荆门市实验高中导数单元测试
高中数学知识点总结导数的应用
高中数学知识点总结导数的应用高中数学知识点总结_导数的应用导数的应用、复数1.用导数研究微分的单调性。
yf(x)在区间(a,b)内可导，若f"(x);0，则yf(x)在(a,b)上递增;若f"(x)[巩固2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)三维空间的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）OA．xOB．xOC．xOD．xyyyy[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f(x);g(x),若a;b，则（）A．f(a);g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3当时，f"(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)无极值，舍去；b3当a4b11时f/(x)3x28x11，函数f(x)在x1处左减右增，有极小值；此时∴f(2)18。
注：在解决“已知函数的最大值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f/(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f/(x)再次求导，看f为负则有极大值。
[巩固1]已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,//为0则无极值，为正则有极小值，(x0)的值，求m的取值范围.[举例2]设函数f(x)ax2blnx，其中ab0．证明：当ab0时，函数f(x)没有极值点；当ab0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）3.求yf(x)在闭区间内所的最值的步骤：（1）求导数f"(x)（2）求导数方程f"(x)=0的根（3）检查f"(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过可解不等式f"(x)≥0及再以确定函数的极值；最后将极值与f"(x)≤0确定函数yf(x)在给定区间内的单调情况，区间端点的函数值比较以确定最值。
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习十九(选修2-2和2-3)
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习十九（选修2-2和2-3）1.复数i i i ++-+42)2(5的共轭复数是 A 、1-3i B 、1+3i C 、i 371-- D 、i 371+- 2.如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则Eξ为 A. 125 B. 34 C.197 D.133.已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.84.已知二项式25()m x x+展开式中各项系数和为-1，则二项式展开式中含x 的项是 A 、80x B 、80x - C 、160x D 、160x -5.已知函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f ，点),(y x P 是函数)(x f 图像上任一点，其中0（0，0），)0,2(πA ，记△OAP 的面积为)(x g ，则)(x g '的图像可能是6.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.12B.512C.14D.167.已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×98.已知函数)0(ln )(,)(2>+=-=a b x a x g x e x f x ，若对任意]2,1[1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使得)()(21x g x f =，则实数b a ,的取值范围是A. 1,2ln 302-≥--≤<e b e e aB. 1,2ln 302-≤--≤<e b e e aC. 1,2ln 32-≥--≥e b e e aD. 1,2ln 32-≤--≥e b e e a9.将甲乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组，一组3人，另两组每组各2人，则甲乙不分在同一组的分法有A. 80种B. 90种C. 25种D. 120种10.已知R 上的连续函数)(x g 满足：①当0>x 时，0)(/>x g 恒成立；②对任意的R x ∈都有)()(x g x g -=。
导数(1)
山东省各地市2012年高考数学（理科）最新试题分类大汇编：第4部分：导数（1）一、 选择题【山东聊城莘县实验高中2012届高三上学期期中】5．函数)2sin(2x x y +=的导数是（ ） A. )2cos(2x x y +=' B. )2sin(22x x x y +=' C. )2cos()14(2x x x y ++=' D. )2cos(42x x y +=' 【答案】C【山东聊城莘县实验高中2012届高三第三次月考理】6．设0()sin xf x td t =⎰，则[()]2f f π的值等于（ ）A 、1-B 、1C 、cos1-D 、1cos1-【答案】D【山东聊城莘县实验高中2012届高三第三次月考理】9．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为 （ ） A ．（1，－3） B ．（1，5）C ．（1，0）D ．（－1，2）【答案】C【山东省东营市2012届高三上学期期末（理）】9．函数x e x f x-=)( (e 为自然对数的底数)在区间[-1，1]上的最大值是A ．e 11+B ．1C ．e+1D ．e-1【答案D【山东省冠县武训高中2012届高三第二次质检理8.