2018届北京市东城区高三二模考试文科数学试题及答案
北京市东城区近年届高三数学下学期综合练习(二模)试题文(含解析)(最新整理)
北京市东城区2018—2019学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学(文科)本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，则A 。
B 。
C. D.【答案】A 【解析】 【分析】解出集合B 中的不等式，根据集合并集运算得到结果。
【详解】，根据集合并集运算得到：.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的并集运算，属于基础题.2。
下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A 。
B 。
C 。
D 。
【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果。
【详解】是奇函数，故A 排除；是非奇非偶函数,C 排除;是偶函数，但在上有增也有减,B 排除，只有D 正确.{13},{20}A x x xB x x 或=-=-≥AB ={}12x x x <-≥或{}12x x -<≤{23}x x ≤<R{2}Bxx =≥的AB ={}12x x x <-≥或()0,+∞3y x =c o s y x =x y e =1y x =+3y x =xy e =c o s y x=()0,+∞故答案为：D.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性以及单调性的判断，属于基础题.3。
执行如图所示的程序框图,输入，那么输出的的值分别为A. B 。
C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，依次代入数值得到结果.【详解】根据程序框图,依次代入数值得到：a ＝a ＋b ＝7,b ＝a －b ＝7－5＝2，a ＝a －b ＝7－2＝5, 所以，a ＝5，b ＝2 故答案为：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用,属于基础题.4。
若满足,则点到点距离的最小值为A 。
2018年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(J)
2018年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共8小题，共8.0分）1.已知全集，集合，，则A. 或B. 或C. D.【答案】C【解析】解：，；；．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2.某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为A. 66B. 54C. 40D. 36【答案】B【解析】解：某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．在高一年级中抽取了60名学生，设在高二年级中应抽取的学生人数为x，则，解得．在高二年级中应抽取的学生人数为54人．故选：B．设在高二年级中应抽取的学生人数为x，则由分层抽样的性质得，由此能求出在高二年级中应抽取的学生人数．本题考查在高二年级中应抽取的学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为9，则输出的y值为A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，不满足条件，退出循环，，输出y的值为2．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x的值并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.若，则x的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：分别画出与的图象，如图所示：结合图象可得满足时x的取值范围是，故选：A．分别画出与的图象，如图所示，结合图象可得答案．本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，属于基础题5.已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值为A. B. 0 C. 2 D. 6【答案】B【解析】解：圆的圆心，半径，圆截直线所得弦的长度为，圆心到直线的距离，，解得．故选：B．圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，从而，由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查点到直线的距离公式、圆的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.设a，b，，则“”是“且”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：由“且”，不一定得出，反之也不成立，例如取，，．“”是“且”的既不充分也不必要条件．故选：D．由“且”，不一定得出，反之也不成立．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知m是平面的一条斜线，直线l过平面内一点A，那么下列选项中能成立的是A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【答案】A【解析】解：由m是平面的一条斜线，直线l过平面内一点A，知：在A中，，且l与m相交或异面，有可能垂直，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误；在D中，l与m平行或相交，故D错误．故选：A．在A中，，且l与m相交或异面，有可能垂直；在B中，；在C中，；在D中，l与m平行或相交．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．8.已知函数，现给出如下命题：当时，；在区间上单调递增；在区间上有极大值；存在，使得对任意，都有．其中真命题的序号是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，，故为假命题；，当时，恒成立，故在区间上单调递增，故为真命题；，，且在在区间上连续，故存在，使时，，时，，故当时，取极大值，故为真命题；由函数不存在最大值和最小值，故不存在，使得对任意，都有故为假命题，故选：B．分析函数的图象和性质，进而逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共6.0分）9.若复数为纯虚数，则实数______．【答案】1【解析】解：为纯虚数，，即．故答案为：1．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，，，双曲线的离心率是．故答案为：．利用双曲线的一条渐近线方程为，可得，，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系．11.若x，y满足，则的最小值为______．【答案】12【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令，则，显然直线过时，z最小，故z是最小值是12，故答案为：12．画出满足条件的平面区域，结合图象求出的最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，考查转化思想，是一道基础题．12.已知向量，满足，且，则与夹角的大小为______．【答案】【解析】解：根据题意，设向量与夹角为，向量，满足，若，则有，解可得，又由，则；故答案为：．根据题意，设向量与夹角为，结合向量数量积的计算公式可得，解可得，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．13.在中，，，则______；______．【答案】2；【解析】解：根据题意，设，则，则，则，则；则，则；故答案为：2，．根据题意，设，则，由余弦定理计算可得，即可得；据此由余弦定理可得的值，结合同角三角函数的基本关系式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是求出c与b的关系．14.血药浓度Drug是指药物吸收后在血浆内的总浓度单位：，通常用血药浓度来研究药物的作用强度如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间单位：，点的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值2，记为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则，，中最大的是______；记为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则，，中最大的是______．【答案】；【解析】解：由图可知，第一种新药在最短时间内达到峰值，且峰值最大，则服用第一种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度最大；服用第三种新药后血药浓度达到峰所有时间最长，则服用第3种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间最大．故答案为：；．根据图象，依据题意逐个判断得答案．本题考查了函数图象的性质和对新定义函数的理解，考查根据图象解决实际问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.已知是公差为2等差数列，数列满足，，且．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ求的前n项和．【答案】解：Ⅰ，时，，，，，解得．是公差为2等差数列，．Ⅱ由Ⅰ知：．．．．数列是首项为1，公比为的等比数列．，．【解析】Ⅰ由，时，，又，，可得，解得利用等差数列的通项公式可得．Ⅱ由Ⅰ知：而可得利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数．Ⅰ求曲线的对称轴方程；Ⅱ当时，恒成立，求实数m的最大值．【答案】解：Ⅰ函数，因为的对称轴方程为，，所以，，，即，所以，曲线的对称轴方程为，．Ⅱ当时，，所以当，即当时，取得最小值为0．根据恒成立，可得实数m的最大值为0．【解析】Ⅰ利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求出曲线的对称轴方程．