温州高三上学期返校联考,9,6分)计算:lg0.01+log327=;2-3,,log25三个数中最大的是.13.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,12)已知函数f(x)=log2(+x)++1,则f(1)+f(-1)=;如果f(log a5)=4(a>0,a≠1),那么f(lo5)的值是.14.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是.15.已知函数f(x)=log a(ax)·log a(a2x)(x∈[2,8],a>0,且a≠1)的最大值是1,最小值是-,求a的值.B组提升题组1.(2014四川,7,5分)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c2.(2014浙江,8,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是()3.(2015浙江重点中学协作体第二次联考,2,5分)设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2015浙江测试卷,7,5分)已知函数f(x)=x+ln(+x),g(x)=则()A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数5.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(2015陕西,9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q7.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,4)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m+n=()A. B. C.2 D .8.(2016超级中学原创预测卷一,10,4分)设a=cos420°,函数f(x)=则a=,f+f=.9.(2015温州十校联考,11)log23log34+(lg2)2+lg2lg5+lg5=.10.(2016浙江名校新高考研究联盟一联,12,6分)若2a=6,b=log23,则2a-b=,=.11.(2016浙江余姚中学期中,12,6分)已知实数x,y,实数a>1,b>1,且a x=b y=2.(1)若ab=4,则+=;(2)a2+b=8,则+的最大值为.12.(2015上海文,8,5分)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为.13.(2015浙江衢州二中期中,13,4分)若函数y=log a(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是.14.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.15.(2014浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)已知函数f(x)=|log a|1-x||(a>0,a≠1),若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则+++=.16.已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a,记F(x)=2f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的定义域及其零点;(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.Ａ组基础题组1.C作直线y=1与各曲线相交,各交点的横坐标就依次等于相应的底数,结合图形可知:0<c<1<a<b,故选C.2.B log a b·log c a=log a b·==log c b,故选B.3.A∵y=log2x是增函数,∴当a>b>1时,有log2a>log2b>log21=0.另一方面,当log2a>log2b>0=log21时,有a>b>1.故选A.4.D由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故选D.5.A令u=2x+b-1,此函数为增函数,由题图可知a>1.由题图知-1<f(0)<0,即-1<log a b<0⇔log a a-1<log a b<log a1.∵a>1,∴0<a-1<b<1.故选A.6.D由x2-4>0得x<-2或x>2.又y=lo u为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).7.B∵f(x)=x2lg,∴其定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),∵f(-x)=x2lg=-x2lg=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,故选B.8.B当x≥3时,=1+∈(1,2],则-1≤lo<0,故选B.9.B在同一直角坐标系下画出函数f(x)=2lnx与函数g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的图象,如图所示.∵f(2)=2ln2>g(2)=1,∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2,故选B.10.答案-1解析原式=lg+lg4-2=lg-2=lg10-2=-1.11.答案-2;5解析log4=log44-2=-2,===5.12.答案1;log25解析lg0.01+log327=lg10-2+log333=-2+3=1.由图象可知0<2-3<1,1<<2,由对数函数的性质知log25>log24=2,∴最大的是log25.13.答案1;-3解析f(1)+f(-1)=log2(+1)+2+log2(-1)-1=1.f(x)+f(-x)=log2(+x)++1+log2(-x)++1=++2=1.∵lo5=-log a5,∴f(log a5)+f(lo5)=1,∴f(lo5)=-3.14.答案(1,2]解析当x≤2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)=3+log a x在(2,+∞)上为减函数,f(x)∈(-∞,3+log a2),显然不满足题意,∴a>1,此时f(x)在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(3+log a2,+∞),由题意可知(3+log a2,+∞)⊆[4,+∞),则3+log a2≥4,即log a2≥1,∴1<a≤2.15.解析由题意知f(x)=(log a x+1)(log a x+2)=(lo x+3log a x+2)=-.当f(x)取最小值-时,log a x=-.又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1).∵f(x)是关于log a x的二次函数,∴函数f(x)的最大值必在x=2或x=8时取得.若-=1,则a=,此时,当f(x)取得最小值时,x=(=∉[2,8],舍去.