2021年高中数学.向量的分解与向量的坐标运算..1平面向量基本定理同步训练新人教B版必修

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高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底，故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+，所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+，所以1344AD AB AC =+，故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+，故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==，【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==，由OC OA OB OD DC λμ=+=+，可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==，因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+，又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=，即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=．故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=，解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =.【题组三线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--，又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系，则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确；对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <，当//a b 时，1040x +=，解得52x =-，又因,a b 不共线，所以52x ≠-，所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)．【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向．由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=，所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=，所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+，所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立，即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立，因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立，令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <，因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值．【答案】(1)3π；(2)32．【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯，又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=，即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==，选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ，所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②：因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥，所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。

第28讲-向量的分解与向量的坐标运算-2021年新高考数学一轮专题训练含真题及解析

3AB
AC
，可得
4 AD
3AB
AC
，
4
所以， 3AD AD 3AB AC ，即 3
AD AB
AC AD ，
所以，
3BD
DC
，故
BD
1 3
CD
．
【例 1-5】（2020·天津高三二模）在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 2 ，AD 1 ，BAD 60 ，若 CE ED ， DF 2FB ，则 AE AF _______.
2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21.
第 28 讲-向量的分解与向量的坐标运算
一、考情分析
1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、知识梳理
1.平面向量的基本定理如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使 a＝a1e1＋a2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1，e2}的分解式.
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [微点提醒] 1.若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且 a＝b，则 x1＝x2 且 y1＝y2. 2.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

