2018一模圆锥曲线
2018届人教A版 圆锥曲线 检测卷
一、选择题1．(2016·山西四校)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A.5 B ．5 C ．2 5 D ．10答案 B解析 由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b)与(2，2)的距离的平方，而（a －2）2＋（b －2）2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.2．(2016·百校联盟)已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋(y ＋3)2＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB|＝43”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k2＝61＋k 2，弦长的一半为|AB|2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k2，解得k 2＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB|＝43”的充分不必要条件，故选A.3．(2016·合肥质检)已知点A ，B 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P 为双曲线C 上异于A ，B 的另外一点，且△ABP 是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为( ) A.3x ±y ＝0 B ．x ±3y ＝0 C ．x ±y ＝0 D.2x ±y ＝0答案 C解析 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，且∠ABP ＝120°，过点P 作PP ′垂直于x 轴并交x 轴于P ′，故|BP|＝|AB|＝2|BP ′|＝2a ，故在直角三角形BPP ′中，P(2a ，3a)，代入双曲线的方程中整理得b 2a 2＝1，即ba ＝1，即双曲线的渐近线方程为y ＝±x.4．(2016·新课标全国Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32 C. 3 D ．2答案 A解析 设F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝122，c 2－a 2ac ＝12，e 2－1＝22e ，解得e ＝ 2.选A.5．(2016·河北三市七校)过点P(－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA|＝12|AB|，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97 D ．2 答案 A解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，分别过A 、B 作直线x ＝－1的垂线，垂足分别为D 、E ，∵|PA|＝12|AB|，∴⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2，3y 1＝y 2又⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝4x 1，y 22＝4x 2得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.6．(2016·福州调研)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝3，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点D ，E ，F ，G ，则四边形DFEG 面积的最大值为( ) A ．4 3 B ．7 C ．5 2 D ．8答案 B解析 如图，C ：x 2＋y 2－2x ＝3⇒(x －1)2＋y 2＝4，则圆心C(1，0)，r ＝2，因|DE|＝2r 2－d 12＝24－d 12，|FG|＝2r 2－d 22＝24－d 22，又d 12＋d 22＝OC 2＝1，所以S 四边形DFEG ＝12|DE|·|FG|＝24－d 124－d 22≤4－d 12＋4－d 22＝7，即四边形面积的最大值为7.7．(2016·福州五校)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是y ＝32x ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 228－y 221＝1 D.x 23－y 24＝1答案 B解析 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝32，抛物线的准线方程为x ＝ －7，所以c ＝7，由a 2＋b 2＝c 2，可得a 2＝4，b 2＝3，故选B. 8．(2016·石家庄模拟)如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计)．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.154B.15C.265D.14答案 A解析 如图，设上、下两个乒乓球的球心分别为O1，O 2，椭圆与球筒边缘的交点分别为E ，F ，椭圆与两个乒乓球的切点分别为A ，B ，由题可知，|O 1O 2|＝16，|O 1A|＝2，过点E 作EM ⊥O 1O 2，则|EM|＝|O 1A|＝2，易知△EMO ≌△O 1AO ，则|EO|＝|O 1O|＝8，所以|EF|＝16，即2a ＝16，a ＝8.椭圆的短轴长为圆柱的直径，即2b ＝4，b ＝2，所以c ＝a 2－b 2＝215，故该椭圆的离心率e ＝c a ＝154，选项A 正确．9．(2016·山西质检)F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b>0)的左，右焦点，点P 在双曲线上，满足PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为3－12，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2＋1 D.3＋1答案 D解析 不妨设|PF 1|＝m ，根据双曲线的定义有|PF 2|＝m ＋2a ，由于PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1→⊥PF 2→，则有m 2＋(m ＋2a)2＝(2c)2，整理有2m 2＋4am ＝4c 2－4a 2＝4b 2，即m 2＋2am －2b 2＝0，解得m ＝a 2＋2b 2－a(负值舍去)，即|PF 1|＝a 2＋2b 2－a ，|PF 2|＝a 2＋2b 2＋a ，设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，则有12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)r ＝12·|PF 1||PF 2|，解得r ＝b 2a 2＋2b 2＋c，又△PF 1F 2的外接圆半径R ＝c ，则有rR ＝b 2（a 2＋2b 2＋c ）·c ＝3－12，整理有c 2－a 2c （2c 2－a 2＋c ）＝3－12，整理可得c ＝(3＋1)a ，故双曲线的离心率为e ＝ca ＝3＋1.10．