(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业 专题14 椭圆、双曲线、抛物线(背)
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨12F F 、12F F 迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数M F l ，则动点的轨迹叫做椭圆。
)10(<<e e M 定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。
F l e 说明：①若常数等于，则动点轨迹是线段。
2a 2c 12F F ②若常数小于，则动点轨迹不存在。
2a 2c 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程中)0(12222>>=+b a by a x 心在原点，焦点在轴上x )0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在轴上y 图形范围x a y b≤≤，x b y a≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴轴、轴；x y 长轴长，短轴长；2a 2b 焦点在长轴上轴、轴；x y 长轴长，短轴长；2a 2b 焦点在长轴上焦点()()1200F c F c -，、，()()1200F c F c -，、，焦距)0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程的参数方程为22221x y a b+=()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数的参数方程为22221y x a b+=()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
2020高考文科数学专用专题能力训练：椭圆、双曲线、抛物线含解析
������ = ������(������-������), 由{������ = 1 ������2 消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0,
4
由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t.
因此,点 A 的坐标为(2t,t2).
设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,
(2)由(1)知|AP|=t·√1 + ������2和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0.
点 B 到直线 PA 的距离是 d=√1������+2������2. 设△PAB 的面积为 S(t),
所以 S(t)=12|AP|·d=������23. 10.解 (1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;
(1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.
2 / 10
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物 线相切,称该公共点为切点.
10.如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线 MA,MB 的斜率之积为 4,设动 点 M 的轨迹为 C.
对于方程①,其判别式 Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,
而当 1 或-1 为方程①的根时,m 的值为-1 或 1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1.
设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),
A.������2 − ������2=1
B.������2 − ������2=1
4 12
12 4
C.������32-y2=1
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题14椭圆、双曲线、抛物线(练)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业 专题14椭圆、双曲线、抛物线（练）x 22y （含解析）1•已知椭圆E: 2 a b 2 1(a b 0) 的右焦点为F （3,0）,过点 F 的直线交 E 于A , B 两点•若AB 的中点坐标为 (1, 1) ?则 E 的方程为 ()2 22 2 2 22 2xy1x y1 x y 1X y 1 A. 45 36B .4527C . 27 18D . 18 9【答案】D 【解析】笙二竺+匸空“ 原丸二1二上工空亠Z 剜得工丄 W,得 ab' 花—芒 a i': - v ; a 1 S a 2ff :=18i fe :=9）故选几施 1.W3中皿的关系；乩点差法的应用.2•定义：曲线C 上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C 到直线1的距离，已知曲线C 1：y' x a到直线1:x2y 0的距离为「5，则实数a 的值为（）【答案】D 【解析】试题分忻2设平行于M^r r-2i =0_E 的直践黄工一邛十刚二0,gpw =±5,由Higx-2v + w = 0^曲块C\相切.-■龙一2丘一加+翊二CL— 2^/^—2玄+拥=0,由A =】一4『-A +栩）=°得1 + 2口一叨=0 ,①当酬=哎时，d = 2» （检验得不満定亲冲，舍去）②当删二一5时，立二一3,选D.试题分析；由设月（禺』）卫帀・门）、代丄椭圆中得,两式相减得A. 3 或 3B. 2 或 3C.2D. 3F 1H考点：平行直线，直线与曲线相切，一元二次方程的根的判别式2b 2 1(a 0，b 0)的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆【解析】试题分析；扇如双曲箜的渐近塢亩稈为V- ±-,町血土妙丛又風』:(r-c); + v :=-mt 为 a4【解祈】试題分析：设椭园的焦点斤(-亡』》，兀仁Q.由壬倉可知民冏线方程为二-写=1，其酣近线方程为 c iT=±-JC ，又双曲线的两条渐近趺与橢创的煌点构飞的四边形恰酋正方形，所以由瞞园的对除性知双曲线C的斯近绽方程為F 二士口即方二G 所以宀辰"石戲椭圆的离心率为也.肴擦2双曲线、椭圆的性质.瞞圆的离尤苗刘求法.3.已知F (c,°)是双曲线M : (x c)24相切，则双曲线的离心率为(B. 、2C. 33 2D. 2半径5 且双曲线匸的渐近戍与圆・滸启理得即肿7可執二空23考点：收曲缕的性质.直线与囿的位置穴系，欢也的离心駁4.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 2 2M 古1(a b 0)的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( 1A. 3【答案】B. 2C. 3_2D. 2)5•已知两个正数a, b的等差中项是92，一个等比中项是 2 5，且a2 by _ xb，则抛物线 a 的焦点坐标为( )51 1 c、2(,0)(-,0)(匚,0)(-,0)A. 16B.5C. 5rD. 5【着案】B【解析】N + 占=9’4盂题分析：依题意::= 20，解得口二境ir=4r ' J方程九工*=一二小7=6二其定点ffi] \a>h ~色标为(--.0),选B・皆点：等差中项，等比中项.抛物线的性质.二、填空题6•与抛物线y 8x相切的倾斜角为135的直线1与X轴和y轴的焦点分别为A和B，记过A、B两点的最小圆为C •(I)则圆C的方程是；(n)圆C截抛物线'8x的准线所得的弦长为1):是£PA8当"0时【解析】V = —br试题分析！（ I ）谡直线r 的方程対丁二-X 十乩 麻立方程绢消去工整理得L 十蚤-甜 严—8^越―2Q ）,风Q —2）,过小P 两点的最小團町一叨为审它的鳳 其片程为（＞亠1『十（丁十1）（II ）依题意，抛物^y :=8^Bfg^^：Z].Y=-l 由（1）切囚C 的圆心対（―人―1）,其圆系到准鏡的距离为1-于是所载得的弦长为丄J 而 M = 2.肴点,；直线与拋物録的位置关系，團的方程，直线截園所得的弦按计算.|PA|27•抛物线y 8x的焦点为F ，点（x,y ）为该抛物线上的动点，，又已知点A （ 2,0），则|PF|的取值范围【解析】述题分析：由抛物线的定义可得|W 二 K, X | PA |=7（-V-2）-+V -=^ + 2）:+8JC ）当且仅当K =・卩：V = 2时取等务・于是K+?44Ng,综上所述二皂 的母值范围是[i=JT] + PF普点；拋物统的定久 最值问题，基本不等式.T 直统2抛物线相切，则△二S ： -4其（-$防二0,解得b:直徙r 的方程为工十二o’从而 【答宪】[1.71] 当“0时,1—X'++ 4三•解答题2 2 2C ：x y b 相切于点 M （X 。
椭圆双曲线抛物线 高考数学专题复习精细高效梳理(附详解)