Ⅱ当时，求得的最小值，再结合恒成立，求出实数m的最大值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.2017年北京市百项疏堵工程基本完成有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间单位：分钟的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是．Ⅰ求a的值；Ⅱ该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；Ⅲ试比较A，B两组数据方差的大小不要求计算，并说明其实际意义．【答案】共13分解：Ⅰ因为B组数据的中位数为100，所以．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，所以．所以分Ⅱ从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，96，100，共种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，96，101，100，共种；因此符合题意的取法共有种，而所有不同的取法共有种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率分Ⅲ组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障分【解析】Ⅰ由B组数据的中位数为100，得由从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，得到由此能求出a．Ⅱ从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，96，100，共种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，96，101，100，共种；所有不同的取法共有种，由此能求出该路公交车至少有一次“正点运行”的概率．Ⅲ组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，E，F分别为，BC的中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求证：平面；Ⅲ在棱上是否存在一点G，使得平面平面？说明理由．【答案】Ⅰ证明：在三棱柱中，侧棱垂直于底面，平面ABC，则．，，平面．平面，；Ⅱ证明：取的中点H，连结EH，FH．则，且，又，且，，且．四边形BEHF为平行四边形，则．又平面，平面，平面；Ⅲ解：在棱上存在点G，且G为的中点．证明：连接EG，．在正方形中，为BC中点， ≌ ．，则F.由Ⅰ可得平面，，平面C.平面，G.，平面F.平面，平面平面F.【解析】Ⅰ在三棱柱中，由侧棱垂直于底面，可得平面ABC，则，再由，结合线面垂直的判定可得平面从而得到；Ⅱ取的中点H，连结EH，可得，且则四边形BEHF为平行四边形，则再由线面平行的判定可得平面；Ⅲ在棱上存在点G，且G为的中点连接EG，首先证明 ≌ 可得，则F.由Ⅰ可得平面，得到平面C.即G.由线面垂直的判定可得平面F.进一步得到平面平面F.本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．19.设函数．Ⅰ当时，求的单调区间和极值；Ⅱ若直线是曲线的切线，求a的值．【答案】解：函数，则的定义域为．Ⅰ当时，，所以．令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间有极大值，无极小值，Ⅱ因为，所以．设直线与曲线的切点为，所以，即．又因为，即所以．设，因为，所以在区间上单调递增．所以在区间上有且只有唯一的零点．所以，即．所以．【解析】Ⅰ根据题意，当时，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析函数的单调性，进而分析可得函数的极值；Ⅱ根据题意，取出函数的导数，设直线与曲线的切点为，由导数的几何意义求出切线的方程，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线方程．20.已知椭圆：的右焦点为，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ，B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离为，证明：的周长为定值．【答案】解：Ⅰ由题意得解得所以椭圆C的方程为，证明：Ⅱ当AB垂直于x轴时，AB方程为，，，，因为，所以．当AB不垂直于x轴时，设AB程为，原点O到直线AB的距离为，所以，即由得，即．设，，则，．所以因为A，B在y轴右侧，所以，所以．所以，所以，同理．所以．所以．综上，的周长为4【解析】Ⅰ由题意得，解得即可得到椭圆的方程，Ⅱ当AB垂直于x轴时，易求出．当AB不垂直于x轴时，设AB程为，根据原点O到直线AB的距离为，得到m与k的关系式，再根据韦达定理和弦长公式可得，再求出，，即可得到的周长为4，即可证明本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理，属于难题第11页，共11页。
高考最新-东城数学(文) 精品
北京市东城区2018年高三年级综合练习(一)数学试卷（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）参考公式：①如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) ②如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)③如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(④球的表面积公式24R S π=（其中R 表示球的半径） ⑤球的体积公式334R V π=（其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则集合{1，3}是 （ ） A ．A ∩（ B ） B ． （A ∩B ） C ．B ∩（ A ） D ． A ∪B ） 2．函数)23(log 52-=x y 的定义域为（ ）A ．),32(+∞B ．]1,32(C ．),1(+∞D ．)54,32( 3．已知==<<ααπαπsin ,312cos ,23则（ ）A ．36 B ．－36 C ．33 D ．－33 4．预测人口的变化趋势有多种方法，最常的是“直接推算法”，使用的公式是nn k P P )1(0+=（k 为常数，k>－1），其中P n 为预测期内n 年后人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内 年增长率，如果－1<k<0，那么在这期间人口数 （ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．先上升后下降 D ．先下降后上升 5．在等差数列==-=991,24,12,}{S a a a n 则中 （ ）A ．－36B ．48C ．54D ．726．已知m 、n 为两条不同的直线α、β为两个不同的平面，给出下列四个命题 ①若m ⊂α，n//α，则m//n ; ②若m ⊥α,n//α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α//β； ④若m//α,n//α，则m//n. 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 7．已知在△ABC 中，=++，则O 为△ABC 的 （ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心8．通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误是0收为1或1收为0的概率都是0.18，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（ ）A ．0.018375B ．0.018125C ．0.01825D ．0.0185第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在(1－2x )6展开式中，含x 2项的系数为 ；所有项系数的和为 . 10．抛物线241x y =在点（2，1）处的切线的斜率为 ；切线方程为 .11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 18 88 77 18 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 18 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 18 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 18 82 52 42 18 44 38 15 51 00 13 42 99 66 18 79 5412．把曲线14:221=-ky x C 按向量a =（1，2）平移后得到曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为x =5，则k 的值为 ；离心率e 为 . 13．体积为33的正方体内接于球，则该球的体积为 .14．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序： （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为31)1(=f ；（2）当从A 口输入自然数n （n ≥2）时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果)1(-n f 的3)1(21)1(2+---n n 倍.当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知向量1)(),cos 2,cos 3(),cos ,sin 2(-⋅==x f x x s x 定义函数.（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的单调减区间.16．（本小题满分13分）一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，对该箱中的产品逐一取出进行测试.（1）求前两次取出的都是二等品的概率；（2）求第三次取出全部二等品的概率.17．（本小题满分14分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=a，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.（1）求证：DF//平面ABC；（2）求二面角B1—AF—B的大小（用反三角函数表示）；（3）求三棱锥F—B1AE的体积.18．