新教材高中数学一元二次函数方程和不等式第1课时不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修1

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新教材高中数学第2章二次函数与一元二次方程不等式第1课时一元二次不等式pptx课件人教A版必修第一册

一解不含参数的一元二次不等式
典例剖析
1.解:下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)≤0;
(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.
结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略)知,原不等式的解集为
{x|x<-1,或x>6}.
方程没有实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数
的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
学以致用
1.解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-2x+3>0;
(3)-3x2+5x-2≥0.
解:(1)∵方程 2x2-3x-2=0 的判别式 Δ>0,且方程 2x2-3x-2=0 的
规律总结
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:解含参数的一元二次不等式时,需从三个方面讨论:(1)
二次项系数a,(2)判别式Δ,(3)相应方程根的大小.
学以致用
2.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0(a>0).

解:因为 a>0,所以原不等式可化为(x-2)(x-)>0.

由=2,可得 a=1.所以当 0<a<1 时,>2,

2
即 x - x+ >0,解得 x< 或 x> ,

2
所以不等式 cx +bx+a<0 的解集为{x < ,或 x>}.

新教材高中数学2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)一元二次不等式及其解法课件人教版必修第一册

2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

＋1＞0的解集为R.]
B.x13＜x＜1

C．∅
D．R
3．不等式x2－2x－5>2x的解集
{x|x>5 或 x<－1} [由 x2－2x－
是________．
5>2x，得 x2－4x－5>0，因为 x2－4x
－5＝0 的两根为－1,5，
故 x2－4x－5>0 的解集为{x|x<－
为( )
A.xx＞3或x＜－12

－12.]
B.x－12≤x≤3

C.xx≥3或x≤－12

D．R
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4
为( )
－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x
A.x－1＜x＜13

.

含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ [解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0， ∵1a<1，∴x<1a或x>1.

2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版

知识点
填写下表：
a
b
1
1
2
8
1 4
1
4
16Biblioteka 22……
a＋b ab 2
ab与a＋2 b的大小关系
问题：(1)观察 ab与a＋2 b的大小关系，从中你发现了什么结论？ (2)你能给出它的证明吗？
知识点基本不等式
(1)基本不等式：如果 a>0，b>0，那么 ab_≤_a＋2 b，当且仅当_a_＝__b
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式第1课时基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．
01
必备知识·情境导学探新知
4．比较大小：xx2＋2＋21________2．(填“>” “<” “≥”或“≤”)
≥
[
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥2
．
当
且
仅
当
x2＋1＝ x21＋1，即 x＝0 时取“＝”．]
5．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是______．(填序号) ①a＋2 b≥ ab；②a－b≥2 ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．
对基本不等式的准确掌握要抓住 2 个方面 (1)定理成立的条件是 a，b 都是正实数． (2)“当且仅当”的含义：当 a＝b 时， ab≤a＋2 b的等号成立，即 a＝b⇒a＋2 b＝ ab；仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab的等号成立，即a＋2 b ＝ ab⇒a＝b．

新教材高中数学第二章等式性质与不等式性质教案新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据000a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧ 如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？(2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b a >基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( )(2)若20x ＝，则0x ≥.( )(3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( )[解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2.(2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立．(3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x x m -=-．因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥，即(15)1102xx -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x x x <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二比较实数的大小例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+===. ∵a ，b0>，20≥，∴0≥≥方法二(作商法)===11==+≥.∵0>0>+≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+，2a b =++∴222()()a b a bab +--=. ∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.又0+>0>+≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()a a b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小．[解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+ 231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－，而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤，所以32331x x x ≤-+.第2课时不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性)性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性)推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性)性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性)性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性)思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )(3)设a ，b R ∈，且a b >，则33a b >.( )(4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否00a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误．2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b d ->-B ．ac bd >C ．a c b d >＋＋D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>[解析] 由10b -<<，可得21b b <<，又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -；(2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ；(3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a b c >>>，那么c a ______c b . [解析] (1)∵cd ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <.(3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a >，即11a b <.∵0c >，∴c c a b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b D ．22ac bc > [分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确． [归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b 时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b <，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定．题型二利用不等式的性质证明不等式例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明] 因为a b c >>，所以c b ->-.所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->，所以10b c >-.所以1110a b b c c a ++>---. [归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e e a c b d --. [证明] 因为0c d <<，所以0c d ->->.又因为0a b >>，所以0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--. 又因为0e <，所以22>()()e e a c b d --. 题型三利用不等式的性质求范围例3 已知14x -<<,23y <<.(1)求x y -的取值范围．(2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<，所以32y -<-<-，所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<，所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与m n的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以 10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，a b的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143a b<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋，故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋，故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。

