长郡中学2020届高三第三次适应性考试数学(文)试题
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学(文)试题(解析版)
13．已知复数 （i为虚数单位），则 ________；
【答案】
【解析】根据复数乘法运算化简,再利用共轭复数的定义即可求得结果.
【详解】
,
.
故答案为: .
【点睛】
本题考查复数的乘法运算,考查共轭复数的定义,难度容易.
14．如图，函数 （ ， ）的图象与坐标轴交于点 ， ， ，直线 交 的图象于点 ， （坐标原点）为 的重心， ，则点 的坐标为______， ______.
【答案】
【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为 ，依题意两楼的间距不小于MC，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解.
【详解】
如图：
设点A，B，C分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为 ，依题意两楼的间距不小于MC，根据太阳高度角的定义得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ，右边为四棱锥
（或三棱锥 或三棱锥 ，再由棱柱与棱锥的体积公式求解．
【详解】
该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ，
长郡中学2020届高三第三次适应性考试文数(三)答案
满足Y, —Y; <l条件的 “ 有效数据 “ 有： (2, 86 )、(3, 82)、(4, 78)、(6,
70)共有4个． 从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有15 种，
抽取的2组销售数据都是 “ 有效数据 ＂ 的有CJ = 6种，
：．抽取的2组销售数据都是 “ 有效数据 ＂ 的概率为— 6 = — 2 .…………02分） 15 5
x = my+3 联立方程组{— x'+— y' =l ')自去X, 得(3m'+4)y'+18my -21�o,
16 12 Yi+Y2 =-3m182 +m 4 , Y心=-3m22 1+4· ....................................... (3分）
二二 严 ✓ s,.,OAB = ½xlOElxlYi—Y2 l= ½x3xlcYi
:.CB上PB, 则PC=石，
·: PD2 +DC2 =PC2, :.MDC为直角三角形. ......................................................... (8分）
:.
s心vc
=-xlx扛＝ 2
— 扛．...................................................... (9分） 2
1 2-n l
,
(E n N*) . ......................................................... (7分）
兀＝—1＋ —1 a, a2
+...
+—1 =l a
【文数】长郡中学2020届高三适应性模拟试卷及答案(3月)
A.2π
B.3π
C.4π
D.12π
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知复数 z i2 (i 为虚数单位)，则 z ____ 1 i
14. 如图,函数 f (x) 2 sin(x )( 0, 0 ) 的图象与坐标轴交于点 A, B, C,直线 BC 交 f(x)的图象
乌龟仍然前于他 1 米...... 所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为102
米时，乌龟爬行的总距离为
A. 105 1 900
B. 105 9 90
C. 104 9 900
D. 104 1 90
6.设数列{an} 的前
n
项和为 Sn , 满足 Sn
(1)n an
正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形,则该几何体的体积为
A. 16 3
B.
16 20
或
33
C. 20 3
D.
20
或6
3
9.己知函数
f
(x)
ln
2 x2
1 x
(5m 2)x 2, g(x)
m 2 x1 2x 1
.若对任意的 x1, x2
[ 1 ,1], 不等式 2
f (x1) g(x2 ) 恒成立,则正数 m 的取值范围是
长郡中学 2020 届高三第三次适应性考试
数学（文）试题
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 M
{(x,
y) |
y
y
x x
2 ,集合
N
2020长郡中学高考适应性考试文科数学四模试卷
2
p q pq
文科数学试题 （第 7 页，共 8 页）
◎
文科数学试题 （第 8 页，共 8 页）
（Ⅱ）若三棱锥 G﹣HFC 的体积为 2 ，求 的值． 6
E
G
D
A
E
G
D
A
H
H
F
C
B
F
CB
图1
图2
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 E : x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0），点 M（0，1）在椭圆 E 上，过点 N（2，0）作斜率为
2 2
的直线恰好与椭圆 E 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）设点 P 为椭圆 E 的长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 k（k≠0）的直线交椭圆 E 于不同
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路， ADE 区域为休闲公园，BC＝200 m，∠ACB
＝∠AED＝60°， ABC 的外接圆直径为 200 57 m． 3
（Ⅰ）求道路 AC 的长； （Ⅱ）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长
的最大值．
D E
中分别随机抽取 30 个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示．
甲种植基地
乙种植基地
12
2020届湖南长郡中学高三第三次调研考试数学(文)试题
2020届湖南长郡中学高三第三次调研考试高三数学（文科） ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每题5分，共60分） 1．设全集为R ，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ）A ．B ．C ．D ．23．已知向量，，若，则实数等于（ ）A ．B ．C ．或D ．04．命题“*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）A ．*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x <B ． *x R n N ∀∈∀∈，，使得2n x <C ．*x R n N ∃∈∃∈，，使得2n x <D ．*x R n N ∃∈∀∈，，使得2n x <5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是（）A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减7．已知函数，则函数的单调递减区间是（）A． B．和C． D．和8．已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b=（）A．2 B．4＋C．4—D．9．执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )A．2 B． C． D．10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=12．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）二、填空题（每题5分，共20分）13．已知实数满足约束条件，则的最大值为________．14．