2021版新高考数学一轮复习第五章5.2平面向量的分解与向量的坐标运算课件新人教B版

第二节ꢀ平面向量的分解与向量的坐标运算ꢀꢀ内容索引【教材·知识梳理】1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是一平面内的两个_不__平__行__的向量，那么该平面内的任一a e+a e向量a，存在唯一的一对实数a，a，使a=________.112212不共线(2)基底：_______的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.122.平面向量的正交分解正交基底在_________下分解向量，叫做正交分解.3.平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模的坐标表示.(x+x，y+y)(x-x，y-y)设a=(x，y)，b=(x，y)，则a+b= _____________，a-b= _____________，12121212 1122(λx，λy)λa= ____________，|a|=______________.114.平面向量共线的坐标表示x y-x y=0设a=(x，y)，b=(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是__________.1221 1122【常用结论】1.向量共线的充要条件有两种：(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).(2)a=(x，y)，b=(x，y)，则a∥b⇔x y-x y=0.11221221 2.两向量相等的充要条件：它们的对应坐标相等.3.注意向量坐标与点的坐标的区别：(1)向量与坐标之间是用等号连接.(2)点的坐标，是在表示点的字母后直接加坐标.(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定.(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标，点是唯一的.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(ꢀꢀ)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(ꢀꢀ)(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ,μ,λ,μ满足λa+μb=λa+μb,11221122则λ=λ,μ=μ.(ꢀꢀ)1212(4)若a=(x,y),b=(x,y),则a∥b的充要条件可以表示成(ꢀꢀ)1122提示:(1) ×.共线向量不可以作为基底.(2)×.同一向量在不同基底下的表示不相同.(3)√.用平面向量基本定理解释.(4)×.若b=(0,0),则无意义.【易错点索引】序号易错警示典题索引基础自测T1考点一、T11忽略作为基底的必要条件是非零向量2不能准确建立平面几何与向量的关系不能灵活运用“三角形法则”、“平3行四边形法则”,不能将所求向量用基底表示考点二、T14混淆平行与垂直关系的坐标公式考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修4P103练习AT1改编)下列各组向量中,可以作为基底的是(ꢀꢀ)A.e=(0,0),e=(1,-2)12B.e=(-1,2),e=(5,7)12C.e=(3,5),e=(6,10)12D.e=(2,-3),e=12【解析】选B.两个不共线的非零向量构成一组基底.2.(必修4P105练习AT1改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x的值是(ꢀꢀ)A.-6ꢀꢀꢀB.6ꢀꢀꢀC.9ꢀꢀꢀD.12【解析】选B.因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.3.(必修4P106习题2-2BT2改编)已知三个力F=(-2,-1),F=(-3,2),F=(4,-3)同123时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F,则F等于(ꢀꢀ)44A.(-1,-2) C.(-1,2)B.(1,-2) D.(1,2)【解析】选D.根据力的平衡原理有F+F+F+F=0,所以F=-(F+F+F)=(1,2).123441234.(必修4P102例6改编)设P是线段PP上的一点,若P(1,3),P(4,0)且P是线段1212PP的一个三等分点(靠近点P),则点P的坐标为(ꢀꢀ)121A.(2,2)B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)【解析】选A.由已知=(3,-3).设P(x,y),则(x-1,y-3)=(1,-1),所以x=2,y=2,点P(2,2).5.(必修4P105习题2-2A T4改编)设e,e是不共线的两个向量,且λe+λe121122=0,则λ+λ=________.ꢀ12【解析】因为e,e是不共线的两个向量,且λe+λe=0,所以λ=λ=0,所12112212以λ+λ=0.12答案:0考点一ꢀ平面向量的坐标运算ꢀ【题组练透】1.(2019·宝鸡模拟)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.ꢀ【解析】设D(x,y),由得(4,1)=(5-x,6-y),即答案:(1,5)2.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且,则|| =________.ꢀ【解析】设P(x,y),由已知A(2,3),B(4,-1),由得解得所以答案:【规律方法】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.2.向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同.(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算.(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分.【秒杀绝招】ꢀ中点法解T1,设D(x,y),AC中点与BD中点相同,所以解得作为基底,则即平面向量基本定理解T2,将即,所以考点二ꢀ平面向量基本定理及其应用ꢀ【典例】1.(2020·郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,,F为AE的中点,则=(ꢀꢀ)2.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且,点O在线段CD上(与点C,D 不重合),若,则x的取值范围是世纪金榜导学号(ꢀꢀ)【解题导思】序联想解题号由“则=”及选项,想到运用平面向量基本定理,向量的代数1运算2设,其中1<λ<,找到λ与x的关系再求解【解析】1.选C.如图,取AB中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以所以所以2.选D.设,其中1<λ<,则不共线,所以x=1-λ∈,即x的取值范围是.【规律方法】ꢀ平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.【变式训练】1.在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=AB,BQ=BC,若则=(ꢀꢀ)【解析】选A.由已知2.已知在△ABC 中,点O 满足,则m+n 的取值范围是________.ꢀ(0<λ<1),由=0,知,由平面向量基本定理知,m+n=-2λ,所以m+n ∈(-2,0).=0,点P 是OC 上异于端点的任意一点,且【解析】设答案:(-2,0)所以考点三ꢀ共线向量的坐标表示及其应用ꢀ命题精解考什么:(1)向量共线求参数,含参数的综合问题等;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与向量共线,三角函数,不等式等结合考查求点或向量坐标,参数,最值等.读学霸好方1.已知向量共线求参数的方法利用向量共线的充要条件得出关于参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.2.与共线向量的综合问题,其关键点是如何利用共线的条件.法【命题角度1】向量共线求参数【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量若c∥,则λ=________.ꢀ【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以4×λ=2×1,解得λ=.答案:2.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点,若∥a,则点B 的坐标为________.ꢀ【解析】设B(x,2x),则=(x-3,2x),因为∥a,所以x-3-2x=0,解得x=-3,所以B(-3,-6).答案:(-3,-6)【解后反思】两平面向量共线问题涉及哪些定理公式?提示:(1)若a=(x,y),b=(x,y),则a∥b的充要条件是x y-x y=0;(2)若11221221a∥b(b≠0),则a=λb.【命题角度2】含参数的综合问题【典例】设向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为世纪金榜导学号()A.-3B.-2C.2,其中D.3【解析】选A.易知,=(2m-1,1),=(-2n-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得2m+1+2n=1.又2m+1+2n≥2≤2-2,即m+n≤-3.,所以2m+n+1【解后反思】两平面向量共线问题如何求解?提示:(1)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.运用公式a=λb或x y-x y=0求解.1221(2)当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.【题组通关】【变式巩固·练】1.(2019·南昌模拟)已知向量a=(m,n),b=(1,-2),若|a|=2,a=λb(λ<0),则m-n=________.【解析】因为a=(m,n),b=(1,-2),所以由|a|=2,得m2+n2=20,①由a=λb(λ<0)得②由①②,解得m=-2,n=4,所以m-n=-6.答案:-62.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则的最小值是()A.24B.8C.D.【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3,又因为x,y均为正数,所以(2x+3y)当且仅当时,等号成立.所以的最小值是8.【综合创新·练】1.(2020·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,P(3,1),P(-1,3),P,P,P12123三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若,则λ= ()A.-3B.3C.1D.-1【解析】选D.设=(x,y),则由∥a知x+y=0,所以=(x,-x).若则(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.2.给定两个长度为1的平面向量以O为圆心的圆弧上运动,若值是(),它们的夹角为90°,如图所示,点C在,其中x,y∈R,则x+y的最大A.1B.C.D.2【解析】选B.方法一:设∠AOC=α,则α∈则四边形ODCE是平行四边形,所以.过点C作CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,所以x=cosα,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=,所以1≤x+y≤,即x+y的最大值是..又因为α∈,则方法二:因为点C在以O为圆心的圆弧上,所以=x2+y2+2xy=x2+y2,所以x2+y2=1,则2xy≤x2+y2=1.又(x+y)2=x2+y2+2xy ≤2,所以x+y的最大值为.思想方法数形结合思想在向量中的应用【典例】已知||=1,||=,=0,点C 在∠AOB内,且(m,n∈R),则的值为________.=0,所以,以OA 为x 轴,OB 为y 轴建立平面直角坐标的夹角为30°,设【解析】因为系,则=(1,0),因为tan 30°=答案:3,所以m=3n,即=3.【思想方法指导】向量中的数形结合思想必须理清的四个问题一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则;二是向量模的几何意义;三是向量的方向;四是题目中涉及图形有哪些性质.【迁移应用】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设(λ,μ∈R),则=()【解析】选A.如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设点D(m,m)(m≠0).=(m,m)=λ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),λ=m,μ=m,所以。

高中数学第二章平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.1 平面向量基本定理练习新人教B版必修4