(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m>1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n>0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m>n 且e 1e 2>1 B ．m>n 且e 1e 2<1 C ．m<n 且e 1e 2>1 D ．m<n 且e 1e 2<1答案 A解析 由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m>n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 11．(2016·山西协作体)已知A 1，A 2分别为双曲线x 24－y 29＝1的左、右顶点，P 为双曲线上第一象限内的点，直线l ：x ＝1与x 轴交于点C ，若直线PA 1，PA 2分别交直线l 于B 1，B 2两点，且△A 1B 1C 与△A 2B 2C 的面积相等，则直线PA 1的斜率为( ) A.33 B.12 C.32 D.13答案 B解析 由已知，显然直线PA 1的斜率存在，故可设直线PA 1的方程为y ＝k(x ＋2)，由已知k>0，则由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 24－y 29＝1得(9－4k 2)y 2－36ky ＝0，易知9－4k 2≠0，因而P(18＋8k 29－4k 2，36k 9－4k 2)，所以kPA 2＝94k ，则直线PA 2的方程为y ＝94k (x －2)，直线PA 1，PA 2与直线l 分别交于B 1(1，3k)，B 2(1，－94k )，因而12×3×3k ＝12×1×94k ，得k ＝12，故选B.12．(2016·重庆测试)若以F 1(－3，0)，F 2(3，0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( ) A.62 B.355 C.32 D. 3答案 B解析 依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2.由⎩⎨⎧y ＝x －1x 2a 2－y 2b 2＝1消去y ，得x 2a 2－（x －1）2b2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解，注意到当b 2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1(b 2＝9－a 2>0且a 2≠b 2)，由此解得0<a 2≤5且a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是355，选B. 二、填空题13．(2016·九江模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上位于第一象限的点，过点P 作C 的准线的垂线，垂足为M ，若FP →在FM →方向上的投影为2，则△FPM 外接圆的方程为________． 答案 x 2＋(y －1)2＝2解析 依题意得F(1，0)，设M(－1，t)(t>0)，|PF|＝|PM|，∵FP →在FM →方向上的投影为2，∴|MF|＝22，∴22＋t 2＝22，解得t ＝2，∴P(1，2)，∴△FPM 为直角三角形，且其外接圆圆心为(0，1)，半径为2，故△FPM 的外接圆的方程x 2＋(y －1)2＝2.14．(2016·合肥六校)已知点P 和Q 的纵坐标相同，P 的横坐标是Q 的横坐标的3倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2，若C 1的渐近线方程为y ＝±3x ，则C 2的渐近线方程为________． 答案 y ＝±33x解析 设Q(x 1，y 1)，P(3x 1，y 1)，根据双曲线的对称性设C 1的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则9x 12a 2－y 12b 2＝1，即C 2的方程为x 2（a 3）2－y 2b 2＝1.因为C 1的渐近线方程为y ＝±3x ，所以b a ＝3，所以C 2的渐近线方程为y ＝±ba 3x ，即y ＝±33x.15．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________． 答案 63解析 由题意可得B(－32a ，b 2)，C(32a ，b2)，F(c ，0)．则由∠BFC ＝90°，得BF →·CF→＝(c ＋32a ，－b 2)·(c －32a ，－b 2)＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63.16．(2016·黄山七校)已知点P 是抛物线C 1：y 2＝4x 上的动点，过点P 作圆C 2：(x －3)2＋y 2＝2的两条切线，则两切线夹角的最大值为________．答案 π3解析 由已知得，圆心C 2(3，0)，半径为 2.设点P(y 024，y 0)，两切点分别为A ，B ，要使两切线的夹角最大，只需|PC 2|最小，|PC 2|＝（y 024－3）2＋（y 0－0）2＝116（y 02－4）2＋8，当y 02＝4时，|PC 2|min ＝22，∴∠APC 2＝∠BPC 2＝π6，∴∠APB ＝π3.17．(2016·衡中调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)交于点O 、A 、B ，若△ABO 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 32解析 由题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线C 2：x 2＝2py 联立，可得x ＝0或x ＝±2pb a ，取A(2pb a ，2pb 2a 2)，设垂心H(0，p2)，则k AH ＝2pb 2a 2－p22pb a ＝4b 2－a 24ab ，而△OAB 的垂心为C 2的焦点，则有4b 2－a 24ab ×(－ba )＝－1，可得5a 2＝4b 2，则有5a 2＝4(c 2－a 2)，故e ＝c a ＝32.18．(2016·湖南六校联考)已知椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________． 答案 (1，0)解析 设点P(x 0，y 0)、M(4，y M )、N(4，y N )，则直线PA 、PB 所在的直线方程分别为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)、y ＝y 0x 0－2(x －2)，依题意，可求得y M ＝6y 0x 0＋2，y N ＝2y 0x 0－2.∵DM →＝(－3，y M )，DN →＝(－3，y N )，∴DM →·DN →＝9＋12y 02x 02－4，又x 024＋y 023＝1，∴12－3x 02＝4y 02，即12y 02x 02－4＝－9，∴DM →·DN →＝0，∴MN 为过D 、M 、N 三点的圆的直径．