矢量分析与场论讲义全
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第一矢量分析与场论专选课件
1.1.2 矢量的代数运算
1、矢量的加法和减法
矢量相加遵循平行四边形法则 ，矢量加法的坐标分量
是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量
CAB
A B DAB
a x(A xB x)ay(A yB y)a z(A zB z)
A B
a x(A xB x)ay(A yB y)a z(A zB z)
( aanxBOxaBayByazBz)
B
右手螺旋
aAax(A yB zA BzB y)
A
Aay(A zB xA xB z)az(A xB yA yB x)
a x (a)a y a z
(b)
axay az ayaz ax
Ax Ay Az
aza x ay
Bx By Bz
a x a x a y a y a z a z 0
矢量的变换
Ar sincos sinsin cosAx Acoscos cossin sinAy A sin cos 0 Az
1.3 矢量场
场： 一种量的空间分布
如果空间中的每一点，都对应着某 个物理量的特定值，则称此空间中 建立起这个物理量的场
若该物理量为矢性函数时，称之为 矢量场。 基本要素：矢量线
A a xA xa yA ya zA z B a xB x a yB y a zB z
2、矢量的乘积（标量积和矢量积）
1） 标量积
任(它们任•SA c(意等夹•意aalB x两于角a两B r x个两的矢P (r个余矢a量oaxdy矢弦量A 的uB xc量之yA 标t )是与的乘a量ay一B大积zA 积By个的小z )标标与az量量它Az，积)
2、 矢量场的散度
第3章 矢量分析和场论
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
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矢量分析与场论第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
《矢量分析与场论》PPT课件
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
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矢量分析与场论（Vector Analysis and Field Theory）是一门研究表示物理量、它们之间的关系及其数学表述的数学课程。
它将向学生介绍如何用矢量和场原理来描述物理过程。
矢量分析是一种数学工具，用于表示物理量以及该物理量之间的关系。
例如，通过矢量分析可以描述力的大小和方向，以及力的作用。
在矢量分析中，力可以表示为一个矢量，而矢量可以用数学方法表示。
场论是一门关于物理系统的理论，研究的对象是由场所组成的物理量及其相互关系。
在场论中，物理量被抽象为场，即该量的空间分布情况。
场论描述了这些场之间的关系，并给出了相应的数学表达式。
此外，矢量分析和场论还用于研究物理学中的其他重要概念，例如等张线、等效力、潜在能量等。
掌握矢量分析和场论的概念和应用，有助于学生深入理解物理学相关知识，从而更好地研究物理学。
第1章矢量分析与场论02
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
ψ = ∫ dS = ∫ A ⋅ ndS
S S
如果曲面是一个封闭曲面，则
ψ = ∫ A ⋅ dS
S
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
∂ϕ ∂l
M0
ϕ (M ) − ϕ (M 0 ) = lim M →M ρ
0
第一章 矢量分析
若函数 φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cosα 、 cosβ 、cosγ 为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0 处沿l方向 的方向导数必定存在，且为
∂ϕ ∂l
M0
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ cos α + cos β + cos γ = ∂z ∂x ∂x
第一章 矢量分析
例 1-10
球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求
∫∫ r ⋅ dS
S
解： 根据散度定理知
r ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ rdV ∫∫
S V
而r的散度为
所以
∂x ∂y ∂z ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z
4 3 3 ∫∫Sr ⋅ dS = ∫∫∫V∇ ⋅ rdV = ∫∫∫V3dV = 3 ⋅ 3 πR = 4πR
第一章 矢量分析
例 1-9 量
D=
原 点 处 点 电 荷 q 产 生 的 电 位 移 矢 ，试求电位移矢量D的散度。
解： D = q ⎛ x e + y e + z e ⎞ ⎜ 3 x 3 y 3 z⎟
第01讲 矢量分析与场论(1)
第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的分布和变化规律。
为此，在数学上引入了场的概念。
如果在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此空间里确定了该物理量的一个场。
如教室中每一点都对应一个确定的温度，教室中确立一个温度场。
地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。
•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
比如：T是温度场中的物理量，T 就是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
场的分类：●按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。
温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。
力场、速度场等为矢量场。
●按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。
动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
数量场的等值面一般地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x，y，z的函数，即：),,(z y xuu就是说，一个数量场可以用一个数性函数来表示。
场存在的空间即为其定义域。
此后，我们总假定这个函数单值、连续且一阶可导。
在数量场中，使函数u 取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。
如温度场的等温面，电场的等位面等。
显然，数量场的等值面方程为：c z y x u =),,(（常数）给定不同的常数c ，就得到不同的等值面。
如图，c 取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相2c =1c u =3c =交。
因为数量场中的每一点),,(0000z y x M 都有一个等值面),,(),,(000z y x u z y x u =通过，而且由于函数u 为单值，故一个点只能在一个等值面上。
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l
l
称为 A 沿闭曲线l的环量。
定义：若 lim 存在，则
SP S
称此极限为矢量场
n
P
S
A沿l之正向的环量 在点P处沿n方向的 环量面密度。
l
图3 闭合曲线方向与面元的 方向示意图 (P59)
性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向
重合，最大
夹角，中间值 R
垂直， 0
矢量R
旋度矢量
①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密 度
其内某点M 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
A ds
divA lim s V V 0
称为矢量场 A(M ) 在该点的散度(div是divergence的缩写)
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量 的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
定义：①线矢量l: 矢量场A中的
一条封闭的有向曲线
z
②环量Г：（图2） A
A dl Acos dl
l
l
性质：① Г是标量
P
dl l
② Г≠ 0，l 内有旋涡源 O
y
③ Г=0，l 内无旋涡源 x
图2 矢量场的环量(P56)
环量的表达式
定义 向量场 A 沿空间有向闭曲线 l 的
线积分 A dl Pdx Qdy Rdz
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
v ds s
定义 向量场 A沿选定方向的曲面S的面积分