曲线x y e =在点2(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积（ ）A.29e 4B.22aC.2e D.2e 2【山东省济南一中2012届高三10月理】7. 式子220x dx ⎰的值是A ．23 B ．3 C ．83D ．8 【答案】C【山东省济南一中2012届高三10月理】15. 函数()y f x =的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是A ．在()3,1-上()f x 是增函数B ．在1x =处()f x 有极大值C ．在2x =处()f x 取极大值D ．在()1,3上()f x 为减函数 【答案】C【山东省济南一中2012届高三10月理】5．函数()510xy x a a =⋅≠>的导数是A. 45ln x x a a ⋅B. 455ln x x x a x a a ⋅+⋅C. 455x xx a x a ⋅+⋅ D. 455log x x a x a x a x ⋅+⋅【答案】B【山东省济南一中2012届高三上学期期末理】6. 定积分ln 2x e dx ⎰的值为A ．1-B ． 2eC ．2e 1-D ．1【答案】D【山东省济南一中2012届高三上学期期末理】11. 设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = A ．2B ． 2-C ． 12-D.12【答案】B【山东省济南一中2012届高三上学期期末理】12. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅，(),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则 , , a b c 大小关系是A ． a b c >>B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >> 【答案】D【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考理】2．设函数ax x x f m +=)(的导函数是12)(+='x x f ，则数列})(1{n f )(*N n ∈的前n 项和为（ ） A ．21++n n B ．1+n n C ．12++n n D ．nn 1+【答案】B【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考理】5．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x xϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<【答案】D【山东省济宁市汶上一中2012届高三11月月考理】1.设函数2()(),f xg x x =+曲线y ()g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21,y x =+则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A 、4B 、14-C 、2D 、12-【答案】A【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考理】1．已知直线:230m x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P 点的坐标可能是（ ）A ．3(,)22ππ--B ．3(,)22ππC ．3(,)22ππD ．3(,)22ππ-- 【答案】C【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考理】3．已知函数31()3f x x x =+，则不等式2(2)(21)0f x f x -++>的解集是 （ ）A ．()),11,-∞+∞U B ．()1C ．()(),13,-∞-+∞UD ．()1,3-【答案】D【山东省潍坊市2012届高三上学期期末考试理】9．函数x e x f x -=)( (e 为自然对数的底数)在区间[-1，1]上的最大值是 A ．e11+B ．1C ．e+1D ．e-1 【答案】D【山东省济南外国语学校2012届高三9月质量检测】11.已知)(x f '是函数)(x f 的导数，y=)(x f '的图象如图所示，则y=)(x f 的图象最有可能是下图中 （）【答案】B一、 填空题【山东济宁金乡一中2012届高三12月月考理】14.曲线x y ln =在点(,1)M e 处切线的方程为_____ _____。
日照实验高中2007级数学导学案-----导数
1.3.3 导数的实际应用
学习目标： 掌握导数在解决实际问题中的应用 学习重点难点： 掌握导数在解决实际问题中的应用． 自主学习： 一、知识再现： 利用导数求函数极值和最值的方法 二、新课探究： 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际 问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函数关系， 并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数 取值的情境， 即核心问题是建立适当的函数关系。 再通过研究相应函数的 性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力 的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
各自的定义域中都只有一个极值点， 从图象角度理解即只有一个波峰， 是 单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 取，才能使所用的材料最省？ 2 解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积 S=2π Rh+2π R 由 V=π R h， h 得
2
王新敞
奎屯 新疆
