中考压轴题圆含答案.doc

中考压轴题（一） --------

与圆有关压轴题

1. 如图，在

M 中， AB 所对的圆心角为 120 ，已知圆的半径为

2cm ，并建立如图所示的直角坐标系．

（ 1）求圆心 M 的坐标；

（ 2）求经过 A ， B ， C 三点的抛物线的解析式；

（ 3）点 D 是弦 AB 所对的优弧上一动点，求四边形

（ 4）在（ 2）中的抛物线上是否存在一点 P ，使在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

[ 解 ] （ 1）如图（ 1），连结 MA ， MB ． ACBD 的最大面积；

△PAB

和 △ ABC 相似？若存

则 AMB 120 CMB 60 ， OBM 30 ．

MB 1 ， M (01)，． 2

（ 2）由 A ， B ， C 三点的特殊性与对称性，

知经过 A ， B ，C 三点的抛物线的解析式为

y ax c ．

OC MC MO 1， OB

MB 2 OM 2

3 ，

C (0， 1)， B( 3，0) ．

1， a

1 1 2

x 1 ．

（ 3） S

S △ ABC

S △ ABD ，又 S △ ABC 与 AB 均为定值，

图 1

四边形 ACBD

当 △ABD 边 AB 上的高最大时， S △ ABD 最大，此时点 D 为 M 与 y 轴的交点，如图 1．

四边形

ACBD

S △ ABC

S △ ABD

1 ·

4 3cm

2 ．

2 AB OC

AB OD

2 AB CD

（ 4）方法 1：如图 2， △ABC 为等腰三角形，

ABC 30 ，

3 ，

△ ABC ∽△ PAB

等价于

P 3 A ， 0 B ，P 2B ． 3

B 3

设 P( x ， y) 且 x 0

，则

·cP

o A

，3 3

y PA ·sin30 3 ．又 P (2 3，3) 的坐标满足 y

1 x

2 1 ，在抛

物线 y

1 x

2 1 上，存在点

P(2 3，3) ，使 △ABC ∽△ PAB ．

图 2

由抛物线的对称性，知点 ( 2 3，3) 也符合题意．存在点 P ，它的坐标为 (2

3，3) 或 ( 2 3，3) ．

方法 2：

如图（ 3），当 △ABC ∽△ PAB 时， PAB BAC

，又由（ 1）知 MAB 30 ，

点 P 在直线 AM 上．

设直线 AM 的解析式为 y kx

b ，

将 A(

3，0)， M (0，1) 代入，解得

3，直线 AM 的解析式为

3 1．

3 ，

解方程组

得 P(2 3，3) ．

x 2 1

又

tan PBx

3 3 ，

PBx 60 ．

P 30 ，

2 3

△ ABC ∽△ PAB ．

上，存在点 P(2 3，3) ，使 △ ABC ∽△ PAB ．

在抛物线 y

x 1

由抛物线的对称性，知点 ( 2 3，3) 也符合题意．

存在点 P ，它的坐标为 (2

3，3) 或 ( 2 3，3) ．

方法 3：

如图 3， △ ABC 为等腰三角形，且

AB 3 ，设 P( x ， y) 则

图 3

△ ABC ∽△ PAB 等价于 PB AB 2 3 ， PA

3AB

6 ．

当 x 0 时，得

( x 3) 2

y 2

，

3，3) ．

解得 P(2

( x

3) 2

y 2

又 P(2 33)，的坐标满足 y

1 ，在抛物线 y

P(2 3，3) ，使 △ABC ∽△ PAB ．

1 x

x 1 上，存在点

由抛物线的对称性，知点

( 2 3，3) 也符合题意．存在点 P ，它的坐标为 (2 3，3) 或 ( 2 3，3) ．

[点评 ] 本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类

问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第 4 小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会

有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

2. 06

湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线

3 x x

的图象与 x 轴分别交于 A ，B

两点，与 y 轴交于 C

（

2 2 3

点，

M 经过原点 O 及点 A ，C ，点 D 是劣弧 OA 上一动点（ D 点与 A ，O 不重合）．

（ 1）求抛物线的顶点 E 的坐标；

（ 2）求 M 的面积；

（ 3）连 CD 交 AO 于点 F ，延长 CD 至 G ，使 FG 2 ，试探究当点 D 运动到何处时，直线 GA 与 M 相切，并请

说明理由．

[ 解 ] （ 1）抛物线 y

3 x 2 2 3 x 3

3 3

2 4 3

4 3

x 1

E 的坐标为

1，

（ 2）连AC；M 过A，O，C，∠AOC 90 AC 为O 的直径．而 OA 3，OC3 r AC 3 S M r 2 3

（ 3）当点D运动到OA的中点时，直线GA 与M 相切

理由：在 Rt△ ACO 中， OA 3，OC 3 tan∠ ACO 3

3 ．3

∠ ACO 60 ，∠ CAO 30 点 D 是OA的中点AD DO

∠ ACG ∠ DCO 30 OF OC tan30 1 ，∠ CFO 60

在△GAF 中， AF 2，FG 2 ∠AFG∠CFO 60 △ AGF 为等边三角形∠ GAF 60

∠ CAG ∠ GAF ∠ CAO 90 又 AC 为直径，当 D 为OA的中点时， GA 为M 的切线

[点评 ] 本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第 3 小问时可以先自己作图来确定 D 点的位置。