函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．15．数列满足，且对于任意的都有，，则_______．16．在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为__________．三、解答题（共70分）17．已知数列是等差数列，是前n项和且.（1）求数列通项公式；(2)若数列满足.求数列的前n项和18．在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）若,求三棱锥F-ABC的体积.19．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，焦距为斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭ 共线，求k . 21．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．选做题（请在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.23．设函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围参考答案1．B2．C3．C4．D5．C6．D7．C8．C9．A10．D11．C12．C13．3 14．15．82016．24.17．(Ⅰ)(Ⅱ)18．（1）见解析；（2）19．（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能20．（Ⅰ）2213x y +=（Ⅲ）1 21．（1）切线方程是（2）证明见解析 22．（1）；（2）.23．（Ⅰ）（Ⅱ）。
湖南省长沙市长郡双语实验中学2020年高三数学文联考试卷含解析
湖南省长沙市长郡双语实验中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合（）A．[—1，0] B． C． D．参考答案：答案：B2. 已知m是平面的一条斜线，点，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A. B.C. D.参考答案：C3. 在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是（）A．3 B．4 C．1 D．参考答案：A【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率，结合独立重复试验的方差公式进行计算即可．【解答】解：设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率p=（）4=，在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，则ξ～（16，），则Dξ=16××=3，故选：A．4. 是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件参考答案：B略5. 若函数f（x）=，则f（e）=（）A．0 B．1 C．2 D．e+1参考答案：C【考点】函数的值．【分析】根据函数f（x）的解析式，求出f（e）=f（0），求出函数值即可．【解答】解：∵e＞1，f（x）=，∴f（e）=f（lne）=f（1）=f（ln1）=f（0）=e0+1=2，故选：C．6. 设集合，，，则（）A．{1} B．{2} C．{1,2} D．{1,2,5}参考答案：A因为，所以，又因为，，故选A.7. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A． B．5 C． D．4参考答案：【知识点】简单几何体三视图，棱柱的体积.G2 G7【答案解析】D 解析：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，∴棱柱的底面积为棱柱的高为1∴此几何体的体积为V=4×1=4,故选D.【思路点拨】先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果.8. 在平行四边形ABCD中，，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足（），则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数应满足关系式为（）A．B．C．D．参考答案：D略9. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. B. C. D.参考答案：B10. 下列命题错误的是A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”；B. 若命题，则；C. 中，是的充要条件；D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.参考答案：D与的夹角为时，，但与的夹角不是钝角,所以D错二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB= ．参考答案：【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据正弦定理，算出sinB==，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB=，再用商数关系算出tanB=，即可得到本题答案．【解答】解：∵∴由正弦定理，得sinB==∵b＜a可得B是锐角，∴cosB==，因此，tanB===故答案为：【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．12. 如图，是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）参考答案：（1）；（2）13. ．抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则的面积是．参考答案：略14. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．参考答案：8【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2=8，在a=b=4时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：815. 已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则?的最小值为．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的点，设E（0，y），则y∈[0，2]；又D（2，2），C（2，0），∴=（2，2﹣y），=（2，﹣y），∴?=2×2+（2﹣y）×（﹣y）=y2﹣2y+4=（y﹣1）2+3，当y=1时，?取得最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查向量数量积的计算问题，解题时要注意数形结合法的合理运用．16. 已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为______.参考答案：【详解】设的起点为坐标原点，因为，所以设的终点坐标为，即，设，因为，所以，，，而，所以有，，当且仅当时，取等号，即时，取等号，即的最大值为，【点睛】本题考查了平面向量模的公式，考查了两个向量模的和的最大值问题，利用向量的坐标表示、重要的基本不等式是解题的关键.17. 设向量，，若，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省长郡中学2020届高三数学第三次适应性考试试题文
①Gini 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为 y＝f(x)，则对 x∈(0，1)，均有 f (x) >1； x
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y＝x2(x∈[0，1])，则 Gini＝ 1 ； 4
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y＝x3(x∈[0，1])，则 Gini＝ 1 ； 2
个数字之积大于 5 的概率为
7
3
1
2
A.