高考数学总复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教案文(含解析)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0，解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a 0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，02a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

人教版高中数学必修1《二次函数与一元二次方程、不等式》第1课时课件

题型三 “三个二次”之间对应关系的应用【学透用活】
“三个二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式．
()
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0. ( )
(3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点．
()
(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ；当 a＝1 时，不等式的解集为{1}；当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .

第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理20190627338_最新修正版

第一节不等式的性质与一元二次不等式［考纲传真］1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式实际背景2会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .4.会解一元二次不等式，对给定的一兀次不等式，会设计求解的程序框图.知识全通关两个实数比较大小的方法2 .不等式的性质加法法则：a >b , c >d ? a + c >b + d ；（单向性）可乘性：a >b, c >0? ac >bc ;（单向性）a >b ,c <0? ac <bc ；（单向性）b >1? a > b a € R, b > 0ab = 1? a = b a € R, b > 0av 1? a v b a € R, b > 0a作商法乘法法则: a >b >0, 乘方法则: a >b >0? c >d >0? ac >bd ；（单向性） a n>b n（ n A2, n € ";（单向性）（8） n A2, n € N）；（单向性）元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系开方法则: a >b >0?A >0 A <0.3.通过函数图象了解一兀（1）a —b > 0?作差法a — b = 0? a = b a, a , b€ Rb € R a — b v 0? a v b a , b € R对称性: a >b ? b <a ；（双向性）传递性: a >b, b >c ? a >c ；（单向性）可加性: a >b ? a +c >b + c ;（双向性）有关倒数的性质a> b, ab>0? 1-< b.a ba>b> 0,0 <c< d?简单的分式不等式f x------ >0?g xf xg x >0? g x > 0, 丰0.1.有关分数的性质若a> b> 0, rm> 0,则b b+ m —< ---- a a+ m b b- ma> a-m b- m>0)；a a+ mb> b T ma< 冷b- m> 0).(思考辨析)判断下列结论的正误.(1)a> b? ac2>bc2.⑵ a>b>0, c>d>0? a>b.d c［基础自测］(正确的打“2”(x i , X2)，则必有，错误的打“ X”)⑶若不等式ax2+ bx+ c<0的解集为2⑷ 若方程ax + bx + c= 0( a* 0)没有实数根，则不等式a>0.()2ax + bx+ c>0的解集为R.［答案］(1) X (2) V (3) V (4) X2.（教材改编）下列四个结论，正确的是（） ①a >b , c <d ? a — c >b — d ;③ a >b >0? ④ a >b >0?D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知1 3②不正确；因为函数 y = x 是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0,所所以④不正确.] （教材改编）设a , b , c € R 且a >b ,则（）f 3 I 3 D. a > b［取 a = 1, b = — 2, c =— 1，排除 A, B, C,故选 D.］（教材改编）不等式（x + 1）（ x + 2） < 0的解集为（）1.若 a > b > 0, c < d < 0，则一定有（）a b A.d > ca b D.c < d1 1 1 1B ［由 c <d <0 得 1< 1<0，则—1> —c > o 」②a >b >0， c <d <0? ac >bd ；A.①② B .②③ C ①④ D.①③ac <bd ,故A. ac > bc1 1 B.a < bC.A. {x | — 2 < x <— 1} B .{x | — 1< x < 2}C. {x | x <— 2 或 x > 1}D. {x | x <— 1 或 x > 2}［方程(x + 1)( x + 2) = 0的两根为x =— 2或x =— 1，则不等式(x + 1)( x + 2) < 0的解集为｛x |—2< x <— 1｝，故选 A.] 不等式x 2+ax + 4W0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 _____________ .2 2）[由题意知 A = a — 4 >0,解得 a 》4 或 a < — 4.]