【附五套中考模拟卷】2019年长春市中考数学模拟试卷

2019年长春市中考数学模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．﹣的相反数是（）

A．B．﹣ C．2 D．﹣2

2．下列图形中，是正方体表面展开图的是（）

A．B．C．D．

3．2015年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为（）

A．6.310×103B．63.10×102C．0.6310×104D．6.310×104

4．不等式组的解集为（）

A．x≤2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2 D．﹣1≤x≤2

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

6．如图，在⊙O中，直径AB=5，弦BC=3，若点P为弧BC上任意一点，则AP的长不可能为（）

A．3 B．4 C．4.5 D．5

7．如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若CE=1，DE=2，则CF

长为（）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点A的坐标为（2，0），顶点B的坐标为（0，1），

顶点C在第一象限，若函数y=（x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9．计算： =______

10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣2=0有两个相等的实数根，则k的值为______．

11．如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°，若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针至少旋转______度．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D，则BD的长为______．

13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为______．

14．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）的顶点A作AB⊥x轴于点B，过抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）的顶点C作CD⊥x轴于点D，连结AD、BC．则四边形ABCD的面积为______．

三、解答题（共10小题，满分78分）

15．先将代数式因式分解，再求值：

2x（a﹣2）﹣y（2﹣a），其中a=0.5，x=1.5，y=﹣2．

16．在一个不透明的袋子里装有四只标号分别为1，2，3，4的乒乓球，这些乒乓球除所标数字不同其余均相同．先从袋子里随机摸出一个乒乓球（不放回），再从袋子里随机摸出一个乒乓球，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出乒乓球的标号是连续整数的概率．

17．甲、乙两地之间的公路长120千米，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地，比原计划晚出发24分钟，该车实际行驶的速度是原计划行驶的速度的1.25倍，结果按原计划时间到达乙地，求该车实际行驶速度．

18．如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE

是菱形吗？请说明理由．

19．如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除D点外，其他顶点均在矩形EFGH的边上．AB=50cm，BC=40cm，∠BAE=55°，求EF的长．参考数据：sin55°=0.82，cos55°=0.57，tan55°=1.43．

20．为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查，问卷如下：

根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．

请回答以下问题：

（1）此次被调查的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______．

（2）请补全条形统计图．

（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请估计这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数．

21．小明与小英同时从人们广场出发，沿同一路线骑自行车匀速前往净月潭公园，小明骑行20分钟后因事耽误一会儿，事后继续按原速骑行到达目的地．在小明和小英骑行过程中，二人骑行的路程y（千米）与小英的骑行时间x（分）之间的函数图象如图所示．

（1）求小明比小英早到目的地的时间．

（2）求图象中线段BC所对应的函数表达式．

（3）直接写出在小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米时x的取值范围．

22．问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；

思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；

探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

23．如图，在△ABC中，AB=7，BC=4，∠B=45°，动点P、Q同时出发，点P沿A﹣C﹣B运动，在边AC的速

度为每秒1个单位长度，在边CB的速度为每秒个单位长度；点Q沿B﹣A﹣B以每秒2个单位长度的速度运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，在运动过程中，过点P作AB的垂线与AB交于点D，以PD为边向由作正方形PDEF；过点Q作AB的垂线l．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），运动时间为t（秒）．

（1）当点P运动点C时，PD的长度为______．

（2）求点D在直线l上时t的值．

（3）求y与t之间的函数关系式．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t使得在直线上任取一点H，均有HD=HE？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

24．原型：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，C是在直线l上的一点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．易证△ACD∽△CBE．（不需证明）

应用：点A、B在抛物线y=x2上，且OA⊥OB，连结AB与y轴交于点C，点C的坐标为（0，d）．过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为M、N，点M、N的坐标分别为（m，0）、（n，0）．

（1）当OA=OB时，如图②，m=______，d=______；

当OA≠OB，如图③，m=时，d=______．

（2）若将抛物线“y=x2”换成“y=2x2”，其他条件不变，当OA=OB时，d=______；当OA≠OB，m=1时，d=______．探究：若将抛物线“y=x2”换成“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，解答下列问题：