（本小题满分13分） 已知函数x mx mx x f 3)(23++=在R 上是增函数，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分） 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（－1，0）和（1，0），点P 满足.4||||=+PF PE （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过E 点做直线与C 相交于M 、N 两点，且,2=求直线MN 的方程.20．（本小题满分13分）已知数列),4,3,2(1,1,}{111 =+==--n a a a a a n n n n 中 （1）求2a 、3a 的值；（2）证明当.2312,,4,3,2-≤<-=n a n n n 时高三数学（文）参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 9.C二、填空题：9．60，1 10．1，01=--y x 11．785，567，199，518，17512．－3，21 13．29π 14．351，24注：9、10、12、14小题第一个空2分，第二个空3分，11小题答对一个给1分. 三、解答题15．解：1cos 2cos sin 321)(2-+=-⋅=x x x x f ).62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x ………………………………7分 （1）.||2πωπ==T ……………………………………9分（2）3422322326222πππππππππ+≤≤+⇔+≤+≤+k x k k x k )(326Z k k x k ∈+≤≤+⇔ππππ ).](32,6[)(Z k k k x f ∈++∴ππππ的单调减区间为函数……………………13分 16．解：（1）四件产品逐一取出排成一列共有A 44种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有1212C C ⨯种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为61441212=⨯A C C ；…………………………6分（2）四件产品逐一取出排成一列共有A 44种方法，第二次取出的产品是四等品的共有3312A C ⨯种方法，∴前三次取出全部产品是二等品的概率为1－21443312=⨯A A C ；……………………13分17．解法一：（1）连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP.由E 为C 1C 的中点，A 1C 1//CP ，可证A 1E=EP. ∵D 、E 是A 1B 、A 1P 的中点，∴DE//BP. 又∵BP ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ， ∴DE//平面ABC.……………………5分（2）∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°， F 为BC 的中点，∴BC ⊥AF ，又∵BB 1⊥平面ABC ， 由三垂线定理可证B 1F ⊥AF.∴∠B 1FB 为二面角B 1—AF —B 的平面角. 在Rt △B 1BF 中，∠B 1BF=90°，由B 1B=a ，,22a BF =可求,2tan 11==∠BF B B FB B ∴∠B 1FB=.2arctan∴二面角B 1—AF —B 的大小为.2arctan ……10分设AB=A 1A=a , （3）又,49,43,2322122221a E B a EF a F B === ∴,,,.1121221F AF FE AF F B FE F B E B EF F B =⋂⊥⊥∴=+∴F B 1⊥平面AEF. ∵C 1C ⊥平面ABC ，AF ⊥FC ，由三垂线定理可证EF ⊥AF.∴3118121313111a F B EF AF F B S V V AEF AFB B AE B F =⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--. …………14分 解法二：如图建立空间直角坐标系xyz O -，令AB=AA 1=a =4，则A （0，0，0）， F （2，2，0），B （4，0，0），B 1（4，0，4）…………2分 （1）同解法一………………7分（2）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解， 按此标准给分）平面AEF 的法向量为)4,0,0(1-=B ， 设平面B 1AF 的法向量为⎩⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+∴=.02,0.0,0),,,(1z y x y x B z y x 即 令).1,1,1(,1,1,1--=∴-=-==z yx 则.331636||||,cos 111=⨯=⋅>=<∴B B n B∴二面角B 1—AF —B 的大小为.33arccos ………………9分（3）),2,2,2(),0,2,2(),4,2,2(1--==--=EF AF F B.0)2()4()2(22)2(1=-⨯-+-⨯+⨯-=⋅EF F B..11EF F B B ⊥∴⊥∴ .00)4(222)2(1=⨯-+⨯+⨯-=⋅AF F B ..11AF F B B ⊥∴⊥∴ 又.,1AEF F B F AF FE 平面⊥∴=.00)2(2)2(22=⨯-+⨯-+⨯=⋅AF EF ..AF EF ⊥∴⊥∴ 3118121313111a F B EF AF F B S V V AEF AFE B AE B F =⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--…………14分 18．解：.323)(2++='mx mx x f ……………………2分（1）当0=m时，03)(>='x f ，)(x f ∴在R 上为增函数；……………………4分 （2）当0≠m 时，)9(43640)(2-=-=∆='m m m m x f 的，①当0<m时，)(x f '开口向下且0>∆，说明存在区间使0)(<'x f ， 0<∴m 时，)(x f在R 上不是增函数；………………6分 ②当90<<m 时，)(x f '开口向上且0<∆，说明)(x f '恒大于0， 90<<∴m 时，)(x f 在R 上是增函数；………………8分 ③当9=m 时，91)31(9399)(323-+=++=x x x x x f ，由函数3x y =的单调性可 知9=m 时，)(x f 在R 上是增函数；………………10分④当9>m 时，)(x f '开口向上且0>∆，说明存在区间使)(x f '<0，9<∴m时，)(x f 在R 上不是增函数.………………12分 综上所述，所求m 的取值范围为[0，9].……………………13分19．解：（1）,4=+ 由椭圆的第一定义可知点P 的轨迹为椭圆，且2a =4，c=1，∴.3,422==b a ∴所求的椭圆方程为.13422=+y x ……5分 （2）①当直线MN 的斜率不存在时，不满足题意； …………6分②当直线MN 的斜率存在时，设其方程为 代入),1(+=x k y 13422=+y x 化简得 .01248)43(2222=-+++k x k x k设两交点的坐标为（),(11y x M 、),,(22y x N则2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+ ……8分 .32,221-=+∴=x x EN ME .0,25454312443494349.434923;434943832222222222122222>∆±==∴+-=+-⨯+--∴+-=--=+--=++-=∴满足即k k kk k k k k k k x x k k k k x∴所求的直线MN 的方程为).1(25+±=x y ………………14分 20．解（1）.252121,2111223112=+=+==+=+=a a a a a a ………………4分 （2）当.221)1(,,5,4,3,22121212112+>++=+==-----k k k k k k a a a a a a k 时 ∑=--->-=-∴>-n k k k n k k n a a a a aa 2212212212).1(2)(,2 .12,12)1(2212->∴-=-+>∴n a n n a a n n………………8分 .1,0),,4,3,2(1,1111111=≥>∴>∴=+==----a a a a k a a a a k k k k k k ∑∑==---=⨯-+-≤+-=-=-∴n k n k k k k n n n n a n a aa a 2221212212.331)1()1(21)1(2)(.23.2333212-≤∴-=+-≤∴n a n a n a n n ……………………12分).,5,4,3,2(2312 =-≤<-∴n n a n n ……………………13分。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
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2018届北京东城区高三数学模拟试卷题目一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2.若复数满足 ( 为虚数单位)，则复数的虚部为 ( )A.1B.C.D.3. 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为 ( )A.单调递增B.单调递减C.在上递增，在上递减 D .在上递减，在上递增4.已知命题p: ;命题q：，则下列命题中的真命题是 ( )A. B. C. D.5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )A.( ，0)B.(0， )C.( ， )D.( ， )6.设，则 ( )A. B. C. D.7.已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是( )A. B. C. D.8. 函数的部分图象大致为 ( )9.函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为 ( )A. B. C. D.10.在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成的一个“类”，记作，即，其中 .给出如下五个结论：① ; ② ;③ ;④ ;⑤“整数属于同一“类””的充要条件是“ ”。