B.
C.
D.
10
5
2
5
8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的
正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为
A. 16 3
B. 16 或 20 33
C. 20 3
D. 20 或 6 3
-9-
........................ 优质文档..........................
- 10 -
........................ 优质文档..........................
- 11 -
........................ 优质文档..........................
(I)求出 p 的值； (II)已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y(件)关于试销单价：x(百元)的线性回归
方程 y bx a (计算结果精确到整数位)； (III)用 yi 表示用正确的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值。当销售数据(xi， yi)的残差的绝对值 yi yi <1 时，则将销售数据称为一个“有效数据”。现从这 6 组销售数中
长沙市长郡中学2020届高三数学(文)第三次月考试卷附答案解析
长沙市长郡中学2020届高三第三次月考数学（文）试卷一、单选题 1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}012M =,,，{}2,3N =，则()U M N =U ð（ ）A ．{}3 B ．{}2,3,4C ．{}0,1,2,3 D ．{}0,1,2,3,42．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．sin195︒=（ ） A ．264- B ．624- C ．243- D ．324- 4．某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据()i i x y ，（12i n L ＝，，，），用最小二乘法建立的回归方程为$=10+200y x -，则下列结论正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r ＝－C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 5．直线40x y --=与圆222220x y x y +---=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．πB ．716πC ．43π D ．32π7．函数()222()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74S S =，且10a <，则使得0k S >的最小正整数k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1210．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框①中可以填入的条件是（ ）A ．9?n ≥B ．9?n ≤C ．9?n >D ．9?n <11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()()()0.20.20.2022.240.4log ,,40.44log 4f f f a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．设抛物线()2:20C ypx p => 的焦点为F ，点M 在C 上，5MF = ，若y 轴上存在点()0,2A ，使得·0AM AF =u u u u r u u u r ，则p 的值为 （ ）A ．2或8B ．2C ．8D ．4或8二、填空题13．函数()1x e f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________.14．已知向量a r 与br的夹角为120︒，3a =r，13a b +=r r ，则b =r .15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足条件22211, cos Bcos 4b c a bc C +-===-，则ABC ∆的周长为______________.三、解答题 17．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和122n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21321311111n n nT a a a a a a a a -=+++⋯+----，比较n T 与1的大小.18．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时） 甲部门 6 7 8乙部门 6 6.5 7 7.5 丙部门 5.566.578.5（1）求该单位乙部门的员工人数；（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A ，乙部门选出的员工记为B .假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//,AB CD BC CD ⊥，且22CD AC PA PC PB AB ======，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求点C 到平面PAD 的距离.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的四个顶点所围成的四边形的面积为4. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.证明：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .21．已知函数()12,xxf x te t R e =--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.22．已知圆1:2cos C ρθ=-，曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化圆1C 和曲线2C 的方程为普通方程； （2）过圆1C 的圆心1C 且倾斜角为3π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点.求圆心1C 到,A B 两点的距离之积.解析长沙市长郡中学2020届高三第三次月考数学（文）试卷一、单选题 1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}012M =,,，{}2,3N =，则()U M N =U ð（ ）A ．{}3 B ．{}2,3,4C ．{}0,1,2,3 D ．{}0,1,2,3,4【答案】B【解析】由M ,求出U C M ,即可求出()UM N U ð的值.由题可得：{}3,4U C M =，故(){}2,3,4U C M N =U .故选:B .【点睛】本题考查并集和补集,难度容易. 2．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由()12i z i -=,求出z ,进而求出z ,即可判断点所在位置.