2.2.1 平面向量基本定理课时过关·能力提升1.已知命题“若k1a+k2b=0,则k1=k2=0”是真命题,则下面对a,b的判断正确的是()A.a与b一定共线B.a与b一定不共线C.a与b一定都为0D.a与b中至少有一个为0解析:由平面向量基本定理知a与b一定不共线.答案:B2.在▱ABCD中,交于点M.若设=a,=b,则以下各选项中,与-a+b相等的向量有()A. B.C. D.解析:- a+b= (b-a)=.答案:D3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=e1+λe2(λ∈R)与b=-(e2-2e1)共线,则()A.λ=0B.λ=-1C.λ=-2D.λ=-解析:由已知得存在实数k使a=k b,即e1+λe2=-k(e2-2e1),于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.答案:D4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=()A. a+bB. a+bC. a+bD. a+b答案:D5.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线解析:由=λ+(1-λ),得=λ(),即=λ.又因为λ∈(1,2),所以点B在线段AM上.答案:B6.若AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则等于()A. a+bB. a+bC. a-bD.- a+b解析:设AD与BE交于点F,则a,b.由=0,得(a-b),所以=2=2()=a+b.答案:B7.设e1,e2为一组基底,a=-e1+2e2,b=e1-e2,c=3e1-2e2,以a,b为基底将c表示为c=p a+q b,则实数p,q 的值分别为.解析:c=p a+q b,即3e1-2e2=(-p e1+2p e2)+(q e1-q e2)=(q-p)e1+(2p-q)e2,∴答案:1,48.如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为.解析:由,得.设=n,所以+n=+n()=(1-n)=m.由n=,得m=1-n=.答案:9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,1),B(-1,2),若点C满足=α+β,其中,α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为.解析:由α+β=1,可知点C的轨迹是直线AB,通过直线的两点式求解直线AB的方程即可.答案:x+2y-3=010.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.解:设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M与B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而=2e1+3e2,∴由平面向量基本定理,得∴,∴AP∶PM=4∶1.★11.如图,在△ABC中,=a,=b,=c,=λa(0<λ<1),=μb(0<μ<1),试用a,b表示c.分析首先利用共线,假设=m=n,再根据向量减法的三角形法则,求出(用a,b,m,n,λ,μ表示),再借助解方程,从而得出用a,b表示c.解:∵共线,共线,∴假设=m=n,∴=m=m()=m(μb-a).∴=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb.①∴=n=n()=n(λa-b).∴=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b.②由①②,得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b.∵a与b不共线,∴解得代入①式,得c=(1-m)a+mμb=a+μ·b=[λ(1-μ)a+μ(1-λ)b].★12.如图,在△ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于点F.MH∥AF 交BC于点H,求证:.证明设=a,=b,则=a+b,=-+2+2=-a-b+2a+2b=a+b,=-=-b+=-b+a+2=-b+a+2b-b=a+b.综上,得=a+b.所以.。

第30讲平面向量的基本定理与坐标运算(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

(x－3，y＋2)，而1―M→N ＝1(－8,1)＝
2
2
－4，1 2
，所以
x－3＝－4， y＋2＝1，
2
解
x＝－1，得 y＝－3，
2
所以 P
－1，－3 2
.
(2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为 1)，
则 A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
【答案】4 3
【解析】 ∵ABCD 为平行四边形，∴A→B＋A→D＝A→C＝2A→O，又A→P＝3A→O，得A→B＋A→D＝4A→P已知A→B＋
2
3
A→D＝λA→P，故λ＝4. 3
6、已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)．
2 / 12
2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
(1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线？ (2)若―A→B ＝2a＋3b，―B→C ＝a＋mb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值．【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为 ka－b 与 a＋2b 共线，所以 2(k－2)－(－1)×5＝0，即 2k－4＋5＝0，得 k＝－1.
2m2
22n
0，因A→B，A→C不共线，据基本定理得1－ 1 －λ＝0 且1－λ＋λ＝0，消掉λ得
2m2
22n
m＋n＝2，故 1 ＋4＝1(m＋n)( 1 ＋4)＝1(5＋ n ＋4m)≥1(5＋4)＝9.
mn2
mn 2 m n 2
2
变式 4、（2019·安徽安庆一中质检）如图，已知平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是 K，L，

2021年高考数学7.2 平面向量基本定理及坐标表示

平面向量
高考第一轮复习第二节平面向量基本定理及坐标表示
1高考引航
2必备知识
3关键能力
高考引航
答案知识清单
必备知识
答案
基础训练
题型归纳题型一平面向量基本定理的应用
关键能力
点拨：用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.
答案
解析
题型二向量坐标的基本运算
答案
解析
点拨：向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行;
②若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标;
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
解析
题型三共线向量的坐标表示
解析
点拨：(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合.
(2)根据平行的条件建立方程求参数是解决这类题目的常用方法.
答案
解析
答案
方法突破
方法一利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题解析
方法二求向量中的取值范围、最值问题
解析
解析
方法三用坐标法解决平面向量问题
答案
解析
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2021年广东省高考数学总复习第26讲：平面向量基本定理及向量坐标运算

2021年广东省高考数学总复习第26讲：平面向量基本定理及向量坐标运算1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( D )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1－2e 2与－e 1＋2e 22．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的( A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.3．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE→，则向量EM →＝( C ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析：如图，∵EC→＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.4．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( B )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2解析：以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)， a ＝(－3,1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.5．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( C )A.π6B.π4 C.π3 D.π2解析：因为m ∥n ，所以sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，所以2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，因为A ∈(0，π)，所以⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.6．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE→＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( A )A.58B.14 C ．1D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.7．设向量a ＝(cos x ，－sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos x ，且a ＝t b ，t ≠0，则sin2x ＝( C )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：因为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos x ＝(－sin x ，cos x )，a ＝t b ，所以cos x cos x －(－sin x )(－sin x )＝0，即cos 2x －sin 2x ＝0，所以tan 2x ＝1，即tan x ＝±1，所以x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，则2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以sin2x ＝±1，故选C.8．已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝x ·AB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( B ) A.12 B.13 C ．2D ．3解析：由已知得M ，G ，N 三点共线， ∴AG→＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λxAB →＋(1－λ)yAC →. ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13·(AB →＋AC →)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3， ∴xy x ＋y ＝13. 9．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为(－2，－4)．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4 和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)． 10．(2021·模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则λ＝－1. 解析：设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12. (2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.12．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO→＝x ·BM →＋yBN →，求x ，y 的值．解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →，可知M ，B ，C 三点共线．如图，设BM→＝λBC →，则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →，所以λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4. (2)由BO→＝xBM →＋yBN →，得BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.13．已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( C )A ．2 B.52 C ．3 D ．4解析：∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系， OA→＝(1,0)，OB →＝(0，3)， OC→＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )． ∵tan30°＝3n m ＝33. ∴m ＝3n ，即mn ＝3.14．设向量OA→＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( C )A ．4B ．6C ．8D ．9解析：∵OA→＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)， ∴AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→＝λAC →，即(a －1,1)＝λ(－b －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝λ(－b －1)，1＝2λ，可得2a ＋b ＝1. ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝14，b ＝12时取等号，故1a ＋2b 的最小值为8，故选C.15．如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD→＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y 的值为－1.解析：如图，延长DC ，AB 交于点E ，因为∠DCA ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CEA .又∠ABC ＝90°，所以BA →＝－BE →. 因为BD→＝xBA →＋yBC →，所以BD→＝－xBE →＋yBC →. 因为C ，D ，E 三点共线，所以－x ＋y ＝1，即x －y ＝－1.16．矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP→＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是(1，2]．解析：设点P 在AB 上的射影为Q ，∠P AQ ＝θ，则AP→＝AQ →＋QP →，且|AQ→|＝cos θ，|QP →|＝sin θ. 又AQ→与AB →共线，QP →与AD →共线，故AQ →＝cos θ3AB →，QP →＝sin θ2AD →，从而AP →＝cos θ3AB →＋sin θ2AD →，故x ＝cos θ3，y ＝sin θ2，因此3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故3x ＋2y 的取值范围是(1，2]．。