第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义－a≤x≤a(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，这时，P 在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .(4)若P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则a －c ≤|PF |≤a ＋c .二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a >|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a <|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1. 求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3. 求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4. 判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x (或y )的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2| ③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0) ⑥(a,0) ⑦(0，－b) ⑧(0，b) ⑨(0，－a) ⑩(0，a) ⑪(－b,0) ⑫(b,0) ⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1) ⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________ x∈R3.双曲线中的4个常用结论(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝2；若0<a<b，则双曲线的离心率e> 2.3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.三、技法1. 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2. 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.3. 求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程为：x a ±y b＝0.参考答案①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距 ④2a <|F 1F 2| ⑤2a ＝|F 1F 2| ⑥2a >|F 1F 2|⑦x ≥a 或x ≤－a ⑧y ≥a 或y ≤－a ⑨x 轴，y 轴 ⑩坐标原点 ⑪x 轴，y 轴⑫坐标原点 ⑬(－a,0) ⑭(a,0) ⑮(0，－a ) ⑯(0，a ) ⑰y ＝±b a x ⑱y ＝±a bx ⑲c a ⑳ a 2＋b 2 ○212a ○222b ○23a 2＋b 2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p .二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1. 应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2. 2. 求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2) ⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2⑭y 0＋p 2⑮y ≤0 ⑯y ≥0。
(寒假总动员)2018-2019年秋年高三数学寒假作业 专题14 椭圆、双曲线、抛物线(练)(含解析)
（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（练）（含解析）1.已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxE的右焦点为)0,3(F，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为)1,1(-，则E的方程为（）A.1364522=+yxB．1274522=+yxC．1182722=+yxD．191822=+yx2.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线1:C y x a=+到直线:20l x y-=的距离为5，则实数a的值为（）A.3或3-B.2或3-C.2D.3-考点：平行直线，直线与曲线相切，一元二次方程的根的判别式.3.已知)0,(c F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆4)(:222c y c x M =+-相切，则双曲线的离心率为（ ）A.332 B.2 C.3 D. 2234.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）A. 31B.21C.33D.225.已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a b >，则抛物线2b y xa =-的焦点坐标为（ ）A.5(,0)16-B.1(,0)5-C.1(,0)5D.2(,0)5-二、填空题6.与抛物线x y 82=相切的倾斜角为135 的直线l 与x 轴和y 轴的焦点分别为A 和B ，记过A 、B 两点的最小圆为C .（Ⅰ）则圆C 的方程是 ；（Ⅱ）圆C 截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为. 7.抛物线x y 82=的焦点为F ，点),(y x 为该抛物线上的动点，，又已知点)0,2(-A ，则||||PF PA 的取值范围是 .三．解答题8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点F ，y 轴右侧的点A 在椭圆E 上运动，直线MA 与圆222:b y x C =+相切于点),(00y x M .（Ⅰ）求直线MA 的方程； （Ⅱ）求证：||||AM AF +为定值.。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业 专题14 椭圆、双曲线、抛物线(测)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业 专题14 椭圆、双曲线、抛物线（测）（含解析）时间：45分钟 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共50分）1.(2020年高考新课标全国卷理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【解析】∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==. 2.(2020年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83. (2020年高考福建卷理科8)双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．54．(2020年高考浙江卷理科8)如图，F1，F2分别是双曲线C：22221x ya b-=(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A．23B．6C．2 D．35.(2020年高考山东卷理科10)已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为6.(2020年高考安徽卷理科9)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（ ）()A 22 ()B 2 ()C 322()D 227. (2020年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1D.220x -280y =18. (2020年高考四川卷理科8)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
高考数学专题复习《椭圆、双曲线、抛物线》突破解析
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．【热点突破】【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1【答案】 D【解析】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52 D ．2【答案】 B【解析】 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得|y 0|＝32.所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1 (1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】 C【解析】 方法一 因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p2，即M (5－p2，2p (5－p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52，122p (5－p2)).因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p (5－p2)，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.方法二 由已知得抛物线的焦点F (p2，0)，设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则A F → ＝(p 2，－2)，A M →＝(y 202p ，y 0－2).由已知，得A F → ·A M →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M (8p，4).由|MF|＝5，得(8p －p2)2＋16＝5.又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25] B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】 A【解析】 椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m .由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)，所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋25.