（2）猜测d与a的关系，并证明其结论．

拓展：如图④，点A、B在抛物线y=ax2（a＞0）上，且OA⊥OB，连结AB与y轴关于点C，AB的延长线与x轴交

于点D．AE⊥x轴，垂足为E，当AE=时，△AOE与△CDO的面积之比为______．

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．﹣的相反数是（）

A．B．﹣ C．2 D．﹣2

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解．

【解答】解：根据概念得：﹣的相反数是．

故选A．

2．下列图形中，是正方体表面展开图的是（）

A．B．C．D．

【考点】几何体的展开图．

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【解答】解：根据正方体展开图的特点，

A、能折成正方体，正确；

B、折起来出现重叠，不是正方体的表面展开图，故错误；

C、D、都是“2﹣4”结构，出现重叠现象，不能折成正方体，即不是正方体的表面展开图，故错误；

故选：A．

3．2015年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为（）

A．6.310×103B．63.10×102C．0.6310×104D．6.310×104

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将6310用科学记数法表示为6.31×103．

故选A．

4．不等式组的解集为（）

A．x≤2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2 D．﹣1≤x≤2

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：，

解①得：x＞﹣1，

解②得：x≤2，

则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．

故选：C．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得A（2，﹣m），然后再把A点坐标代入y=﹣x+1可得m的值．【解答】解：∵点B（2，m），

∴点B关于x轴的对称点A（2，﹣m），

∵A在直线y=﹣x+1上，

∴﹣m=﹣2+1=﹣1，

m=1．

故选：B．

6．如图，在⊙O中，直径AB=5，弦BC=3，若点P为弧BC上任意一点，则AP的长不可能为（）

A．3 B．4 C．4.5 D．5

【考点】圆周角定理．

【分析】连结AC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用点P为弧BC上任意一点得到AP≥AC，于是利用AP的范围可对各选项进行判断．

【解答】解：连结AC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，AC===4，

∵点P为弧BC上任意一点，

∴≥，

∴AP≥AC，即AP≥4．

故选A．

7．如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若CE=1，DE=2，则CF

长为（）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质得到AD=CD=CE+DE=3，AD∥BC，推出△ADE∽△CFE，根据相似三角形的性质得到，

代入数据即可得到结论．

【解答】解：在菱形ABCD中，

∵AD=CD=CE+DE=3，AD∥BC，

∴△ADE∽△CFE，

∴，

∴CF=1.5，

故选B．

8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点A的坐标为（2，0），顶点B的坐标为（0，1），

顶点C在第一象限，若函数y=（x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

【考点】反比例函数的性质．

【分析】作CD⊥x轴，构造△AOB≌△CDA，得到DC=OA=2，AD=BO=1，求出C的坐标，把C点坐标代入y=（x

＞0）即可求出k的值．

【解答】解：∵点A的坐标为（2，0），顶点B的坐标为（0，1），

∴OA=2，OB=1，

作CD⊥x轴与D，

∴∠BAO+∠CAD=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠CAD=∠ABO，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA，

∴DC=OA=2，AD=BO=1，

∴DO=OA+AD=1+2=3；

∴C点坐标为（3，2），

把（3，2）代入y=（x＞0）得，k=6．

故选D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9．计算： =

【考点】二次根式的乘除法．

【分析】根据二次根式的乘法法则计算．

【解答】解：原式==．

故答案为：．

10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣2=0有两个相等的实数根，则k的值为 6 ．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4ac=0，求出k的值即可．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k﹣2=0有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（k﹣2）=0，

∴16﹣4k+8=0，

∴k=6．

故答案为6．

11．如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°，若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针至少旋转20 度．

【考点】平行线的判定；旋转的性质．

【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．

【解答】解：∵b⊥c，

∴∠2=90°．

∵∠1=70°，a∥b，

∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°．

故答案为：20．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D，则BD的长为 4 ．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB﹣AD即可算出答案．

