高等数值分析期末考题-白峰衫老师

2006高等数值分析（白峰衫）

填空题4*10

1) a=[1 0.5;0.5 1] 求普半径条件数

2) QR上述矩阵

3) n维内急空间是赋范空间，无穷就不一定了。判断

4) 稀疏矩阵gauss分解就是不完全LU，能用来预处理。判断

5) u'=(u-u1)(u-u2) u1>u2 问两点的稳定情况。

6) 对称正定阵的问题可以一般化讨论3对角即可。判断

7) 特征值问题条件数和解方程条件数是一回事。(就是去年那个题目)判断

8) 多重网格xxx。粗网络平滑高频，细网络平滑低频。判断

9) 线性规划内点问题是多项式问题。任何线性规划问题都能数值求解。判断

10)去年那个正则点题目

计算题10(建议现在大脑里装个matlab)

某该死的矩阵lanczos

3q0=(1 2 2)

A=4 1 1

1 3 1

1 1 2

计算题15

奇异值分解求广义逆秩

A=[4 1 ;1 1;1 2]

计算题15

去年那个迭代题目，验证11是解，求牛顿迭代式以及x1 x0=0.5 0.5

另外给了一个迭代式，同样初值求x1

证明题10

(u'',v'')=(v,f)

以及一堆0的边界条件

u''''=f

以及一堆0的边界条件

证明上述两个问题等价

证明题10

引理3.3.2

2006高等数值分析（白峰杉）

填空4'×10

1. A=(1,0.5;0.5,1),求2范数和条件数。

2. 还是这个A，求QR分解。

3～8. 判断对错，涉及到GUASS消去，线性规划，多重网格，求特征值时的条件数cond(A)，赋范空间，还有一个忘了。。。

9. du/dt=(u-(u+))(u-(u-))，则(u+)是____（稳定/不稳定）的稳态解，(u-)是____（稳定/不稳定）的稳态解。

10. f(x)=f(x1,x2,x3)=...（忘了），求临界点、临界值、正则点、正则值。

计算证明15'×2＋10'×3

1.对称阵A=(4,1,1;1,3,1;1,1,2)，取3q1=(1,2,2)'，用Lanczos过程将其三对角化。

2.f(x)=(f1(x),f2(x))=0。

（1）验证x*=(1,1)'是方程的解。

（2）写出Newton法迭代式，x0=(0.5,0.5)'，求x1。

（3）给了一个迭代式fai(x)=...，证明它在x*有局部收敛性，并做一步迭代，计算x1。

3. A=(4,1;1,1;1,2)，求SVD，A的广义逆和A的秩。

4.zm是Krylov子空间Km的向量，Lm=AKm。证明：

(r0-Azm,v)，任取v属于Lm

等价于||r0-Azm||=||r0-Az||，z属于Km。

5.证明：

求解方程：d4u/dx4=f，u(0)=u(1)=u'(0)=u'(1)=0

等价于在空间L中找到这样的u满足：(u'',v'')=(f,v)，任取v属于L。

（L主要的性质就是v(0)=v(1)=v'(0)=v'(1)=0。）

2007高等数值分析(白峰杉)

一、填空1－3题每题6分，4－6题每题3分

1、A=[1 1/4 求‖A‖ 求解Ax＝b问题中的条件数cond2（A）

1/4 1];

2、求A的奇异值分解

3、求解特征值问题Ax＝λx问题中的条件数

4 求A的广义逆A＋

5 用A 进行jabobi松弛迭代迭代矩阵为

6 如果求方程x^n+a1x^n-1……＋an=0的根等价于求一个矩阵的特征值，这个矩阵是？

二、判断对错并说明理由每题3分

1、

2、列主元高斯消去法与LU方法是等价的，求解大型稀疏矩阵的列主元消去法，由于不必每次都选取最大的主元，因此与LU方法不等价

3、guass消去解方程时，如果增长因子很大，结果一定不可靠

4、任何实矩阵的问题，不失一般性，都可以只研究上三角矩阵

5、多元代数方程组的解由方程组唯一确定，而且复杂度是多项式的，易于求解

6、粗网格解决的是高频分量，细网格是低频

7、任意空间，如果可以定义内积，就一定是赋范空间

三、A＝[4 2 1 3*q1=1 求前两个ritz值

2 3 1 2

1 1 2]; 2

四、方程8x1-x1^2+x2-8=0

8x2-x2^2+x1-8=0

1、证明（1，1）是方程的解

2、x0＝（0，0）,newton迭代，求x1

3，对于函数x1－1/8*x1^2+1/8*x2-1

x2- 1/8*x2^2+1/8*x1-1

(1) 证明函数在x*处局部收敛

(2) 如果0

五、如果矩阵的无穷范数定义为

‖A‖∞= max ‖Ax‖∞

‖x‖∞＝1

则‖A‖∞＝max aij

i，j

2009高等数值分析(白峰杉老师)

总体来说，今年的题目不难，很多难的都没考。

但是白老师今年出来3道多选题。同时很多东西光靠课件和教材是找不到，听课很重要……

一、填空（3*6=18）

A=[2,1;1,2];

(1)求||A||1；求多项式方程组Ax=b的Cond1(A);

(2)已知QR分解中的Q=[-0.8944 -0.4472;-0.4472 0.8944]，求R=?