例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选
1 2 1 q (100 4q) q 2 21q 100 8 8
令 L 0 ，即
(0 q 100)
1 L q 21 4
王新敞
奎屯 新疆
1 q 21 0 ， 4
求得唯一的极值点 q 84
答：产量为 84 时，利润 L 最大 课堂巩固：
解得 x=0（舍去） ，x=40， 并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小， 因此，16 000 是最大值
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习五(选修2-2和2-3)
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习五（选修2-2和2-3）1．若函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可以为 A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2 D ．f (x )＝x －12．(x )10的展开式中x 6y 4项的系数是A ．840B ．－840C ．210D ．－2103．一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰有一次获得通过的概率是A ．14B ．13C ．12D ．344．已知曲线y ＝cos x ，其中x ∈[0，32π]，则该曲线与坐标轴围成的面积等于A ．1B ．2C ．52D ．35．一位母亲纪录了儿子3~9岁的身高的数据（略），她根据这些数据建立的身高y （cm ）与年龄x 的回归模型为y ＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是A ．身高一定是145.83cmB ．身高在145.83cm 左右C ．身高在145.83cm 以上D ．身高在145.83cm 以下6．若复数312a ii++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A ．－2B ．4C ．－6D ．67．如果随机变量），（21-~σξN ,且4.01-3-(=≤≤）ξP ,则(1)P x ³等于（ ） A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.18A ．95%以上认为无关B ．90%~95%认为有关C ．95%~99.9%认为有关D ．99.9%以上认为有关9．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有有理数根，那么b 、c 中至少有一个偶数时，下10．若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B 、C 相邻，则不同的排法共有 A ．72种 B ．96种 C ．120种 D ．144种 11．1-⎰(x 2＋2 x ＋1)dx ＝_________________．12．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，那么第2次也抽 到A 的概率为_______________________．13．在数列{a n }中，a 1＝3，且a 1n +＝a 2n （n 为正整数），则数列{a n }的通项公式a n ＝_____． 14．若(2x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝_____________．15．将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案种数是________．16．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．17．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：(1)随机变量X 的分布列；(2)随机变量X 的期望． 18．设函数xe x xf 221)(=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立，求实数m 的取值范围．、 19．已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．20．甲乙等5名志愿者被随机分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
2025届湖北省黄冈市浠水实验高中高考冲刺数学模拟试题含解析
2025届湖北省黄冈市浠水实验高中高考冲刺数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β2．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．13．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.84．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．85．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )6．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．277．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．38．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭9．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）10．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=11．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．19D ．21912．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第10节 利用导数研究函数的单调性-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程