【解答】解：∵AC=6，BC=8，

∴AB==10，

∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，

∴AD=AC，

∴AD=6，

∴BD=AB﹣AD=10﹣6=4．

故答案为：4．

13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为100°．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．

【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠D=180°，

∴∠D=180°﹣130°=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=100°，

故答案为：100°．

14．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）的顶点A作AB⊥x轴于点B，过抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）的顶点C作CD⊥x轴于点D，连结AD、BC．则四边形ABCD的面积为 4 ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据题意知道两个抛物线关于原点对称，从而判断四边形ABCD的形状为平行四边形，然后根据抛物线的顶点坐标确定CD和BD的长，利用平行四边形的面积计算方法确定面积即可．

【解答】解：∵抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）与抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）关于原点对称，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a 为常数）的顶点坐标为（1，2），

∴BD=2，CD=2，

∴S四边形ABCD=BD×CD=2×2=4，

故答案为：4．

三、解答题（共10小题，满分78分）

15．先将代数式因式分解，再求值：

2x（a﹣2）﹣y（2﹣a），其中a=0.5，x=1.5，y=﹣2．

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将a，x以及y代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=2x（a﹣2）+y（a﹣2）=（a﹣2）（2x+y），

当a=0.5，x=1.5，y=﹣2时，原式=（0.5﹣2）×（3﹣2）=﹣1.5．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出乒乓球的标号是连续整数的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出乒乓球的标号是连续整数的有6种情况，

∴两次摸出乒乓球的标号是连续整数的概率为： =．

【考点】分式方程的应用．

【分析】设该车原计划行驶的速度为x千米/时，则实际行驶的速度为1.25x千米/时，根据“一辆汽车从甲地匀速驶往乙地，比原计划晚出发24分钟，该车实际行驶的速度是原计划行驶的速度的1.25倍，结果按原计划时间到达乙地”列出方程，求解即可．

【解答】解：设该车原计划行驶的速度为x千米/时，则实际行驶的速度为1.25x千米/时，

根据题意，得﹣=，

解得：x=60，

经检验，x=60是原方程的解，且x=60时，1.25x=75，符合题意．

答：该车实际行驶的速度为75千米/时．

18．如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE

是菱形吗？请说明理由．

【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；平行线分线段成比例．

【分析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．

【解答】解：四边形AFCE是菱形，

理由是：∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，

∴=，

∵AO=OC，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AFCE是菱形．

【考点】解直角三角形．

【分析】根据图形可以知道EF=EB+BF，分别在直角三角形ABE和BCF中，利用三角函数计算求出BE和BF的长，这样就能求出EF的长．

【解答】解：在直角三角形ABE中，AB=50cm，∠BAE=55°，

∴BE=AB?sin∠BAE=50?sin55°=50×0.82=41．

∵ABCD是矩形，

∴∠CBF=∠BAE=55°，

∴在直角三角形BCF中，BC=40cm，∠CBF=55°，

∴BF=BC?cos∠CBF=40?cos55°=40×0.57=22.8．

∴EF=BE+BF=41+22.8=63.8．

所以EF的长为63.8cm．

20．为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查，问卷如下：

根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．

请回答以下问题：

（1）此次被调查的学生人数为200 人，扇形统计图中m的值为13 ．

（2）请补全条形统计图．

（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请估计这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比即可求出总人数，再用D的人数除以总人数即可求出m的值；

（2）用总人数减去A、B、D的人数求出C的人数，从而补全统计图；

（3）用该市的总人数乘以这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）∵B组人数为74人，在扇形统计图中占37%，

∴此次被调查的学生人数为：74÷37%=200（人），

∵D组人数为26人，

∴=13%，则扇形统计图中m的值为：13；

故答案为：200，13；

（2）C的人数是：200﹣10﹣74﹣26=90（人），补图如下：

（3）∵该市某大学有学生15000人，

∴15000×=8700（人），

答：这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有8700人．

（1）求小明比小英早到目的地的时间．

（2）求图象中线段BC所对应的函数表达式．

（3）直接写出在小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米时x的取值范围．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据图形可得小英60分钟行驶了10千米，可以求得小英用的速度，从而可以求得小英用的时间，进而求得小明比小英早到目的地的时间；

