6.3 二次函数和一元二次方程(2)--学案巩固案
一元二次方程教学案(经典例题、习题巩固)
一元二次方程1、基本概念【双基巩固】(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
【典型例题】例1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
例3 将方程()213(2)(2)1x x x +-+-=化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．【基础过关】一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．px 2-3x+p 2-q=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．p=1B ．p>0C ．p ≠0D ．p 为任意实数二、填空题1． 方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为__ ____，一次项系数为_______，常数项为_______．2．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．三、解答题1．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6：（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m 为何值时，它是一元一次方程？【拓展提高】求证：关于x 的方程22221781m x x mx mx mx ++=--，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．2、方程的解【双基巩固】⑴概念：满足一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的 ，又叫做一元二次方程的 。
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计
-例如：“已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求该二次函数的解析式。”
4.小组合作探究题：这部分作业要求学生在小组内共同完成，培养学生的合作精神和探究能力。
（三）学生小组讨论
在讲授新知之后，我会组织学生进行小组讨论。我将设计一些具有探究性的问题，如：“二次函数的开口方向和顶点坐标是如何影响一元二次方程的解的？”、“在实际问题中，如何运用二次函数的性质求解一元二次方程？”等。学生通过小组合作，共同探讨这些问题，培养他们的合作精神和探究能力。
（四）课堂练习
-教师设计具有现实背景的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析和解决。
-学生在解决问题的过程中，掌握数学建模、问题求解等数学方法。
3.通过对二次函数图像的观察与分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动参与学习的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程关系的理解，提高学生的应用能力和解决问题的策略，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：这部分作业主要针对课堂所学的基本概念和性质进行设计，包括填空题、选择题和简答题，旨在帮助学生巩固二次函数与一元二次方程的基本知识。
-填空题：如“二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，当a<0时，图像开口______。”
2.掌握一元二次方程的求解方法，了解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能运用二次函数解决实际问题。
-学生能够运用直接开平方法、配方法、求根公式等求解一元二次方程。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
（1）教师给出练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）教师挑选部分学生的作业进行展示、讲解，总结解题方法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结二次函数与一元二次方程的知识点，梳理知识结构。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与一元二次方程的知识点。
（2）学生分享自己的学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（3）教师总结归纳，强调重点，指出易错点，为课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，加深对二次函数与一元二次方程概念的理解。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。
2.从生活中的实际问题出发，选取一个案例，将其抽象为二次函数与一元二次方程模型，并求解。要求撰写解题过程，明确解题思路和方法。
3.小组合作，共同完成一道拓展题。题目如下：
拓展题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象，求该抛物线与x轴的交点坐标。
要求：各小组通过讨论、探究，给出至少两种解题方法，并在课堂上分享解题过程和心得。
4.培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。
6.3 二次函数与一元二次方程(一)导学案
6.3 二次函数与一元二次方程(一)学习目标：通过本课的学习,掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系，感受数形结合的数学思想。
学习过程：一、知识回顾1、怎样利用根的判别式来判定一元二次方程根的情况？2、不解方程，判别根的情况。
⑴x2－3x＋1＝0 ⑵－x2＋x－1＝0 ⑶4y2＋4y＋1＝0二、探索活动1、（1）二次函数y=x2－2x－3与一元二次方程x2―2x―3＝0有怎样的关系？(P21) （2）结论：)2、观察二次函数y=x2－6x+9的图象和二次函数y=x2－2x+3的图象。
(P21（1）观察两个函数图象，它们与x轴的公共点个数有几个？（2）利用图象写出一元二次方程x2－6x+9=0和x2－2x+3=0的根的情况。
3、试总结二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：三、典型例题1、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由。
（1）y=x2－x （2）y=－x2+6x－9 （3）y=3x2+6x+112、已知二次函数y=kx2－x－1的图象和x轴有交点，求k的取值范围。
四、巩固练习1、不画图象，你能说出函数y=－x2+x+6的图象与x轴的交点坐标吗？2、关于x的一元二次方程x2―x―n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n顶点在哪一个象限内？五、小结：这节课我学会了________________________________________巩固练习1、二次函数y=x2－3x的图象与x轴两个交点的坐标是（）A. (0, 0), (0, 3)B. (0, 0),(0,－3)C.（0，0），（－3，0）D.（0，0），（3，0）2、已知二次函数y=x2－2ax+(b+c)2，其中a、b、c是△ABC的边长，则函数图象与x轴（）A.无交点B.有一个交点C.有两个交点D.交点个数无法确定3、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=－1,与x轴的一个交点为(x1，0)，且0＜x1＜1，下列结论：①9a－3b+c＞0；②b＜0；③a－2b+4c＜0。
二次函数与一元二次方程(2)学案-2021-2022学年人教版九年级上册数学
九年级数学导学案
确的是 （ ） A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x ＝4时，y ＜0
D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间
3. 当a ，二次函数2
24y ax x =+-的值总是负值.