3．（ 06 湖南永州卷）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD 交小圆于 M， N 两点，大圆的弦AB 切小圆于点 C ，过点 C 作直线 CE AD ，垂足为 E ，交大圆于 F， H 两点．

（ 1）试判断线段AC 与 BC 的大小关系，并说明理由．

（ 2）求证：FC CH AE AO ．

（ 3）若FC，CH是方程x2 2 5x 4 0 的两根（CH CF ），求图中阴影部分图形的周长．

[ 解 ] （ 1）相等． F B

连结 OC ，则 CO AB ，故 AC BC ． C

（ 2）由△ACH∽△FCB，得AC CB FC CH AC 2， A M E ON

又由△ ACE ∽△ AOC ，得AC2 AE AO ．FC CH AE AO ．

（ 3）解方程得：CH 5 1 ， CF 5 1 ， CE 5 ( 5 1) 1， AC 2 4， AC 2 ，

CE 1

∠ A 30 ，∠ AOC 60 ，∠ CON 120 ．

在 Rt△ ACE 中，sin A ，

AC 2

在△ ACO 中，CO AC tan A 2 3 2 3 ，

3 3

AC 4 3

， AM AO OM 4 3 2 3 2 3

3 3 3 ，

sin 60 3

弧 CN 长 1 2 4 3 ， AN AM 2OC 2 3 2 2 3 2 3 ，

3 9 3 3

阴影部分周长AC AN CN 2 2 3 4 3

．9

[点评 ] 本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。

4. （ 06 辽宁卷）如图，已知 A( 1，0)， E(0，

x 轴于另一点 B ，过点 B 作

) ，以点 A 为圆心，以 AO 长为半径的圆交 2

BF ∥ AE 交 A 于点 F ，直线 FE 交 x 轴于点 C ．

（ 1）求证：直线 FC 是 A 的切线；

（ 2）求点 C 的坐标及直线 FC 的解析式；

（ 3）有一个半径与 A 的半径相等，且圆心在 x 轴上运动的

P ．若 P 与直线 FC 相交于 M ， N 两点，是否存在这样

的点 P ，使 △PMN 是直角三角形．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

[ 解 ] （ 1）证明：连结 AF

又 AB AF 3 4

又 AO

AF ， AE AE

FC 是

O 的切线．

（ 2）方法①由（ 1）知 EF

AE ∥ BF ， AC

CE OC 1

CE ， CE

①

2 2

又 OE 2 OC

2 CE 2 ， CE 2

CO 2

②

由①②解得 OC 0 （舍去）或 OC 2，

直线

FC 经过

E ，

， C(2，0) 两点设 FC 的解析式： y kx b

0 2

2k b 0

2 2

2 解得

直线 FC 的解析式为 y

2 x

．

方法②：

CF 切 A 于点 F ，

AFC

EOC

又 ACF

OCE ， △COE ∽△ CFA ，

OE CO

2 即 CE 2CO

又 OE 2 OC 2 CE 2 ， CE 2

2 CO 2

②

由①②解得 CO 0 （舍去）或 CO 2 C(2，0) （求 FC 的解析式同上）．

方法③ AE ∥ BF ，

AC CE OC 1 CE

CE 2 2 ①

AB EF 1 2 CO

2 2 2

FC 切 A 于点 F ，

AFC

COE 90

ACE

OCE ， △COE ∽△CFA

2 CO

①

，

2 CE

2CO

② 由①②解得： CO

AF CF

（ 3）存在；

当点 P 在点 C 左侧时，若

MPN

90 ，过点 P 作 PH MN 于点 H ，

MPN 90

， PM PN ， PH

PM 2

cos45

2 ，（求 FC 的解析式同上）．

CP AF FC ，PH ∥ AF ，△CPH ∽△CAF PH CP ， 2

AF CA 1 3

CP 3 2

，

3 2

2 ， P 2

3 2 ，

当点 P 在点 C 右侧 P 时，设M P N

2 90 ，过点P作 P Q ⊥ M N 于点 Q ，则 P Q

P Q PH ，可知P与P关于点C中心对称，

根据对称性得

y 存在这样的点P ，使得△PMN 为直角三角形，

3 2 ，或

2 3 2 ，．P O

P 点坐标 2 0 0

B A 1

2 2 4 2H C x

E N

[点评 ] 本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难 F M

度比较恰当，选拔功能较强，解第 3 小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方

5. （ 06 辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y 3 x 1分别与 x 轴，y轴交于点A，点B．

（ 1）以AB为一边在第一象限内作等边△ ABC 及△ ABC 的外接圆M （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作

图痕迹）；

（ 2）若M与x轴的另一个交点为点 D ，求 A ， B ， C ， D 四点的坐标；

（ 3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P ，使△ ADP 的面积等于△ ADC 的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

[ 解 ] （ 1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹

（ 2）由直线y

1，求得点A的坐标为3，0 ，点 B 的坐标为01，x

在 Rt△ AOB 中，OA 3 ，OB 1

AB 2 ，tan∠OBA

3 OB

△ABC 是等边三角形 CA AB 2 ，∠CAB

∠ CAD ∠ CAB ∠ OAB 90 点 C 的坐标为3，2 ，连结 BM

△ ABC 是等边三角形∠ MBA 1

∠ ABC 30 ∠ OBM ∠ OBA ∠ MBA 90 2

OB ⊥ BM 直线 OB 是M 的切线OB 2 OD OA 2 OD 3 OD 3 3，

1 点 D 的坐标为0

3 3

（ 3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式是y a x 3

x 3 3

把 B 01，代入上式得 a 1 抛物线的解析式是y x2 4 3x 1

存在点 P ，使△ ADP 的面积等于△ ADC 的面积

点P 的坐标分别为P1 2 3 21 ，，P2 2 321 ，．

2 2

3 3

[点评 ] 本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第 3 小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。