高中数学第六章平面向量及其应用之平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精练)(必修第二册)(学生版)

6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精练)【题组一平面向量的基本定理】1．(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．(2020·北京高一期末)在下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =-，()25,10e =- C ．()13,5e =，()23,5e =-- D ．()12,3e =-，232,4e ⎛⎫=-⎪⎝⎭3．(多选)(2020·全国高一单元测试)如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )A ．λ1e +μ2e (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e +μ2e 的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ11e +μ12e 与λ21e +μ22e 共线，则有且只有一个实数λ，使得λ11e +μ12e =λ(λ21e +μ22e )D ．若实数λ，μ使得12λμ+=0e e ，则λ=μ=04．(2020·河南商丘市·高一期末)如图，在四边形ABCD 中，3AB DC =，E 为边BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=( )A ．16- B ．1 C ．76 D ．565．(2020·山西运城市·高一月考)如图，在ABC 中，32AC AD =，3PD BP =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为( )A ．89B ．34C ．1112D ．796．(2020·太原市·山西大附中高一月考)如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为A ．12B ．23C ．13D ．17.(2020·全国高一单元测试)已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设,AD a BE b ==，则BC 等于( )A ．4233a b +B ．2433a b + C ．2433a b -D ．2433a b -+8．(2020·全国高一单元测试)如图在梯形ABCD 中，AD //BC ，,,,OA a OB b OC c OD d ====，且E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则( )A．1()2EF a b c d=+++B．1()2EF a b c d=-+-C．1()2EF c d a b=+--D．1()2EF a b c d=+--9．(2021·江苏高一)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a=，AD b=，E为BF的中点，则AE=( ) A．4255a b+B．2455a b+C．4233a b+D．2433a b+10．(2020·全国高一课时练习)在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足12BE BC=，13DF DC=．若λ=+BD AEμAF，则实数λ＋μ的值为( )A．15-B．15C．75-D．7511．(2021·河南))已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC a CA b==，，AB c=，则①AD＝－b－12a；②BE＝a＋12b；③CF＝－12a＋12b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确的等式的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．412．(2020·全国高一单元测试)在ABC中，3AB=，2AC=，60BAC∠=︒，点P是ABC内一点(含边界)，若23AP AB ACλ=+，则AP的最大值为( )A．273B．83C．2193D．213313．(2020·陕西商洛市·高一期末)如图，在ABC中，D为AB的中点，2DE EC=，若BE x AB y AC=+，则x y-=______.14．(2020·山东临沂市·高一期末)如图，在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若2BC CD=，且34AE AB ACλ=+，则λ=___________.15．(2020·北京高一期末)已知在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为()0,0，()1,0，()2,1，若BC AD=，则点D的坐标为______.16．(2020·全国高一)如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且2BE CF=，设()AC xAE yAF x y R=+∈，，则x y+的最大值是______．【题组二加减数乘的坐标运算】1．(2020·苍南县树人中学高一期中)已知()1,1A，()1,1B--，则向量AB为( )A．()0,0B．()1,1C．()2,2--D．()2,22．(2021·江苏高一)已知点()3,6A ，()2,5B ，则向量AB 的坐标是( ) A ．()1,1B ．()1,1--C ．()5,11D ．()6,303．(2021·湖南)已知ABCD 中，()3,7AD -=，()4,3AB =，对角线AC 、BD 交于点O ，则OC 的坐标为( ).A ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭4．(2020·山西省古县第一中学高一期中)已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于( ) A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．(2021·湖南)已知a =(2，1)，b =(-3，4)，则a -b =( ) A ．(5，-3) B ．(-1，5)C ．(-3，5)D ．(-5，3)6．(2020·株洲市南方中学高一期末)已知点1,0A ，()3,2B ，向量()2,1AC =，则向量BC =( )A ．()0,1-B ．()1,1-C ．()1,0D ．()1,0-7．(2020·甘肃白银市·高一期末)设()2,3AB =，()1,4BC =-，则AC 等于( ) A ．()1,7-B ．()1,7C ．()1,7--D ．()1,7-8．(2020·桂阳县第二中学高一期中)已知()2,1a =-，()1,3b =，则23a b -+=( ) A ．()1,11--B ．()1,11-C ．()1,11-D ．()1,119．(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)已知点()0,1A ，()3,2B ，向量()4,3AC =--，则向量CB =( )． A ．()7,4--B ．()7,4 C ．()1,4-D ．()1,410．(2020·河北唐山市·开滦第一中学高一期末)若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于( )A ．()0,3-B ．()0,1C ．()1,2-D ．()2,3-11．(多选)(2020·湖北潜江市·高一期末)已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为( ) A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【题组三共线定理的坐标运算】1．