第10节 利用导数研究函数的单调性导数作为研究函数的重要工具，在函数研究的诸多方面都有着重要作用，探究函数单调性就是其中重要应用之一，其中尤以研究含参函数的单调性最为常见．本节，将对此展开研讨．【实验1】研讨函数单调性与导数的关系【探究步骤】1.在GGB 中作出函数的函数图象；2.令，把函数式化简为；3.在图象上任取一点，作出函数在该点处的切线.根据上节研究结果可知：函数在点处的切线斜率即为函数在处的导数；4.拉动点A ，观察可以发现：在的单调递减区间的任意一点，其切线斜率均小于0，即对于内任意的，都有；而对于它的增区间的任意一点，其切线斜率均大于0，即对于内任意的，都有．由上述实验结果，可以得出以下结论： 设函数的导函数为，在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减，反之也成立．以上判断揭示了导函数的正负和原函数单调性之间的关系，也为研究函数单调性提供了另一重要途径．【说明】为了使函数的单调性与导数的符号关系更加明显，可以在原有的基础上增加以下步骤．【探究步骤】1.测量函数在点A 处的切线斜率m ；2.在GGB 课件中添加以下文本“函数在点A 处的切线斜率=”，然后在文本输入框的“对象”点击黑小角，找到m ，得到“函数在点A 处的切线斜率m =”；3.在这行文本后另建文本，内容为“0>”，在文本属性中设置显示条件为“0>m ”；4.在文本“0>”的同一位置，另建文本“0<”，显示条件为“0<m ”．这样当拉动点A 时，文本将直接显示函数在点A 处的切线斜率，并自动判断斜率的符号．122+-=ax x y 0=a 12+=x y 12+=x y ),(00y x A ),(00y x A 0x x =12+=x y ()0,∞-()0,∞-0x 0'0<=x x y ()+∞,0()+∞,00x 0'0>=x x y )(x f )('x f ()b a ,0)('>x f )(x f 0)('<x f )(x f【实验2】利用导数研究函数单调性初探对于任务一中的函数，研讨以下问题：（1）若在区间恒为增函数，求参数a 的取值范围；（2）若在区间恒为减函数，求参数a 的取值范围；（3）若在区间既有增区间，又有减区间，求参数a 的取值范围．【方案1】研究时，可拉动滑杆a ，改变参数a 的值，从而改变函数对称轴的位置．经过研究，可以发现：（1）当函数图象对称轴在区间的左侧，即时，在单调递增；（2）当函数图象对称轴在区间的右侧，即时，在单调递减；（3）当函数图象对称轴在区间内，即时，在既有增区间，也有减区间．【方案2】由得，而函数的单调性与它的导函数的符号有关．本题可研究函数在区间的符号．【探究步骤】1.在GGB 的第二页面作出函数的图象，设置线型为虚线；2.在指令栏输入“函数]2,0,22[a x -”，得到函数的图象，把图象适当加粗，并设置颜色为红色；3.拉动滑杆a ，观察可得：（1）当时，图象恒在轴的上方，恒大于0，即函数在恒为增函数；（2）当时，图象部分在轴的上方，部分在轴的下方，即当时，有正有负，即函数在既有增区间，也有减区间；（3）当时，图象恒在轴的下方，恒小于0，即函数在恒为减函数．【实验3】研究三次函数的单调性 12)(2+-=ax x x f )(x f )2,0()(x f )2,0()(x f )2,0(a x =)2,0(0<a )(x f )2,0(a x =)2,0(2>a )(x f )2,0(a x =)2,0(20<<a )(x f )2,0(12)(2+-=ax x x f a x x f 22)('-=)(x f )('x f )('x f )2,0(a x x f 22)('-=)20(22<<-=x a x y 0<a )20(22<<-=x a x y x )('x f )(x f )2,0(20<<a )20(22<<-=x a x y x x 20<<x )('x f )(x f )2,0(2>a )20(22<<-=x a x y x )('x f )(x f )2,0(对于三次函数，其单调性相对于【实验2】的二次函数要复杂得多，应用GGB 课件对这个问题作详细研究．为了研究方便，先设定，因为参数d 并不影响函数的单调性，为简化处理，设，把函数式化简为．【探究步骤】1.作出图象上的任一点)))((),((A x f A x A ；2.作出在点A 处的切线，并测得其斜率m ；3.在指令栏输入“)),((m A x B =”，作出点B ；4.点击工具栏中的“轨迹”工具，然后依次点击点A B ,，作出点B 的轨迹．【说明】1.点B 的轨迹即是函数的导函数图象．2.作轨迹的方法是：首先点击工具栏中的“轨迹”工具，然后选择构造轨迹的点，最后选择它的控制点．如本任务中，要作的是点B 的轨迹，而点A 是点B 的控制点，因而在选择了“轨迹”工具之后，应先点击点B ，后点击点A ，这个顺序是不能错的．【探究问题1】若在上单调递增，求参数b 的取值范围．若在上单调递增，则对于任意的实数，恒有，此时的图象开口向上，且与轴至多有1个交点．【探究步骤】1.调节滑杆c ，使得1=c ；2.拉动滑杆b ，观察的图象，寻求的图象与轴至多有1个交点时，参数b 的取值范围．通过推理论证，证明观察结论：【说明】数学实验在数学研究中只能作为直观验证和直观判断使用，它在数学猜想中有着重要应用，但并不能代替严格的数学证明．本题在验证过程中因为实验精度和误差等影响，大致可以看到当时，命题是成立的．【探究问题2】若在上既存在递增区间，又存在递减区间，求参数b 的取值范围． )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 1=a 0=d cx bx x x f ++=23)(cx bx x x f ++=23)()(x f )(x f )('x f x bx x x f ++=23)(R x bx x x f ++=23)(R x 0)('≥x f )('x f x )('x f )('x f x 123)(')(223++=∴++=bx x x f x bx x x f 33012)2(0)('2≤≤-∴≤-≥b b x f 得由7.17.1<<-b x bx x x f ++=23)(R实验方法同【探究问题1】，答案为，此处不再赘述．