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二 圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca.(2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．【热点突破】【典例】2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且A F 1→ ·A F 2→ ＝0，A F 2→ ＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B.34 C.53 D.74【答案】 C【解析】 ∵A F 2→ ＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵A F 1→ ·A F 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a3，∴|AF 2|＝2a3，|AF 1|＝4a3，在Rt △AF 1F 2中，有(4a 3)2＋(2a 3)2＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72 B ．4 C ．7 D ．8【答案】 B【解析】 由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立Error!得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2ps i n 2α(α为直线l 的倾斜角)．(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|A F |＋1|B F |＝2p .【拓展训练】2 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( )A.32B.233C.217D.213【答案】 D【解析】 抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，准线方程为x ＝－p 2，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得Error!解得y ＝±p b 2a ，可得|AB|＝p ba，由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·p ba ，即有b a ＝23，则e ＝ca＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)(x 0>p 2)是抛物线C 上一点，圆M与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA|，若|M A ||A F |＝2，则|AF|等于( )A.32 B ．1 C ．2 D ．3【答案】 B【解析】 如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2(x 0－p2).∵|M A ||A F |＝2，∴|MF|＝32|MA|，∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2(x 0－p2)＝2，∴|AF|＝1.【要点提炼】考点三 直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.(2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)，所以|BP|＝y P1＋y 2Q，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102，故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52；|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026，故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ 的面积为52.规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1【答案】 B【解析】 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝ca ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝ 2m 2＋ 3m 2－ 3m 22×2m ·3m ＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2(1a)2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( )A.12B．1 C.2 D.3【答案】 D【解析】 假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE 的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝|A B|2－|B C|2＝16m2－4m2＝23m，则tan∠ABC＝|A C||B C|＝23m2m＝3，即直线AB的斜率k＝3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±23x，则此双曲线的离心率为( )A.134B.132C.133D.134【答案】 C【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±23x，所以ba＝23，所以双曲线的离心率e＝ca＝1＋(b a)2＝1＋(23)2＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2 B．3 C．6 D．9【答案】 C【解析】 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋p2＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为－23，则C的方程为( )A.x212＋y28＝1 B.x212＋y24＝1C.x23＋y22＝1 D.x23＋y2＝1【答案】 C【解析】 由△AF1B的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3，则M (－3，0)，N(3，0)．设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2(1－x 203)，②由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( )A.2 B.3 C ．2 D.5【答案】 A【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为(x －c2)2＋y 2＝c 24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－(a 2c)2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－(a 2c )2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】 C【解析】 如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点，∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1，∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ，∴|HF1|＝a＋c 2，直线PF1的方程是y＝ab(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝|a c|a2＋b2＝a，∴在△OHF1中，a2＋(a＋c2)2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝53或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( ) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－m n xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线【答案】 ACD【解析】 对于A，当m>n>0时，有1n>1m>0，方程化为x21m＋y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示半径为1n的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为x21m－y2－1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b ＝－1n ，渐近线方程为y ＝±－m nx ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x 2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n ，b ＝－1m ，渐近线方程为y ＝±－mn x ，故C 正确．对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确．7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点【答案】 AC【解析】 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y 23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝e x －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x ＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A ．