通解：设定点为E(t ，0)，则MN 为线段DE 的垂直平分线，又线段MN 为圆的直径，令圆心为F(4，a)，可得|EF|＝|FD|，即（4－t ）2＋（a －0）2＝（4－7）2＋（a －0）2，解得t ＝1或7(舍)，所以定点坐标为(1，0)． 优解：设定点E(t ，0)，则MN 为线段DE 的垂直平分线，所以点E 与点D 关于直线x ＝4对称，故定点为E(1，0)．1．(2016·长春监测)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2－|PN|2的最小值为( ) A ．10 B ．13 C ．16 D ．19答案 B解析 由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.故选B.2．(2016·石家庄质检)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12B ．1C ．2D ．4答案 C解析 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A(x 1，x 1)，B(x 2，－x 2)，∴AB 中点坐标为(x 1＋x 22，x 1－x 22)，∴(x 1＋x 22)2－(x 1－x 22)2＝2，即x 1x 2＝2， ∴S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2，故选C.3．(2016·衡阳二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π12，π6]，则该双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．[2，3＋1] B ．[3，2＋3] C ．[2，2＋3] D ．[3，3＋1]答案 A解析 在Rt △ABF 中，|OF|＝c ，∴|AB|＝2c ，∴|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos α，由题中条件知|BF ′|＝|AF|，∴||BF|－|AF||＝2c|cos α－sin α|＝2a ，∴e ＝c a ＝1|cos α－sin α|＝12|cos （α＋π4）|，∵π12≤α≤π6，∴π3≤α＋π4≤5π12，∴cos (α＋π4)∈[6－24，12]，2|cos (α＋π4)|∈[3－12，22]，∴e ∈[2，3＋1]．4．(2016·南昌调研)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，AF 2→＝λF 2B →(λ>0)，其中A 、B 为双曲线右支上的两点．若在△AF 1B 中，∠F 1AB ＝90°，|F 1B|＝2|AB|，则双曲线Γ的离心率的平方的值为( ) A ．5＋2 2 B ．5－2 2 C ．6－ 2 D ．6＋ 2答案 B解析 ∵AF 2→＝λF 2B →(λ>0)，∴A 、F 2、B 三点共线．在△AF 1B 中，∠F 1AB ＝ 90°，|F 1B|＝2|AB|，故△AF 1B 是等腰直角三角形．设|AF 2|＝m ，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，得|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝2a ＋m ，又|AF 1|＝|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|＝m ＋|BF 2|，∴|BF 2|＝2a ，又|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝4a ，依题意|BF 1|＝2|AF 1|，即4a ＝2(2a ＋m)，m ＝2(2－1)a ，在Rt △F 1AF 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，即8a 2＋(22a －2a)2＝4c 2，即c 2＝5a 2－22a 2，∴e 2＝5－22，故选B.5．(2016·开封模拟)已知点A(0，2)，抛物线C 1：y 2＝ax(a>0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 1相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶5，则a 的值等于________．答案 4解析 过点M 作准线的垂线，垂足为H ，则|FM|＝|MH|，∵|FM||MN|＝|MH||MN|＝15，∴tan ∠NMH ＝2，即k MF ＝－2，∴＝－2，解得a ＝4.。
2018年高考数学 专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题黄金解题模板
专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【方法点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【变式演练1】【2018贵州省遵义市模拟】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G（0，）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由圆F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），则F2（﹣1，0），由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，∵∴点M的轨迹C的方程为；方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.【变式演练2】【2018河南郑州市第一中学模拟】设，是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量，，且，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.【高考再现】1. 【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以，令得，即弦长为3.试题解析：（1）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现AC⊥BC的情况。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。
2018届北师大版(文) 圆锥曲线 检测卷