(2020·新绛县第二中学高一月考)已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为( ) A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2．(2020·全国高一单元测试)设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是( ) A ．-4B ．2C ．4D ．83．(2021·湖南)已知()4,2a =-，(),5b k =，且//a b ，那么k =( ) A ．10B ．5C ．52-D ．-104．(2020·全国高一)已知向量()1,2a =，()2,b m =-，且()//a b a +，则m 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-5．(2021·广西南宁三中高一期中)已知向量(),12OA k =，()4,5OB =，(),10OC k =-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．23-B ．43C ．12D ．136．(2020·合肥市第六中学高一期末)已知向量()1,2a =，()3,3b =-，若ma nb +与3a b -共线，则m n=( ) A ．13B ．3C ．13-D ．3-7．(2020·武汉市第三中学高一月考)若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是( ) A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--8．(2020·山西忻州市·忻州一中高一期中)已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3,221⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9．(2020·浙江高一期末)已知(5,4)a =，(3,2)b =，则与23a b -平行的单位向量为( )A ．525,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．525,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或525,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(1,2)或(1,2)--D ．(1,2)10．(2020·北京高一期末)如图，在ABC 中，13AN NC =.若AN AC λ=，则λ的值为______，P 是BN 上的一点，若13AP AB mAC =+，则m 的值为______.11．(2020·浙江高一期末)已知点(2,3),(5,4),(7,10)A B C .若()AP AB AC R λλ=+∈， (1)当点P 在第一、三象限角平分线上时，求λ的值； (2)当点,,,A B C P 为一平行四边形的四个顶点时，求λ的值.12．(2020·广东韶关市·高一期末)设非零向量a ，b 不共线. (1)若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；(2)若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线.【题组四向量与三角函数的综合运用】1．(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ .2．(2020·江西赣州市·高一期末)已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.3．(2020·云南保山市·高一其他模拟)已知平面向量()2sin ,3a θ=-，()2cos ,1b θ=，0θπ<<． (Ⅰ)若a b ⊥，求sin 2θ的值；(Ⅱ)若//a b ，求θ的值．4．(2020·定边县第四中学高一期末)已知向量(sin ,cos 2sin )AB θθθ=-，(1,2)CD =. (1)已知(3,4)C ，求D 点坐标； (2)若//C B D A ，求tan θ的值【题组五奔驰定理解三角形面积】1．(2020·江西)在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为( ) A ．14B ．13C ．23D ．162．(2020·河北)已知ABC 所在的平面内一点P (点P 与点A ，B ，C 不重合)，且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:33．(2021·山东)若点P 是ΔABC 所在平面内的任意一点,满足230PA PB PC ++=,则ΔPBC 与ΔPAC 的面积之比为A．12B．13C．14D．164．(2021·全国)已知ABC所在平面内一点P，满足12PA PB PC AB++=，则ABP△与ABC的面积的比值为( )A．16B．14C．13D．125．(2021·辽宁沈阳市·高一期末)已知点P在正ABC∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB++=，则ABP∆的面积与ABC∆的面积之比为( )A．1:1B．1:2C．1:3D．1:46．(2021·广东潮州)如图，P为ABC∆内一点，且满足2155AP AB AC→=→+→.则PBC∆的面积与ABC∆的面积之比为( ).A．12B．23C．35D．257．(2021·广东湛江)已知点P是ABC∆所在平面内一点，若3243AP BC BA=-，则PBC∆与ABC∆的面积比为( )A．31B．21C．32D．438(2021·湖北)已知P是ABC∆所在平面内一点，若BABCAP3243-=，则PBC∆与ABC∆的面积的比为( )A．31B．21C．32D．439．(2021·河南)已知点O为ABC内一点，且满足40OA OB OC++=，设OBC与ABC的面积分别为12,S S ，则12S S =( ) A ．18 B．16 C ．14 D ．1210．(2021·广东梅州)已知点M 是ABC 所在平面内一点，满足2134AM AB AC =+，则ABM ∆与BCM ∆的面积之比为( )A ．38 B ．83 C ．3 D ．1311．(2021·宝鸡中学)已知O 为ABC 所在平面内的一点，且满足OA OB CO +=，则OBC 的面积与ABC 的面积的比值为( )A ．13B ．12C ．23D ．3412(2021·辽宁 )已知O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为13，则λ的值为 ( ) A ．32 B ．2 C ．13 D ．12 13．(2021·北京)如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13 C ．23 D ．16 14(2021·河南)如图，设P 为ABC ∆内一点，且2155AP AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于( )．，A ．15B ．25 C ．35 D ．45 15．(2020·全国高三专题练习)设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为( )A ．3B ．13C ．2D ．1216．设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为( ) A ．3 B ．13 C ．2 D ．12 16．(2019·瓦房店市实验高级中学高一月考)设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有2OA OB OC ++=0，则AOC △的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．13。