（2）由图可知，点B和点C的坐标，从而可以求得线段BC所对应的函数表达式；

（3）根据题意和图形可以分别求得小明和小英的速度，以及各段他们对应的函数解析式，从而可以求得各段小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米时x的取值范围．．

【解答】解：（1）由图可知，小英60分钟行驶了10千米，

则小英到到目的地时用的时间为：分钟，

∵90﹣80=10，

故小明比小英早到目的地的时间是10分钟；

（2）由图象可得，点B的坐标是（40，5），点C的坐标是（80，15），

设过点B、C的函数解析式是y=kx+b，

则

解得，

即线段BC对应的函数解析式为：y=；

（3）由图象可知，小明20分钟行驶5千米，则小明的速度为：5÷20=0.25千米/分，

小英60分钟行驶了10千米，小英的速度为：10÷60=千米/分，

当0≤x≤20时，0≤，得0≤x≤12；

当20＜x≤40时，，得24≤x≤36；

当40＜x≤80时，，解得，48≤x≤72；

当80＜x≤90时，0≤15﹣≤1，得84≤x≤90；

由上可得，当0≤x≤12，24≤x≤36，48≤x≤72，84≤x≤90时，小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米．22．问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；

思维拓展：

探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法

求出这三角形的面积．

【考点】作图—代数计算作图．

【分析】（1）△ABC的面积=3×3﹣1×2÷2﹣1×3÷2﹣2×3÷2=3.5；

（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边； a 是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；

（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n

的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．

【解答】解：（1）；

（2）如图：

S△ABC=2a×4a﹣a×2a﹣×2a×2a﹣=3a2；

（3）解：构造△ABC所示，

S△ABC=3m×4n﹣﹣×3m×2n×2m×2n

=5mn．

23．如图，在△ABC中，AB=7，BC=4，∠B=45°，动点P、Q同时出发，点P沿A﹣C﹣B运动，在边AC的速

（1）当点P运动点C时，PD的长度为 4 ．

（2）求点D在直线l上时t的值．

（3）求y与t之间的函数关系式．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t使得在直线上任取一点H，均有HD=HE？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）过点P作PD垂直AB，垂足为D，由题意可知，△PDB为等腰直角三角形，从而可求得PD的长；