若-=1,则a=,此时,当f(x)取得最小值时,x==2∈[2,8],符合题意,∴a=.B组提升题组1.B log5b=a,b>0,故由换底公式得=a,∴lgb=alg5.∵lgb=c,∴alg5=c,又∵5d=10,∴d=log510,即=lg5,将其代入alg5=c中得=c,即a=cd.2.D∵a>0,且a≠1,∴f(x)=x a在(0,+∞)上单调递增,∴排除A;当0<a<1或a>1时,B、C中f(x)与g(x)的图象矛盾,故选D.3.A由函数f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x),得a=-1,即f(x)=lg.又f(x)<0,所以0<<1,解得-1<x<0,故选A.4.C∵>|x|,∴函数f(x)的定义域为R.又f(-x)=-x+ln(-x)=-x+ln=-x-ln(+x)=-f(x),故f(x)是奇函数.g(-x)====g(x),则g(x)是偶函数,故选C.5.A解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=ln=ln=ln.∵y=(x∈(0,1))是增函数,y=lnx也是增函数,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln=ln. ∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0,且(1+x1)·(1-x2)>0,(1+x2)(1-x1)>0,∴0<<1,∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.6.C由题意得p=ln,q=ln,r=(lna+lnb)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴ln>ln,∴p=r<q.7.D∵f(x)=|log2x|,且f(m)=f(n),∴mn=1.又0<m<n,则有0<m<1<n,从而有0<m2<m<1<n,则|log2m2|=2|log2m|=2|log2n|>|log2n|.∵f(x)=|log2x|在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,即|log2m|=1,∴m=(m=2舍去),∴n=2.∴m+n=.8.答案;8解析因为a=cos420°=cos60°=,所以f(x)=所以f+f=lo+=log24+=2+6=8.9.答案 3解析原式=·+lg2(lg2+lg5)+lg5=2+lg2+lg5=2+1=3.10.答案2;log312解析2a-b====2.====log312.11.答案(1)2(2)4解析(1)由题知x=log a2,y=log b2,所以+=+===2.(2)+=+=≤==4,当且仅当a2=b时等号成立.12.答案 2解析依题意得log2(9x-1-5)=log2(4·3x-1-8),所以9x-1-5=4·3x-1-8,令3x-1=t(t>0),则t2-4t+3=0,解得t=1或t=3,当t=1时,3x-1=1,所以x=1,而91-1-5<0,所以x=1不合题意,舍去;当t=3时,3x-1=3,所以x=2,92-1-5=4>0,32-1-2=1>0,所以x=2满足条件,所以x=2是原方程的解.13.答案1<a<2解析因为函数y=x2-ax+1只能有最小值,所以要使函数y=log a(x2-ax+1)有最小值,则a>1,且>0,得1<a<2.14.答案-解析显然x>0,∴f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-.当且仅当x=时,有f(x)min=-.15.答案 2解析易知f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,1)上为增函数,在区间(1,2)上为减函数,在区间(2,+∞)上为增函数,则由已知得x1<0<x2<1<x3<2<x4.则log a(1-x1)+log a(1-x2)=0,即(1-x1)(1-x2)=1,有x1+x2=x1x2,故+=1.同理,+=1,故+++=2.16.解析(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2log a(x+1)+log a(a>0且a≠1).由可解得-1<x<1,所以函数F(x)的定义域为(-1,1).令F(x)=0,则2log a(x+1)+log a=0.(*)方程变形为log a(x+1)2=log a(1-x),则(x+1)2=1-x,即x2+3x=0,解得x1=0,x2=-3,经检验,x=-3不符合题意,所以方程(*)的解为x=0,即函数F(x)的零点为0.(2)方程可化为m=2log a(x+1)+log a=log a=log a,即a m=1-x+-4,设1-x=t,t∈(0,1],y=t+,易知函数y=t+在区间(0,1]上是减函数,则当t=1时,y取最小值,y min=5,所以a m≥1.①若a>1,由a m≥1可解得m≥0;②若0<a<1,由a m≥1可解得m≤0.故当a>1时,实数m的取值范围为m≥0,当0<a<1时,实数m的取值范围为m≤0.。
高考数学一轮复习总教案：2.6 对数与对数函数
2.6 对数与对数函数典例精析题型一 对数的运算【例1】计算下列各题： (1)2(lg 2)2＋lg 2•lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1；(2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40. 【解析】(1)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2lg 5＋(lg 2－1)2 ＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2＝1. (2)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.【变式训练1】已知log89＝a ，log25＝b ，用a ，b 表示lg 3为 .【解析】由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a 2 lg 2 lg 1,2 lg 33 lg 2⇒lg 3＝3a 2＋2b. 题型二 对数函数性质的应用【例2】设函数f(x)＝loga(x －2) (a ＞0，且a≠1).(1)求函数f(x)经过的定点坐标；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)解不等式log3(x －2)＜1.【解析】(1)当x ＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).(2)当a ＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a ＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.(3)不等式log3(x －2)＜1等价于不等式组⎩⎨⎧<->-,32,02x x解得2＜x ＜5，所以原不等式的解集为(2,5).