16-17版：第1课时 函数的表示法
第一章 1.2 1.2.2 第一课时 函数的表示法
答案：A
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2．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出．
x f(x)
1 2
2 1
3 1
x g(x)
1 3
2 2
3 1
(1)f[g(1)]＝________；
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝________.
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解析：(1)由表知 g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知 g(2)＝2，又 g[f(x)]＝2，得 f(x)＝2， 再由表知 x＝1.
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而 乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
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2.函数 y＝f(x)的图象如图， f(x)的定义域 则 是 A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) ( )
解析：由图象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
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例：求下列函数的解析式： 1＋x 1＋x2 1 ①已知 f( x )＝ 2 ＋x，求 f(x)； x ②已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1＋x 1 1 解：①法一：(换元法) 令 t＝ x ＝x＋1，得 x＝ ， t－1
1＋x 1＋x2 1 1 则 t≠1.把 x＝ 代入 f( )＝ 2 ＋ ，得 x x x t－1 1 2 1＋ t－1 1 f(t)＝ ＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 1 2 1 t－1 t－1 ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
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法二：(配凑法) 1＋x 1＋x2＋2x－2x 1 ∵f( x )＝ ＋x x2 1＋x 2 1＋x－x ＝( x ) － x 1＋x 2 1＋x ＝( x ) － x ＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1. 1＋x 1 又∵ x ＝x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
函数的表示法课件
•1.2.2 │ 三维目标
•三维目标
•1．知识与技能
•掌握函数的三种表示方法，明确每种方法的特点，尤其是 解析法；通过学习函数的三种表示法及其之间的相互转化， 提升对函数概念的理解；认识分段函数，并会初步应用，了 解映射的概念．
•2．过程与方法
•通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之间的 依赖关系的重要的数学模型，体会对应关系在刻画函数概念 中的作用；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方 法表示函数；通过具体的实例，了解简单的分段函数．
•1.2.2 │ 考点类析
•(2)分段函数怎样表示？怎样解决分段函数问题？
• 解：分段函数的表示：根据定义域内自变量的不同 范围，将函数用不同的解析式或图像分段表示．解决 分段函数的问题，要考虑自变量的取值情况，在“每 一段上”解决问题．
•1.2.2 │ 考点类析
•C •－5或3
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•[答案] D
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
• [答案] C
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•解： 出租车的收费，个人收入调节税等．
•1.2.2 │ 考点类析
•1.2.2 │ 考点类析
•解：(1)是．
•(2)对于A中任意一个同学，C中都有唯一的性别与之
对应． •(3)不一样，某个成绩可能有几名同学与之对应． •(4)一人一个座位，是一一对应关系．
•1.2.2 │ 考点类析
函数的表示法教案1第1课时
课题：§1.2.1函数的概念⑴通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，⑵了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义域和值域；⑶能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；⑵阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：①炮弹的射高与时间的变化关系问题；②南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；③“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国2003年4月份非典疫情统计：⑷根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合By=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；⑵函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．⑶构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域二、区间的概念⑴区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；⑵无穷区间；⑶区间的数轴表示．三、一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）四、典型例题⑴求函数定义域课本P19例1巩固练习：课本P21第1题①函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；②如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；③函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．⑵判断两个函数是否为同一函数课本P21例2练习课本P22第2题为同一函数）②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法课件新人教A版必修1
②形如y=-f(x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称. ③形如y=-f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称. ④形如y=f(|x|),其图象是关于y轴对称的,在y轴的右侧,它的图象与函数 y=f(x)位于y轴右侧的图象重合,然后将y轴右侧的图象沿y轴翻折到左侧, 就得到y=f(|x|)的图象. ⑤形如y=|f(x)|,将函数y=f(x)的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上 方,x轴上方的部分不变,从而得到函数y=|f(x)|的图象. (3)利用函数的性质画图. 先对函数y=f(x)的性质进行分析,然后画图,常用的函数的性质有定义域、 值域、奇偶性、单调性、周期性等(奇偶性、单调性下节学习).
解:(1)令 x 1 =t,则 t≥0,且 x=t2+1, 所以 f(t)=3-(t2+1)=2-t2(t≥0), 即 f(x)=2-x2(x≥0). (2)因为 f(x)是二次函数,设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由 f(0)=1,得 c=1, 由 f(x+1)-f(x)=2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,
因为
0＜x＜a,
2a
x
2x
t,
所以
0＜x＜a,
0＜x
2at t
=a 1 2t
>0,
所以 0<x≤ 2at . 1 2t
所以铁盒容积 V=4x(a-x)2,定义域为{x|0<x≤ 2at }. 1 2t
误区警示 利用函数解决实际问题时函数的定义域不仅要考虑使函数解 析式有意义,还要考虑使实际问题有意义.