∵()12i z i -=，∴22(1)2(1)=11(1)(1)2ii i i z i i i i +-===-+--+，因此1i z =--，所以z 在复平面上对应的点()1,1--在第三象限.故选:C .【点睛】本题考查共轭复数和复数所对应的点,难度容易. 3．sin195︒=（ ） A ．264- B ．624- C ．243- D ．324- 【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式, 将sin195︒化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得. 法一：()()sin195sin18015sin15sin 4530︒=︒+︒=-︒=-︒-︒()231226sin 45cos30sin 30cos 4522224⎛⎫-=-︒︒-︒︒=-⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 法二：()213226sin195sin 13560sin135cos 60sin 60cos13522224⎛⎫-︒=︒+︒=︒︒+︒︒=⋅+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭故选:A .【点睛】本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.4．某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据()i i x y ，（12i n L ＝，，，），用最小二乘法建立的回归方程为$=10+200y x -，则下列结论正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r ＝－C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【答案】D【解析】试题分析：y 与x具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误D 正确.B 项中-10是回归直线方程的斜率. 【考点】1.最小二乘法；2.线性相关性. 5．直线40x y --=与圆222220x y x y +---=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心【答案】A【解析】利用圆心到直线的距离和半径的关系,即可判断出直线和圆的位置关系. 圆222220x y x y +---=,即22(1)(1)4x y -+-=,是一个以()1,1为圆心,2为半径的圆，因为圆心()1,1到直线40x y --=的距离为2211422211+--=>,所以直线与圆相离.故选:A .【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,需熟记点到直线的距离公式,难度较易.6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．πB ．716π C ．43π D ．32π 【答案】A【解析】根据题意可知几何体为一个圆锥和半个球体的组合体,利用锥体和球体的体积公式代入即可求得. 【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示上边是一个底面半径为1.高也为1的圆锥.下边是半径为1的半球，所以几何体的体积为23114211132333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯=+=. 故选:A .【点睛】本题考查了三视图和几何体的体积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力,难度较易. 7．函数()222()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性定义可判断函数为偶函数, 排除,C D 选项,当0x ≠时,可判断得出，()0f x >,排除选项A 即可得解.【详解】函数定义域为R .因为()2222()(22)()()2cos()2cos x x x x x x f x f x x x--+-+-===+-+，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除,C D 选项.当0x ≠时,20x >,220x x -+>,2cos 0x +>,所以()0f x >,排除选项A .故选:B .【点睛】本题考查函数图象的辨识，可以从奇偶性,单调性,函数值符号,特殊值等入手,通过排除法求解,难度较易.8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74S S =，且10a <，则使得0k S >的最小正整数k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D 【解析】由于74S S =,利用等差数列的求和公式()112n n n S na d -=+,可求得15a d =-,又10a <，所以0d >, 将0k S >化简为,(11)=02k k k S d ->,即可得出11k >,进而求出最小正整数k . 【详解】 ∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，74S S =，∴1176437422a d a d ⨯⨯+=+，解得15a d =-，又10a <，所以0d >. ∴1(1)(1)(11)5222k k k k k k k S ka d kd d d ---=+=-+=，由0kS >得11k >，故使得0k S >的最小正整数12k =.故选:D .【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,需熟记公式,难度较易. 9．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】由()f x 是奇函数知2ϕπ=,可得()2sin f x x ω=-,由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 关于4x π=对称, 即可得出,24k k Z ππωπ=+∈,进而解得24,k k Z ω=+∈,根据选项即可的出答案.【详解】 由()f x 是奇函数得2ϕπ=，所以()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,24k k Z ππωπ=+∈，解得24,k k Z ω=+∈.所以当1k =时，得6ω=.故选:B .【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知cos()y A x ωϕ=+的奇偶性,对称轴时求ωϕ，的问题,难度较易.10．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框①中可以填入的条件是（ ）A ．9?n ≥B ．9?n ≤C ．9?n >D ．9?n <【答案】D 【解析】由于()lglg lg 11nn n n =-++可知1lg1lg 2lg 2lg3lg lg(+1)S n n =+-+-++-L ,则1lg(+1)0S n =-=,求解出n 即可.【详解】由图可得:1lg1lg 2lg 2lg3lg lg(+1)S n n =+-+-++-L ，则1lg(+1)0S n =-=，所以9n =，因为此时需退出循环，所以填写：9n <. 