p ＝4 B.D F → ＝F A →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】 ABC【解析】 如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则D F → ＝F A →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．【答案】 (3，15)【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则Error!得Error!所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．【答案】 2【解析】 如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B (c ，b 2a )，则k AB ＝b 2a －0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．【答案】 3【解析】 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y 轴上，∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x 23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝|23|1＋3＝3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则A B → ·C D → 的值为________．【答案】 p 24【解析】 易知A B → ·C D →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A (p 2，p )，B (p 2，p 2)，C (p 2，－p 2)，D (p 2，－p )，|A B →|＝|C D → |＝p 2，所以A B → ·C D → ＝p 2·p 2＝p 24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k (x －p 2)，由Error!可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则A B → ·C D → ＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，A B → ·C D →＝p 24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c.由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a，即3×ca＝2－2(ca )2，解得ca ＝－2(舍去)，ca ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c 2＝1.设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1.①由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得 5－c 24c 2＋4 5－c 3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为23.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解 由题意可得Error!解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立Error!得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2).所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r＝|22＋22|8＋9＝4217.因为点F到直线GB的距离d＝|22＋22|8＋9＝4217＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
2020年高考数学(文)二轮复习命题考点串讲系列-专题14 椭圆、双曲线、抛物线(含答案解析)
2020年高考数学（文）二轮复习命题考点串讲系列-专题14 椭圆、双曲线与抛物线1、考情解读1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．2、重点知识梳理一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎫p2，0轴 长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 e ＝c a＝1－b2a2(0<e<1)e ＝c a＝1＋b2a2(e>1)e ＝1 准线x ＝－p 2通径 |AB |＝2b 2a|AB |＝2p渐近线y ＝±b ax【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．3、高频考点突破考点1 椭圆的定义及其方程例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n++>+ ，故121e e >．故选A ．【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【答案】D考点2 椭圆的几何性质例2．【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A 13B 5C ．23D ．59【答案】B 【解析】94533e -==B ．【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0) x ya bab+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线P A交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．考点3 双曲线的定义及标准方程例3．【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为()1332122⨯⨯-=，选D ．【变式探究】【2016高考天津文数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.考点4 双曲线的几何性质例4．【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e <<，故选C.【变式探究】【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 【答案】D考点5 抛物线的定义及方程例5．【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得2222222102A B y py pb y y p a b b a a-+-=∴+==⇒=因此该双曲线的渐近线方程为22y x =±【变式探究】【2016年高考四川文数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A 3 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r Q()222max 22,,21121223633,,122212221,,22332OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤==∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2【答案】C考点6 抛物线的几何性质例6．【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1【答案】D【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B. 2)C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==B ．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A.5B.22C. 23D. 33 【答案】C5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．(0,3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U【答案】A6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A 6B ．3 C 2D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===故选A.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D8.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以1c a ==，解得2m = . 9.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得222222210A B y py pb y y p a b a a-+-=∴+==⇒=因此该双曲线的渐近线方程为2y x =±10.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=± ，结合题意可得：5a =.学%科网11.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .【答案】2312.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠， 2114x y =， 2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-. （2）由24x y =，得'2xy =.设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）. 