【变式训练2】已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log ,1,1)2(x x x x a a 若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 .【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3.题型三 对数函数综合应用【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题设知3－ax ＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，a ＞0，且a≠1.因为a ＞0，所以g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a ＞0，所以a ＜32， 所以a 的取值范围为(0,1)∪(1，32). (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，所以a ＝32， 此时f(x)＝23log (3－32x). 当x ＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.【变式训练3】给出下列四个命题：①函数f(x)＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点；②若f′(x0)＝0，则函数y ＝f(x)在x ＝x0处取得极值；③若m ≥－1，则函数y ＝21log (x2－2x －m)的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f(x)＝a －ex 1＋aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件. 则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上).【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e －2＋e ＝e －1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x ＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t ＝x2－2x －m ，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t ＝x2－2x －m 可以取遍所有的正数，所以函数y ＝21log (x2－2x －m)的值域为R ，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得a －e －x 1＋ae －x ＝－a －ex 1＋aex，解得a ＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a ＝±1，故 “a ＝1”是“函数f(x)＝a －ex 1＋aex为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.总结提高1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论.4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.。
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第6节 对数与对数函
第六节对数与对数函数课标解读考向预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a >0，且a ≠1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题．预计2025年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以对数或对数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大.必备知识——强基础1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数01x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝02log a N ，其中a 叫做对数的03底数，N 叫做04真数．(2)常用对数和自然对数①常用对数：以0510为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为06lg__N ．②自然对数：以07e 为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记为08ln__N ．2．对数的性质(1)09负数和0没有对数；(2)log a 1＝100；(3)log a a ＝111；(4)对数恒等式：a log aN ＝12N ；log a a b ＝13b (a >0，且a ≠1)．3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么(1)log a (MN )＝14log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝15log a M －log a N ；(3)log a M n ＝16n log a M (n ∈R )．4．换底公式：log a b ＝17log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．5．对数函数及其性质(1)概念：函数18y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是19(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域20(0，＋∞)值域21R性质当x ＝1时，y ＝0，即图象过定点22(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是23增函数在(0，＋∞)上是24减函数6.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数25y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线26y ＝x 对称．它们的定义域和值域正好互换．1．对数运算的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a(a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0)．2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)只在第一、四象限．4．对于函数f (x )＝|log a x |(a >0，且a ≠1)，若f (m )＝f (n )(m ≠n )，则必有mn ＝1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .()(2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．()(3)log 2x 2＝2log 2x .