故选:D .【点睛】本身考查算法和程序框图,难度较易. 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()()()0.20.20.2022.240.4log ,,40.44log 4f f f a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】C【解析】构造()()f x g x x=,借助已知条件可判断出()g x 在区间()0,+?上单调递减,由()f x 在R上为奇函数,可知()gx 在R 上为偶函数,由()()()250.24,0.4,log 4a g b g c g ===,借助函数图象性质即可解得.【详解】不妨设:120x x >>，由题意得()()21120x fx x f x -<，即()()1212f x f x x x <，同理.当120x x <<时，有()()1212f x f x x x >， 据此可得函数()()f xg x x=在区间()0,+?上单调递减，且函数()g x 是偶函数，因此()()()()0.220.220.2240.44,0.440.4f g b f a g ====，()()()()0.250.20.25log 4log 4log 44log 4log f c g g g ===-=，因为2.25000.40.160.5log 414<<<<=<，所以()()()50.224log 40.4gg g <<，即a c b <<.故选:C . 【点睛】本题通过构造新函数,利用函数的单调性,奇偶性,比较函数值大小的问题,注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较,考查分析问题和解决问题的能力，难度一般. 12．设抛物线()2:20C ypx p => 的焦点为F ，点M 在C 上，5MF = ，若y 轴上存在点()0,2A ，使得·0AM AF =u u u u r u u u r，则p 的值为 （ ）A ．2或8B ．2C ．8D ．4或8【答案】A【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点(0,2)，设M (x ,y ),由抛物线性质|MF |=x +2p =5,可得x =5−2p， 因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为552222p p-+=， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即M (5−2p,4),代入抛物线方程得p 2−10p +16=0，所以p =2或p =8. 本题选择A 选项.二、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________.【答案】10y -=【解析】借助求导公式求出()y f x =',因为切线的斜率为()00f '=,0x =代入()1x ef x x =+求得切点,即可求出切线方程. 【详解】()()21xxe f x x '=+，∴()00f '=且()01f =，所以函数()1x e f x x =+的图象在()()0,0f 处的切线方程是10y -=.故答案为: 10y -=.【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易.14．已知向量a r 与br的夹角为120︒，3a =r，13a b +=r r ，则b =r .【答案】4【解析】试题分析：向量a r 与br的夹角为120︒，313a a b rr r ＝，＋＝，则3··cos1?202a b a b b ︒=-r r r r r ＝，222||2a b a a b b +⋅+r r r r r r ＋＝.所以21393b b =-+r r ，则1b r ＝－（舍去）或4b r＝.【考点】平面向量的数量积.15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.【答案】2【解析】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1C D ,直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角,利用圆柱的轴截面11ABB A 是正方形,12C D AD =,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1,C D AD ，则因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以//AD BC ，所以直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角.因为1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点， 所以1C D ⊥圆柱下底面，所以1C DAD ⊥.因为圆柱的轴截面11ABB A 是正方形， 所以12C D AD =，所以直线1AC 与AD 所成角的正切值为2.所以异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足条件22211, cos Bcos 4b c a bc C +-===-，则ABC ∆的周长为______________.【答案】36+【解析】利用余弦定理求出角A ,利用两角和的余弦公式求出1sin sin 4B C =的值,结合正弦定理求出ABC ∆外接圆的半径R 与边长a ,再求出b c +即可.【详解】ABC ∆中，2221b c a bc +-==，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴3A π=，∴23B C π+=，即1cos()cos cos sin sin 2B C B C B C +=-=-；又1cos cos 4B C =-.∴1111sin sin cos cos 2424B C B C =+=-+=，∴2214sin sin 414bc R B C R ==⨯=，解得1R =，其中R 为ABC ∆外接圆半径，∴2sin 21sin 33a R A π==⨯⨯=，∴2231b c +-=，解得224b c +=，∴222()24216b c b c bc +=++=+⨯=，∴6b c +=，∴ABC ∆的周长为36a b c ++=+.故答案为: 3 6.+【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.三、解答题 17．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和122n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21321311111n n nT a a a a a a a a -=+++⋯+----，比较n T 与1的大小.【答案】（1）21nn a =+；（2）1n T <【解析】(1) 当1n =时，113;a S ==当2n ≥时,121nn n n a S S -=-=+,即可得出;(2) 由11111222n n n n n a a ++==--，可将n T 化简为12=1n nT -，即可与1比较大小. 