6.已知：抛物线M : y x2 ( m 1)x (m 2) 与 x 轴相交于 A( x1，0)， B( x2，0) 两点，且 x1 x2．

（Ⅰ）若 x1x2 0 ，且 m 为正整数，求抛物线M 的解析式；（Ⅱ）若x1 1， x2 1 ，求 m 的取值范围；

（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点 A 和点 B 的圆与 y 轴相切于点 C (0，2)，若存在，求出m 的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线l : y kx b 过点 F (0，7) ，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P，Q两点，且使PF 1

，求直线l的解析FQ 2

式．

[ 解 ] （Ⅰ）解法一：由题意得，x1 x2 m 2 0 ．解得， m 2 ．m 为正整数，m 1．y x2 1 ．解法二：由题意知，当x 0 时，y 02 (m 1) 0 (m 2) 0 ．以下同解法一）

解法三：(m 1)2 4(m 2) (m 3)2，x (m 1) ( m 3)

， x1 1， x2 2 m ．

2 又x1x2 0， x2 2 m 0 ．m 2 ．（以下同解法一．）

解法四：令 y 0，即 x2 (m 1)x (m

(x 1)( x m 2) 0，

2) 0 ，，

x2 2 m

．（以下同解法三．）x1 1

（Ⅱ）解法一：

x1 1， x2 1， x1 1 0， x2 1 0 ． (x1 1)( x2 1) 0 ，

即 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 ．

(m 2) (m 1) 1 0 ．解得m 1 m的取值范围是 m 1．

解法二：由题意知，当x 1时，

y 1 (m 1) ( m 2) 0 ．解得： m 1．m的取值范围是m 1．

Ｄ

ＡＢO x 解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x1 1， x2 2 m ．

x1 1， x2 1， 2 m 1

，m 1

．m 的取值范围是

m 1

．

（Ⅲ）存在．

解法一：因为过A，B 两点的圆与 y 轴相切于点 C (0，2) ，所以 A，B 两点在 y 轴的同侧，x1 x2 0 ．由切割线定理知， OC 2 OA OB ，即22 x1 x2 ．x1 x2 4 ，

x 1x 2 4. m 2 4. m 6．

解法二：连接 O B ，O C ．圆心所在直线 x

b m

1 1 m

，

1 m x 轴交于点 D ，圆心为 O ，

则 O D OC

1 m 设直线 x 与 2， O C OD

．

AB x 2

x 1

(m 3)

m 3 ，BD

m 3

， BD

．

在 Rt △O DB 中， O D 2 DB 2 O B 2 ．即 22

m 3 1 m

2 （Ⅳ）设 P(x 1， y 1)， Q(x 2，y 2 ) ，则 y 1

x 12 1， y 2 x 22 1．

过 P ， Q 分别向 x 轴引垂线，垂足分别为 P 1 ( x 1，0)， Q (x 2，0) ．

则 PP 1 ∥ FO ∥ QQ 1 ．

．解得

m 6．

Ｑ

PO 1

所以由平行线分线段成比例定理知，

．

Ｆ

OQ 1 FQ

Ｐ

0 x 1

，即 x 2

Ｏ

因此， 2x 1 ．

x 2 0 2

过 P ， Q 分别向 y 轴引垂线，垂足分别为 P 2 (0， y 1)， Q 2 (0， y 2 ) ，

则 PP 2 ∥ QQ 2 ．所以 △ FP 2 P ∽△ FQ 2Q P 2F

．

FQ 2 FQ

7 y 1 1 ． 21 2 y 1

y 2 ．

21 2( x 12 1) x 22 1.

4， x 1 2 ，或 x 1

2 ．

y 2

7 2

23 2x 12 4 x 12

x 1

k 0 ，

b ，

当 x 1

2 时，点 P(2，3) ．直线 l 过 P(2，3)， F (0，7) ，

3 k 2 解得

当 x 1

2 时，点 P( 2，3) ．直线 l 过 P( 2，3)， F (0，7) ，

7 k 0

，

b ，

y 2 x 7 ，或 y

2x 7 3 k ( 解得

故所求直线 l 的解析式为：

．

2) b. 2.

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 B( 2 2，0) ，A( m ，0) ( 2 m 0) ，以 AB 为边在 x 轴下方作正方形 ABCD ，

点 E 是线段 OD 与正方形 ABCD 的外接圆除点 D 以外的另一个交点，连结

BE 与 AD 相交于点 F ．

（ 1）求证： BF

DO ；

B ，F ，O

（ 2）设直线 l 是 △ BDO 的边 BO 的垂直平分线，且与 BE 相交于点 G ．若 G 是 △BDO 的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；

（ 3）在（ 2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

[ 解 ] （ 1）在△ABF和△ADO中，y

四边形 ABCD 是正方形，AB AD，∠ BAF ∠ DAO 90

l ．

又∠ABF∠ADO，△ABF≌△ ADO，

BF DO ．

（ 2 ）由（ 1 ），有△ABF≌△ADO，AO AF m ．点

F m， m ．

G 是△ BDO 的外心，点G在DO的垂直平分线上．点B也在 DO 的垂直平分线上．△ DBO为等腰三角形，

B A

C D

BO BD 2 AB ．

而 BO 2 2，AB 2 2 m 2 2 m ， 2 2 2 2 2 m ， m 2 2 2 ．F 2 2 2，2 2 2 ．

设经过 B，F，O 三点的抛物线的解析表达式为y ax2 bx c a 0 ．

抛物线过点 O 0，0 ， c 0 ．y ax 2 bx ．····①

把点 B 2 2，0 ，点 F 2 2 2，2 2 2 的坐标代入①中，得

1，

0 2 2 a 2 2 b， 2 2a b 0， a

2 即

2 2 2 a b 1.