考点全面'方法简沽I 题型1|不等式的性质及应用-d >-£••• a y >0,则() 1 A. x — •->0(—n, 2 n)[设 3a — 3 = a — 3 ) + n ( a + 3 )，则从而3 a —卩=2( a —卩)+ ( a +卩), 又一n< 2( a — 3 ) <n,0< a +3<n,—n< 2( a — 3 ) + ( a + 3 ) < 2 n .]［规律方法］利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法验证；二是利用特殊值法排除错误答案2比较大小常用的方法①作差商法：作差商？变形？判断,②构造函数法：禾U 用函数的单调性比较大小，，③中间量法：利用中间量法比较两式大小, 般选取0或1作为中间量.3由a <f X , y 01 C. 2<0D. In x + In y >0C ［函数X1y = 2在(0,+s)上为减函数，.••当 x >y >0 时,1 <2X1，即2 — 1 2 V0, 故C 正确；函数 y = -在 (0,+s)上为减函数，由x >y >0? X1 1_V_? X y■X -严，故A 错误；函数y =sin X 在(0,+s)上不单调，当 x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误;x >y >0? xy >^^ln( xy )>0 ? / lnx +In y >0，故 D 错误.]3 .若 a = 20.6, b = log n 3, c = log 2 sin A. a >b > cB. b >a > cC. c >a > bD. b >c >aA [因为 a = 20.6> 20= 1,又 log 1 < log 2 nn 3< log n n,所以 0b >c .故选A.]4.已知角a 7t,卩满足一二-< a —卩< —,0< a + 3 <n ，贝U 3 a —卩的范围是m + n = 3,rn= 2, n — m =— 1,解得 n = 1,1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法:是直接使用不等式的性质逐个当a = 0时，解集为{X |X> 1};解决，即设 F X , y = mf X , y + ng x , y ，用恒等变形求得 m n ,再利用不等式的性质求得F x ,y 的取值范围.I 麵型2|?考法1不含参数的一元二次不等式【例1】(1)不等式2x 2— X — 3>0的解集为⑵ 不等式—X 2— 3X + 4>0的解集为 _________ 3亠(1) X x >2或X <— 1元二次不等式的解法.(用区间表示) ⑵(一4,1) [(1)方程 2x 2— X — 3 = 0 的两根为 X 1=— 1, X 2 =3 3、2，则不等式2X 2— X — 3>0的解集为X x >2或X <— 1⑵ 由一X 2— 3x + 4>0得X 2+ 3X — 4<0,解得一4<X <1,所以不等式一X 2— 3x + 4>0的解集为(-4,1).]?考法2含参数的一元二次不等式一一 2【例2】(1)解关于X 的不等式：X — (a + 1)x + a <0. ［解］原不等式可化为(X — a )( X — 1) < 0, 当a > 1时，原不等式的解集为(1 , a )；当a = 1时，原不等式的解集为？当a < 1时，原不等式的解集为(a, 1). ⑵解关于X 的不等式：ax —(a + 1)x + 1 <0. ［解］若a = 0，原不等式等价于—X + 1< 0, 解得X > 1.若a < 0,原不等式等价于 1X — -(X —1) >0, a解得X < a 或x > 1.a若a > 0,原不等式等价于1X — a (X —1) < 0.①当 a = 1 时,X — 1 (X — 1) < 0 无解;②当 a > 1 时, 1 1X — - (X — 1) < 0，得-< X <1； a a ③当 0 < a < 1 1时，a >1,1 解X —-a1 (X — 1) < 0,得 1 <X <-.a 综上所述，当 a <0时，解集为x < 一或 x >1[规律方法]1.解一元二次不等式的步骤: 1使一端为0且把二次项系数化为正数;2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法; 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤:一次不等式或二次项系数为正的形式;3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.a >0的解集是()0< a v 1 时，解集为1x 1< X < aa = 1 时, 解集为？;a > 1 时, 解集为x 1-< x < 1a1二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为2判断方程的根的个数，讨论判别式A 与0的关系;[®KES 习：(1)已知不等式ax 2— bx — 1>0的解集是x | - 1<x <-3，则不等式X 2— bx —A. {x |2<x <3}B. {x | x <2 或 x >3}C. x | 1<x <1'32D.1 X x <3或x >2[•••不等式ax 2— bx — 1>0的解集是x |1 1一一 <x < —••• ax 2— bx — 1 = 0 的解是 X 1 = — 2和 X 2= — 3,且a <0,2 3a 1 1 ——X 23aa = 一6, 解得b = 5.则不等式x 2— bx — a >0即为 2X — 5x + 6>0,解得 X <2 或 X >3.］ (2)解不等式 X + ax + 1< 0(a € F).A = a 2— 4.①当 A = a 2—4w0,即一2w a w2时，原不等式无解.②当 2 2 A = a — 4 > 0，即a > 2或a <— 2时，方程x + ax + 1 = 0的两X 1 =—a +寸 a 2— 4—a —J a 2— 4 x2= —2 —则原不等式的解集为—a+^a 2— 42综上所述，当—2W a<2时，原不等式无解.