【详解】（1）由题意知，当1n =时，2112123a S +=-== 当2n ≥时()112221221n n n n n n a S S n n +-=-=--+--=++；当1n =时也满足上式； 所以21nn a =+（2）因为11111222n n n n n a a ++==--，所以31212312111111111112221112222212n n n n n n T a a a a a a +-⨯=++⋯+=+++⋯+==-<---- 【点睛】本题考查n a 与n S 的关系在求数列通项公式中的运用,考查了数列的求和,难度较易.18．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时） 甲部门 6 7 8 乙部门 6 6.5 7 7.5 丙部门 5.566.578.5（1）求该单位乙部门的员工人数；（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A ，乙部门选出的员工记为B .假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率. 【答案】（1）20人；（2）12；（3）23【解析】(1)运用分层抽样的特点,计算即可求得;(2)从12人中抽取一人可得12种, 每天睡眠时间不少于7小时的共有6人,由古典概型的计算公式即可求得;(3)运用分类讨论思想,由古典概率的计算公式即可求出所得. 【详解】（1）由题意知，抽取的员工共12人，其中乙部门抽取4个. 故乙部门的员工人数为1242060÷=（或6020124⨯=）. （2）从该单位中任抽取1人，此人为睡眠充足者的概率约为从样本中抽取1人，抽到睡眠充足者的频率，故所求的概率约为2221122++=. （3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，共有3412⨯=种可能情况； 由题意知，若A 睡眠时间小时数为6，则B 的睡眠时间小时数为6，有1种情况； 若A 的睡眠时间小时数为7，则B 的睡眠时间小时数为6657，，，之一，有3种情况； 若A 的睡眠时间小时数为8，则B 的睡眠时间小时数为665775，，，，，之一，有4种情况；故所求的概率1342123P ++==.【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式,难度较易.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//,AB CD BC CD ⊥，且22CD AC PA PC PB AB ======，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求点C 到平面PAD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2155【解析】(1)利用等边三角形三线合一性质和勾股定理得线线垂直,进而得线面垂直; (2)利用等体积法求点到面的距离. 【详解】 （1）因为2AC PA PC ===，所以PO AC ⊥，且3PO =，因为//AB CD ，BC CD ⊥，所以AB BC ⊥.连接OB ，则112OB AC AO CO ====，因为222314PO OB PB +=+==，所以PO OB ⊥， 又OB AC O =I，所以PO ⊥平面ABCD（2）设点C 到平面PAD 的距离为h ，易知12332ACD S ∆=⨯⨯= 取PD 的中点E ，连接,AE DO ，由1,2,AB AC AB BC ==⊥，知30ACB ∠=︒， 所以60ACD ∠=︒，又2AC CD ==，所以ACD ∆是等边三角形所以2=,AD AC AP ==3DO =.所以222610,6,4222DP AE DP DP AE AD ⎛⎫⎛⎫⊥==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以110156222ADP S ∆=⨯⨯=， 由C PAD P ACD V V --=得115133323h ⨯⨯=⨯⨯，解得2155h =.故点C 到平面PAD 的距离为2155. 【点睛】本题考查空间线面垂直的证明和点到面的距离的计算,难度一般.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的四个顶点所围成的四边形的面积为4. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.证明：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析【解析】(1)利用性质建立方程组,求出椭圆的方程;(2)将求证以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M ,转化为证明=0MA MB ⋅u u u r u u u r ,由直线l 过点6,05⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零可设直线6:5l x ty =+与椭圆方程联立消x ,化为一元二次方程，利用根与系数的关系,证明=0MA MB ⋅u u u r u u u r即可. 【详解】 （1）由题意知，3,242c ab a ==，所以1,1,22b b a a ===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=，（2）由题设直线6:5l x ty =+，()()1112,,,,(2,0)A x y B x y M 联立直线方程和椭圆方程得()22126440525t y ty ++-=.()()12122212640,,54254t y y y y t t -∆>+==-++ 所以()()()()212121212162214525MA MB x x y y t y y t y y ⋅=--+=+-++u u u r u u u r()()()()2222222264148166464481664025*********t t t t t t t t +--+++=-++==+++，所以MA MB ⊥u u u r u u u r ，所以点M 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线和椭圆的综合应用,应强化直线和椭圆联立得出一元二次方程之后的运算能力,重视根与系数的关系,难度较难. 21．已知函数()12,xx f x te t R e=--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t>时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.【答案】（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1【解析】(1)依题意4t=-可知()142x xf x e e =---,则()()12121()4xxx xxe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果. (2)当0t>时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间, ()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在()0,+?上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点.【详解】（1）当4t =-时，()142xx f x e e =---.