2021年高考数学 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算练习

2021年高考数学 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·广州模拟)若向量等于( )A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)【解析】选A.因为=(4,7),所以=(-4,-7).又=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),故=(-2,-4).2.已知向量a,b满足|a|=,b=(2,4),则“a=(-1,-2)”是“a∥b”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】先看充分性,即a=(-1,-2)能否推出a∥b,再看必要性,即“a∥b”能否得出a=(-1,-2)即可.【解析】选A.若a=(-1,-2),则b=-2a,显然a∥b成立,故充分条件具备.反之,若a∥b,则b=λa,设a=(x,y),则必有所以y=2x,①又x2+y2=5,②由①②得得不出a=(-1,-2),故必要性不具备.因而是充分不必要条件.【加固训练】设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a∥b,得8-(x-1)(x+1)=0,即x2-9=0.解得x=±3.所以x=3时,a∥b,而a∥b时,x还可以等于-3.故x=3是a∥b的充分不必要条件.3.(xx·曲靖模拟)若a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则m=()A.-B.C.2D.-2【解析】选A.因为2a+b=(-1,4),a-mb=(1+3m,2),又(2a+b)∥(a-mb),故-1×2-4(1+3m)=0,即m=-.4.(xx·兰州模拟)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,则λ+μ的值为()111A. B. C. D.1234【解题提示】利用平面向量基本定理,且若A,B,C三点共线,则(λ+μ=1)求解.【解析】选A.因为M为BC上任意一点,所以设(x+y=1).又N为AM中点.【误区警示】本题易出现M为边BC上任意一点这一条件不会用,不会转化,从而误解.5.△ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若向量m=(a+c,b),n=(b-a,c-a),且m∥n,则角C的大小为()ππππ2A. B. C. D.6323【解析】选B.由m∥n知(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,又cos C=0<C<π,故C=.6.(xx·芜湖模拟)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,S为△ABC的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,则∠C=()ππππ3A. B. C. D.4324【解题提示】根据向量平行的坐标公式,建立条件关系,利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论. 【解析】选A.因为向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,所以a2+b2-c2-4S=0,即4S=a2+b2-c2,则4×absin C=a2+b2-c2,即sin C==cos C,则tan C=1,解得∠C=.故选A.7. (xx·临沂模拟)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D,若,则m+n的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,0)【解析】选D.因为线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,则因为D在圆外,所以t<-1,又D,A,B共线,故存在λ,μ,使得且λ+μ=1,又所以所以m+n=,所以m+n∈(-1,0).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx·枣庄模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足则=.【解题提示】利用已知条件转化为向量的关系,确定点C 位置后可解.【解析】由已知得,即即如图所示:故C 为BA 的靠A 点的三等分点,因而答案:【一题多解】本题还可以用以下方法求解:答案:9.已知向量a=(x,2),b=(4,y),c=(x,y)(x>0,y>0),若a ∥b,则|c|的最小值为 .【解析】a ∥b ⇒xy=8,所以|c|= =4(当且仅当x=y=2时取等号).答案:410.已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax 与线段AB 交于C,且,则实数a 等于 .【解题提示】设出点C 坐标,利用得C 点坐标后,代入直线方程可解a.【解析】设C(x,y),则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y).因为,所以所以C(3,3).又C 点在直线y=ax 上,故3=a,得a=2.答案:2(20分钟 40分)1.(5分)(xx ·临汾模拟)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C 三点不能构成三角形,则实数k 应满足的条件是( )A.k=-2B.k=C.k=1D.k=-1【解析】选C.若点A,B,C 不能构成三角形,则向量共线,因为=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k=0,解得k=1.2.(5分)(xx ·徐州模拟)设=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A,B,C 三点共线,则的最小值为 .【解析】AB OB OA (a 1,1),AC OC OA (b 1,2).=-=-=-=--因为A,B,C 三点共线,所以.所以2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.所以b 4a b 4a 448. ,a b a b a b =++≥+==当且仅当即b=,a=时取等号.所以的最小值是8.答案:83.(5分)(xx·牡丹江模拟)如图,在△ABC中, ,P是BN上的一点,若,则实数m的值为.【解析】由条件知答案:4.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t),(1)若a∥,且||=,求向量的坐标.(2)若a∥,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.【解析】(1)因为=(cosθ-1,t),又a∥,所以2t-cosθ+1=0.所以cosθ-1=2t.①又因为||=,所以(cosθ-1) 2+t2=5.②由①②得,5t2=5,所以t2=1.所以t=±1.当t=1时,cosθ=3(舍去),当t=-1时,cosθ=-1,所以B(-1,-1),所以=(-1,-1).(2)由(1)可知t=,所以y=cos2θ-cosθ+222min 531cos cos 424561531(cos cos )(cos ),45445531cos ,y .55=θ-θ+=θ-θ+=θ--θ==-所以当时【加固训练】已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc 的实数m,n.(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).(2)因为a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),(3)因为a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),且(a+kc)∥(2b-a),所以2(3+4k)=-5(2+k),解得k=5.(13分)(能力挑战题)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.(1)若O 是坐标原点,且四边形OACB 是平行四边形,试求a,b 的值.(2)若A,B,C 三点共线,试求a+b 的最小值.【解题提示】(1)由向量相等列方程组求a,b 的值.(2)把A,B,C 三点共线转化为向量共线,由向量共线列关于a,b 的等量关系式,再根据基本不等式求a+b 的取值范围.【解析】(1)因为四边形OACB 是平行四边形,所以,即(a,0)=(2,2-b),故a=2,b=2.(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),由A,B,C 三点共线,得∥,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,因为a>0,b>0,所以2(a+b)=ab ≤,即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b ≥8或a+b ≤0.因为a>0,b>0,所以a+b ≥8,即a+b 的最小值是8.当且仅当a=b=4时,“=”成立.【加固训练】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且(t ∈R),问:(1)t 为何值时,点P 在x 轴上?点P 在二、四象限角平分线上?(2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为O(0,0),A(1,2),B(4,5),所以=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,只需2+3t=0,t=-;若P在第二、四象限角平分线上,则1+3t=-(2+3t),t=-.(2)若四边形OABP是平行四边形,则即此方程组无解.所以四边形OABP不可能为平行四边形.izU29759 743F 琿21106 5272 割24232 5EA8 庨3{H_oj1+o。