【探究问题3】若在单调递增，求参数b 的取值范围． 实验方法：拉动滑杆b ，观察当参数b 在何范围时，在恒大于0.经观察，大致可以得到当时，命题成立．要使在恒大于0，可以作以下求解： （1）当时，对任意的恒成立；（2）当时，由，得，所以，故只需大于等于在的最大值．由均值不等式可知，当时，在取得最大值． 即．综上所述，当时，命题成立．【探究问题4】若在既存在递增区间，又存在递减区间，求参数b 的取值范围．实验方法：拉动滑杆a ，观察当参数b 在何范围时，在既有正值，又有负值．经观察，大致可以得到当时，命题成立．要使在既存在递增区间，又存在递减区间，只须在既有正值，也有负值．，故要使命题成立，只需函数图象的对称轴在轴的右侧，方程，即．故当时，命题成立． 另解：要使在既有正值，也有负值，只需在有两个根或一根在)2,0(内，而另一根在[)+∞,2上．因为不是这个方程的解，故可把它变形为，从而只需研究在交点的情形，由在的值域为3,3>-<b b 或x bx x x f ++=23)([]2,0)('x f []2,07.1->b 123)('2++=bx x x f []2,00=x 01)('>=x f R ∈b 20≤<x 01232≥++bx x 1322--≥x bx )13(2x x b +-≥b 2)13(x x +-(]2,033=x )13(xx +-(]2,032-,322-≥∴b ３－≥b ３－≥b x bx x x f ++=23)([]2,0)('x f []2,07.1-<b )(x f []2,0123)('2++=bx x x f []2,001)0('>=f )('x f y 00)('>∆=的x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⨯⨯-≥-0134)2(032b b 3-<b 123)('2++=bx x x f []2,00123)('2=++=bx x x f []2,00=x )13(2xx b +-=)13(2x x y b y +-==与[]2,0)13(x x y +-=(]2,0(]32,-∞-并结合图象得．【实验4】函数单调性综合研究【探究问题5】已知函数，试研讨的单调区间． 【探究步骤】1.作出图象，设置为红色虚线；2.作出图象，设置为蓝色实线；3.拉动滑杆a ，观察函数的单调区间．经观察，可以大致发现：当时，图象恒在轴上方，此时函数只有单调递增区间；当时，函数将在单调递减，在单调递增．其中将随着a 值的改变而改变，但无法观察到它和a 之间的关系．为解决此问题，作以下研讨：由得的定义域为，而 （1）当时，可得对于任意的，都有，此时函数只有单调递增区间；（2）当时，由得，且当时，；当时，．此时函数有单调递增区间，单调递减区间． 可以发现，通过数学实验发现的结论和数学求解所得的正确答案还是有一定的差距．数学实验可以帮助我们去发现问题、寻找问题的解决思路，但万不可用它来代替数学求解．【探究问题6】已知函数，令，若在不存在增区间，求实数a 的取值范围．【方案1】直接观察的函数图象，可以粗略得到当时符合题意．【方案２】作出的导函数的图象，观察当在无解时，实数a 3,322-<∴-<b b x a x x x f ln 1)(--=)(x f x a xx x f ln 1)(--=)('x f )(x f 3.0<a )('x f x )(x f ()+∞,03.0>a ),0(0x ()+∞,0x 0x x a xx a x x x f ln 11ln 1)(--=--=)(x f ),0(+∞2211)('xax x a x x f -=-=0≤a ),0(+∞∈x 0)('>x f )(x f ),0(+∞0>a 0)('=x f a x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,00)('>x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，a x 10)('<x f )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 1x a xx x f ln 1)(--=)(')(x f x g =)(x g )1,0()(x g 8.1≤a )(x g )('x g 0)('>x g )1,0(的取值范围．用数学方法求解如下：由 因为，要使在无解，即对于任意的都有，故对任意的恒成立，从而得到． 323222)('1)(x ax x a x x g x a x x g +-=+-=-=得0),1,0(3>∈x x 故0)('>x g )1,0(),1,0(∈x 02≤+-ax x a 2≤)1,0(∈x 2≤a。
日照实验高中2007级数学导学案---导数
日照实验高中2007级数学导学案---导数1.3.1利用导数判断函数的单调性学习目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法学习重点难点：利用导数判断函数单调性.自主学习一、知识再现：1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算二、新课探究：1、定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y≥0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y≤0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x) ≥0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)≤0解不等式，得x的范围，就是递减区间.3、例题解析：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 教师备课学习笔记例3证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )= x 1在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵f ′(x )=( x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x ＜0. ∴f ′(x )＜0，∴f (x )= 21x 在(0，+∞)上是减函数. 