则()()12121()4x xx x x e e f x e e e+-'=-+=， 令()0f x ¢=，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞，∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t>时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x x xx x te t e te e '=--=-++，令()0g x ¢=，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()gx 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-， 令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>.∴()F t 在()0,+?上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．已知圆1:2cos C ρθ=-，曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化圆1C 和曲线2C 的方程为普通方程； （2）过圆1C 的圆心1C 且倾斜角为3π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点.求圆心1C 到,A B 两点的距离之积.【答案】（1）1C ：22(1)1x y ++=，2C ：2214xy +=；（2）1213【解析】(1)圆1:2cos C ρθ=-,即22cos ρρθ=-，利用互化公式可得圆1C 的普通方程, 曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,利用平方关系可得曲线2C 的普通方程; (2)由(1)可知：()11,0C -，则直线l 的参数方程为：11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2214x y +=，有21330,4t t --=，圆心1C 到,A B 两点的距离之积为12t t .【详解】（1）圆1C 的普通方程为：22(1)1x y ++=，曲线2C 的普通方程为：2214xy +=.（2）由（1）可知：()11,0C -，则直线l 的参数方程为：11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2214x y +=，有212131230,413t t t t =--=-，所以圆心1C 到,A B 两点的距离之积为121213t t = 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程, 参数方程化成普通方程,利用直线的参数方程求距离问题,难度一般.23． 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1118a b ab++≥； (2)11(1)(1)9a b ++≥.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）1的代换，将不等式左边化为齐次：()2a b a b a b a b ab+++++,再根据基本不等式求最小值为8，证得结论（2）左边展开得1111a b ab+++，再根据（1）得证 试题解析：证明：(1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4 ≥4＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝时，等号成立)，∴＋＋≥8.(2)∵＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.∴≥9.。
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正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形,则该几何体的体积为
A. 16 3
B.
16 20
或
33
C. 20 3
D.
20
或6
3
9.己知函数
f
(x)
ln
2 x2
1 x
(5m 2)x 2, g(x)
m 2 x1 2x 1
.若对任意的 x1, x2
[ 1 ,1], 不等式 2
f (x1) g(x2 ) 恒成立,则正数 m 的取值范围是
坐标系，直线 l 的参数方程是:
x m
2t 2
(t 是参数).
y
2t 2
( I )若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 | AB | 14, 试求实数 m 值;
(II)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点，求 x+ y 的取值范围.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|x-1|. (I )求不等式 f(x)≤4 的解集;
于点 D, O（坐标原点）为△ABD 的重心，A（-π，0），则点 C 的坐标为=___，f（0）= ____. （本题第一空 2 分，第二空 3 分）
第3页共6页
15.若函数 f(x)满足:定义域为 R, f(-x-a)=f(x-a), 且 f(-x)=f(x), 则称函数 f(x)为“双对称 a 函数”.已知函数 f(x)为
A. (0, 1-1n2) C. (ln2, +∞)
B. (0, 2 ln 5) 28
D. (ln 5 3 , ) 84
10.已知在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 2c=bsin2A+ 2asin AcosB，点 D 在△ABC 的内部,且满
足∠A DB BDC CDA 2 .若 a 2, ABC , 则 AD+BD+CD=
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 如图所示，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD, E, F 分别是线段 AD, PB 的中点，PA= AB=1. (I )求证: EF//平面 DCP; (II)求 F 到平面 PDC 的距离.
C.
f
(x)
sin x e|x|
D. f (x) e|x| x 2
5.公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时
乌龟便领先他 100 米;当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，
3
3
A.3
B.6
C.7
D. 7
11.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲 线，如图所示.劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等.
记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积, S 为△OKL 的面积,将 Gim a 称为基尼系数. S
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡
上把所选题号涂黑。
22. ( 本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角
(II)设函数 f(x)的最小值为 m，当 a, b, c R , 且 a+b+c=m 时,求
2a 1 2b 1 2c 1 的最大值.