解得 2

2 2 2 2 2 2 a 2 2 2 b. b 2.

抛物线的解析表达式为y 1 x2 2x ．······②

（ 3）假定在抛物线上存在一点P ，使点 P 关于直线 BE 的对称点 P 在x轴上．BE 是∠OBD 的平分线，x 轴上的点P关于直线BE的对称点P必在直线BD上，即点P是抛物线与直线BD的交点．

设直线 BD 的解析表达式为y kx b ，并设直线BD与y轴交于点 Q ，则由△ BOQ 是等腰直角三角形．

OQ OB ．Q 0， 2 2 ．

把点 B 2 2，0 ，点 Q 0， 2 2 代入 y kx b 中，得

B A

直线 BD 的解析表达式为y x 2 2 ．G O

F E

设点 P x ，y ，则有 y

0 x 2 2 ．·········③

D Q

0 0 0

C 把③代入②，得 1 2

2x0 x0 2 2 ，

2 x0

x02 2 1 x0 2 2 0，即 x02 2 2 1 x0 4 2 0 ．2

x0 2 2 x0 2 0 ．解得x0 2 2 或x0 2 ．

当 x

0 2 2 时， y x 2 2 2 2 2 2 0 ；当x0 2 时，y

2 2 2 2 2 ．

在抛物线上存在点P

1 2 2，0 ， P2 2，2 2 2 ，它们关于直线BE 的对称点都在x 轴上．

8. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 l 1 经过点A(-2 ，0) 和点B(0 ，2

3 ) ，直线l2的函数表达式为y 3 x

4 3 ，3 3 3

l 1 与l 2 相交于点．⊙C 是一个动圆，圆心 C 在直线l 1 上运动，设圆心 C 的横坐标是 a ．过点 C 作⊥轴，垂足P CM x

是点 M．

(1) 填空：直线

l 1 的函数表达式是，交点

的坐标是，∠的度数是；

FPB

(2) 当⊙ C和直线 l 2相切时，请证明点P到直线 CM的距离等于⊙ C的半径 R，并写出 R=3

2 2 时a的值 .

(3) 当⊙ C和直线 l 2不相离时，已知⊙C的半径 R=

3 2 2 ，记四边形NMOB的面积为S( 其中点N是直线CM与l2

的交点 ) ．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时 a 的值；若不存在，请说明理由．[ 解 ] (1) y 3 x 2 3 P(1 ， 3 ) 60o

3 3

(2) y

设⊙ C和直线 l 2相切时的一l 2

l 2

种情 3 C 3

F 况如图甲所示， D 是切点，

连接

F 2 P

CD，则 CD⊥ PD．2

P 过点 P 作 CM的垂线 PG，垂1

A E

A E x 足为 G，则Rt△ CDP≌Rt△

x -3 -2 -1 O1 2 3 4

-3 -2 -1 O1 2 3 4

PGC (∠ PCD=∠ CPG=30o，

l 1 -1

图 2

= ) ，所以 = = ．( 第 24 题图甲 ) CP PC PG CD R

当点 C在射线 PA上，⊙ C和

直线

l 2 相切时，同理可证．取= 时，1+ =

3 2 1

，或-(R-1)

3 3 2

R 3 2 2 a= R a=

(3)当⊙ C和直线 l 2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：

①如图乙，当 0≤a≤ 3 2 1 时， S 1 [ 2 3 ( 3 a 4 3

)] a 3 a 2 3a ，

2 3 3 3 6

当 a 3 3 时，（满足a≤ 3 2 1 ），S有最大值．此时S

最大值 3 3 3 （或

9 ）．

2 (

4 (

3 2 2 3 ) )

6 6

②当 3 3 2 ≤a＜ 0 时，显然⊙C和直线l2相切即 a 3 3 2 时，S最大．此时

S最大值1 2 3 3

3 2 )

4 3

3 3 2

[

]

．3

综合以上①和②，当 a 3 或 a 3 3 2 时，存在S的最大值，其最大面积为3 3

9. 如图，已知

Rt△ ABC

中，CAB 30 ，

BC 5

．过点

作

AE ⊥ AB

，且

AE 15

，连接

交

于点

．1

（ 1）求PA的长；

（ 2）以点A为圆心，AP为半径作 A ，试判断 BE 与 A 是否相切，并说明理由；

（ 3）如图 2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作 A ；以点 C 为圆心， R 为半径作 C ．若

r 和

R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持

和

相切，且使D 点在 A 的内部， B 点在 A 的外部，求

．．

r和 R 的变化范围．

[ 解 ]

