矢量分析与场论讲义(课堂PPT)
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1-矢量分析与场论
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0
ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B A B en AB
A// B A B 0
A B Axex Ayey Azez Bxex Byey Bzez
如果要了解场的局部特性，即考虑场在空间每 个点沿各个方向的变化情况，
对于标量场，需要引入方向导数和梯度的概念；
对于矢量场，需要引入散度和旋度的概念。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律 A B B A A(B C) A B AC
两个矢量的叉积为矢量
矢量运算恒等式
A (B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(AC) C(A B)
混合积 双重矢量积
几个特殊结论
假设 M(x, y, z) 为矢量线上任一点，则过点 M沿矢量 线的位移元 dl 与矢量 A(x, y, z)共线。
共线矢量dl 与 A(x, y, z) 满足方程
dl A 0 或
dx dy dz Ax Ay Az
矢量形式
标量形式
A
M
dl r r dr
上面这两个方程称为矢量线方程
M0
而 l 的方向余弦为 cos
2
2
12 22 22 3
cos cos
2
2
12 22 22 3
1
1
12 22 22 3
第3章 矢量分析和场论
两矢量的叉积又可表示为：
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
第一章 矢量分析与场论
1.1.2 矢量的代数运算
1、矢量的加法和减法
矢量相加遵循平行四边形法则 ，矢量加法的坐标分量 是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量
C A B
A B D A B ax ( Ax Bx ) a y ( Ay By ) az ( Az Bz ) A B ax ( Ax Bx ) a y ( Ay By ) az ( Az Bz )
A(r) P r dr
A dr 0
dx dy dz Ax Ay Az
矢量线图
O
1.3.2 矢量场的通量及散度
在矢量场 A 中取一个面 元 dS 及与该面元垂直的 单位矢量 n （外法向矢量， 如图所示），则面元矢 量表示为：dS ndS A 与面元 dS 的标量积称为矢量场 A 穿过 dS 的通量 记作: A dS A cosdS A dS A cos dS A dS A cos dS
a ax sin a y cos
A cos sin 0 Ax A A sin cos y A z Az
(圆锥面) (平面)
y arctan( ) 常数，0 2 x
单位矢量的变换
ar az cos a sin a z cos a x sin cos a y sin sin
a az sin a cos a z sin a x cos cos a y cos sin
1.3
矢量分析课件2-56页文档资料
数.
lz l
l x o
l
ly y
cosl x,cosl y,cosl z
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
第二章 场论
§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
u 1 l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
uG l 0G coG s,l (0) l
l 0 co i c so j c so k
G uiu juk
x y z
当 coG ,sl0 ()1,即 l 方向与 G 方向一致.
lz l
l x o
l
ly y
cosl x,cosl y,cosl z
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
第二章 场论
§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
u 1 l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
uG l 0G coG s,l (0) l
l 0 co i c so j c so k
G uiu juk
x y z
当 coG ,sl0 ()1,即 l 方向与 G 方向一致.
矢量与场论课件—旋度
z轴）的环量面密度。 下面我们来推导直角坐标系中 环量面密度的计算公式。为了
n
S
en
M
简化计算，我们直接选择无限
dl
小的矩形回路，使场点M位于
F
矩形中心，并且使矩形的空间取向端正（它的边
或者与坐标轴平行，或者与坐标轴垂直）。
大理大学工程学院 罗凌霄编写 6
设空间有矢量场 E ，在平面yoz的平行平面上以任
定义 在矢量场 F 中，过任一点 M 作沿任意方向的 n 轴，过 M 点作 n 轴的垂直平面，在此平面内取任意
回路 l 圈围点 M ，并且使 l 的绕行方向与n 轴方向
en 符合右手螺旋关系。当回 路向M点无限收缩时，F 沿回
n
S en
M
路l 的环量与回路l
积 S 的比值
lim
圈l围F 的dl面
ex ey ez
rot E
x y z
Ex Ey Ez
大理大学工程学院 罗凌霄编写 14
因为
E =(ex
x
ey
y
ez
z
)
(ex
Ex
ey Ey
ez Ez )
ex
x
(ex Ex
ey
Ey
ez Ez
的大小等于该点处 E 的环量 面密度的最大值，矢量场
的旋度的方向沿着该点处 E 的环量面密度取最大值时
所环绕的 轴的方向。 矢量场 E 的旋度用rot E 表示。
大理大学工程学院 罗凌霄编写 12
[理学]第一章矢量分析与场论
![[理学]第一章矢量分析与场论](https://img.taocdn.com/s3/m/895778d27c1cfad6195fa7e1.png)
影之间的夹角。
z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，我们引入一个矢性微分算子， 在曲线坐标系中有：
指向
P( R, , )
aR
a的方向垂直于上述平面， x
o
R
a
a
y
增大的方向。
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
坐标面
R x y z 常数
2 2 2
z
表示一个半径为R的球面。 θ =常数 表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面。
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
y
z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，我们引入一个矢性微分算子， 在曲线坐标系中有：
指向
P( R, , )
aR
a的方向垂直于上述平面， x
o
R
a
a
y
增大的方向。
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
坐标面
R x y z 常数
2 2 2
z
表示一个半径为R的球面。 θ =常数 表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面。
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
y
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
《矢量分析与场论》 第1讲矢量基础
M
M r F
旋转线速度
F
O
r
O
dr V r dt
r
V
5.矢量的复杂运算
1) 矢量混合积： A ( B C) ，是一个标量。 A C B 矢量混合积满足旋转法则
A ( B C) B (C A) C ( A B)
1.矢量的概念 2)矢量（Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度、加速度等
矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点P，均可用有序独立的3个数（P1， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP (P 1, P 2, P 3)
5.矢量的复杂运算 矢量混合积的常用公式
A ( B C) B (C A) C ( A B)
A ( B C) B( A C) C( A B)
( A B) (C D) ( A C)(B D) ( A D)(B C) A[ B (C D)] ( B D)( A C) ( B C)( A D) 2 ( A B) [(B C) (C A)] [ A ( B C)]
0
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是
矢量相互平行。
4.矢量的叉积 3) 单位矢量的叉积
i i 0 j i k k i j
M r F
旋转线速度
F
O
r
O
dr V r dt
r
V
5.矢量的复杂运算
1) 矢量混合积： A ( B C) ，是一个标量。 A C B 矢量混合积满足旋转法则
A ( B C) B (C A) C ( A B)
1.矢量的概念 2)矢量（Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度、加速度等
矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点P，均可用有序独立的3个数（P1， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP (P 1, P 2, P 3)
5.矢量的复杂运算 矢量混合积的常用公式
A ( B C) B (C A) C ( A B)
A ( B C) B( A C) C( A B)
( A B) (C D) ( A C)(B D) ( A D)(B C) A[ B (C D)] ( B D)( A C) ( B C)( A D) 2 ( A B) [(B C) (C A)] [ A ( B C)]
0
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是
矢量相互平行。
4.矢量的叉积 3) 单位矢量的叉积
i i 0 j i k k i j