2019届高三北师大版理科数学一轮课堂复习课件：第7章 第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直

→ → → [解] 如图，以 A 为原点，分别以AB，AC，AP的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)， D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)．
→ → 证明：DE＝(0,2,0)，DB＝(2,0，－2)． 设 n＝(x，y，z)为平面 BDE 的一个法向量，
5．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________．
45° [如图，建立空间直角坐标系，设 AB＝PA＝1，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)， P(0,0,1)， 由பைடு நூலகம்意， AD⊥平面 PAB， 设 E 为 PD 的中点， 连接 AE， 则 AE⊥PD， 又 CD⊥平面 PAD，
C． －
)
B．(1，－1,1)
D．
3 3 3 ，－ ，－ 3 3 3
3 3 3 ， ，－ 3 3 3
C [设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量， → n· AB＝0， －x＋y＝0， 则 化简得 → －x＋z＝0， n · AC ＝ 0 ， ∴x＝y＝z.故选 C．]
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(对应学生用书第 122 页) [基础知识填充] 1．空间位置关系的向量表示 直线 l1， l2 的方向向量 分别为 n1，n2 l1∥l2 l1⊥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1· n2＝0
直线 l 的方向向量为 n， 平面 α 的法向量为 m 平面 α， β 的法向量分 别为 n，m
2． (教材改编)设 u＝(－2,2， t)， v＝(6， －4,4)分别是平面 α， β 的法向量． 若 α⊥β， 则 t＝( A．3 ) B．4 C．5 D．6
C [∵α⊥β，则 u· v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5.]
3．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( A．(－1,1,1)
(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角．( (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )
π π 0 ， (6)两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面夹角的范围是 ，二面角 2
的范围是[0，π]．(
)
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
图 771
(2)如图 771(2)(3)，n1，n2 分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量， 则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ， 二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)．
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( (3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角．( ) ) ) )
4．直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BCA＝90° ，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点， BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 夹角的余弦值为( 1 A． 10 2 B． 5 30 C． 10 2 D． 2 )
C [建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz， 设 BC＝2， 则 B(0,2,0)， A(2,0,0)， → → M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故 BM 与 AN 夹 → → |BM· AN| 3 30 角 θ 的余弦值 cos θ＝ ＝ ＝ .] → → 6× 5 10 |BM|· |AN|
(对应学生用书第 123 页)
利用空间向量证明平行问题
(2017· 天津高考节选)如图 772，在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC， ∠BAC＝90° .点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中 点，PA＝AC＝4，AB＝2.
图 772 求证：MN∥平面 BDE.
第
章 立体几何
第七节 立体几何中的向量方法
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量 语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和 平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直 线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几 何问题中的应用．
3．直线与平面的夹角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ， |a· n| |cos 〈 a ， n 〉 | 则 sin θ＝ ＝ |a||n| .
4．二面角 (1)如图 771(1)，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则 → → ． 二面角的大小 θ＝ 〈AB ，CD〉
∴CD⊥AE，从而 AE⊥平面 PCD.
→ → → 1 1 ∴AD＝(0,1,0)， AE＝0，2，2分别是平面 PAB， 平面 PCD 的法向量， 且 〈AD，
→ AE〉＝45° . 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45° .]
第 1 课时 利用空间向量证明平行与垂直
l∥α l⊥α α∥β α⊥β
n⊥m⇔n· m＝0 n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n· m＝0
2.异面直线的夹角 已知直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2. π 当 0≤〈s1，s2〉≤ 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于〈s1，s2〉 ； 2 π 当 ＜〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 π－〈s1，s2〉 ． 2