A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·辽宁沈阳一模)△ABC 的两个顶点为A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长为18，则C 点的轨迹方程为( )A.x 216＋y 29＝1(y ≠0)B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 【解析】 ∵△ABC 的两顶点为A (－4，0)，B (4，0)，周长为18，∴AB ＝8，BC ＋AC ＝10.∵10＞8，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，2a ＝10，2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.【答案】 D2．(2017·山西忻州模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线PF 2与椭圆交于M ，N 两点．若|MN |＝16，则椭圆的方程为( )A.x 2144＋y 2108＝1B.x 2100＋y 275＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 216＋y 212＝1 【解析】 因为点P (a ，b )满足|F 1F 2|＝|PF 2|， 所以（a －c ）2＋b 2＝2c . 整理得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.所以a ＝2c ，b ＝3c ， 椭圆的方程为3x 2＋4y 2＝12c 2.直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )，将直线方程代入椭圆方程，整理得5x 2－8cx ＝0，解得x ＝0或85c ，所以M (0，－3c )，N ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，因此|MN |＝165c ＝16，所以c ＝5，所以椭圆的方程为x 2100＋y 275＝1，故选B.【答案】 B3．(2017·江西南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215【解析】 ∵焦距为4，∴c ＝2.∵P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，∴2a ＋2c ＝14，∴a ＝5，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝25.故选B.【答案】 B4．(2017·河南郑州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为( )A.22B ．2－ 3 C.5－2 D.6－ 3【解析】 如图，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m .若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义，得△ABF 1的周长为4a ，即4a ＝2m ＋2m ，∴m ＝2(2－2)a .∴|AF 2|＝2a －m ＝2(2－1)a .在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2， 即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2， ∴c 2＝3(2－1)2a 2，e ＝6－3，故选D.【答案】 D5．(2016·长沙模拟)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C.32D ．6或3 【解析】 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c ×b 2a ＝32.【答案】 C6．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.【答案】 137．(2017·海南海口模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为23，则椭圆的标准方程为________．【解析】 由题意，得c ＝3，∴a 2－b 2＝c 2＝3.∵∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为23， ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝34|PF 1|·|PF 2|＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，由余弦定理得4c 2＝12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－3×8， 解得a 2＝9，故b 2＝6，因此椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.【答案】 x 29＋y 26＝18．(2016·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____________．【解析】 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝19．(2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．【解析】 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3ca （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4，所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)． 设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64，或k ＝64.所以，直线l 的斜率为－64或64. 10．(2016·吉林实验中学)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(1，0)，点H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．【解析】 (1)设椭圆的左焦点为F 1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，c ＝1， ∵H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上，∴2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝（2＋1）2＋⎝⎛⎭⎫21032＋（2－1）2＋⎝⎛⎭⎫21032＝6， ∴a ＝3，b ＝22， 故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1， |PF 2|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219 ＝⎝⎛⎭⎫x 13－32，∵0＜x 1＜3， ∴|PF 2|＝3－13x 1，在圆中，M 是切点，∴|PM |＝|OP |2－|OM |2＝x 21＋y 21－8＝x 21＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219－8＝13x 1，∴|PF 2|＋|PM |＝3－13x 1＋13x 1＝3，同理：|QF 2|＋|QM |＝3， ∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝3＋3＝6， 因此△PF 2Q 的周长是定值6.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2017·江西新余模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12 D ．