()(4)函数y ＝log 2x 与y ＝log 121x的图象重合．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A 必修第一册习题4.3T5改编)设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 1210＝()A.12a ＋bB.1a ＋2bC ．2a ＋bD ．2b ＋a答案A解析log 1210＝1lg 12＝1lg 3＋2lg 2＝12a ＋b.(2)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是()A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案D(3)已知实数a ＝log 32，b ＝log 2π，c ＝log 210，则()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a答案A(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y＝log a(x－3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案(4，－1)考点探究——提素养考点一对数的概念与运算例1(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是()A．log53×log32×log25B．lg2＋12lg5C．log aa2(a>0，且a≠1)D．e ln3－0.125-1 3答案AD解析对于A，原式＝lg3lg5×lg2lg3×lg5lg2＝1；对于B，原式＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12；对于C，原式＝2log a a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－813＝3－2＝1.故选AD.(2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(23)z，则()A.1 x＋1y＝1zB.1y＋1z＝1xC.1 x＋1y＝2zD.1x＋1z＝2y答案C解析令3x＝4y＝(23)z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log23a，故1x＝log a3，1y＝log a4，1z＝log a23，故1x＋1y＝log a12＝2log a12＝2z.故选C.【通性通法】对数运算的一般思路转化利用a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化利用换底公式转化为同底数的对数运算恒等式注意log a1＝0，log a a N＝N，a log aN＝N(a>0，且a≠1)的应用拆分将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算注意：利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.【巩固迁移】1．化简(2log 43＋log 83)(log 32＋log 92)的值为()A ．1B ．2C ．4D ．6答案B解析2×12log 23＋13log 232＋12log 3＝43log 23×32log 32＝2.故选B.2．(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10a ＝4，10b ＝25，则()A ．a ＋b ＝2B ．b －a ＝1C ．ab >(lg 2)2D ．b －a >lg 6答案ACD解析由10a ＝4，10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，所以a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；因为b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254<lg 10＝1，故B 错误；因为ab ＝lg 4·lg 25>lg 2·lg 2＝(lg 2)2，故C 正确；因为b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254>lg 244＝lg 6，故D 正确．故选ACD.3．(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳14含量与树龄之间的函数关系式为k ＝k k 0为树木最初生长时的碳14含量，n (单位：年)为树龄，通过测定发现某古树样品中碳14含量为0.6k 0，则该古树的树龄约为________万年．(精确到0.01，lg 3≈0.48，lg 5≈0.70)答案0.42解析由题意，得0.6k 0＝k ＝35，两边取对数，得n 5730lg 12＝lg 35，变形，得n ＝lg 5－lg 3lg 2×5730＝lg 5－lg 31－lg 5×5730，因为lg 3≈0.48，lg 5≈0.70，所以n ≈0.70－0.481－0.70×5730＝4202，故该古树的树龄约为0.42万年．考点二对数函数的图象及其应用例2(1)已知函数f (x )＝ax ＋b 的图象如图所示，则函数y ＝log a (|x |＋b )的图象可以是()答案D解析由函数f(x)＝ax＋b的图象，可知0<a<1，－1<b<0，函数y＝g(x)＝log a(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，且g(－x)＝log a(|－x|＋b)＝log a(|x|＋b)＝g(x)，即函数y＝log a(|x|＋b)为偶函数．又函数y＝log a(|x|＋b)log a(x＋b)，x>－blog a(－x＋b)，x<b所以y＝log a(|x|＋b)在(－b，＋∞)上单调递减，在(－∞，b)上单调递增．故选D.(2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则() A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y＝1e，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3.【通性通法】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【巩固迁移】4．若函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a|x ＋k|的大致图象是()答案B解析因为函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意．又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝log a|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝log a|－4－x＋2|＝log a|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝log a|0＋2|＝log a2<0，可知A错误．