（ 1 ）

在 Rt △ ABC 中，

C A B3 0，

B C5 AC

2BC 10

．，

A ∥ E

，

P C

Ｄ

△ APE ∽△CPB

．

PA : PC AE : BC 3:1

．

PA : AC 3: 4 ， PA 3 10 15

．

BE A

与相切．

在 Rt △ ABE

中，

（ 2）

AB 5 3 ， AE 15 ，

图 1

图 2

AE 15

tan ABE 3 ，

AB 5 3

ABE 60 ．

又

PAB 30 ， ABE PAB 90 ， APB

90 BE 与 A 相切．

（3）因为 AD

5，AB 5 3 ，所以 r 的变化范围为 5 r

5 3 ．

当 A 与 C 外切时， R r 10 ，所以 R 的变化范围为 10 5 3 R 5 ；

当

A 与 C 内切时， R r

10 ，所以 R 的变化范围为 15 R 10 5 3 ．

[ 点评 ] 本题是一道比较传统的几何综合题，第 1 题运用相似三角形知识即可得解，第

2 小题也较基础，第

3 小题注意

要分类，试题中只说明了“

A 和 C 相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。

8，（ 06 江苏宿迁课改卷）设边长为 2a 的正方形的中心 A 在直线 l 上，它的一组对边垂直于直线

l ，半径为 r 的⊙ O 的

圆心在直线 l 上运动，点、间距离为．

O ．． A O d

（ 1）如图①，当 r ＜ a 时，根据 d 与 a 、 r 之间关系，将⊙ O 与正方形的公共点个数填入下表：

d 、 a 、 r 之间关系

公共点的个数

d ＞＋

d ＝ a ＋ r

a － r ＜ d ＜ a ＋ r

d ＝ a － r

d ＜ a － r

图①

所以，当 r ＜ a 时，⊙ O 与正方形的公共点的个数可能有

个；

（ 2）如图②，当 r ＝ a 时，根据 d 与 a 、 r 之间关系，将⊙ O 与正方形的公共点个数填入下表：

d 、 a 、 r 之间关系

公共点的个数

d ＞ a ＋ r

d ＝ a ＋ r

a ≤ d ＜ a ＋ r

d ＜ a

图②

所以，当 r ＝ a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有

个；

（ 3）如图③，当⊙ O 与正方形有 5 个公共点时，试说明 r ＝ 5

a ；

（ 4）就 r ＞ a 的情形，请你仿照“当时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有

A O

个”的形式，至少给出一个关于“⊙

O 与正方形的公共点个数”的正确结论．

[ 解 ] （ 1）

图③

所

d 、 a 、r 之间关系

公共点的个数

d ＞ a ＋ r 0

所 d ＝ a ＋r

1 （ 3）方

d 、 a 、 r 之间关系

公共点的个数

a － r ＜d ＜ a ＋ r

d ＞ a ＋ r 0

d ＝ a － r

d ＝ a ＋ r

d ＜ a － r

a ≤ d ＜ a ＋ r 2

d ＜ a

4 E

a 2＝ 4ar

5a ＝ 4r

∴ r ＝ 5

a ．

以，当 r ＜ a 时，⊙ O 与正方形的公共点的个数可能有 0、1、 2 个；

（ 2）

O l

0、 1、 2、4 个；

以，当 r ＝ a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有法一：如图所示，连结则＝＝，＝

＝ 2 ．

OC OE OC r OF EF －OE a －

图①

在 Rt △ OCF 中，由勾股定理得：

＋

＝ B 2

FC OC

即（ 2a － r ） 2 2

图②

＋ a ＝ r

4a 2－ 4ar ＋F

r 2＋ a 2＝l r 2

A O

方法二：如图，连结 BD 、 OE 、 BE 、

DE ．∵四边形 BCMN 为正方形 ∴∠ C ＝∠ M ＝∠ N ＝90°

N B

∴ 为⊙ O 的直径，∠

＝ 90°

BED

∴∠ BEN ＋∠ DEM ＝90°

∵∠ BEN ＋∠ EBN ＝ 90°

∴∠ DEM ＝∠ EBN

∴△∽△

EMD ∴ BN

EM ∴ ＝ 1 a

BNE

MD DM 2

由 OE 是梯形 BDMN 的中位线得 OE ＝ 1

（BN ＋ MD ）＝ 5

a ．

（ 4）①当 a ＜ r ＜

a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有 0、 1、 2、4、 6、 7、 8 个；

②当 r ＝ 5

a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有

0、1、 2、 5、 8 个；

③当 5

a r

2a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有

0、 1、2、 3、 4、6、 8 个；

④当 r = 2a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有

0、 1、 2、 3、 4 个； ⑤当 r > 2a 时，⊙ O 与正方形的公共点个数可能有

0、 1、 2、 3、 4 个．

[点评 ]本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。

9. （ 06 山东枣庄课改卷）半径为 2.5 的⊙ O 中，直径 AB 的不同侧有定点 C 和动点 P ．已知 BC ：CA ＝ 4 : 3，点 P 在 AB 上运动，过点

C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 O

（ 1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；

（ 2）当点 P 运动 AB 到的中点时，求 CQ 的长；

（ 3）当点 P 运动到什么位置时， CQ 取到最大值？求此时 CQ 的长．

[ 解 ] （ 1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时， CP ⊥ AB ，设垂足为

∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90. ∴ AB=5,AC:CA=4:3, ∴ BC=4, AC=3.

又∵ AC · BC=AB · CD

∴ CD 12

, PC 24 .

5 5

在Rt△ ACB和 Rt △ PCQ中，

∠ ACB＝∠ PCQ=90,∠CAB＝∠CPQ，Rt △ ACB∽ Rt △ PCQ

∴ AC BC

, CQ BC PC

PC 32 .

