概率统计(理)(A)卷12.12

中国矿业大学2012～2013学年第 一 学期

《概率论与数理统计A 》试卷（A ）卷

理学院2011级使用 考试时间：100分钟 考试方式：闭卷 班级 姓名 学号

一、 填空与单项选择题（每题4分、共40分）

1、设()()1/3P A P B ==，()1/6P A B =，则()P AB =

2、箱中有a 个白球b 个黑球，每次摸一球,不放回,则第二次摸到白球的概率为

3、设随机变量X 的分布律为1

2~1/43/4X ?? ???

，则X 的分布函数()F x =

4、设X 在)1,0(区间上服从均匀分布，则2Y X =的概率密度为

5、如果随机变量X 和Y 满足)()()(Y E X E XY E = 则)()(Y X D Y X D --+=

6、设12(,,

,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本

均值，2

S 为样本方差，则（ ）

（A ）(0,1)nX

N ； （B ）2

2()nS n χ；

（C ）

(1)()n X t n S

-； （D ）

2

122

(1)(1,1)n

i

i n X F n X

=--∑.

7、设总体),(~2σμN X , μ, 2

σ均为未知参数, n X X X ,,,21 为样

本，则μ的置信水平为α-1的置信区间长度L 的平方的数学期望为( ) （A ）2224(1)/1t n n ασ--； （B ）22

4(1)/t n n ασ-；

（C ）224(1)/1t n n ασ--； （D ）224()/t n n ασ

8、设X 是一随机变量，则对任意常数C ，必有（ ） （A ）222[()]()E X C E X C -=-； （B ）22[()][(())]E X C E X E X -=-； （C ）22[()][(())]E X C E X E X -<-； （D ）22[()][(())]E X C E X E X -≥- 9、设12,,

,,

n X X X 为一列独立同分布的随机变量列，且均服从参数为

(1)λλ>的指数分布，记()x Φ为标准正态分布函数，则（ ） （A

）lim ()n i n X n P x x λ→∞

??

-???

≤=Φ??????∑；

（Ｂ）lim ()n i n X n P x x λ→∞??

-???

≤=Φ??

????∑；

（Ｃ）lim ()n i n X n P x x λ→∞??-???

≤=Φ??

????

∑；

（Ｄ）lim ()n i n X P x x λ→∞

??

-???

≤=Φ??????

∑

10、设2~(,)X N μσ，分布函数为()F x ，则对于任意的x ，有（ ） （A ）()()F x F x μμ+=-； （Ｂ）()()F x F x μμ+=-； （Ｃ）()()1F x F x μμ++-=； （Ｃ）()()1F x F x μμ++-= 二、（10分）对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格

率为90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？

三、（10分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

1,||,01,(,)0,.y x x f x y <<

其它

求条件概率密度()Y X f y x 及条件概率(01/2)P Y X >=。

四、（10分）设随机变量U 服从（-2, 2）上的均匀分布，定义X 和Y 如下：

1,

1,1,

1,

1,

1.1,

1.

U U X Y U U -<--

?

≥-≥?? 试求方差()D X Y +。

五、（10分）设某种元件的使用寿命X 的概率密度为

??

?<≥=--.,

0,

,2);()(2θθθθx x e x f x 其中0>θ为未知参数。又设n x x x ,,,21 是X 的样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。

六、（10分）某化工厂一天中生产的化学制品产量（单位：吨）服从正态分布，今测得5天的产量分别为785，805，790，790，802。问是否可以认为日产量的均值为800？ （05.0=α）

七、（10分）水稻产量与化肥施用量之间关系，在土质、面积、种子等相同

经验公式x y 10ββ+=，并算得：

1

210n

i

i x

==∑,

1

2855n

i

i y

==∑,

2

1

7000n

i

i x

==∑,

1

89675n

i i

i x y

==∑,

2

1

1188925n

i

i y

==∑

1求线性回归方程x y 1

0???ββ+=； 2 对回归效果的显著性进行检验（0.05α=）.

附表：65.105.0=z 96.1025.0=z 575.2005.0=z

0.025(5) 2.5706t =

0.025(4) 2.7764

t =

0.05(4) 2.13

18t = 0.025(4) 2.7764t =

《概率统计（理）》（A ）试卷答案及评分标准

一、(1)185；（2）a a b +； (3)0,1,

()1/4,12,1, 2.

x F x x x

=≤

；

(4)1/2,02()0,y f y <

其他.，

；(5) 0；6(D)；7(B)；８（D ）；9（C ）；10（D ）

二、解 A 表示机器调整得良好，B 表示产品合格，则

(|)90%P A B =，(|)30%P A B =，-----------------------------------5分

(|)()0.90.75

(|)0.9.(|)()(|)()0.90.750.30.25

P A B P B P B A P A B P B P A B P B ?=

==+?+?

----------------------5分 三、解

2,01,

()(,)0, .x

X x dy x x f x f x y dy ∞

--∞

?=<

=???

??

其它………………….5分

|1

,||(,)01,

(|)2()0,

Y X X y x

f x y x f y x x

f x ?

?当其它。 ---------- 3分 0

1

{0|1/2}(1/2)2

Y X P Y X f y dx +∞>===

?

------------2分 四、先求X Y +的分布律

(2)(1,1)(1,1)(1)1/4

P X Y P X Y P U U P U +=-==-=-=<-<=<-=……………………………2分

(2)(1,1)(1,1)(1)1/4

P X Y P X Y P U U P U +=====≥-≥=≥=-----------------------------------2分

(0)11/41/41/2P X Y +==--=---------------2分 所以2

2

()()02D X Y E X Y +=+-=---------------4分 五、解 似然函数为

??

?

??=≥∑===--其它

0)

,,2,1(,2);,,,()(1

)(221n i x e x x x L L i x n n n

i i θθθθ ………..4分

得

取对数时当,0)(,),,2,1(,0>=≥θL n i x i 122n

i i ln L()nln (x )θθ==--∑，

因为

)(02)

(ln θθ

θL n L 故>=??单调增加 ………..4分 由于θ必然满足),2,1(n i x i =≤θ，因此当θ取n x x x ,,21中的最小值

时，)(θL 取最大值，所以θ的极大似然估计值为：),,min(?21n

x x x =θ ………..2分

六、解 假设01:800,:800H H μμ=≠ ………..2分

检验统计量x t =

分

拒绝域0.025(4) 2.7764t t >= ………….2分

1.4527

2.7764t =

=<…………………..2分

接受0H ----------------- 2分

七、解：101

???=L / 5.75,235.4xy xx L y x βββ==-=， 回归方程?235.4 5.75y

x =+..............................6分

0.0259.27(5) 2.5706t t ==>=，显著。...............4分