6.3.2 第二课时平面向量的正交分解及坐标表示(解析版)高一数学同步备课系列

6.3.2第二课时平面向量的正交分解及坐标表示【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】一、单选题1．下列各组向量：①()112e =-，，()257e =，①()135e =，，()2610e =，①()123e =-，，21324e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】A【解析】 ()12，-与()57，不共线；()()235610=，，；()1323424⎛⎫-= ⎪⎝⎭，，，选A. 2．已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出各个点的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得()PA PB PC ⋅+；利用平方为非负数的特性求得最小值．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系设(,)P x y ，()()(),,0,,0,A B a C a - 则()()(),3,,,,PA x a y PB a x y PC a x y =--=---=--所以()PA PB PC ⋅+()()(),,x y a x y a x y =--⋅---+--⎡⎤⎣⎦()()2,2x y x y =--⋅--2222x y =+-2223222x y a⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭ 所以最小值为232a -所以选B【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题．3．如图所示，若向量1e 、2e 是一组单位正交向量，则向量2a b +在平面直角坐标系中的坐标为( )A ．（3，4）B ．（2，4）C ．（3，4）或（4，3）D ．（4，2）或（2，4）【答案】A【分析】以向量1e 、2e 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量2a =（2，1）且b =（1，3），结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2a b +在平面直角坐标系中的坐标．【详解】以向量1e 、2e 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系①e 1＝（1，0），e 2＝（0，1）①2a =（2，1），得①b =（1，3），①2a b +=（2，1）+（1，3）＝（3，4）即2a b +在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）故选A ．【点睛】本题给出垂直的单位向量，求第三个向量在这组向量作为基底下的坐标，着重考查了平面向量的正交分解及坐标表示的知识，属于基础题．4．若,αβ是一组基底,向量(,)x y x y R γαβ=+∈,则称(,)x y 为向量γ在基底,αβ下的坐标.现已知向量a在基底()1,1,)2(,1p q =-=下的坐标为(2,2)-,则a 在另一组基底()1,1,(12),m n =-=下的坐标为（）A ．(2,0)B ．(0,2)-C ．(2,0)-D ．(0,2)【答案】D【分析】利用向量基底的定义及向量的坐标运算求出向量a 在基底,p q 下的坐标，设(),2a xm yn x y x y =+=-++，列出方程求出，求出,x y ，进而求出结果．【详解】①a 在基底()1,1,)2(,1p q =-=下的坐标为(2,2)-,①222)4(,a p q =-+=.令(),2a xm yn x y x y =+=-++,(),x y R ∈，则224x y x y -+=⎧⎨+=⎩，，解得02.x y =⎧⎨=⎩， ① a 在基底()1,1,(12),m n =-=下的坐标为(0,2)．故选：D.【点睛】本题考查平面向量基本定理和向量的坐标运算，理解题中所给的定义并解决新问题．5．若向量()5,12AB =-，则与其平行的单位向量为（）A ．512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．512,1313⎛⎫±- ⎪⎝⎭D ．512,1313⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用与已知向量()5,12AB =-平行的单位向量为AB AB ±，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量()5,12AB =-，可得2513AB ==，所以与已知向量()5,12AB =-平行的单位向量为512(,)1313AB AB±=±-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行向量的该概念，以及单位向量的求解，其中解答中熟记与向量a 平行的单位向量为a a±是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6．已知向量=(-3,2 ) ,=(x, -4) , 若//，则x=（） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】本题考查向量共线，向量的坐标运算.设1122(,),(,),a x y b x y ==则1221//0;a b x y x y ⇔-=由条件得：(3)(4)20,x -⨯--= 6.x ∴=故选C 7．下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．(0,0)a =，(2,3)b =B ．(1,0)a =-，(2,0)b =-C ．(3,6)a =，(2,3)b =D ．(1,2)a =-，(2,4)b =-【答案】C【解析】分析：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，分别判断选项即可.详解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A 中一个向量是零向量，两个向量共线；B 中的两个向量是12a b =，两个向量共线； C 不共线；D 中的两个向量是12a b =，两个向量共线. 故选：C.点睛：平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这一条件.8．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量,且(2,3),(4,2)A B ,则AB 可以表示为( ) A ．23i j +B ．42i j +C ．2i j -D ．2i j -+ 【答案】C【分析】利用AB OB OA =-，由(2,3),(4,2)A B ,将,OB OA 用,i j 表示，即可求解.【详解】记O 为坐标原点,则23OA i j =+,42OB i j =+,所以2AB OB OA i j =-=-.故选:C.【点睛】本题考查向量正交分解，考查向量坐标与基底关系，以及向量坐标与起点坐标、终点坐标关系，属于基础题.9．若向量(,1),(4,)a x b x ==，当a 与b 共线且方向相同时，x 等于( )A ．2±B ．2-C ．2D ．0【答案】C【解析】分析：由向量的共线结论即可得，又因为共线且方向相同，故两向量之间应存在一个正的倍数关系. 详解：由题可得：因为a 与b 共线，所以242x x =⇒=±，又因为方向相同，所以x=2选C.点睛：考查向量的共线定理和方向相同的关系，属于基础题.二、多选题10．已知()3,1a =-，()1,2b =-，则正确的有（）A ．5a b ⋅=B ．a 的单位向量是1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．4a b π<⋅>= D ．a 与b 平行【答案】ABC【分析】根据向量数量积的坐标运算可判断A ；根据单位向量和数乘向量的概念可判断B ；根据向量夹角公式可判断C ；根据向量平行的坐标表示可判断D.【详解】()3,1a =-，()1,2b =-，∴()()31125a b ⋅=⨯+-⨯-=，故A 正确； (23a =+=a 的单位向量是，即31010,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；()22125b =+-=，由cos 25a ba b a b ⋅<⋅>===⋅ [0,],4a b a b ππ<⋅>∈∴<⋅>=，故C 正确；3112-≠-，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了向量相关概念及运算的坐标表示，属于基础题.三、填空题11．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．【答案】{},3m m R m ∈≠-. 【解析】【分析】由题意知，a 与b 为一组基底，则这两个向量不共线，于此列出不等式求出实数m 的取值范围.【详解】 c 可以唯一表示成c a b λμ=+，a ∴与b 不共线，233m m ∴-≠，3m ∴≠-，故答案为：{},3m m R m ∈≠-. 【点睛】本题考查平面向量基底的概念，考查平面向量的坐标运算，基底本质上就是一组不共线的向量，考查化归与转化思想，属于基础题。