成立的条件是2 ax 2 + bx + c <0 aK 恒成立的条件是[:①1 b -4ac <0,当a >2或 a <— 2时，原不等式的解集为L—a -寸a 2—4—a r/ a 2+4 < x < 2【例3】 I 題型3|已知函数 f (x ) = mx — mx- 1.(1)若对于 x € R, f (x ) < 0恒成立，求实数 m 的取值范围;(2)若对于 x € ［1,3］ , f (x ) < 5 — m 恒成立，求实数 m 的取值范围.当m= 0时，f (x ) =— 1 < 0恒成立.m< 0,当 m#0 时，贝U 2 即一4< m< 0.A = m + 4m< 0,综上，—4< me 0,故m 的取值范围是(—4,0].⑵ 不等式 f (x ) <5— m 即(x 2— x + 1)m< 6,26 6x —x +1>0, •贰x —石对于x € ［1,3］恒成立，只需求x —石的最小值,6记 g (x ) = x 2—x1,x € [1,3],21 23记 h (x ) = x — x + 1 = x — 2 +h (x )在x € ［1,3］上为增函数，则 g (x )在［1,3］上为减函数,6 6•••[g(x)] min = g(3) = 7，.・.m<7.所以m 的取值范围是一8, 7 .［规律方法］与二次函数有关的不等式恒成立的条件 21 ax + bx + c > 0 a M0 恒即一元二次不等式 2kx 2+ kx — -< 0对一切实数X 都成立. 8k < 0,则2A = k — 4X2 k x解得—3< k < 0.3综上，满足不等式 2kX 2+ kX —< 0对一切实数X 都成立的k 的取值范围是(—3,0］.8 (2)由题意得，函数f (X ) = X 2+ mx-1在［m 耐1］上的最大值小于 0，又抛物线f (X )=X 2 + mX- 1开口向上，所以只需f m = m + m — 1 < 0,2f m^ 1 = m+1+ m n u 1— 1< 0,2m —心‘解得-吳m K 0.] 2m + 3^^ 0,2【例4】甲厂以X 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 K X < 10)，每小时可获得的利润是 100 •5X + 1 — X 元.X⑵要使生产900千克该产品获得的利润最大, 问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.［解］(1)根据题意, 得 200 5x + 1 — 3>3 000 ,—3整理得 5X — 14 — ->0,1 卩 5X 2—(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围;3习i (1)若不等式2kX 2+ kX —-<0对一切实数X 都成立，则k 的取值范围为()8A. ( — 3,0)B. [ — 3,0)C. [ — 3,0] (2)若不等式D. ( — 3,0］X 2+ mx- 1< 0对于任意 X C ［m m + 1］都成立，则实数 m 的取值范围是(1) D (2)—乎，0［(1)当k = 0时，显然成立;当k M0时,I 麵型又 K X W 10,可解得 3< x < 10.14X — 3>0,X即要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，X的取值范围是［3,10］.(2)设利润为y元，则900 y r -100 5X+ 1 —-X4 =9X 10 1 3 ------- 2 X X4 =9X 10 —31 —12 + 61 3X 6 十 12 ,故当x = 6 时，y max= 457 500 元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产 900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500 元.［规律方法］求解不等式应用题的四个步骤:阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系;引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型;解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义;回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果［sain嫁习］汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车,12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m 又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.1 x + 0.01 x2, s乙=0.05 X + 0.005 X2，问：甲、乙两车有无超速现象？但还是相碰了•事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过［解］由题意知，对于甲车,2有 0.1 X+ 0.01 X > 12, 即X2+ 10X— 1 200 >0,解得x > 30或X V — 40(不合实际意义，舍去),这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m ,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.2对于乙车，有 0.05X + 0.005X > 10,2即X + 10x— 2 000 >0,解得X > 40或X V — 50(不合实际意义，舍去),这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.自我感悟:最新修正版。