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1 2n
,
则 S1
S3
S5
A.0
C. 17
B. 5
D. 21
64
64
64
7.已知数据 1, 2, 3, 4, x (0<x<5)的平均数与中位数相等,从这 5 个数中任取 2 个，则这 2 个数字之积大于 5 的
概率为
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A. 7 10
B. 3 5
C. 1 2
D. 2 5
8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成,其三视图如图所示,其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2,
长郡中学 2020 届高三第三次适应性考试
数学（文）试题
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 M
{(x,
y) |
y
y
x x
2 ,集合
N
{x
|
x2
3x
2
0},
则
M∩N=
A.
B. {1}
C. {2}
乌龟仍然前于他 1 米...... 所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为102
米时，乌龟爬行的总距离为
A. 105 1 900
B. 105 9 90
C. 104 9 900
D. 104 1 90
6.设数列{an} 的前
n
项和为 Sn , 满足 Sn
(1)n an
上述说法正确序号的是
A.①④
B.②③
C.①③④
D.①②④
12.我们把形如 y b (a>0, b>0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其 | x | a
与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，
则当 a=1, b=1 时,所有的“囧圆”中面积的最小值为
A. x R, f (x) f (x0)
C.∀x∈R, f(x)≤f(xo)
B.∃ x R, f (x) f (x0) D.∀x x R, f (x) f (x0)
4.已知某函数图象如图所示，则图象对应的函数可能是
A. f (x) e|x| | x |
B. f (x) e|x| 2x2
A.2π
B.3π
C.4π
D.12π
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知复数 z i2 (i 为虚数单位)，则 z ____ 1 i
14. 如图,函数 f (x) 2 sin(x )( 0, 0 ) 的图象与坐标轴交于点 A, B, C,直线 BC 交 f(x)的图象
否存在直线 l,使得向量 AC BD 0, 若存在,指出这样的直线有多少条?若存在，请说明理由.
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21. ( 本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ln x . x
3
(I)若直线 l： y kx 2e 2 与 y= f(x)的图象相切，求实数 k 的值;
3
(II) 设 a 2e 2 , 求证:对∀k<0，直线 l:y=kx+a 与 y= f(x)的图象有唯一公共点.
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①Gini 越小，则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为 y= f(x),则对∀x∈(0,1),均有 f (x) 1 x
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y x2 (x [0,1]), 则 Gini 1 4
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y x3 (x [0,1]), Gini 1 . 2
是“有效数据”的概率.
20. (本小题满分 12 分)
已知椭圆 : x2 y2 1. 双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点,双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长. 16 12
( I )求双曲线Γ的标准方程; ( II) 设直线 1 经过点 E(3,0)与椭圆Ω交于 A、B 两点，求△OAB 的面积的最大值. (III) 设直线 l:y=kx+m (其中 k，m 为整数)与椭圆Ω交于不同两点 A、B,与双曲线Γ交于不同两点 C、D,问是
品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 (xi , yi )(i =1,2,3,4,5,6),如下表所示:
(I)求出 p 的值;
(II)已知变量 x, y 具有线性相关关系，求产品销量 y (件)关于试销单价: x (百元)的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ (计
算结果精确到整数位);
(III)用 yˆi 表示用正确的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值.当销售数据( (xi , yi ) 的残差的绝 对值 | yˆi yi | 1 时,则将销售数据称为一个“有效数据”现从这 6 组销售数中任取 2 组，求抽取的 2 组销售数据都
D. {1,2}
2.已知单位向量 a 满足等式 2 | a || b |, | a 2b | 13, 则 a 与 b 的夹角为
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.已知 a>0,函数 f (x) ax2 bx c. 若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是
18. (本小题满分 12 分)
若数列{an}的前 n 项和为 Sn , 且 a1 1, a2 2, (Sn 1)(Sn2 1) (Sn1 1) 2.
(I)求 Sn
(
II)记数列{ 1 } 的前 an
n
项和为 Tn ,
证明:1
Tn
2.
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19.(本小题满分 12 分) 某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产
“双对称 1 函数",且当 x∈[0,1]时, f (x) x3. 记函数 g(x) f (x) f (x 1) 3x(5 x 6) ，则函数 g(x)的最