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2021年高中数学2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理同步训练新人教B 版必修知识点一：平面向量基本定理 1．下列关于基底的说法正确的是①平面内的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A ．①B ．②C ．③D ．②③2．O 为ABCD 的对角线交点，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于A.AO →B.BO →C.CO →D.DO →3．已知e 1、e 2是同一平面内不共线的任意两个向量，下列说法正确的有 ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；③对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ④若λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ2e 1＋μ2e 2＝λ(λ1e 1＋μ1e 2)．A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③4．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于 A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b 5．已知向量e 1、e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y)e 1＋(2x －3y)e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于__________．6．四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.知识点二：直线的向量参数方程式7．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，若OA →＝3e 1，OB →＝e 2，则OD →等于A ．e 1＋2e 2B ．2e 1＋e 2 C.23e 1＋e 2 D ．e 1＋23e 28．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠1)，O 为平面上任一点，则OP →用OA →，OB →表示为__________．能力点一：向量的分解9．在ABCD 中，AC →与BD →交于点M.若设AB →＝a ，AD →＝b ，则以下各选项中，与－12a ＋12b相等的向量有A.MA →B. MB →C.MC →D.MD →10．△ABC 中，AE →＝15AB →，EF∥BC 交AC 于F 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量BF →为__________．11．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________.12．如图所示，已知四边形ABCD 为矩形，且AD ＝2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，EA →＝e 1，EF →＝e 2，选择{e 1，e 2}作为基底，用基底表示向量AF →，AB →，AD →，BD →.13．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b .试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.能力点二：平面向量基本定理的综合应用14．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系为A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定15．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y)可以是A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)16．如图，已知△ABC 中，M ，N ，P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，则下列正确的是 →＝12e 1＋12e 2，CM →＝14e 1＋34e 2B.AB →＝e 1－e 2，CP →＝14e 1＋34e 2C.CP →＝34e 1＋14e 2，AM →＝14(e 1＋e 2)D.AM →＝14(e 1－e 2)，AB →＝e 1＋e 217．设向量e 1、e 2是平面向量的一组基底，则a ＝e 1＋λe 2与b ＝－e 1＋2e 2共线时，λ＝________.18．已知△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.19．设e 1、e 2为两个不共线向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试以b 、c 为基底来表示向量a.20．如图所示，点L 、M 、N 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，ANAB ＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0，求证：l ＝m ＝n.答案与解析基础巩固1．C2．B 由BA →＋BC →＝BD →得6e 2－4e 1＝BD →，即2(3e 2－2e 1)＝BD →＝2BO →， ∴3e 2－2e 1＝BO →.3．A ④中，如果λ1e 1＋μ1e 2＝0，则不成立．4．B 设AD 与BE 交点为F ，则AF →＝23a ，BF →＝23b ，由AB →＋BF →＋FA →＝0得AB →＝23(a －b )，∴BC →＝2BD →＝2(AD →－AB →)＝23a ＋43b .5．3 ∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3.∴x－y ＝3.6．解：BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝13BC →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .又∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .7．D 如图，OD →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋23OB →＝e 1＋23e 2.8.OP →＝OA →＋λOB →1＋λ能力提升9．D10．－a ＋15b 如图，BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋15AC →＝－a ＋15b .11.43 延长AF ，DC 交于点H ， ∵E、F 为中点，∴A B ＝HC ＝CD ，AF ＝FH. ∴AC →＝AH →＋HC → ＝2AF →＋2CE → ＝2AF →＋2(AE →－AC →)． ∴AC →＝23AF →＋23AE →，即λ＝23，μ＝23.∴λ＋μ＝43.12．解：∵e 1＝EA →，e 2＝EF →， ∴AF →＝EF →－EA →＝e 2－e 1.由已知AD ＝2AB ＝DE ，且F 为DE 的中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形． ∴AB →＝FD →＝EF →＝e 2，AD →＝ED →－EA →＝2EF →－EA →＝2e 2－e 1，BD →＝AF →＝e 2－e 1.13．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →.∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .14．B a ＋b ＝(e 1－2e 2)＋(2e 1＋e 2)＝3e 1－e 2. 又c ＝6e 1－2e 2，∴a ＋b ＝12c.∴a ＋b 与c 共线．15．C16．A N 为AB 中点，即得CN →＝12(CB →＋CA →)＝12(e 1＋e 2)，而M 又为AN 中点，CM →＝12(CA →＋CN →)＝12(e 2＋12e 1＋12e 2)＝14e 1＋34e 2，∴A 正确．B 中应是CP →＝34e 1＋14e 2，C 中AM →＝14(e 1－e 2)，D 中AB →＝e 1－e 2.17．－2 若a 与b 共线，则a ＝m b ，即e 1＋λe 2＝m(－e 1＋2e 2)，又e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－m ，λ＝2m.∴λ＝－2. 18.2319．解：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2. ∵e 1，e 2不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727.∴a ＝－118b ＋727c .拓展探究20．证明：设BC →＝a ，CA →＝b ，以a ，b 为基底．由已知，得BL →＝l a ，CM →＝m b ， ∵AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ， ∴AN →＝nAB →＝－n a －n b .∴AL →＝AB →＋BL →＝－b －a ＋l a ＝(l －1)a －b ，① BM →＝BC →＋CM →＝a ＋m b ，②CN →＝CA →＋AN →＝b ＋(－n a －n b )＝－n a ＋(1－n)b .③将①②③代入AL →＋BM →＋CN →＝0，得(l －1)a －b ＋a ＋m b －n a ＋(1－n)b ＝0，即(l －n)a ＋(m －n)b ＝0，又∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧l －n ＝0，m －n ＝0.∴l＝m ＝n.。