《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式(第一课时不等关系与不等式)课件ppt文档

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第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式
2
学
习
目
标
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2．实数 a，b 的比较大小文字语言
数学语言
a－b 是正数 a－b 等于零 a－b 是负数
a－b＞0 a－b＝0 a－b＜0
4
等价条件 a＞b a＝b a＜b
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3.重要不等式
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第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念,会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<,≤,>,≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中,我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v 不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G 不得超过10 t ； ③限制高度：装载高度h 不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a 不得超过3米； ⑤时间范围：t ∈{t |7.5≤t ≤10}．(2)①v ≥50；②G ≤10；③h ≤3.5；④a ≤3；⑤7.5≤t ≤10. 知识点二比较两实数a,b 大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时,对差式应如何变形？提示：一般地,对差式分解因式或配方． 4．比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．提示：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝[x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322]＋3－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34≥34>0,所以x 2＋3>3x .类型一用不等式(组)表示不等关系[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A,B 含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg,y kg 配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ,y 所满足的不等关系．[分析] 根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．[解] x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位,含有维生素B 800x 单位,y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位,含有维生素B 400y 单位,则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位,含有维生素B(800x ＋400y )单位,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换[变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4,身高超过1.4米可表示为h>1.4,身高不足1.1米可表示为h<1.1,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：类型二比较大小[例2] (1)设m ∈R ,x ∈R ,比较x 2－x ＋1与－2m 2－2mx 的大小．(2)甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校．[分析] (1)将两个代数式作差,判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间,作差法进行比较．[解] (1)∵x ∈R ,m ∈R ,∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝⎛⎭⎫2m －122－⎝⎛⎭⎫2m －122＋2m 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋⎝⎛⎭⎫m ＋122＋12>0.∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .(2)设步行速度与跑步速度分别为v 1,v 2,其中0<v 1<v 2,总路程为2s .则甲用的时间为s v 1＋sv 2,乙有的时间为4s v 1＋v 2.因为s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0,所以sv 1＋s v 2>4sv 1＋v 2,故乙同学先到学校．1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论. 2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.[变式训练2] 设x ∈R ,且x ≠－1,比较11＋x 与1－x 的大小．解：∵11＋x －(1－x )＝x 21＋x ,而x 2≥0,(1)当x ＝0时,x 21＋x ＝0,∴11＋x ＝1－x .(2)当1＋x <0,即x <－1时,x 21＋x <0,∴11＋x<1－x . (3)当1＋x >0,且x ≠0,即－1<x <0或x >0时,x 21＋x >0,∴11＋x >1－x .