其中，正确结论的个数是 ( )A.5B.4C.3D.211.已知是定义在上的偶函数，对于 ,都有 ,当时，，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是 ( )A.7B.8C.10D.1212.奇函数定义域是，，当 >0时，总有>2 成立，则不等式 >0的解集为A. B.C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.函数在点处切线的斜率为 .14.由抛物线，直线 =0， =2及轴围成的图形面积为 .15. 点是边上的一点，则的长为_____.16.已知函数则关于的不等式的解集为 .三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)设、，，。
2018年北京市各城区二模数学文科分类汇编之立体几何含答案
2018北京市各城区二模数学（文科）分之立体几何含答案【丰台二模】（17）（本小共14分）如，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，A1D平面ABC，AB=BC，平面BBD与棱AC交于点111A1E（Ⅰ）求：AC A1B；C 1（Ⅱ）求：平面BB1D平面AACC；11B1（Ⅲ）求：B1B∥DE．ADC（17）（本小共14分）B明：（Ⅰ）因A1D平面ABC，因此A1D AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分因△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，因此BD AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因A1DI BDD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分因此AC平面A1BD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此AC A1B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）因A1D平面ABC，因BD平面ABC，因此A1D BD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由（Ⅰ）知BD AC．因ACI A1D D，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此BD平面A1ACC1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因BD平面BB1D，因此平面BB1D平面AAC11C．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）因在三棱柱ABC A1B1C1中，面A1ABB1平行四形，因此B1B∥A1A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因B1B平面A1ACC1，A1A平面A1ACC1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因此B1B∥平面A1ACC1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因B1B平面BB1D，且平面BB1DI平面A1ACC1DE，⋯⋯⋯13分因此B1B∥DE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分【旭日二模】18.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD中,!PBC是等腰三角形,且PBPC 3.四边形ABCD是直角梯形,AB//DC,ADDC,AB5,AD4,DC3.（Ⅰ）求证:AB//平面PDC;（Ⅱ）当平面PBC平面ABCD时,求四棱锥P ABCD的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC垂直,并给出证明.．．分析:（Ⅰ）由于AB//CD,CD平面PDC,AB平面PDC因此AB//平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD中,过点C作CF AB于F,取CD中点E,连结PE,由于PC PB因此在!PCB中,PE BC,由于面PBC面ABCD,面PBCI面ABCD=BC因此PE面ABCD由于AB//CD，AD CD,CF AB,AB 5,AD 4,DC 3因此CF 4,BF 222,在!CFB中,BCCF BF25PEPE2CE22由于S梯形ABCD(AB DC)162132因此VPABCD3S梯形ABCDPE3取BC的中点E,连结PE由于PB PC,因此PB BC,则PE3252由于平面PBC平面ABCD,平面PBCI平面ABCD BC,PB BC因此PB平面ABCD则四棱锥P ABCD的体积为:S1(35)4232323（Ⅲ）点P和点A,连结AC和AE则AC32425AB,AE均分BC,因此AE BCPD CEA B又PE BC,PE平面PAE,AE平面PAE,AEIPE E因此BC平面PAE,PA平面PAE,因此BC PA即证点P和点A所在的直线PA与直线BC垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACBC，AC BCCC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC C1F；C1B1（Ⅱ）求证：BE∥平面AC11F；EA1（Ⅲ）在棱CC1上能否存在一点G，使得平面B1EG平面AC11F？说明原因．FCB （18）（共14分）A解：（Ⅰ）在三棱柱ABCA1B1C1中，由于侧棱垂直于底面，因此CC1平面ABC．因此CC1AC．由于AC BC，CC1IBC C，因此AC平面BCC1B1．由于C1F平面BCC1B1，因此AC C1F．5分（Ⅱ）取A1C1中点H，连结EH，FH．则EH∥B1C1，且EH 1B1C1，H 2A1又由于BF∥B1C1，且BF 1B1C1，2因此EH∥BF，且EH BF．因此四边形BEHF为平行四边形．因此BE∥FH．A又BE平面AC11F，FH平面AC11F，因此BE∥平面ACF．1 1（Ⅲ）在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．连结EG,GB1．C1在正方形BB1C1C中，由于F为BC中点，A1因此△B1C1G≌△C1CF．G因此C1CF B1GC190．C因此B1G C1F．由（Ⅰ）可得AC平面BB1C1C，A由于AC//A1C1，因此A1C1平面BB1C1C．由于B1G平面BB1C1C，因此AC11B1G．由于1111，AC ICF C因此B1G平面AC11F．由于B1G平面B1EG，因此平面B1EG平面AC11F．C1B1ECF B10分B1EFB14分【西城二模】（18．（本小分14分）如，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面相互垂直，AB//CD//EF，AB AD，G AB的中点．CD DA AF FE2，AB4．（Ⅰ）求：DF//平面（Ⅱ）求：平面BCF（Ⅲ）求多面体AFEBCD BCE；平面GCE；的体．18．（本小分14分）解：（Ⅰ）因CD//EF，且CD EF，因此四形CDFE平行四形，因此DF//CE．⋯⋯2分因DF平面BCE，⋯⋯3分因此DF//平面BCE．⋯⋯4分（Ⅱ）接FG．因平面ABCD平面ABEF，平面ABCDI平面ABEF AB，AD AB，因此AD平面ABEF，因此BF AD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因G AB的中点，因此AG//CD，且AG CD；EF//BG，且EF BG，因此四形AGCD和四形BEFG均平行四形．因此AD//CG，因此BFCG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因EFEB，因此四形BEFG菱形，因此BF EG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此BF平面GCE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此平面BCF平面GCE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（Ⅲ）BFIGE O．由（Ⅰ）得DF//CE，因此DF//平面GCE，由（Ⅱ）得AD//CG，因此AD//平面GCE，因此平面ADF//平面GCE，因此几何体ADF GCE是三棱柱．⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分由（Ⅱ）得BF平面GCE．因此多面体AFEBCD的体V V ADFGCE V BGCE⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分S GCE1S GCE BO FO34S GCE FO 83．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分33【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的地点，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC平面PCF；（Ⅲ）在线段PD,BC上能否分别存在点M,N，使得平面CFM//平面PEN？若存在，请指出点M,N的地点，并证明；若不存在，请说明原因.17．（本小14分）（Ⅰ）明：折叠前，因四形AECD菱形，因此AC DE；因此折叠后，DE PF,DE CF,又PFICF F,PF,CF平面PCF，因此DE平面PCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）因四形AECD菱形，因此DC//AE,DC AE.又点E AB的中点，因此DC//EB,DC EB.因此四形DEBC平行四形.因此CB//DE.又由（Ⅰ）得，DE平面PCF,因此因CB 平面PCF. CB 平面PBC，因此平面PBC平面PCF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）存在知足条件的点M,N,且M,N分别是PD和BC的中点.如图，分别取PD和BC的中点M,N.连结EN,PN,MF,CM.由于四边形DEBC为平行四边形，1因此EF//CN,EF BC CN.2因此四边形ENCF为平行四边形.因此FC//EN.在PDE中，M,F分别为PD,DE中点，因此MF//PE.又EN,PE平面PEN,PEIEN E,MF,CF平面CFM,因此平面CFM//平面PEN.【昌平二模】18.（本小题14分）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD平面ABEF，AF//BE,AB BE,ABBE2,AF1．