(3)y=|x-1|.
解:(3)所给函数去掉绝对值符号得 y是=端1x点x1,,为xx＜(111,, ,0)的两条射线,如图所示.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(第1课时)函数的表示法
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第四页，共三十页。
课前篇
自主预习
4.函数的三种表示方法各有什么(shén me)优缺点?
提示:
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第五页，共三十页。
课前篇
自主预习
5.做一做:
(1)下列图形可表示函数y=f(x)图象(tú xiànɡ)的只可能是 (
(2)若f(x)=2x+1,则f(x+1)等于(
所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计
算.
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课堂篇
探究学习
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))=
时,x=
.
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
清这些特殊点是实心点还是空心点.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起
来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注
意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
1
2
3
2
1
2
3
1
1
;当g(f(x))=2时,x=
.
分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值
即可.
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).
函数的表示法(第一课时)
3.1.2函数的表示法（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法；2.了解分段函数，并能简单应用；3.会用描点法画出一些简单函数的图象，并应用函数的图象解决问题.二、教学重难点1.进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识；2.渗透数形结合思想，培养学生发展逻辑推理，应用直观想象.三、教学过程1.对函数表示方法的认知1.1回望教材引例，了解函数常用表示方法【教材引例】再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例问题1：这些实际的函数问题是如何表示的？【预设的答案】解析式，图象表示，表格表示.【设计意图】使学生了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入的研究，解决问题，学有用的数学.【活动预设】引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法.问题2：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ （2）所有函数都能用解析法表示吗？请举出实例加以说明.【设计意图】让学生体会总结三种表示法的各自优点与不足，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力.【活动预设】（1）鼓励学生举生活中的函数例子，并阐述可以用哪种函数表示法，学生间可以讨论，教师可以引导.使学生灵活选用函数表示法来研究函数，进而使他们认识到三种表示法之间相辅相成，渗透数形结合思想.1.2归纳提炼，形成共识在学生举例、讨论的基础上，师生共同归纳概括：（1）“解析法”就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.缺点：有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式. 中学阶段研究的函数，主要是能够用解析法表示的函数. （2）“图象法”就是用“图形”表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质，这是数形结合的好处.缺点：感性观察有时不够准确，画面局限性大.（3）“列表法”就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 . 缺点：只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便. 【设计意图】使学生们在自己的理解基础上统一认识. 2.初步应用，理解概念例1某种笔记本的单价是0.5元，买{}()1,2,3,4,5x x ∈个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.【预设的答案】这个函数的定义域是{}1,2,3,4,5 解析式法：{}51,2,3,4,5y xx =∈列表法图象法【设计意图】（1）使学生体会到函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体.进一步体会数形结合在理解、研究函数中的重要作用.（2）使学生感受到函数图象既可以象初中学习过的一、二次函数那样是连续的曲线 ，也可以是离散的点等.例2 画出函数y x =的图象 .【预设的答案】由绝对值的概念，我们有,0,0x x y x x x -<⎧==⎨≥⎩，所以函数y x =的图象如图所示问题3：利用函数的定义判断这是一个函数还是两个函数？ 【设计意图】（1）深化函数定义的理解，使学生认识函数解析式的多样性，函数图象的多样性. （2）学生已经熟知,y x y x ==-所表达的数量间关系，使学生体会由数到形的过程. 教师讲授：（1）y x =是一个函数，对于定义域内的任意一个x ，都有唯一确定的函数值与之对应.（2）一些函数，在它的定义域中，对于自变量x 不同的取值范围，对应的关系式也不同，这样的函数我们通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域为各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数的解析式是用左大括号将各段的表达式括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.例3 给定函数()2()1,()1,f x x g x x x R =+=+∈. （1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象；（2）x R ∀∈，用()M x 表示(),()f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =.例如，当2x =时， ()()(){}{}2max 2,2max 3,99M f g ===.请分别用图象法和解析法表示函数()M x .【预设的答案】（1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象（2）由图中函数取值的情况，结合函数()M x 的定义，可得函数()M x 的图象 由()211x x +=+，得()10x x +=，解得1x =-或0x =结合图象得出函数()M x 的解析式为()()()221,11,101,0x x M x x x x x ⎧+≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪+>⎪⎩【设计意图】（1）此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.（2）通过对()()(){}max ,M x f x g x =这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力. 3.归纳小结，突出重点（1）表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种，掌握分段函数的概念和解析式表达形式；（2）函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成，必须根据定义域画图，利用描点法或图象变换法.（3）数形结合相辅相成，为我们研究函数的相关问题提供便利，直观快捷. 【设计意图】（1）梳理本节课的学习内容；（2）鼓励学生积极探索新知，为下节课函数表示法的实际应用提供必要性 . 四、课外作业1.画出函数2-=x y 的图象.（你想到了几种办法？都尝试一下吧！）2.给定函数,,)1()(,1)(2R x x x g x x f ∈-=+-= （1）画出函数)(),(x g x f 的图象；（2）,R x ∈∀用()m x 表示)(),(x g x f 中的较小者，记为 {}()min (),().m x f x g x = 请分别用图象法和解析法表示函数()m x .3.已知函数()f x 的图象如图所示，其中点,A B 的坐标分别为()0,3，()3,0 则()()0f f ＝( )A ．2B ．4C ．0D ．34．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )5．下表表示函数()y f x =，则()f x x >的整数解的集合是________．x05x << 510x ≤< 1015x ≤< 1520x ≤<()y f x = 4 6 8 10。