故选B.5．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则1a＋b＝________．答案4解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝12，∴b＝2，∴1a＋b＝4.考点三对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较大小问题例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b答案D解析因为0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以c>a>b.故选D.(2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝1logπ2＋log3π，则()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a答案B解析因为a＝log23＋log32>2log23·log32＝2，所以a>b.因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.综上，c＞a＞b.故选B.【通性通法】对数值比较大小的四种常见类型(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】6．(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知a ＝log 827，b ＝log 916，c ＝log 48，则()A ．a <bB ．a >cC ．b <cD ．b <a答案BCD解析因为a ＝log 827＝log 2333＝log 23，b ＝log 916＝log 34，c ＝log 48＝32，所以a b ＝log 23log 34＝ln 3ln 2·ln 3ln 4＝6ln 3·ln 36ln 2·ln 4＝2ln 33ln 2·3ln 32ln 4＝ln 9ln 8·ln 27ln 16>1，又a ，b 均大于0，所以a >b ，故A 错误，D 正确；因为a ＝log 23>log 222＝32＝c ，所以a >c ，故B 正确；因为16<33，即4<332，所以b ＝log 916＝log 34<log 3332＝32＝c ，即b <c ，故C 正确．故选BCD.考向2解简单的对数不等式例4(1)已知函数f (x )＝log 2x －x ＋1，则不等式f (x )<0的解集是()A ．(1，2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(0，2)D ．(0，1)∪(2，＋∞)答案D解析依题意，f (x )<0等价于log 2x <x －1，在同一坐标系中作出y ＝log 2x ，y ＝x －1的图象，如图所示，可得log 2x <x －1的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．故选D.(2)不等式log 12(x ＋1)－log 12(x －1)<－12的解集是________．答案(1，17＋122)解析因为log 12(x ＋1)－log 12(x －1)<－12可化为log12x ＋1x －1<－12⇒x ＋1x －1>2⇒1<x <3＋22，所以x ∈(1，17＋122)，即原不等式的解集为(1，17＋122)．【通性通法】与对数函数有关的不等式的求解策略【巩固迁移】7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )单调递减，则不等式f (log 13(2x －5))＞f (log 38)的解集为________．答案解析因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f (log 13(2x－5))＞f (log 38)化为|log 13(2x －5)|＞|log 38|，即log 3(2x －5)＞log 38或log 3(2x －5)＜－log 38＝log 318，即2x －5＞8或0＜2x －5＜18，解得x ＞132或52＜x ＜4116.考向3与对数函数有关的复合函数问题例5(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)已知函数f (x )＝ln (x 2＋x ＋m )(m ∈R )，则()A ．当m >14时，f (x )的定义域为RB ．f (x )一定存在最小值C ．f (x )的图象关于直线x ＝－12对称D ．当m ≥1时，f (x )的值域为R 答案AC解析对于A ，若m >14，则Δ＝1－4m <0，则二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象恒在x 轴的上方，即x 2＋x ＋m >0恒成立，所以f (x )的定义域为R ，故A 正确；对于B ，若m ＝0，则f (x )＝ln (x 2＋x )的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R ，没有最小值，故B 错误；对于C ，由于函数y ＝ln2＋m ，其图象关于y 轴对称，将该函数的图象向左平移12个单位长度即可得到函数f (x )＝ln＋m －14＝ln (x 2＋x ＋m )的图象，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝－12，故C 正确；对于D ，若m ≥1，则y ＝x 2＋x ＋m ＋m －14≥34，故f (x )的值域不是R ，故D 错误．故选AC.【通性通法】解决对数函数综合问题的策略(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求，这是解决对数问题的出发点．(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形，这是研究性质的重要途径．(3)注意等价转化思想方法的合理运用，这是解决对数综合问题的关键．【巩固迁移】8．已知函数f (x )＝lg (x 2－4x －5)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．[5，＋∞)答案D解析由x 2－4x －5＞0，解得x ＞5或x ＜－1，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y ＝x 2－4x －5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f (x )＝lg (x 2－4x －5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a ≥5.故选D.9．已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min ＝________．