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2,2+m ），|MN |=|m +1|.将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=.当()1610m ∆=+>，即1m >-时， 1,2221x m =±+从而()12||=2421AB x m -=+. 由题设知2AB MN =，即()()42121m m +=+，解得7m =. 所以直线AB 的方程为7y x =+.13.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【答案】（1）（2）见解析14.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ） 22142x y +=.(II) 3π. 【解析】因为NF m =， 所以()()()2422222224318312121k k ND k NFkk+++==+++.令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=， 所以()222161611112ND tNFt t t=+=++++ . 令1y t t =+，所以211y t'=-.当3t ≥时， 0y '>,从而1y t t=+在[)3,+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<<且0m ≠.故12NFND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥ ，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线L 的斜率是0. 综上所述：当0k =， ()()2,00,2m ∈-⋃时， EDF ∠取到最小值π3.15.【2017北京，文19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214x y += ；（Ⅱ）详见解析.16.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737) 【解析】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(3- （C ）()0,3 （D ）(3 【答案】AF 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．2.【2016年高考四川文数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A（B ）23（C（D ）1 【答案】C3.【2016高考新课标2文数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a=，故双曲线离心率e ==.选A. 4.【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A5.【2016高考浙江文数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =,即A 点纵坐标为22,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==, 2222AC OC AO r +==,即22224(5)()(22)()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.7.【2016高考新课标3文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8.【2016高考天津文数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴22224444224x x y b bb y x y b ⎧=⎧+=⎪+⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⋅⎩⎪+⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 .【答案】6 【解析】由题意得33(,),C(,),22b b B a a -，因此2222236()()032.2b c a c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津文数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.11.【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22221x y a b -= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是______.【答案】2【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2.12.【2016年高考北京文数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.【答案】213.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是__________.【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=Q 焦距为2c故答案应填：14.【2016高考山东文数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --；②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(【解析】因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).316.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 17.【2016高考新课标3文数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以AR FQ P . ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而yba=+2，所以)1(12≠-=xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12-=xy. ....12分18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）2222211a kka k⋅++；（II）22e<≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx=+被椭圆截得的线段为AP，由22211y kxxya=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx++=，故1x=，222221a kxa k=-+．因此22212222111a kAP k x x ka k=+-=⋅++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足AP AQ=．记直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，且1k，2k>，12k k≠．由（Ⅰ）知，22 11121a k kAP+=，2222221a k kAQ+=，故22221122122121a k k a k k++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k≠，1k，2k>得()2222221212120k k a a k k+++-=，19.【2016高考新课标2文数】已知椭圆:E2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于,A M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN==时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN=时，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)32,2.【解析】（Ⅰ）设()11,M x y，则由题意知1y>，当4t=时，E的方程为22143x y+=，()2,0A-.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4π.因此直线AM的方程为2y x=+.20.【2016年高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：22221+= x ya b （0a b>>）的离心率为3，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN⋅为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）详见解析.令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.21.【2016年高考四川文数】（本小题满分13分）已知椭圆E：22221(0) x ya ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得2PT PA PBλ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y+=，点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.所以P点坐标为（222,133m m-+），2289PT m=.设点A，B的坐标分别为1122(,)(,)A x yB x y，.由方程组2216312x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)23323m m mPA x y x =--++-=-- ， 同理252223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 22. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B、两点。