（Ⅰ）求证：AC平面BDE；14分EF（Ⅱ）求证：AC//平面DEF；（III）求三棱锥D-FEB的体积.18.（共14分）A B OD C证明：（I）由于正方形ABCD,因此AC BD.又由于平面ABEF平面ABCD,平面ABEF I平面ABCD=AB,AB BE,BE平面ABEF,因此BE平面ABCD.又由于AC平面ABCD.故BE AC.又由于BEIBDB，因此AC平面BDE.--------------------5分（II）取DE的中点G，连结OG,FG，由于四边形ABCD为正方形，因此O为BD的中点．则OG//BE，且OG1BE．2由已知AF//BE，且AF1BE，则AF//OG且AFOG，2EFGA B因此四边形AOGF为平行四边形，因此AO//FG，O 即AC//FG．由于AC平面DEF，FG平面DEF，因此AC//平面DEF．--------------------10分D C（III）由于平面 ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF I平面ABCD=AB,因此AD//BC,AD AB.由（I）知，BE平面ABCD，AD平面ABCD因此BE AD因此AD平面BEF.因此V DBEF1S BEF AD11BE ABAD 4.--------------------14分3323【顺义二模】（本小题满分13分）如图,直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长为1,AB AC 1,BC2,D是BC的中点..（Ⅰ）求证:AD平面B1BCC1;（Ⅱ）求证:A1B//平面ADC1;（Ⅲ）求三棱锥B1ADC1的体积.【房山二模】（18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点.现将四边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的地点，使得平面ABCF平面D1E1FC，如图2.（Ⅰ）证明：D1F平面E1OG；（Ⅱ）求几何体E1-OFAG的体积；（Ⅲ）在直线AB上能否存在点H，使得D1H//平面E1OG？假如存在，求出AH的长；假如不E D存在，请说明原因.F.OC A G BE1D1F COCF （18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG图（2）中，OG CFA G B又面CD1E1F面ABCF，面CD1E1FI面ABCF=CFOG面CD1E1FQD1F面CD1E1FOGD1F又O为CF的中点OF//D1E1，又E1D1E1F四边形E1D1OF为菱形=D1F OE1QOGIOE1=O D1F面E1OG5分E1D1（Ⅱ）图二中，过E1作E1M FO，垂足为MFO CQOG面CD1E1F，E1M面CD1E1FE1MOG MQOGIFOO E1M面AGOF E1M为E1-OFAG的AG B高，E1M=2sin603S四OFAG=(1+2)31=33V 1Sh310分2232（Ⅲ）过C作CH AB,交AB的延伸线于点HCH//OG又OE1//CD1,CD1I CH C面D1CH//面E1OGHD1H//面E1OGQD1H面D1CHQ四形OGHC矩形GH=CO=2AH=3⋯⋯⋯⋯14分。
北京东城区2017-2018学年高三二模文科数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年北京东城区高三二模文科数学试卷一、单选题（共8小题）1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（）A．B．C．D．3．执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（）A．B．C．D．5．设，为实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数是偶函数,且，则（）A．B．C．D．7．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．8．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，，，它们的离心率分别为，，，则（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）9.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数_____________．10.若函数在区间上有且只有一个零点，则实数_______．11.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数_______.12.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.13.已知数列满足,，且，，则；数列的前项的和为________．14.一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免元；优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的．某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．三、解答题（共6小题）15.在△中，角，，所对的边分别是，，，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求△的面积．16.已知等差数列满足，，其前项和为.（Ⅰ）求的通项公式及；（Ⅱ）令，求数列的前项和.17.在梯形中，，，.平面⊥平面，四边形是矩形，，点在线段上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试问当为何值时，AM//平面？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：（Ⅰ）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．19.已知椭圆与轴交于两点，为椭圆的左焦点，且△是边长为等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．20.设函数，．（Ⅰ）若，求在区间上的最大值；（Ⅱ）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；（Ⅲ）若对任意的，均有成立，求的取值范围．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：所以。
2018年高三最新 北京市东城区2018年高三数学文科(二)
北京市东城区2018年高三年级综合练习（二）数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：①如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） ②如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）③如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(④球的表面积公式 24R S π=（其中R 表示球的半径）⑤球的体积公式 334R V π= （其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分；共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在下列各点中，不在不等式532<+y x 表示的平面区域内的点为 （ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，2）D ．（2，0） 2．已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于 （ ）A ．232B ．－232 C ．31D ．－313．若函数R x x f y ∈=)((）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的 是（ ）A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -4．与直线034=+-y x 平行的抛物线22x y =的切线方程是（ ）A ．014=+-y xB ．014=--y xC ．024=--y xD ．024=+-y x5．等比数列{a n }中，===953,16,4a a a 则（ ）A ．256B ．－256C ．128D ．－1286．在半径为1cm 的球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=83，∠ACB=60°，则球心O 到 平面ABC 的距离为 （ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm7．A 、B 两点之间有5条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现 从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于7的方法共有 （ ） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种 8．)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示， 则)(x f 的图象只可能是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．图中阴影部分集合符号表示为 .10．函数)0(121>+=x x y 与函数)(x f y =的图象 关于直线x y =对称，则)(x f = ； )(x f 的定义域为 .11．事件A 、B 、C 相互独立，如果81)(,81)(,61)(=⋅⋅=⋅=⋅C B A P C B P B A P ， 则P （B ）= ；)(B A P ⋅= .12．若直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且l 不通过第四象限，则l 斜率的取值范围为 .13．已知向量、的夹角为45°，且||=4，（12)32()21=-⋅+b a b a ，则||= ；b 在a 方向上的投影等于 .14．