4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5．抛物线y=3x 2
＋5x 与两坐标轴交点的个数为（）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无
6.已知一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++= >的两个实数根1x 、2x 满足124
x x +=和321=•x x ，那么二次函数2
(0)y ax bx c a =++ >的图象有可能是（ ）
7.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关
系满足y=－x 2
＋10x ．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
x
… 0 1 3 … y …
1
3
1
…
513-。
初中数学初三数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
在本章节的教学中，我们需要面对的是初三学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了函数、一元一次方程等基本知识。然而，二次函数与一元二次方程作为数学知识的一个难点，对学生而言，理解和运用上可能存在一定困难。
学生在学习过程中可能出现以下情况：对二次函数图像特征的理解不够深入，对一元二次方程求解方法的掌握不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用所学知识。因此，在教学过程中，我们要关注以下几点：
（3）鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过生活中的实际问题，引出二次函数与一元二次方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察二次函数的图像，总结图像特征；教授一元二次方程的求解方法，并分析各种求解方法的适用条件。
（3）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（2）一元二次方程的求解方法有哪些？它们之间的优缺点是什么？
2.小组汇报
各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求解给定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
（2）利用一元二次方程求解实际问题的最优解。
2.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
3.鼓励学生分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.通过一元二次方程的求解过程，让学生体会数学的转化思想，培养学生解决问题的策略和方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.引导学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学意识。
1.充分了解学生的知识储备，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
《二次函数与一元二次方程》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
二次函数与一元二次方程教学目标知识与技能总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．过程与方法使学生经历二次函数与一元二次方程关系的探究过程。
情感态度与价值观培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点本节“合作学习〞涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教法、学法引导、启发自主学习、合作交流课型新授课教学准备小黑板教学流程教师活动学生活动二次备课一、自主学习1、知识回忆一元二次方程的一般形式是什么？二次函数的一般形式是什么？一元二次方程的根有几种情况？回忆2、出示学习目标总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．明确目标出示自学提纲⑴自学43页的问题答复云图中的问题⑵完成教材44页思考⑶一元二次方程的根的情况与相应的二次函数的图像与X轴公共点的个数有什么关系？⑷总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？⑸自学46页例答复怎么通过看二次函数的图像估计相应的一元二次方程的根？阅读提纲，〔1〕~〔5〕4、组织学生自学指导学生阅读课本P43---46课文,并答复以下问题。
学生自学得出结论组内交流，互助互教。
二、自学反应汇报或检测答复老师自学提纲中的问题三、质疑精讲1、学生质疑，师生共同解疑提出质疑，师生共同解决2、教师横向拓展和纵向挖掘1、对43页问题的讲解：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2。
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有符合实际的解，那么说明球的飞行高度可以到达问题中h的值：否那么，说明球的飞行高度不能到达问题中聆听、思考、答复h的值。
2、归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，〔1〕如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案、教学设计
为了巩固本节课所学知识，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）求解以下一元二次方程，并分析解的性质：
① 2x^2 - 5x + 3 = 0
② x^2 - 4 = 0
③ 3x^2 + 4x - 1 = 0
（2）根据题目要求，绘制相应二次函数的图像，并观察图像与x轴的交点。
2.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学习的积极性。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习对个人成长和国家发展的重要性，激发学生的社会责任感。
教学设计：
一、导入新课
1.复习二次函数的基本概念、性质和图像特点。
2.提问：一元二次方程的解与二次函数图像有什么联系？
二、新课讲解
（三）学生小组讨论
在这一环节，我会将学生分成若干小组，让他们针对以下问题进行讨论：
1.二次函数图像与一元二次方程解的关系是什么？
2.如何利用二次函数求解一元二次方程？
3.在解决实际问题时，如何运用二次函数与一元二次方程的知识？
在讨论过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问，并引导学生从不同角度分析问题。讨论结束后，每组选派一名代表分享本组的讨论成果。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.对于基础巩固题，要求每个同学都必须掌握，做到熟练解题。
3.能力提升题和拓展探究题可根据自己的实际情况选择完成，鼓励同学们挑战更高难度的题目，培养自己的创新思维能力。
4.作业完成后，请同学们认真检查，确保解答正确，并对疑难问题进行标注，以便在课堂上提问和讨论。
2.根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
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课型：新授课 主备：谢辉 审核：孙祥 时间：2012-1-26 学生姓名__________
一、学习目标：
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．体验数形结合思想；
2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
二、学习重点和难点：
学习重点：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会数形结合思想。
2．能够利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。
学习难点：利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。
三、自学质疑与合作探究：
1.自学指导：预习课本P 23-24相关内容，建议你在学习本节时和八（上）探索2的近似值“类比．．”进行学习。
2．合作探究：
问题1：请你画出二次函数522-+=x x y
的图象
问题2：你能说出二次函数y=x 2+2x-5 的图象与一元二次方程x 2+2x-5=0的关系吗？
问题3：二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的函数值有何特征？交点附近点的函数值有何特征？
问题4：从图象上来看，二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备
问题．．3．
中发现的特征吗？ 问题5：为了进一步缩小探索的范围，如何在确定的两个整数之间继续取值，从而逐渐逼近使函数值y=0时的自变量x 的值，有何运算技巧吗？ 试试看！
3．实践与探索：
（1）你能仿照课本P23的方法确定方程x 2+2x-5=0的另一根x 2的近似值吗?试试看！(精确到0.1)
（2）用求根公式求出方程x 2+2x-5=0的两根(精确到0.1)，与上述结果相同吗？请你算算看！
四、自学检测：P24练习1、2
A 组：
1.抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为______________________ ___.
2.根据下列表格的对应值：
判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）
A ． 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25 ＜x ＜3.26
3.已知二次函数y=kx 2＋3x －4①若它的的图象与x 轴只有一个交点，则k=
； ②若它的的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
． 4.若关于x 的方程x 2-x-n=0没有实数根，则抛物线y= x 2-x-n 与x 轴的交点情况为
， 顶点在第________象限。
5.利用二次函数的图象求方程x 2
+5x-3=0的近似根（精确到0.1）
B 组： 6.根据下表中二次函数2
的自变量与y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）．
A. 只有一个交点
B. 有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D. 无交点
7.二次函数c bx ax y ++=2
(a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题 （
1）写出方程02
=++c bx ax 的两根； （2）写出不等式02>++c bx ax 的解集； （3）写出y 随x 增大而减小的自变量x 的取值范围；
（4）若方程k c bx ax
=++2两个不相等的实数根，求k 的取值范围.
2。