PC CQ AC 3 5

（ 2）当点 P 运动到弧 AB的中点时，过点 B 作 BE⊥ PC

于点 E（如图） . ∵ P是弧 AB的中点，∴PCB 450,CE BE 2 BC 2 2

2 又∠ CPB=∠CAB∴∠ CPB= tan ∠ CAB=

∴ PE

tan BE

BE 3

, 而从 PC PE EC 7 2 CPB 4 2 2

由（ l ）得， CQ 4

PC 14 2 .

3 3

（ 3）点 P 在弧 AB上运动时，恒有CQ BC PC 4

PC.

AC 3

故 PC最大时， CQ取到最大值．

当 PC过圆心 O，即 PC取最大值 5 时， CQ 最大值为

[点评 ] 本题属于常规的几何综合题，解第 3 小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。

10. 如图，点P在y轴上，P 交x轴于 A，B 两点，连结 BP 并延长交P 于 C ，过点 C 的直线y 2x b 交 x 轴于

D ，且P 的半径为 5 ，AB 4 ．

（1）求点B，P，C的坐标；

（2）求证：CD是P的切线；

（ 3）若二次函数y x2 (a 1)x 6 的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函

数 y 2x b 值的 x 的取值范围．

[ 解 ] （ 1 ）如图，连结CA∵OP⊥AB∴ OB OA 2

∵ OP 2 BO 2 BP 2 ∴ OP 2 5 4 1，OP 1

∵ BC 是P 的直径∴CAB 90 （也可用勾股定理求得下面的结论）

Ｃ

∵CP BP ，OB OA ∴ AC 2OP 2 ∴B(2，0)，P(0，1)，C ( 2，2) Ｐ

Ｃ（ 2）∵y 2x b 过C点∴b 6 ∴y 2x 6 ＤＡＯＢ

Ｃ

∵ 当y 0 时，x 3 ∴ D ( 3，0) ∴ AD 1

∵ OB AC 2，AD OP 1 ，

CAD

POB 90 ∴△ DAC ≌△ POB ∴ D C A A B

∴ DCAACB 90 （也可用勾股定理逆定理证明）

∴ DC 是 P 的切线

（ 3）∵ y x 2 (a 1)x 6过 B(2，0) 点

因为函数 y

x 2 x 6 与 y

2x 6 的图象交点是 (0，6) 和点 D ( 3，0) （画图可得此结论）

所以满足条件的 x 的取值范围是 x 3 或 x 0

11. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径画⊙ O ，P 是⊙ O 上一动点，且 P 在第一象限内，过点

P 作⊙ O 的切线与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B 。

（ 1）点 P 在运动时，线段 AB 的长度在发生变化，请写出线段 AB 长度的最小值，并说明理由；

（ 2）在⊙ O 上是否存在一点 Q ，使得以 Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出

Q 点的坐标；若不

存在，请说明理由。

[解] （ 1）线段 AB 长度的最小值为

B Q

理由如下：连接 OP

因为 AB 切⊙ O 于 P ，所以 OP ⊥AB

-1

O 1

取 AB 的中点 C ，则 AB 2OC

-1

当 OC OP 时， OC 最

短，即 AB 最短，此时 AB 4

（ 2）设存在符合条件的点 Q ，

如图①，设四边形 APOQ 为平行四边形， P

因为四边形 APOQ 为矩形又因为 OP OQ 所以四边形 APOQ 为正方形

所以 OQ

QA, QOA 45 ，

-1 O

1 A x

-1

在 Rt △ OQA 中，根据 OQ 2, AOQ

45 ，得 Q 点坐标为（ 2,

2 ）。

图①

如图 ② ，设四边形 APQO 为平行四边形因为 OQ ∥ PA ，

APO 90 ，所以

POq 90 ，又因为 OP OQ 所以 PQO 45 ，

因为 PQ ∥ OA ，所以 PQ

y 轴。设 PQ

y 轴于点 H ，

-1 O

1 A x

-1

在 Rt △ OHQ 中，根据 OQ 2, HQO 45 ，得 Q 点坐标为（

2, 2 ）

所以符合条件的点 Q 的坐标为（ 2 , 2 ）或（

2, 2 ）。

图②

12. 如图①，在平面直角坐标系中，以坐标原点

O 为圆心的⊙

的半径为 2 1 ，

直线 l ： yx 2 与坐标轴分别交于 A 、C 两点，点 B 的坐标为 (4 ，1) ，⊙ B 与 x 轴相切于点 M 。

（ 1）求点 A 的坐标及∠ CAO 的度数；

（ 2）⊙ B 以每秒 1 各单位长度的速度沿 x 轴负方向平移，同时，直线 l 绕点 A 顺时针匀速旋转。当⊙ B 第一次与

⊙ O 相切时，直线 l 也恰好与⊙ B 第一次相切。问：直线 AC 绕点 A 每秒旋转多少度？

（ 3）如图②，过 A 、 O 、 C 三点作⊙ O 1，点 E 为劣弧 AO 上一点，连接 EC 、 EA 、 EO ，当点 E 在劣弧 AO 上运动时 ( 不

与 A 、 O 两点重合 ) ，

的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

13. （06 广东深圳课改卷）

(10 分) 如图 10-1 ，在平面直角坐标系

xoy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上，

⊙ M 交 x 轴于

2， 0）， AE 8

A 、

B 两点，交 y 轴于

C 、

D 两点，且 C 为 A

E 的中点，

AE 交 y 轴于 G 点，若点 A 的坐标为（－

x B A O

(1)(3 分 ) 求点 C 的坐标 .