0＜e ≤14或12≤e ＜1 【解析】 ∵椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，∴|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ， 解得14≤c a ≤12.【答案】 C12．(2017·重庆巴蜀中学模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( )A ．9，7B ．8，7C ．9，8D ．17，8【解析】 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝19x 2＋7(－3≤x ≤3)，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.【答案】 B13．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】 由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°，得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63.【答案】6314．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.【解析】 (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12， 故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ＞0，即2－m 2＞0，解得－2＜m ＜ 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22.所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m ) ＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)， 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.15．(2016·课标全国Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 【解析】 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k ＞0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即 4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点， f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0， 所以f (t )在(0，＋∞)内单调递增． 又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3＜k＜2.。
2018年各省高考真题之圆锥曲线
2018年各省高考真题之圆锥曲线（14）已知椭圆,双曲线. 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率______；双曲线N 的离心率为_______ （19）（本小题14分） 已知抛物线C :=2px 经过点p (1,2),过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A,B ,且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围； (Ⅱ)设O 为原点， ，，求证：+为定值.（20）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA 与椭圆M 的另一个交点C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点D .若C ,D 和点共线，求k .8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一，则其离心率的值是 ▲ ． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．811．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |= A ． B ．3 C ．D ．419．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：.4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12CD20．（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．5.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a ﹥0，b ﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±x23FM FN ⋅2213x y -=OMN △3222:12x C y +=F F l C ,A B M(2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠B.y=±xC.y=±D.y=±12.已知F 1，F 2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为A..B.C.D.19.（12分）设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k>0）的直线l与C 交于A ，B 两点，| AB|=8。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2
圆锥曲线(2018-2)
(3)已知双曲线xa22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的
切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，
且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B．y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x D．y＝±( 3－1)x
热点二 圆锥曲线的几何性质
直
相切
只有一个交点且 0
线 与
椭圆 两个交点 0
圆
锥
交于两点 0
曲 线
相交
双曲线 交于一点（直线与渐近线平行）
的
位
交于两点 0
置 关 系
抛物线 交于一点(直线平行于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
热点三 直线与圆锥曲线
例 3. 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.
(3)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B
在椭圆2x52 ＋y92＝1
上，则sin
A＋sin sin B
C＝________.