例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1)=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜52.∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，52) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52且x ≠1.∵1x =为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)例5.求221()ln 1x f x x +=-的单调递增区间 解：由函数的定义域可知，210x -> 即11x -<<教师备课 学习笔记又222211()ln [ln(1)ln(1)]12x f x x x x +==+--- 所以2222122()()21111x x x x f x x x x x -'=-=++-+- 令()0f x '>，得1x <-或01x <<综上所述，()f x 的单调递增区间为（0，1） 课堂巩固：1.函数xx y 142+=的单调递增区间是（ ） A ),0(+∞ B ),21(+∞ C )1,(--∞ D )21,(--∞2.已知函数x x y 33-=，则它的单调递减区间是( )A.)0,(-∞B.)1,1(-C. ),0(+∞D.)1,(--∞及),1(+∞ 3. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是__________________.4.当∈k 时，23)(kx x x f +=在]2,0[上是减函数. 归纳反思：合作探究：1.求函数2()2ln f x x x =-的单调区间教师备课 学习笔记2.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=。
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A DCB荆门市实验高中《导数》单元测试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数mxxxf+-=23212)(（m为常数）图象上A处的切线与03=+-yx的夹角为45 ，则A点的横坐标为（）A．0 B．1 C．0或61D．1或612．函数xxy ln=的单调递减区间是（）A．（1-e，+∞）B．（－∞，1-e）C．（0，1-e）D．（e，+∞）3．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=41t4-35t3+2t2，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末4．函数13)(3+-=xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-195.设()f x在x x=处可导，且00(3)()limxf x x f xx∆→+∆-∆＝1,则()f x'＝ ( )A.1B.0C.3D.136. 已知对任意实数x，有()()()()f x f xg x gx-=--=，，且0x>时，()0()0f xg x''>>，，则0x<时（）A．()0()0f xg x''>>，B．()0()0f xg x''><，C．()0()0f xg x''<>，D．()0()0f xg x''<<，7. 设)(xf'是函数)(xf的导函数，)(xfy'=的图象如右图所示，则)(xfy=的图象最有可能是 ( )8. 已知函数()(ln f x x =，则()f x '是 （ ）A. 奇函数 B . 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 9.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为 ( )Ａ.(2,)+∞ Ｂ.(,2)-∞ Ｃ.(,0)-∞ Ｄ.(0,2)10.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = （ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x ＋2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.12．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______ （用弧度数作答） 13．设曲线C ：y=cosx 与直线x =56π的交点为P ，曲线C 在P 点处的切线经过（a ，0）点，则a 等于 .14.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 15. 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知32()2f x ax ax b =-+在区间[]2,1-上最大值是5，最小值是－11，求()f x 的解析式.17．（12分）设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x ＝1时，)(x f 取极小值.32-（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.18．（12分）已知a ＞0，函数a x x f -=3)(，x ∈[0，+∞)，设x 1＞0，记曲线y ＝f (x )在点M(x 1，f (x 1))处的切线为l ． （1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为(2x ，0)，证明：①2x ≥31a ，②若311a x >，则1231x x a <<．19. （12分）已知抛物线22,y x =-+过其上一点p 引抛物线的切线m,，使m 与坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求m 的方程。