综上可知：当x ＝0时,11＋x ＝1－x ；当x <－1时,11＋x <1－x ；当－1<x <0或x >0时,11＋x>1－x .类型三不等式的实际应用[例3] 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票,按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠．[分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ,y 2＝45xn ,y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时,y 1＝y 2；当n >5时,y 1<y 2；当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同；多于5人时,选甲车队更优惠；少于5人时,选乙车队更优惠．(1)“最优方案”问题,首先要设出未知量,搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表示出来,通过比较即可得出结论.(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题,解答时要有设有答,步骤完整.[变式训练3] 某蛋糕师制作A ,B 两种蛋糕,原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A 种蛋糕需要面粉150 g,黄油100 g,牛奶50 mL ；制作一个B 种蛋糕需要面粉200 g,黄油140 g,牛奶70 mL.现有面粉1 000 g,黄油600 g,牛奶350 mL.若分别制作x 个A 种蛋糕,y 个B 种蛋糕．试列出x ,y 满足的不等式组．解：①制作A ,B 两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g,用不等式表示为150x ＋200y ≤1 000； ②制作A ,B 两种蛋糕需要的黄油不超过600 g,用不等式表示为100x ＋140y ≤600； ③制作A ,B 两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL,用不等式表示为50x ＋70y ≤350； ④A ,B 两种蛋糕的制作量都应不少于0,且为整数个,故x ∈N ,y ∈N . 所以x ,y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧150x ＋200y ≤1 000100x ＋140y ≤60050x ＋70y ≤350x ∈N ，y ∈N .1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元,设x 个月后他至少有400元,则关于月数x 的不等式是( B )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋60≤400解析：x 月后他至少有400元,可表示成30x ＋60≥400.2．若x ≠－2且y ≠1,则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( A ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2, ∵x ≠－2,y ≠1, ∴(x ＋2)2>0,(y －1)2>0, 因此(x ＋2)2＋(y －1)2>0. 故M >－5.3．设a ≥0,b ≥0,A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( B ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B 解析：由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,因为A ≥0,B ≥0,所以A ≥B .4．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式a ＋m b ＋m >ab(b >a >0,m >0)．解析：由题意ab的比值越大,糖水越甜,若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,说明a ＋mb ＋m >ab. 5．已知a ,b 为正实数,试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小．解：方法1(作差法)：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.∵a ,b 为正实数,∴a ＋b >0,ab >0,(a －b )2≥0, ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0,∴a b ＋b a ≥a ＋b .方法2(作商法)：b a ＋ab a ＋b ＝(b )3＋(a )3ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －ab )ab (a ＋b )＝a ＋b －abab＝(a －b )2＋ab ab ＝1＋(a －b )2ab ≥1.∵b a ＋a b >0,a ＋b >0,∴b a ＋ab≥a ＋b . 方法3(平方后作差)：∵(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ,(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ,∴(a b ＋b a )2－(a ＋b )2＝(a ＋b )(a －b )2ab .∵a >0,b >0,∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0,又a b ＋ba >0,a ＋b >0, 故a b ＋ba≥a ＋b .——本课须掌握的三大问题1．不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a >b ”“a <b ”“a ≠b ”“a ≥b ”“a ≤b ”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字大于,高于,超过小于,低于,少于大于或等于,至少,小于或等于,至多,不(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提．。