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来回运动，（即（0，0） →（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→……），且每秒移动一个单位，那么粒子运 动到（3，0）点时经过了 秒；2000秒 时这个粒子所处的位置为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且.2cos cos ca bC B +-= （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,13=+=c a b ，求△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）从数学0、1、2、3、4、5中任取三个，组成没有重复数字的三位数，求：（Ⅰ）这个三位数是奇数的概率；（Ⅱ）这个三位数小于450的概率.17．（本小题满分14分）已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.（Ⅰ）求PC与平面PBD所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离；（Ⅲ）如果E为PB的中点，求证PC⊥平面ADE.18．（本小题满分13分）已知函数1,22)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间.19．（本小题满分13分）直线1+=x y 与双曲线C ：)0(12222>=-b by x 恒有公共点. （Ⅰ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（Ⅱ）若直线)(:R m m x y l ∈+=过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P 、Q 两点，并且满足51=，求双曲线C 的方程.20．（本小题满分14分）从点P 1（1，0）做x 轴的垂线，交抛物线y=x 2于点Q 1（1，1），再从Q 1做这条抛物线的切线与x 轴交于点P 2，又过P 2做x 轴的垂线，交抛物线于Q 2，依次下去得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2、……、P n 、Q n .求： （Ⅰ）||n OP ； （Ⅱ）).:(||1211∑∑==+++=ni n in i ii a a a aP Q 注数学（文科）试卷参考答案一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题9． （A ∩B ）或 或（ ）∩ A 等； 10．xx21-，（0，1）； 11．31,21 ； 12．[0，2] 13．2，1； 14．15，（24，44）. 注：（10）、（11）、（（13）、（14）小题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题）15．（Ⅰ）解法一：由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===得 .sin 2,sin 2,sin 2C R c B R b A R a ===…………………………2分将上式代入已知.sin sin 2sin cos cos 2cos cos CA BC B c a b C B +-=+-=得即.0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A.0)sin(cos sin 2=++C B B A ……………………4分∵A+B+C=π，.0sin cos sin 2.sin )sin(=+∴=+∴A B A A C BB B A .21cos ,0sin -=∴≠为三角形的内角，π32=∴B .…………7分解法二：由余弦定理得bca cb C ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，……………2分 将上式代入.2222cos cos 222222c a bcb a ab ac b c a c a b C B +-=-+⨯-++-=得 整理得.222ac b c a -=-+…………………………4分B ac ac ac b c a B ∴-=-=-+=∴.2122cos 222为三角形的内角，π32=∴B .……7分（Ⅱ）将π32,4,13==+=B c a b 代入余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得.3).211(21613,cos 22)(22=∴--=∴--+=ac ac B ac ac c a b …………10分.343sin 21==∴∆B ac S ABC ………………………………13分16．解：从数字0、1、2、3、4、5中任取三个组成没有重复数字的三位数的个数为255A ………………2分（Ⅰ）这个三位数是奇数的个数为.141413A A A ⨯⨯∴这个三位数是奇数的概率为2512525141413=⨯⨯A A A A . …………7分 （Ⅱ）这个三位数大于等于450的个数为1425A A +， ∴这个三位数小于450的概率为.251951251425=+-A A A …………13分17．解法一：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接PO.∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD. 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC. ∵BD ∩PD=D ， ∴AC ⊥平面PBD. ∴∠CPO 为PC 与平面PBD 所成的角. ∵PD=AD=2，则OC=2，PC=22. 在Rt △POC 中，∠POC=90°， ∴.21sin ==∠PC OC CPO ∴PC 与平面PBD 所成的角为30° …………4分 （Ⅱ）过D 做DF ⊥PO 于F ，∵AC ⊥平面PBD ，DF ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥DF. 又∵PO ∩AC=O ， ∴DF ⊥平面PAC. 在Rt △PDO 中，∠PDO=90°， ∴PO ·DF=PD ·DO.∴.332=DF …………8分 （Ⅲ）取PC 的中点N ，∵E 为PB 的中点，∴EN//BC//AD.∴四边形AEND 为平面图形.∵AD ⊥PD ， AD ⊥DC ， PD ∩DC=D ， ∴AD ⊥平面PDC. ∵PC ⊂平面PDC ， ∴AD ⊥PC.又∵PC=DC ，∠PDC=90°，N 为PC 的中点， ∴PC ⊥DN. ∵AD ∩DN=D ， ∴PC ⊥平面ADE. …………14分解法二：如图建立空间直角坐标系D —x yz ，∵PD=AD=2， 则D （0，0，0），A （2，0，0），O （1，1，0）， B （2，2，0），C （0，2，0）， P （0，0，2）………………2分（Ⅰ）∵正方形ABCD ，∴OC ⊥DB.∵PD ⊥平面ABCD ， OC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥OC. 又∵DB ∩PD=D ，∴OC ⊥平面PBD. ∴∠CPO 为PC 与平面PBD 所成的角. ∵),2,1,1(),2,2,0(-=-= ∴.23||||,cos =⨯>=<PO PC∴PC 与平面PBD 所成的角为30° …………5分（Ⅱ）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）过D 做DF ⊥平面PAC 于点F ，设平面PAC 的法向量为),,(z y x n = ∴⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00.0,0z y z x PA n 即 令x =1，则y=1，z =1. ∴).1,1,1(= ………7分∴.33232||||,cos =⨯=⋅>=<DA n DA n ∴D 到平面PAC 的距离.332,cos ||||>=<⨯=DA n DA DF …………9分（Ⅲ）∵E （1，1，1），则).0,0,2(),1,1,1(-=-=∴.0=⋅ ∴PC ⊥AE. 同理PC ⊥AD. ∵AE ∩AD=A ， ∴PC ⊥平面ADE. …………14分 18．解：（Ⅰ）1,2)(.223)(2==-+='x x x f bx ax x f 在 处取得极值，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=--∴⎩⎨⎧='='2131022302412.0)1(,0)2(b a b a b f f ∴x x x x f 22131)(23-+=…………6分 （Ⅱ）.2)(2-+='x x x f 由已知1,2)(=-=x x x f 在处取得极值得 当.0)(,),1()2,(>'+∞⋃--∞∈x f x 时∴)2,()(--∞在x f 上是增函数，在（1，+∞）上是增函数.当.0)(,)1,2(<'-∈x f x 时 ∴)(x f 在（－2，1）上是减函数. ……13分19．解；（Ⅰ）把y=x +1代入双曲线.02)1(2122222222=-+-=-b x x b by x 得整理得.0)1(24)2(222=+---b x x b…………2分当b 2=2时，直线与双曲线有一个交点，这时.2=e当b 2≠2时，直线与双曲线恒有公共点∆⇔=16+8(b 2－2)(1+b 2)≥0恒成立.即b 4－b 2≥0恒成立. ∵.1,022≥∴>b b ∴.26.23222222≥∴≥+==e b a c e综上所述e 的取值范围为 ).,26[+∞ …………6分（Ⅱ）设F （c ，0），则直线l 的方程为.c x y -=把.022)(122222222=--+=--=b y c y b by x c x y 得代入双曲线整理得.022)2(222222=-++-b c b y cb y b设两交点为.22,22),,(),,(22222122212211--=--=+b b c b y y b cb y y y x Q y x P 则 ∵.51,5121y y =∴= ∴.225,226222221221--=--=b b c b y b cb y∴.7.51)2(92,2,0.52)2(9222222222242==-+∴=->-=-b b b b c b b c b b b c ∴所求双曲线C 的方程为 .17222=-y x …………13分20．解：（Ⅰ）.2x y =' ………1分 设Q n －1的坐标为111),,(---n n n Q y x 则以为切点的抛物线的切线方程为).(2111----=-n n n x x x y y …………3分令y=0解得Q n 的横坐标为 ).,4,3,2(212211211111 ==-=-=-------n x x x x x y x x n n n n n n n n∴数列}{n x 是首项为1，公比为21和等比数列.∴).4,3,2,1.(21|||1====-n x x OP n n n n …………7分（Ⅱ）),4,3,2,1()21(212===-n x y n n n . …………9分).211(34411211||||21211n ni n i ni i ni i i y y Q -=--===∑∑∑=== …………14分。