20．（13分）设曲线321()32ax y f x bx cx ==++在点x 处的切线斜率为k (x )， 且k (－1)＝0.对一切实数x ,不等式x ≤k (x )≤)1(212+x 恒成立(a ≠0). （1）求(1)f 的值;（2）求函数k (x )的表达式; （3）求证: ∑=ni i k 1)(1＞22+n n .21．（14分）已知函数e a e x x f ax ,0,)(2≤=其中为自然对数的底数. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值.荆门市实验高中《导数》单元测试卷 参 考 答 案一、1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.D二、11. 2x －y ＋4=0 ; 12.4π； 13. 563π- 14.23R 15. 解：11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以：221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=三、16. . 32()211f x x x ∴=-+- 或 32()25f x x x =-+17．解（1）0,0==∴d b ,1,31-==c a（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ，且1)1()1(2221-=-⋅-x x （*）1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x此与（*）相矛盾，故假设不成立. 19．(1)解：23)(x x f ='，∴曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线的斜率213x k = ∴切线l 的方程为)(3)(12131x x x a x y -=--，即a x x x y --=312123(2)解：令y ＝0得2131232x ax x +=①2131123113121313123)2()(32x a x a x a x ax a x +-=-+=-≥0 (*)∴312a x ≥，当且仅当311a x =时等号成立．②∵311a x >，∴(*)中“＝”不成立，故312a x >213112112111231)(31332x x a x x a x x a x x x -⨯=-=-+=- ∵a x a x >⇔>31311 ∴02131<-x x a ，故x 2＜x 1 ∴当311a x >时，1231x x a <<成立．19．解：设切点()()20,0020p x x x -+>由22y x =-+得'2y x =- 02m k x ∴=- m 的方程为：()()200022y x x x x --+=--令y=0得20022x x x +=，令x=0得202y x =+ 三角形的面积为：()2200021222x s x x +=∙+令()())2200020322'004x x s x x x -+==⇒=>当00'03x s <<<当0'03x s >>0x ∴=是s的极小值也是最小值点，此时mk =，切点43⎫⎪⎪⎝⎭故，m的方程为：380y +-=20.解: (1)c bx ax x k ++=2)( x c bx ax -++2≥0∴a ＞0,△≤0, (b －1)2－4ac ≤0 ① c bx ax ++2－21212-x ≤0,∴21-a ＜0,△≤0,)21)(21(42---c a b ≤0 ②又∵1≤k(1)≤)11(212+, ∴k(1)＝1 又k(－1)＝0∴112012a c abc a b c b ⎧+=⎪++=⎧⎪⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩ 代入①有2(41)0a -≤ 代入②有2(41)0a -≤又∵k(1)=a + b + c=4a, ∴41=a 11,24bc == ∴7(1)12f = (2) 2)1(41)(+=x x k (3)])1(121[41)(1221+++=∑=n i k ni ＞41])2)(1(1431321[41=+++⨯+⨯n n 22]2121[+=+-n n n 。
21．解：（1）.)2()(ax e ax x x f +='（i ）当a =0时，令 .0,0)(=='x x f 得若),0()(,0)(,0+∞>'>在从而则x f x f x 上单调递增； 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减.（ii ）当a <0时，令.20,0)2(,0)(ax x ax x x f -===+='或故得若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减；若)2,0()(,0)(,20a x f x f a x ->'-<<在从而则上单调递增； 若,2a x ->),2()(,0)(+∞-<'ax f x f 在从而则上单调递减.（2）（i ）当a =0时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.1)1(=f（ii ）当02<<-a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是a e f =)1(.（iii ）当2-≤a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22ea a f =-。