(2)(3 分 ) 连结 MG 、BC ，求证： MG ∥ BC

(3)( ４分 ) 如图 10-2 ，过点 D 作⊙ M 的切线，交 x 轴于点 P . 动点 F 在⊙ M 的圆周上运动时，

的比值是否发生

变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

14.(06 安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的 “ Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为

10cm 的圆盘，如图所示，

AB 与 C D 是水平的， BC 与水平面的夹角为 600，其中 AB=60cm ， CD=40cm ，BC=40cm ，请你作出该小朋友将园盘从 A 点滚

C E

动到 D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

15. (07 芜湖市 )24. G

P 的圆心在反比例函数 y k A 、 B 两点．且始终与 y 轴已知圆 ( k 1) 图象上，并与 x 轴相交于

A O M

B x x

相切于定点 C (0 ， 1) ．

(1) 求经过 A 、 B 、 C 三点的二次函数图象的解析式 ; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当 k 为何值时，四边形 ADBP 为菱形．

解 : (1) 连结 PC 、PA 、PB ，过 P 点作 PH ⊥ x 轴，垂足为 H ． ∵⊙ P 与 y 轴相切于点 C 10(0， 1)1 ，∴ PC ⊥ y 轴．

图

－

∵ P 点在反比例函数 y

的图象上，

∴ P 点坐标为（ k ， 1）． ∴ PA=PC=k ．

在 Rt △ APH 中， AH = PA 2

PH 2 = k 2 1 ，

∴ OA=OH —AH=k － k 2 1 ．

∴ A （ k － k 2 1 ， 0）．

∵由⊙ P 交 x 轴于 A 、B 两点，且 PH ⊥ AB ，由垂径定理

可知， PH 垂直平分 AB ．

∴ OB=OA +2AH =

k － k 2 1

k 2 1

=k +

k 2 1

，

∴ B ( k + k 2 1 ， 0) ．

故过 A 、B 两点的抛物线的对称轴为 PH 所在的直线解析式为 x=k ．可设该抛物线解析式为 y=a ( x k)2 +h ．

又抛物线过 C (0 ， 1) ， B ( k + k 2 1 ，0) ，得：

解得 a =1， h =1－ k 2 ．

∴抛物线解析式为

y =( x k) 2 +1－ k 2 ．

（ 2）由 (1) 知抛物线顶点 D 坐标为（ k ， 1 －

k 2 ）∴

2 － 1 ．

= k

若四边形 ADBP 为菱形．则必有 PH=DH ．∵ PH =1，∴ k 2 － 1=1．又∵ k ＞ 1，∴ k = 2

∴当 k 取 2 时， PD 与 AB 互相垂直平分，则四边形 ADBP 为菱形．

16. 26. 如图①，②，在平面直角坐标系

xOy 中，点 A 的坐标为 (4 ，0) ，以点 A 为圆心， 4 为半径的圆与 x 轴交于 O ，

B 两点， O

C 为弦，AOC 60 ，P是 x 轴上的一动点，连结CP ．

（ 1）求

OAC 的度数；（ 2 分）（ 2）如图①，当 CP 与 A 相切时，求 PO 的长；（ 3 分）

（ 3）如图②，当点 P 在直径 OB 上时， CP 的延长线与 A 相交于点 Q ，问 PO 为何值时， △OCQ 是等腰三角形？）

解：（ 1）∵ AOC 60 ， AO

AC ，∴ △ AOC 是等边三角形．

∴ OAC 60 ．

（ 2）∵ CP 与

A 相切，∴

ACP 90 ． ∴ APC 90

OAC 30 ．

又∵ A （ 4， 0），∴ AC AO 4 ．∴ PA 2 AC 8 ．

∴ PO PA OA

8 4 4 ．

（ 3）①过点 C 作 CP 1 OB ，垂足为 P 1 ，延长 CP 1 交 A 于 Q 1 ，

∵ OA 是半径， ∴ OC

OQ 1 ，∴ OC OQ 1 ，∴ △OCQ 1 是等腰三角形．

又∵ △ AOC 是等边三角形，∴ PO

OA =2 ．

②解法一：过 A 作 AD OC ，垂足为 D ，延长 DA 交 A 于 Q 2 ， CQ 2 与 x 轴交于 P 2 ，

∵ A 是圆心， ∴ DQ 2 是 OC 的垂直平分线． ∴ CQ 2

OQ 2 ．∴ △OCQ 2 是等腰三角形，

过点 Q 2 作 Q 2 E x 轴于 E ，在 Rt △ AQ 2 E 中，∵ Q 2 AE

1 OAC

30 ，

OAD

∴ Q 2 E

AQ 2 2， AE 2 3 ．∴点 Q 2 的坐标（ 4+ 2 3 ， 2 ）．

在

Rt △ COP 1 中，∵ PO 2， AOC

60 ，∴ CP

2 3 ．∴

C 点坐标（， 2 3 ）．

2 设直线 CQ 2 的关系式为： y kx b ，则有

，

2 (4 2 3) k 1

解得：

∴ y x

2 2

3 ．当 y

0 时， x 2

2 3 ．∴ P 2 O 2

2 3 ．

．

2 2 3

2 3 2k b

．

解法二：过 A 作 AD

OC ，垂足为 D ，延长 DA 交 A 于 Q 2 ， CQ 2 与 x 轴交于 P 2 ，

∵ A 是圆心， ∴ DQ 2 是 OC 的垂直平分线． ∴ CQ 2

OQ 2 ．∴ △OCQ 2 是等腰三角形．

∵ OAC

60 ，∴

30 ．∵ DQ 2 平分

OQ 2C, AC AQ 2 ，∴ ACQ 2

AQ 2 C 15 ．

OQ 2 C

OAC

∵ △ AOC 是等边三角形， CP 1 1

ACO 30 ． ∴ PCP 12

PCA 1

ACQ 2 30

45 ．

OA ， ∴ PCA 1

∴ △CPP 12 是等腰直角三角形．∴ PP 12 CP 1 2 3 ．∴ P 2 O PO 1 PP 12 2 2 3 ．

17. 26.