A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
S (定侧)
S
称为 A 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。
例题
例1 设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，有一由
若下列极限
u u(M ) u(M0 )
lim u lim u(M ) u(M0 )
l l 0
l 0
l
存在，则该极限值记作 u ，称之为数量场
沿 的方l 向导数。
l M0
u(在MM) 0处
u u cos u cos u cos
l x
y
z
lˆ (cos ,cos ,cos )
【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点
M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为
E
q
4
r3
r
式中，q、ε均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置
矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。
解题过程：
整理求解作图
矢量的直角 坐标系方程
矢量线的 微分方程
z
y
x
图 点电荷的电场矢量线 (P27)
y C1 x z C2 y
例题
例1 求函数 u x2 y2 z2 在点M(1, 0,1)处沿
l i 2 j 2k 方向的方向导数。
例3 设 r x2 y2 z2为点M ( x, y, z)处的矢径r的模， 试证： gradr r r r
例4 求数量场 u xy2 yz3 在点M(2, 1,1)处的梯度
dx dy dz Ax Ay Az
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x2 y2 )k 通过点M(2, 1,1)
的矢量线方程。
在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的
理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。
圆锥面 x2 y2 z2及平面z H(H 0)所围成的封闭 曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3+xy）k
的散度。
• 如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：
A
0
A dS＝ 0
就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
注
1. 场的特点：
①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；
②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。
2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
2、方向导数
方向导数是数性函数 u(M在) 一点处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取
l
的方向有关，
l
一般来说，在不同的方向上 u的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， ll为M0场中的任意方向，
M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近
的一点。
M
l
M0
l
为l M0和M之间的距离，从M0沿 到l M的增量为
nˆ
S
0
（Ⅰ） 0
表示有净的矢量 线流出，闭合面 内有产生矢量线 的正源；
（Ⅱ） 0
表示有净的矢量 线流入，闭合面 内有吸收矢量线 的负源；
（Ⅲ） 0
表示流入和流出 闭合曲面的矢量 线相等或没有矢 量线流入、流出 闭合曲面
若S 为闭合曲面，可根据净通量 S A d S的大
小判断闭合面中源的性质:
= 0 (无源) < 0 (有负源) > 0 (有正源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系
2、散度
设封闭曲面s所包围的体积为V，则
A ds s V
就是矢量场 A(M )在 V 中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积 V 向
2、旋度（没有流出的量）
旋涡源
➢ 旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即
大小/面积)
➢ 旋度不为0表示有量在该平面“逗留”
➢ 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公 式里理解
➢ 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有 旋场
§5 几种重要的矢量场 一、无旋场
定义：若在区域V内，矢量场A的旋度处处为零 （即 A 0），则称A为V内的无旋场。
§1 场的概念（Field）
一、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中 某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与 之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场). 例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度 场都是矢量场。 若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r )
M
l
r dr
• 矢量线的微分方程： •O
M点位置 r xi yj zk
矢量线l 微分 dl dr dxi dyj dzk
场矢量
A Ax i Ay j Azk
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
i jk
rot A A
x y z PQR
(R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k
y z
z x
x y
简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义
是场在该矢量方向上旋转性的强弱。
6
利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋 转的强度)，我们可以用向量的形式重写 Stokes公式。
直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场的Gauss定理。
注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对 该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。
§4 矢量场的环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场的环量
梯度
gradu u i u j u k u
(Gradient)
x y z
u gradu lˆ gradu cos(gradu, lˆ) l
G u i u j u k gradu x y z
lˆ cos i cos j cos k
u G lˆ G cos(G, lˆ)
相对应. 这里 Ax , Ay , Az为所定义区域上的数性函数, 并假定它们有一阶连续偏导数。
数量场的等值面（线）：直观表示数量u在场中的分布。
是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。
其方程为
u (x, y) c
u( x, y, z) c(c为常数)
（c值不同对应不同等值面）
c1 c2
l
当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0
,沿l增加
u l
0
,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度的性质
（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。
（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等 值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面 的法向有两个）
§3 矢量场的通量与散度
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量
场 v 方向通过 ds的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
dQ v cosds v ds
称为矢量 v通过面元 ds的通量。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds，
v
θ
于是
（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数 量场也随之确定，最多相差一个任意常数
数量标场量沿场任的一梯方度向垂的直方于向通导过数该等点于的梯等度值在面该（方或向切的平投面影）。