届高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题1 第1练 小集合,大功能 文 新人教版【含答案】

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第1练 小集合，大功能
[内容精要] 集合在各省市的高考题中，不论文科还是理科都有考查．而且考查形式也是千
变万化，丰富多彩；考查的内容也是多种多样，与各章节知识都有联系．所以说小集合，大
功能，高考命题没它不行．

题型一 单独命题独立考查
例1 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个
数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
破题切入点 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．
答案 D
解析 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
题型二 与函数定义域、值域综合考查
例2 设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，
则图中阴影部分表示的集合为( )
A．[－1,0] B．(－1,0)
C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)
破题切入点 弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域，如何求其定义域或值域．
答案 D
解析 因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1∁RA＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
则u＝1－x2∈(0,1]，
所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，∁RB＝(0，＋∞)，
所以题图阴影部分表示的集合为
(A∩∁RB)∪(B∩∁RA)
＝(0,1)∪(－∞，－1]．故选D.
题型三 与不等式综合考查
例3 若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2- 2 -

A．a>－2 B．a≤－2
C．a>－1 D．a≥－1
破题切入点 弄清“集合”代表不等式的解集，“A∩B≠∅”说明两个集合有公共元素．
答案 C
解析 A＝{x|－1

如图所示：
∵A∩B≠∅，∴a>－1.
总结提高 (1)集合是一个基本内容，它可以与很多内容综合考查，题型丰富．
(2)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要
注意检验结果．
(3)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可
以借助数轴、Venn图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．

1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于( )
A．(0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
答案 D
解析 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a等于( )

A．－12或1 B．2或－1

C．－2或1或0 D．－12或1或0
答案 D
解析 依题意可得A∩B＝B⇔B⊆A.
因为集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，

当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－12；
当x＝1时，a＝1；
又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选D.
3．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
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C．B⊆A D．A⊆B
答案 B
解析 易求A＝{x|x<0或x>2}，显然A∪B＝R.
4．(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于( )
A．∅ B．{2}
C．{5} D．{2,5}
答案 B
解析 因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，
所以∁UA＝{x∈N|2≤x<5}，故∁UA＝{2}．
5．已知M＝{y|y＝2x}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，则M∩N中元素个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
答案 A
解析 集合M是数集，集合N是点集，
故其交集中元素的个数为0.
6．设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－3x－4≤0}，则(∁RS)∩(∁RT)等于( )
A．(2,4] B．(－∞，－1)
C．(－∞，2] D．(4，＋∞)
答案 B
解析 因为T＝{x|－1≤x≤4}，
所以(∁RS)∩(∁RT)＝∁R(S∪T)＝(－∞，－1)．
7．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A．4 B．2 C．0 D．0或4
答案 A
解析 当a＝0时，显然不成立；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.故选A.
8．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．
答案 3
解析 A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．
故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.
9．已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}．若A⊆B，则实数m的值为________．
答案 1
解析 ∵A⊆B，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍)．
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由m2＝2m－1得m＝1.
经检验m＝1时符合题意．
10．对于E＝{a1，a2，„，a100}的子集X＝{1ia，2ia，„，kia}，定义X的“特征数列”为x1，
x2，„，x100，其中1ix＝2ix＝„＝kix＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a
3
}的“特征数列”

为0,1,1,0,0，„，0.
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，„，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子
集Q的“特征数列”q1，q2，„，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素
个数为________．
答案 (1)2 (2)17
解析 (1)由题意，可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，„，0，所以前3
项和为1＋0＋1＝2.
(2)由题意，可知P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，„，0，
则P＝{a1，a3，a5，„，a99}，有50个元素．
即集合P中的元素的下标依次构成以1为首项，2为公差的等差数列，
即这些元素依次取自集合E中的项a2n－1(1≤n≤50，n∈N*)．
Q
的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1，„，1，

则Q＝{a1，a4，a7，a10，„，a100}，有34个元素．
即集合Q中的元素的下标依次构成以1为首项，
3为公差的等差数列，
即这些元素依次取自集合E中的项a3n－2(1≤n≤34，n∈N*)．
而P∩Q中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合，
所以这些元素的下标依次构成首项为1，
公差为2×3＝6的等差数列，
即这些元素依次取自集合E中的项a6n－5，

由1≤6n－5≤100，解得1≤n≤352，
又n∈N*，
所以1≤n≤17，即P∩Q的元素个数为17.

11．已知函数f(x)＝ 6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域
为集合B.
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1- 5 -

解 (1)当m＝3时，B＝{x|－1则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，
又A＝{x|－1∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1故4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，
∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2因此实数m的值为8.
12．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)求A∪B；
(2)(∁RA)∩B；
(3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．
解 (1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2所以A∪B＝{x|2(2)因为A＝{x|3≤x<7}，
所以∁RA＝{x|x<3或x≥7}．
所以(∁RA)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2(3)如图，当a>3时，A∩C≠∅.