（2）先求得AD的长，然后依据勾股定理可求得AC的长，由锐角三角函数的定义AD=t，当点Q由A到B时．AQ=2

（t﹣3.5），然后由AQ=AD列方程求解即可；如图2所示：当点Q由B到A时，AP=t，则AD=t，BQ=2t，由AD+BQ=7

列方程求解即可；

（3）如图4所示：可分为正方形全部在△ABC的内部、正方形的一部分在△ABC内部、正方形的一半在△ABC的内部三种情况进行计算；

（4）由线段垂直平分线的性质可知l为DE的垂直平分线，然后用含t的式子表示出AQ，BQ的长，最后列方程求解即可．

【解答】解：（1）如图1所示：

．

∵PD⊥AB，

∴∠PDB=90°．

又∵∠DBP=45°．

∴PD=BD=BC×=4×=4．

故答案为：4．

（2）如图1所示：∵AB=7，BD=4，

∴AD=3．

∴AC=5．

∴sin∠A=，cos∠A=．

如图2所示：当点P在AC上时，AP=t，则PD=t，AD=t，BQ=2t．

∵AD+BQ=7，

∴t+2t=7．

解得：t=．

如图3所示：当点Q由A到B时．AD=t，AQ=2（t﹣3.5）．

根据题意得： t=2（t﹣3.5）．

解得t=5．

综上所述，当t=或t=5时，点D在直线l上．

（3）如图4所示：

∵PD=t，

∴S=DP2=（t）2=t2．

当点F恰好在BC上时．EF=BB=t．

∵AD+DE+EB=7，

∴t+t+t=7．

解得：t=．

∴当0＜t≤时，S=t2．

当＜t≤5时，如图5所示．

∵AQ=t，DE=PD=t，

∴EB=7﹣t．

∵∠GEB=90°，∠B=45°，

∴EG=EB=7﹣t．

∴FG=FE﹣GE=t﹣7．

∴S=PD2﹣FH?FG=﹣t2+t﹣．当5＜t≤7时，如图6所示．

∵AD=AC×+CP=3+（t﹣5）=t﹣2，∴DB=7﹣（t﹣2）=9﹣t．

∴S=（9﹣t）2=t2﹣9t+．

综上所述，S与t的关系式为S=．

（4）如图7所示：当l为DE的垂直平分线时，直线l上任意一点H，使的HD=HE．

∵AD=t，DE=DP=t，

∴AQ=t+t．

∵QB=2t．

∴t+2t=7．

解得：t=．

如图8所示：

∵由（3）可知AD=t﹣2，PD=9﹣t，

∴AQ=t﹣2+4.5﹣t=2.5+t．

∴2.5+t=2t﹣7．

解得：t=．

综上所述，当t=或t=时，在直线l上存在点H使得HD=HE．

24．原型：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，C是在直线l上的一点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．易证△ACD∽△CBE．（不需证明）

（1）当OA=OB时，如图②，m= 1 ，d= 1 ；

当OA≠OB，如图③，m=时，d= 1 ．

（2）若将抛物线“y=x2”换成“y=2x2”，其他条件不变，当OA=OB时，d= ；当OA≠OB，m=1时，d= ．

探究：若将抛物线“y=x2”换成“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，解答下列问题：

拓展：如图④，点A、B在抛物线y=ax2（a＞0）上，且OA⊥OB，连结AB与y轴关于点C，AB的延长线与x轴交

于点D．AE⊥x轴，垂足为E，当AE=时，△AOE与△CDO的面积之比为4：9 ．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）如图②中，根据条件利用相似三角形的性质求出点B坐标以及求出直线AB与y轴的交点，点M的坐标即可．

（2）如图③中，由题意A（，），设B（k，k2）由△AOM∽△OBN，得，求出点B坐标，再求出直线

AB与y轴的交点即可解决问题

探究：（1）利用相似三角形性质求出点B坐标，再求出直线AB与y轴的交点即可解决问题．

（2）如图④中，结论：d=，由点A（m，am2），点B（n，an2）的坐标，求出直线AB的解析式，再利用△AOM

∽△OBN得，得出mn与a的关系即可解决问题．

【解答】解：（1）如图②中，∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴A、B关于y轴得出，

∴AB∥MN，

∴可以设点A坐标（x，x），

∴x=x2，

∵x≠0，

∴x=1，

∴m=1，d=1．

如图③中，由题意A（，），设B（k，k2）．

∵△AOM∽△OBN，

∴，

∴k=﹣，

∴点B坐标（﹣，），设直线AB为y=k′x+b则解得，

∴直线AB为y=﹣+1，

∴d=1．

故答案为1，1，1．

（2）若将抛物线“y=x2”换成“y=2x2”，其他条件不变，当OA=OB时，如图2，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴A、B关于y轴得出，

∴AB∥MN，

∴可以设点A坐标（x，x），

∴x=2x2，

∵x≠0，

∴x=，

∴d=，

当OA≠OB，m=1时，如图3中，点A（1，2），设B（k，2k2）．

∵△AOM∽△OBN，

∴，

∴=，

∴k=﹣，

∴点B（﹣，），

∵直线AB为y=x+．

∴点C坐标为（0，），

∴d=．

故答案为，．

探究（1）同理可以得到d=，d=2．

故答案为，2．

（2）结论：d=．

证明：∵M（m，0），N（n，0），点A、B都在抛物线上，

∴点A（m，am2），点B（n，an2），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴解得，

又∵△AOM∽△OBN，

∴，

∴=，