如图 12-1 所示，在 △ ABC 中， AB AC 2 ， ∠A 90 ， O 为 BC 的中点，动点 E 在 BA 边上自由移动，

动点 F 在 AC 边上自由移动．

（ 1）点 E ，F 的移动过程中，

△OEF 是否能成为 ∠ EOF 45 的等腰三角形？若能，请指出

△ OEF 为等腰三角形

时动点 E ，F 的位置．若不能，请说明理由．

（ 2）当 ∠EOF 45 时，设 BE x ， CF y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，写出 x 的取值范围．

（ 3）在满足（ 2）中的条件时，若以 O 为圆心的圆与 AB 相切（如图 12-2 ），试探究直线 EF 与 O 的位置关系，并

证明你的结论．

解：如图，

（ 1）点 E ，F 移动的过程中， △OEF 能成为

EOF

E ，

F 的位置分别是：

45°的等腰三角形．此时点

① E 是 BA 的中点， F 与 A 重合． ② BE CF

2 ．③ E 与 A 重合， F 是 AC 的中点

（ 2）在

△OEB 和

△FOC 中，

EOB FOC

，

135° EOB OEB 135°

∴ FOC

OEB ．又 ∵ B

C ， ∴△OEB ∽△ FOC ．∴ BE

BO ．

CO CF

∵ BE x ， CF

y ， OB OC

1 2

2 ，∴ y

(1≤ x ≤ 2) ．

（ 3） EF 与

O 相切． ∵△OEB ∽△ FOC ， ∴

OE ．∴

OE ．即 BE

BO ．

∵ B

EOF 45° ∴△ BEO ∽△ OEF CO OF BO OF O OE

又． ∴ BEO

OEF

． ∴

点到 AB

和 EF

的距离相等．

，

∵ AB 与 O 相切， ∴点 O 到 EF 的距离等于 O 的半径． ∴ EF 与 O 相切．

18. (06 武汉市 ) 如图①，在平面直角坐标系中， Rt △ AOB ≌ Rt △ CDA ，且 A( －1， 0) 、B(0 ， 2) ，抛物线 y ＝ ax 2＋ ax － 2

经过点 C 。(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线 ( 对称轴的右侧 ) 上是否存在两点 P 、Q ，使四边形 ABPQ 是正方形？若存在，求点 P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图②， E 为 BC 延长线上一动点，过

A 、

B 、 E 三点作⊙ O ’ ，连结 AE ，在⊙ O ’ 上另有一点 F ，且 AF ＝ AE ，

交 BC 于点 G ，连结 BF 。下列结论：① BE ＋ BF 的值不变；②

，其中有且只有一个成立，请你判断哪

一个结论成立，并证明成立的结论。

解：⑴由 Rt △ AOB ≌Rt △ CDA 得 OD=2+1=3,CD=1∴C 点坐标为 ( － 3,1),

∵抛物线经过点 C, ∴ 1= ( － 3) 2 a ＋( － 3) ａ－ 2，∴

1 。∴抛物线的解析式为 y 1 2

1 2 .

x G

O 2 B

P 、 Q ，使四边形 ABPQ 是正方形。C

⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点

D A O

以 AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ 。过 P 作 PE ⊥ OB 于 E ， QG ⊥x 轴于 G ，可证△ PBE ≌△ AQG ≌△ BAO ，

∴ PE ＝ AG ＝ BO ＝ 2， BE ＝ QG ＝AO ＝ 1，∴∴ P 点坐标为（ 2,1 ）， Q 点坐标为（ 1, － 1）。A

由（ 1）抛物线 y

1 x 2

1 x

( 第 25 题图

( 第 25 题图② )

2 。当 x ＝ 2 时， y ＝ 1，当 x ＝ ,1 时， y ＝－ 1。∴ P 、 Q 在抛物线上。

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点

P （ 2,1 ）、 Q （1, － 1），使四边形 ABPQ 是正方

形。

⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点

P 、 Q ，使四边形 ABPQ 是正方形。

延长 CA 交抛物线于 Q ，过 B 作 BP ∥CA 交抛物线于 P ，连 PQ ，设直线 CA 、BP 的解析式分别

为 y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2,

∵ A （－ 1,0 ）， C （－ 3,1 ），∴ CA 的解析式 y 1 x

1 ，同理 BP 的解析式为 y 1 x 1 ，

2 2

1 x 1

解方程组

2 2

得 Q 点坐标为（ 1, － 1），同理得 P 点坐标为（ 2,1 ）。

x 2 x

由勾股定理得 AQ ＝ BP ＝ AB ＝ 5 ，而∠ BAQ ＝ 90°，

∴四边形 ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（ 2,1 ）、 Q（1, － 1），使四边形ABPQ是正方形。