(寒假总动员)2019年高三数学寒假作业 专题14 椭圆、双曲线、抛物线(练)(含解析)
（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（练）（含解析）1.已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxE的右焦点为)0,3(F，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为)1,1(-，则E的方程为（）A.1364522=+yxB．1274522=+yxC．1182722=+yxD．191822=+yx2.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线1:C y x a=+到直线:20l x y-=的距离为5，则实数a的值为（）A.3或3-B.2或3-C.2D.3-考点：平行直线，直线与曲线相切，一元二次方程的根的判别式.3.已知)0,(c F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆4)(:222c y c x M =+-相切，则双曲线的离心率为（ ）A.332 B.2 C.3 D. 2234.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）A. 31B.21C.33D.225.已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a b >，则抛物线2b y xa =-的焦点坐标为（ ）A.5(,0)16-B.1(,0)5-C.1(,0)5D.2(,0)5-二、填空题6.与抛物线x y 82=相切的倾斜角为135 的直线l 与x 轴和y 轴的焦点分别为A 和B ，记过A 、B 两点的最小圆为C .（Ⅰ）则圆C 的方程是 ；（Ⅱ）圆C 截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为. 7.抛物线x y 82=的焦点为F ，点),(y x 为该抛物线上的动点，，又已知点)0,2(-A ，则||||PF PA 的取值范围是 .三．解答题8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点F ，y 轴右侧的点A 在椭圆E 上运动，直线MA 与圆222:b y x C =+相切于点),(00y x M .（Ⅰ）求直线MA 的方程； （Ⅱ）求证：||||AM AF +为定值.。
2020年高考数学(文科)二轮复习押题特训专题14 椭圆、双曲线与抛物线(含答案解析)
2020年高考数学（文科）二轮复习押题特训专题14 椭圆、双曲线与抛物线1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.x216－y29＝1 B.x23－y24＝1C.x29－y216＝1 D.x24－y23＝1【答案】C2．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍【答案】A【解析】由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，如图，∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P(3，b)，把P(3，b)代入椭圆x212＋y23＝1，得b2＝34.∴|PF1|＝36＋34＝732，|PF2|＝0＋34＝32.∴|PF1||PF2|＝73232＝7.故选A.3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22B. 2C. 3D.62 【答案】B【解析】根据已知条件得： ⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋c 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－c 2＋12＝4c 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2， ∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca ＝ 2.故选B.5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263， ∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 【答案】B7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2， 由||F A ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca ，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a2＋2ac a2>a 2＋c 2a2＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2，所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D11．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12 【答案】D12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a （x －c ），y ＝－b a x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a . ∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2 ＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ， 即c 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ， 得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【答案】 214．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】x ＝－2【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a . 而由⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED→＝6DF →，则k 的值为________．【答案】23或3816．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1， 联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， 所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.18．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0， ∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}， 设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2， ∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32.20．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21，所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22，又因为k 1k 2＝－12，所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22 ＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22 ＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12。
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（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（背）
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1
(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝
c
a∈(0,1)
3．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
4．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)
性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，
它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关
系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
5．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
图形
标准方程y2＝2px (p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
续表
性质顶点O(0,0)
对称轴y＝0 x＝0
焦点F⎝⎛⎭⎫
p
2，0F⎝
⎛
⎭
⎫
－
p
2，0F⎝
⎛
⎭
⎫
0，
p
2F⎝
⎛
⎭
⎫
0，－
p
2离心率e＝1
准线方程x＝－
p
2x＝
p
2y＝－
p
2y＝
p
2
范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下。