北京东城区高三二模数学 文科 试卷及答案解析
高三数学（文）（东城） 第 1 页（共 5 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学 （文科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{13},{20}A x x x B x x =<->=-≥或，则A B =U（A ）{}12x x x <-≥或 （B ）{}12x x -<≤ （C ）{23}x x ≤< （D ）R （2）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是（A ）3y x = （B ）cos y x = （C ）x y e =（D ）1y x =+（3）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7,3- （B ）3,3-- （C ）5,3- （D ）5,2 （4）若,x y 满足21x yx -＃，则点(,)x y 到点(1,0)-距离的最小值为（A ）5（B ）35（C ）2 （D ）12（5）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是经典的六柱鲁班锁及六 个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的 体积为高三数学（文）（东城） 第 2 页（共 5 页）（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ）332000mm （D ）330000mm （6）已知,,,m n p q 为正整数，且m n p q +=+，则在数列{}n a 中，“m n p q a a a a ⋅=⋅”是“{}n a 是等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB . 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是（A ）343- （B ）343+ （C ）433- （D ）433+ （8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 （A ）随着车流密度增大，车流速度增大（B ）随着车流密度增大，交通流量增大（C ）随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 （D ）随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小高三数学（文）（东城） 第 3 页（共 5 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编--创新问题
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——创新问题1.(昌平)2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款 CA. 45元B. 350元C. 400元D. 445元2. （朝阳）某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 BA. 5B. 6C. 7D.83. （朝阳）如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为 ；()S x 的最小值为 ．π；44. （东城）血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml ），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i =）①记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123,,V V V 中最大的是_________；②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123,,T T T 中最大的是________．1V 3T5.（东城） 已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题：① 当(43)x ∈--，时，()0f x ≥； ② ()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是 B（A ）①② （B ）②③（C ）②④（D ）③④6. （房山）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，11,24AE BF ==．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 C（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）87.（房山）已知集合{}{}4,3,2,,=c b a ，且下列三个关系：4,3,3≠=≠c b a 有且只有一个正确，则函数()()22,,,,⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩x x b f x x c a x b 的值域是 ． [)+∞,3 8. （丰台）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色 B (A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关 9. （丰台）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ； ② 线段BM 的长为定值；③ 存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90︒． 其中正确的命题是 ．（写出所有．．正确命题的序号） （1）（2） 10. （海淀）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+，则函数()F x =()g x ()f x -（ ）．CA ．有极小值，没有极大值B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值11. (海淀)某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中，可能是该几何体左视图的图形是__________． （写出所有可能性的序号）①②③③②①A 1MEDCBA俯视图主视图12．（顺义）已知点()1,1A --，若曲线T 上存在两点B ，C ，使ABC 为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①()3003x y x +-=≤≤；②()2220x y x +=≤≤；③()10y x x=->， 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ）．C A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】对于①，∵A 不在直线30x y +-=上， 直线与坐标轴的交点坐标为()0,3M ，()3,0N ，此时MN =AMAN = 由于AM MN <，∴存在点B ，C ，使ABC 为正三角形，故①正确；对于②，()2220x y x +=≤图形是第二、三象限的半圆，易知不存在两点B ，C ，使ABC 为正三角形，故②错误； 对于③，利用数形结合思想，以A 为圆心，做一个顶角是60︒的角，由图象对称性知，当与曲线相交时，存在两点B ，C ，使ABC 为正三角形，故③正确， 综上，正确的个数有2个，故选C ．13.（顺义）在某艺术团体组织的“微视频展示”活动中，该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A 视频的“点击量”和“专家评分”中至少有一项高于B 视频，则称A 视频不亚于B 视频，已知共有5部视频参展，如果某视频不亚于其他4部视频，就称此视频为优秀视频，那么在这5部微视频中，最多可能有__________个优秀视频．5 【解析】记这5部微视频为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，先考虑2部微视频的情形，若1A 的点播量大于2A 的点播量， 且2A 的专家评分大于1A 的专家评分， 则优秀视频最多可能有2种；再考虑3部微视频的情形，若1A 的点播量大于2A 的点播量大于3A 的点播量， 且3A 的专家评分大于2A 的专家评分大于1A 的专家评分， 则优秀视频最多可能有3种，依次来推可知，这5部为视频中，优秀视频最多可能有5种．14．（西城）地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 C （A ）A（B ）B（C ）D（D ）E15. （西城）已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____． 1[2,)2--。