答案5解析≤x ≤9，≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1，3]，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t ＝0，即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1，即x ＝3时，g (x )max ＝7，∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时作业一、单项选择题1．lg 4＋2lg 5＋log 28＋823＝()A ．8B ．9C ．10D ．1答案B解析因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg100＝2，log 28＝log 223＝3，823＝(23)23＝22＝4，所以lg 4＋2lg5＋log 28＋823＝2＋3＋4＝9.故选B.2．函数f (x )＝x log 2|x |2x ＋2－x的部分图象大致是()答案A解析易知f (x )＝x log 2|x |2x ＋2－x的定义域为{x |x ≠0}，因为f (－x )＝－x log 2|－x |2－x ＋2x＝－x log 2|x |2x ＋2－x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除B ，D ；又f (2)＝222＋2－2>0，排除C.故选A.3．(2023·广东三校高三联考(二))若函数f (x )＝x 3ln (x 2＋2a －x )为偶函数，则a ＝()A.14B.12C ．1D ．2答案B解析易得，函数f (x )的定义域为R ，因为函数f (x )＝x 3ln (x 2＋2a －x )为偶函数，且y ＝x 3为奇函数，故g (x )＝ln (x 2＋2a －x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即ln [(－x )2＋2a ＋x ]＋ln (x 2＋2a －x )＝0，即ln (x 2＋2a －x 2)＝0，即2a ＝1，解得a ＝12.故选B.4．若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，图象的对称轴为直线x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，(1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，所以a 的取值范围为[1，2)．故选A.5．(2024·湖南名校高三模拟)已知a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝log 85，则下列结论正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．a <c <bD ．b <c <a答案A 解析因为log 32＝log 338<log 339＝log 3323＝23＝log 5523＝log 5325<log 5327＝log 53，所以a <b ；因为ln 3·ln＝(ln 24)2<(ln 5)2，所以ln 3ln 5<ln 5ln 8，所以log 53<log 85，所以b <c ，所以a <b <c .故选A.6．若函数f (x )＝log 2＋32x a ＞0，且a ≠1)f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)答案A 解析令M ＝x 2＋32x ，当x＋，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )＞0，所以a ＞1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M－916，所以M－34，＋又x 2＋32x >0，所以x ＞0或x ＜－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A.7．函数f (x )的定义域为D ，若满足如下两个条件：①f (x )在D 内是单调函数；②存在m 2，n2⊆D ，使得f (x )在m 2，n2上的值域为[m ，n ]，那么就称函数f (x )为“希望函数”．若函数f (x )＝log a (a x ＋t )(a >0，且a ≠1)是“希望函数”，则t 的取值范围是()－14， B.－14，0－12， D.－12，0答案A解析∵函数f (x )＝log a (a x ＋t )(a >0，且a ≠1)是“希望函数”，∴f (x )在m 2，n 2上的值域为[m ，n ]．易知函数f (x )单调递增，a (a m2＋t )＝m ，a (a n2＋t)＝n ，m2＋t ＝a m ，n2＋t ＝a n ，∴m ，n 为方程a x －a x2－t ＝0的两个不相等的实数根，令p＝a x2，则p2－p－t＝0，∴Δ＝1＋4t>0，－t>0，得－14<t<0.故选A.8．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，则a的取值范围是()A．(0，1)B．(1，2)C．(1，2]答案C解析设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x 的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，所以log a2≥1，解得1＜a≤2.二、多项选择题9．在同一直角坐标系中，函数y＝a x与y＝log a(x－2)的图象可能是()答案BD解析当a>1时，y＝a x在(－∞，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝log a(x－2)在(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y＝a x在(－∞，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝log a(x－2)在(2，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求．故选BD.10．已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则()A．f(ln2)＝ln52B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln2答案ACD解析f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝ln 52，故A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln e x＝ln e2x＋1e x＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(e x＋e－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B 错误；y＝e x＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此f(x)＝ln(e x＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln2，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2024·江苏名校高三联考)写出一个同时满足下列性质①②的函数为f(x)＝________．