高中数学 第1章《函数的表示法》教案(一)
课题：函数的表示法（一） 课 型：新授课 教学目标： （1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 教学难点：分段函数的表示及其图象。 教学过程：
一、复习准备： 1．提问：函数的概念？函数的三要素？ 2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课： （一）函数的三种表示方法： 结合课本P15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点： 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。 例1．（课本P19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
例2：（课本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． （二）分段函数的教学： 分段函数的定义： 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。 说明： （1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出； （2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。 例3：（课本P21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
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2.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则 此二次函数的解析式可以是( D ) A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝－(x－1)2＋1 C.f(x)＝(x－1)2＋1 D.f(x)＝(x－1)2－1
答案
1
2
3
4
5
4. 某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路， 设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为 d ，下面图形中，能反映该 同学的行程的是( C )
波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但
他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
反思与感悟
解析答案
达标检测
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( A ) x f(x) 1 3 2 2 3 4 4 1
1
2
3
4
5
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1
2
3
4
5
反思与感悟
1.画函数图像时首先要考虑函数的定义域； 2. 要标出关键点，比如图像的顶点，端点，与坐标的交点，要分清这 些关键点是实心点还是空心点； 3.要掌握常见函数的特征； 4.函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。
类型二 求函数的解析式 基础训练 例2
反思与感悟
解析答案
第一章
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学习目标
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点；
2.掌握求函数解析式的常见方法； 3.尝试作图和从图象上获取有用的信息.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 思考 答案 解析法
新知探究 点点落实
一次函数如何表示？ y＝kx＋b(k≠0). 表示两个变量之间的对应
序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不 是函数关系？能否用解析式表示？ 答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间
是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析
式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系.
答案
1
2
3
4
5
1，x取有理数时， 5.著名的 Dirichlet 函数 D(x)＝ 则 D[ D(x)] 等于( B 0，x取无理数时，
)
A.0
1，x取无理数时 C. 0，x取有理数时
B.1
1，x取有理数时 D. 0，x取无理数时
答案
课后作业（作业本）：P23 1 P24 3、9 基础训练课时分层作业（函数的表示法部分）
图像法中要注意是否连线
类型二 作函数的图像 基础训练 探究1、2、例3
作函数的图像通常分为几步？ 列表、描点、连线
作一次函数与二次函数的图像时，要注意哪些事项？
作一次函数与二次函数的图像时，应标出某些关键点。比如，图像的顶点，端点， 与坐标的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点。
反思与感悟
解析答案
本课结束
答案
一般地，列表法是指：列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系.
函数三种表示法的优缺点：
答案
返回
题型探究
类型一 函数的表示法 基础训练 例1（1） 课本P19例3
重点难点 个个击破
解析答案
反思与感悟
在用三种方法表示函数时要注意：
解析法必须注明函数的定义域；
列表法中选取的自变量要有代表性，能反应定义域的特征；
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； 解 不能用解析法表示，用图象法表示为宜.
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
解析答案
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.
解
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定
而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下
反思与感悟
求函数解析式的三种常用方法：
1.换元法
2.待定系数法
3.方程组法
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对 自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)
类型四 函数表示法的选择 例3 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩
及班级平均分表. 测试序号 姓名 成绩 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3 91 88 73 85.4 92 75 72 80.3 88 86 75 75.7 95 80 82 82.6 第1 次 第2 次 第3次 第4次 第5次 第6次
一般地，解析法是指：用 数学表达式 关系.
答案
知识点二 思考
图象法
要知道林黛玉长什么样，你觉得几个字的描述和一张二寸照片
哪个更直观？
答案 一图胜千言. 表示两个变量之间的对应关系；
一般地，图象法是指：用 图象
这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势.
答案
知识点三
思考
列表法
在街头随机找 100 人，请他们依次随意地写一个数字 . 设找的人