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北京市东城区2018学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U=R，集合{}B=，，，如图阴影部分所234012A=，，，{}表示的集合为（A）{}2（B）{}01，（C）{}，（D）{}0,1,2,3,434（2）若复数2-+为纯虚数，则实数m的值为()im m m（A）1-（B）0（C）1（D）2（3）已知圆的方程为222610+--+=，那么圆心坐标为x y x y（A）(1,3)--（B）(1,3)-（C）(1,3)（D）(1,3)-（4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是C （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b << （6则其侧面积等于（A ）3 （B （C ）5 （D ）6（7）若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的最大值为（A ）13 （B ）11 （C ）3 （D ）1（8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱正（主）视图1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y关于x 的函数()y f x =的解析式为 （A ）23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈（B ）31,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩（C ）22312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩（D ）23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知抛物线22y x =上一点P(,2)m ，则m = ，点P 到抛物线的焦点F 的距离为 .（10）在△ABC 中，已知2,3a b ==， 那么sin sin()AA C =+ .（11）函数22(0)y x x x=+<的最大值为 . （12）若非零向量a ，b 满足+a b =-a b =2a，则向量b 与+a b 的夹角为 .（13）设函数()cos f x x =，(0,2)x ∈π的两个的零点为1x ，2x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根3x ，4x ．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m = ． （14）如图,△ABC 是边长为1的正三角形,以A 为圆心,AC 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA 延长线于1A ，记弧1CA 的长为1l ；以B 为圆心，1BA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于2A ，记弧12A A 的长为2l ；以C 为圆心，2CA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC 延长线于3A ，记弧23A A 的长为3l ，则123+l l l += .如此继续以A 为圆心，3AA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交1AA 延长线于4A ，记弧34A A 的长为4l ， ，当弧长8n l =π时，n = .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15 ，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外完全相同)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.（16）（本小题共13分）已知函数)π322cos()3π2cos()(+++=x x x f ，()cos 2g x x =.（Ⅰ）若)2π,4π(∈α，且353)(-=αf ，求()g α的值；（Ⅱ）若x ]3π,6π[-∈，求)()(x g x f +的最大值.（17）（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 上一点，四边形BCDE 为矩形，60PAD ∠= ，PB =22PA ED AE ===.（Ⅰ）若()PF PC λλ=∈R，且PA ∥平面BEF ,求λ的值；（Ⅱ）求证：CB ⊥平面PEB .（18）（本小题共13分）已知等比数列{}n a 的前4项和45S =，且12234,,2a a a 成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n ．（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F为左焦点，且12AF =，又椭圆C 过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆22+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ,2k ，若1234k k =，证明：A ,P ,Q 三点共线．（20）（本小题共14分）已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）．（Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．北京市东城区2018-2018学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）C （4）A（5）C （6）D （7）B （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）2 52（10）32（11） 4- （12）6π（13）23-（14）4π 12 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ， 试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为2r π（r 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为22142126S r r ππ=⨯⨯=.所以，2216()6rP A r π==π. …………………………5分设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B ，记盒子中3个白球为1a ，2a ，3a ，3个红球为1b ，2b ，3b ，记(,)x y 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b ，共15种.摸到的2个球都是红球有12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b ，共3种. 所以，()P B =31155=. …………………………11分 因为()()P A P B <，所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由)π322cos()3π2cos()(+++=x x x f得()f x x x x x 2sin 232cos 212sin 232cos 21---=x 2sin 3-=. …………………………4分因为353)(-=αf ，即3532sin 3-=-α，所以532sin =α. 又因为)2π,4π(∈α，所以)π,2π(2∈α.故542cos -=α，即54)(-=αg . …………………………7分（Ⅱ）)()(x g x f +x x 2cos 2sin 3+-=)3π2cos(2+=x .因为x ]3π,6π[-∈，所以]π,0[3π2∈+x .所以当03π2=+x ，即6π-=x 时，)()(x g x f +有最大值，最大值为2. ………………13分 （17）（共13分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BE 于点M ，连接FM .因为PA 平面BEF ，平面PAC 平面BEF FM =， 所以FM AP.因为EM CD ，所以12AMAE MC ED ==.因为FM AP ，所以12PF AM FC MC ==. 所以13λ=.（Ⅱ）因为2,1,60,AP AE PAD ==∠=所以PE =所以PE AD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =,PE ⊥平面ABCD ，所以PE CB ⊥.又BE CB ⊥,且PE BE E = ,所以CB ⊥平面PEB . …………………………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为12234,,2a a a 成等差数列，所以12243a a a +=.整理得122a a =，即112a a q =，解得2q =.又414(12)512a S -==-，解得113a =. 所以1123n n a -=⨯. …………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1a -1=3-,所以172+(1)()33n n b n -=-=-.n T 72+(13)3=26n n n n --⨯=. …………………………10分所以由10n T ->，得[13(1)](1)06n n --->，整理得(1)(14)0n n --<，解得114n <<.故满足10n T ->的最大正整数为13. (13)分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=，b =22212b a c =-=，解得4a =.故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=． …………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--. 因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-.所以2112131234164PA x k k x -⋅==--.又因为1234k k =，所以21PA k k ⋅=-. （1）由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥.所以21QA k k ⋅=-. （2） 由(1)（2）可得PA QA k k =． 因为直线PA ，QA 有共同点A ，所以A ，P ，Q 三点共线．…………………………14分（20）（共14分）解：（Ⅰ）设()g x 在1x =处的切线方程为5y kx =-，因为21()37,(1)11g x x x g x''=++=，所以11k =，故切线方程为115y x =-.当1x =时，6y =，将(1,6) 代入327()ln 2g x x x x b =+++，得32b =． …………………………3分 （Ⅱ）()2'35f x x x a =++，由题意得方程3232535x x ax b x x ax x +++=+++有唯一解，（Ⅲ）2()ln ,F x ax x x =--所以221'()x ax F x x-+=-.因为()F x 存在极值，所以221'()0x ax F x x-+=-=在),0(+∞上有根，即方程0122=+-ax x 在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥. 显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根．记方程0122=+-ax x 的两根为21,x x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+21ln 14222-+-=a a >15ln 2- ,解得162>a ，满足0∆>. 又1202a x x +=>，即0a >，故所求a的取值范围是),4(+∞． …………………………14分。