解析
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
例 2(4) 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|， 且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x
抛物线的标准方程与几何性质解题方略 (1)求抛物线的标准方程的方法及流程 ①方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，
专题4 圆锥曲线的离心率-2018年高三文科数学全国1卷高考相似模拟题分类汇编解析版
专题4 圆锥曲线的离心率【母题原题1】【2018新课标1，文4】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】C点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.【母题原题2】【2016新课标1，文5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ． 13 B ． 12C ． 23D ． 34【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线:1x y l c b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l24b=12c e a ⇒==，故选B. 考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l2142b c e a =⇒==，利用方程思想和数形结合思想建24b=是本题的关键节点.【命题意图】1．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 【命题规律】1、椭圆的标准方程和几何性质x b y a ≤≤,椭圆离心率：c e a ==(0,1)e ∈，e 越大，椭圆越扁平一些，e 越小，椭圆越圆些.2．双曲线的标准方程和几何性质c 双曲线离心率：c e a ==1()e ∈∞，＋，e 越大，双曲线开口越开阔一些，e 越小，双曲线开口越窄. 【方法总结】 1．求离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解；（2）变用公式，整体求e ：如椭圆离心率e 与a ，b 的关系：e 2＝22222221a b a b a a c -=-=⇒ba＝21e -；双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2，e ＝c 2c 2－b2＝11－b 2c2；2．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a的值，于是e 2＝c 2a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即ba＝e 2－1.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．1．【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】在双曲线中，称离心率等于的双曲线为黄金双曲线，则下列双曲线中，是黄金双曲线的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先求出每一个选项双曲线的离心率，再判断. 【详解】【点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.（2）计算本题时，可以直接计算离心率e,也可以计算,看是否等于2．【四川省成都市双流中学2017-2018学年数学（文科）考前模拟】若F （c ，0）是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB 的面积为，则该双曲线的离心率e=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】分析图形，已知，表示出，再用的关系式表示出线段，最后利用面积公式建立的方程式，再求解离心率。
2018人教A版选修1-1《第二章圆锥曲线与方程》质量检测试卷含解析
1. baa＝2＋43得43ab＝2＝43a53，a.
3. 解析：选 B 抛物线 y2＝8x 的准线方程为 x＝－ 2，由 P 到焦点的
距离为 4 知， P 到准线的距离为 4，故 P 的横坐标 xP＝2，y2P＝16，|PO|＝
x2P＋y2P＝2 5.
4. 解析：选 D 由题意得，点 P 到直线 x＝－ 2 的距离与它到点 (2，0)
5 7
16. 解析：由题意得
e＝
5 7.
2p＝ 2，p＝
4，抛物线方程为
y2＝8x，K( －2，0)，
设 A(x0 ， y0)，|AF|＝a，x0＝a－2，
由|AK| ＝ 2a 得 a2＋y20＝2a2，
又 y20＝8(a－2)，∴ a2＝8(a－2)，解得 a＝4.
由已知可得 |y0|＝a＝4. ∴S△AFK ＝12×4×4＝8.
的距离相等，因此点 P 的轨迹是抛物线． x2 y2
5. 解析：选 C 双曲线 a2－ 9 ＝1 的一条渐近线方程为 3x－2y＝0，故
a＝2.又 P 是双曲线上一点，故 ||PF1－| |PF2||＝4，而 |PF1|＝3，则 |PF2|＝7.
6. 解析：选 A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线 C 为椭圆，
于 A， B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，
.
(1)求 C2 的方程；
(2)若 |AC|＝|BD|，求直线 l 的斜率．
答案
1. 解析：选 D 由 x2＋ky2＝2，得 x22＋y22＝1，
又∵椭圆的焦点在 y 轴上，
k
∴ 2. ∴ ∴
2k＞2，即 0＜k＜ 解析：选 A 由
c＝ a2＋b2＝ e＝ ca＝53.
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2018北京高考 圆锥曲线 提升篇（一）
1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,0A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于14
-
，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
2、已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；
（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F
的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．
3、已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
，且点()2,1T 在椭圆上.设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，直线,TP TQ 分别与x 轴正半轴交于,M N 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）判断
OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论.
4、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反
数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明．
5、已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求
证：以MN 为直径的圆被直线32
y =
截得的弦长是定值．
6、在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．
（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．
证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
7．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A ，B ，且2AB =，离心率为2，O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上的两个动点（不与A ，B 重合），且关于y 轴对称，M ，N 分别是OP ，BP 的中点，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为D . 求证：D ，N ，Q 三点共线.
8.已知抛物线:C ()022>=p px y 经过点()2,1M ，焦点为F .
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标；
（Ⅱ）若过点()0,1-N 的直线l 与C 相交于Q P ,两点，点P 关于x 轴的对称点为S .
求证：Q F S ,,三点共线.。