①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定义域上单调递增．答案log2x(满足log a x(a>1)均可)解析log a(MN)＝log a M＋log a N，且f(x)＝log a x(a>1)单调递增．故答案为log2x(满足log a x(a>1)均可)．12．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．答案(－∞，0)解析因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以y＝f(x)＝log5x在定义域(0，＋∞)上为增函数，由x2－2x>0，得x>2或x<0，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．13．已知f(x)＝ln(x2＋2x＋m)．若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，1]解析因为f(x)的值域为R，所以x2＋2x＋m≤0有解，则4－4m≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]．14．(2024·湖北黄冈中学高三模拟)设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，3a＋b＝18，则1x＋1y的最大值为________．答案3解析因为a x＝b y＝3，所以x＝log a3，y＝log b3.又log a3·log3a＝lg3lg a·lg alg3＝1，log b3·log3b＝lg3 lg b ·lg blg3＝1，所以1x＝log3a，1y＝log3b.因为a>1，b>1，根据基本不等式，有3ab＝81，当且仅当3a＝b，即a＝3，b＝9时，等号成立，所以ab≤27，则1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以1x＋1y的最大值为3.四、解答题15．(2024·山东潍坊高三模拟)定义在(－1，1)上的函数f(x)和g(x)，满足f(x)＋g(－x)＝0，且g (x )＝log a1＋x2，其中a >1.(1)若2，求f (x )的解析式；(2)若不等式f (x )>1－13，m －a 的值．解(1)由题意知，f (x )＝－g (－x )＝log a 21－x，又2，所以log a 4＝2，即a ＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝log 221－x (－1<x <1)．(2)由f (x )>1，得21－x>a ，由题意知1－x >0，所以1－2a <x <1，－2a ＝－13，＝1，＝32，＝1，所以m －a ＝－12.16．(2024·山东聊城高三期中)已知函数f (x )＝log a (2－ax )．(1)当x ∈[0，1]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解(1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝2－ax ，则t (x )＝2－ax 为减函数，当x ∈[0，1]时，t (x )的最小值为2－a ，当x ∈[0，1]时，f (x )恒有意义，即当x ∈[0，1]时，2－ax >0恒成立，所以2－a >0，所以a <2.又a >0且a ≠1，所以实数a 的取值范围为(0，1)∪(1，2)．(2)t (x )＝2－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为增函数，所以y ＝log a t 为减函数，所以0<a <1.当x ∈[1，2]时，f (x )的最大值为f(2)＝log a(2－2a)＝1，a<1，a(2－2a)＝1，即a＝23.故存在a＝23，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1.17．(多选)已知正实数x，y满足log2x＋log12y，则()A.1x<1yB．x3<y3C．ln(y－x＋1)>0D．2x－y<12答案BC解析由题意得log2x<log2y.设函数f(x)＝log2x，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故由f(x)<f(y)，得0<x<y，故1x>1y A错误；x3<y3，B正确；由x<y，得y－x＋1>1，故ln(y－x＋1)>ln1＝0，C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC. 18．(多选)(2024·福建莆田第二中学高三模拟)下列关系式中正确的是()A．log23>log34B．2022lg2023＝2023lg2022C．2lg2＋2lg5<22D．ln3＋4ln3>2ln2＋2ln2答案ABD解析对于A，log23>log222＝log2232＝32＝log3332＝log333>log34，故A正确；对于B，由于lg2022lg2023＝lg2023·lg2022，lg2023lg2022＝lg2022·lg2023，所以lg2022lg2023＝lg2023lg2022，则2022lg2023＝2023lg2022，故B正确；对于C，因为lg2＋lg5＝lg 10＝1，又lg2≠lg5，所以2lg2＋2lg5>22lg2·2lg5＝22lg2＋lg5＝22，故C错误；对于D，2ln2＋2ln2＝2ln2＋42ln2＝ln4＋4ln4，令f(x)＝x＋4x，由对勾函数的性质可知f(x)在(0，2)上单调递减，因为1＝ln e<ln3<ln4<ln e2＝2，所以f(ln3)>f(ln4)，即ln3＋4ln3>ln4＋4ln4，即ln3＋4ln3>2ln2＋2ln2，故D正确．故选ABD.19．(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)＝lg(ax－3)的图象经过定点(2，0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3，4]上有解的k的最大值是________．答案1解析由已知可得f (2)＝lg (2a －3)＝0，则2a －3＝1，解得a ＝2，故f (x )＝lg (2x －3)，由2f (x )>lg(kx 2)得lg (2x －3)2>lg (kx 2)，因为x ∈[3，4]，则kx 2<4x 2－12x ＋9，可得k <9x 2－12x ＋4，令t ＝1x ∈14，13，g (t )＝9t 2－12t ＋4，则函数g (t )在14，13上单调递减，所以g (t )max ＝＝2516，所以k <2516.因此正整数k 的最大值是1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A组 基础演练
1．(2013·陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是
( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：logab·logca＝logab·1logac＝logablogac＝logcb，故选B.