若记A(0)=A，用QR迭代求特征值，问A(1)=?

(3)求A的特征值问题条件数

(4)广义逆矩阵A+=?

二、判断题（请说明理由，或者改正）（3*4=12）

1、Newton法丢非线性方程组，只要初值充分接近解，那么一定收敛；

2、如果一个多项式的条件数很大，那么这个问题有可能很不好求解；

3、任意线性椭圆微分方程都可以

4、由于有限维空间的范数相互等价，所以min||Ax-b||v都相同。

三、多选题（3*10=30）

1、多项式Pn(x)=x^n+a1x^(n-1)+…+a0，以下说法正确的是：

A、多项式的实值根的个数（算重根）由方程的次数和系数决定；

B、用Newton法求多项式的解一定收敛；

C、

D、

E、多元多项式的根只有方程的阶数决定。

2、假设有n的观察变量，总共有m个采样值。形成矩阵A（m*n）。以下说法正确的是：

A、如果矩阵的奇异值维r，其秩为r；

B、变量的协方差矩阵为m阶；

C、主成分分析的中心化指的是求每一行的平均值并减去该值；

D、使用PCA实际上使用线性方法对数据进行降维和去噪；

E、当矩阵很大的时候，使用奇异值分解算法稳定；

3、线性规划问题。以下说法正确的是：

A、单纯性问题如果有最优解，一定在顶点处求到；

B、单纯性算法可以有效求解大部分问题；

C、单纯性经典意义上的复杂度是指数的；

D、内点法的复杂度指示多项式的；

E、？

三、计算题

1、Househoulder变化

（对教材的做法有一点改动）

H[2 2 1 0]'=(I-2vv'/v'v)[2 2 1 0]'=[a,0,0,0];

(1)a=？v=？

(2)证明Householder矩阵对称、正交；

2、考虑一维poison过程-(正三角)u=f。f=6x。区间在[0,1]；

u(0)=0;u(1)=1;

(1)采用中心差分迭代格式，步长h=0.25，离散化方程；

(2)考虑线性方程组Ax=b，A对称正定。说明并证明极小化原理；

3、非线性方程组F(x)=0;

(1)用Newton法求解，写出G(x)；

(2)当F(x)=Ax-b时，求出G(x);

(3)写出G'(x*)的谱半径，从而证明收敛。

2010高等数值分析(白峰杉)

一、填空(18'，每空3分)：

1.A[4,3;3,4]求二范数，和二范数的特征值的条件数

2.将A进行QR分解，求household变换矩阵H= ；R=

3.求A的奇异值分解的三个矩阵U= ;S= ;V= .

二、判断并写理由/更正(12',每题3分)：

1.解非线性方程的牛顿法是迭代法但不是不动点迭代

2.多重网格的粗网格是对高频分量的改善，。。。。

3.QR分解求特征值，迭代得到的矩阵都是上hessenberg矩阵

4.线性规划问题的优化。。。。，平均意义下的计算复杂度是指数型的

三、多项选择题(30',每题10’,把你认为错误的写上理由)

1.多元多项式方程组P(X)=(p1(x),p2(x),...,pm(x))=0，pk(x)的多项式次数为dk,k=1,2,...,m

A.方程组解的个数上界满足d1+d2+...+d3

B.m=1时结论A符合代数基本定理，当然满足

C.

D.m=1时，不论扰动加在何项，解的个数都能由代数基本定理确定。

E.理论上同伦算法可以得到多元方程组的全部解。但在实际上通常不可行，是因为计算每一条同伦曲线的解都是很复杂。

2.SVD分解和NMF分解

A.SVD和NMF都是降维逼近的有效方法

B.NMF分解结果是由两个非负矩阵相乘

C.SVD和NMF都能降低维度和消解噪声。

D.一个N维空间的一组正交基，不可能都是非负的。

E.

3.关于积和式计算复杂度（顺序可能不对）

A积和式的计算有多项式型的计算复杂度的解法，只是还没有找到

B基于laplace展开的，积和式和行列式计算复杂度都是指数的

C3-regular矩阵指的是，矩阵的每一行元素的和与每一列元素的和都是3

D双元素的Laplace展开，是针对特殊形式的稀疏矩阵的

E基于B，说明计算积和式和行列式的计算具有相同的计算复杂度。

四.解答题（40）

1.（12'）非线性特征值问题，设u=(x,y),则

2x+y+λ

F(x,y,λ)=F(u,λ)=｛

y+3λx

(1)写出Fu(u,λ)以及Fλ(u,λ),并写出(x,y,λ)=(0,0,0)时的值

(2)写出临界点集合，临界值集合，正则点集合，正则值集合

(3)此方程组的解是否有分岔点？若有，可能在那些地方？

2.(16')微分方程的边界问题，-△u=f, x∈[0,1],u(0)=u(1)=0，证明它等价于寻找u∈W，使得(u',v')=(f,v) 其中W = {v|v∈C([0,1]), v'分片连续，v(0) = v(1) = 0}。

3.(12')特征值分离证明，若对称实矩阵A的特征值λ1≤λ2≤...≤λn,矩阵A的主子矩阵的特征值μ1≤μ2≤...≤μn-1，证明

λ1≤μ1≤λ2≤μ2≤...≤λn-1≤μn-1≤λn