答案：B
2．设函数f(x)＝ log2x，x＞0，log12－x，x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是
( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：f(a)＞f(－a)⇒ a＞0log2a＞log12a
或 a＜0log12－a＞log2－a⇒ a＞0a＞1或 a＜0－1＜a＜0
答案：C
3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则
( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析：2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故选D.
答案：D
4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有( )
A．f 13＜f(2)＜f 12
B．f 12＜f(2)＜f 13
C．f 12＜f 13＜f(2)
D．f(2)＜f 12＜f 13
解析：由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1
时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|＞|13－1|＞|12－1|，
∴f12＜f13＜f(2)．
答案：C
5．(2012·江苏)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．
解析：要使函数f(x)＝1－2log6x有意义，
则 x＞0，1－2log6x≥0.解得0＜x≤6.
答案：(]0，6
6．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点A(m，n)，则函数f(x)＝log
(nx2－mx＋3)的增区间是________．
解析：y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过A(－2，－1)，则m＝－2，
n＝－1，∴f(x)＝log (－x2＋2x＋3)，设t＝－x2＋2x＋3，则y＝logt，由t
＞0得函数定义域为(－1,3)，而t＝－x2＋2x＋3在(－1,1)上递增，在(1,3)上递
减，y＝log12t在其定义域上递减，∴f(x)的增区间是(1,3)．
答案：(1,3)
7．函数y＝()logx2－logx＋5在区间[2,4]上的最小值是________．
解析：设t＝log x＝12logx，x∈[2,4]时，t∈[－1，－12]，
∴y＝t2－t＋5在[－1，－12]上递减，∴当t＝－12时，ymin＝234.
答案：234
8．计算下列各式的值：
(1)
lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg1 000
lg 0.3·lg 1.2
；
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
解：(1)原式＝lg 32－2lg 3＋1·32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1
＝1－lg 3·32lg 3＋2 lg 2－1lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1＝－32.
(2)原式＝lg 2lg 3＋lg 2lg 9·lg 3lg 4＋lg 3lg 8
＝lg 2lg 3＋lg 22 lg 3·lg 32 lg 2＋lg 33 lg 2
＝3lg 22lg 3·5lg 36lg2＝54.
9．已知函数f(x)＝log12ax－2x－1(a为常数)．
(1)若常数a＜2且a≠0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围．
解：(1)由题意知ax－2x－1＞0，当0＜a＜2时，
解得x＜1或x＞2a；
当a＜0时，解得2a＜x＜1.
故当0＜a＜2时，f(x)的定义域为
x|x＜1或x＞
2
a
；
当a＜0时，f(x)的定义域为x|2a＜x＜1.
(2)令u＝ax－2x－1，因为f(x)＝log12u为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，
只需u(x)＝ax－2x－1＝a＋a－2x－1在(2,4)上单调递增且为正．
故由 a－2＜0，u2＝2a－22－1≥0，得1≤a＜2.
故a∈[1,2)．
B组 能力突破
1．(2014·东营模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a，b为常数，
由函数g(x)＝ax＋b的大 致图象是
( )
解析：由已知知函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可得0＜a＜1,0＜b＜1.则g(x)＝a
x
＋b的图象由y＝ax的图象沿y轴向上平移b个单位而得到，故选B.
答案：B
2．(2014·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周
期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)的值为( )
A．－52 B．－5
C．－12 D．－6
解析：∵－3＜log6＜－2，∴－1＜log6＋2＜0，
即－1＜log32＜0.∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f(log126)＝flog32＝－f －log32
＝－f log232＝－(2log232－1)＝－12.
答案：C
3．(2014·东北三校第一次联考)已知函数f(x)＝ln x1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜
a＜b＜1，则ab的取值范围是________．
解析：由题意可知ln a1－a＋ln b1－b＝0，
即lna1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－
a)＝－a2＋a＝－a－122＋14，又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜12，故0＜－a－122＋14＜14.
答案：0，14
4．(2014·沈阳模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意
一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的
对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即logax＋11－x≥m.
设F(x)＝loga1＋x1－x，x∈[0,1)，由题意知，
只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．