一次函数与正比例函数

圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名学校年级及科目教师课题一次函数与正比例函数授课时间会画出一次函数的图象，并了解一次函数的性质．教学目标教学内容【师生共同探究，总结】：◆一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．◆当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．由此得出：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）具有的性质．◆【性质】当k>0时，y随x的增大而增大．当k<0时，y随x的增大而减小．◆定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

◆确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

◆正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零② x指数为1 ③ b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴◆一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b ）和（-kb，0）（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6） 图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； 当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号 0k > 0k <0b > 0b < 0b = 0b > 0b <0b =图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 正比例函数和一次函数及性质 正比例函数 一次函数 概 念 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围X 为全体实数 图 象 一条直线必过点 （0，0）、（1，k ） （0，b ）和（-kb，0） 走 向k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限 k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。

（从左向右下降） 倾斜度|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 图像的 平 移b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.◆ 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k◆ 常数函数函数y=b （b 是常数）叫做常数函数，即对于自变量x ，不管取它的允值范围内的任何一个值，函数值都取同一个常数值，这样的函数叫常函数．【提高练习】：小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回，小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行。

三人步行的速度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系如图中的A 、B 、C 表示，根据图象回答下列问题：（1）三个图象中哪个对应小明、爸爸、爷爷？A路程（米）时间（分）1200 2620 O B路程（米）时间（分）12002412OC路程（米）时间（分）12006O（2）小明家距离目的地多远？（3）小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？【教学反思】：1.一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则（ ） A.k>0，b>0 B. k<0，b<0C. k>0，b<0D.k<0，b>03.一次函数y=kx+b 与y=kbx ，它们在同一坐标系内的图象可能为 （ ）4.有下列函数：①y ＝6x-5, ②y ＝5x,③y ＝x ＋4, ④y ＝－4x ＋5。

其中过原点的直线是_____；函数y 随x 的增大而增大的是___________；函数y 随x 的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____。

5.函数y ＝2x 43＋的图像与x 轴交点坐标为________,与y 轴的交点坐标为____________。

7.已知函数y ＝31)3m m x -++（是一次函数且y 随x 的增大而增大，则m ＝ 。

8.一次函数112y x =+的图象与x 轴的交点横坐标为________；它与坐标轴围成的三角形的面积是________. 9.一次函数y=2x －3的图象可以看作是函数y=2x 的图象向__________平移________个单位长度得到的，它的图象经过_______________象限，y 随x 的增大而___________。

10.一次函数y=5x+2的图象是一条经过第__________象限的直线，它与x 轴的交点坐标为__________________，与y 轴的交点坐标为_________________。

xyxyxyxyxy 0课后作业：一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图14－111所示，饮水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y ，水位下降的高度是x ，那么能够表示y 与x 之间函数关系的图象是(如图14－112所示) ( )2．一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、三象限，则下列说法正确的是 ( ) A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜03．小明从家走了10分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸，然后用了15分钟沿原路回到家，下列图象中能表示小明离家距离y (米)与时间x (分)关系的是(如图14－113所示) ( )4．直线y ＝kx ＋b 与两坐标轴的交点如图14－114所示，当y ＜0时，x 的取值范围是 ( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ＞－1 D ．x ＜－15．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km 计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y 1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y 2元，若y 1，y 2与x 之间的函数关系如图14－115所示，其中x ＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是 ( )A ．当月用车路程为2000 km 时，两家汽车租赁公司租赁费用相同B ．当月用车路程为2300 km 时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算C ．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多D ．甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少 6．函数x y =1和34312+=x y 的图象如图14－116所示，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是 ( )A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜2C ．x ＜－1或x ＞2D ．x ＞27．已知四条直线y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形的面积是12．则k 的值为 ( )A ．1或－2B ．2或－1C ．3D ．48．如图14－117所示反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．如果菜地到玉米地的距离为a 千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b 分钟，则a ，b 的值分别为 ( )A ．1．1，8B ．0．9，3C ．1．1，12D ．0．9，8 9．函数y ＝－x 与函数y ＝x ＋1的图象的交点坐标为 ( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21 B ．⎪⎭⎫⎝⎛-21,21C ．⎪⎭⎫⎝⎛--21,21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2110．函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②(ab ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象(如图14－118所示)可能是 ( )二、填空题(每小题3分，共30分) 11．函数13+-=x x y 的自变量x 的取值范围是 ． 12．写出一个y 随x 增大而增大的一次函数的解析式 ．13．一根弹簧原长为12 cm ，它所挂物体的质量不能超过15 kg ，并且每挂1 kg 物体就伸长21cm ．则挂重物后的弹簧长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)之间的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 ．14．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则它的解析式可以为 ．15．已知直线y ＝kx ＋b 过点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，若k ＜0，且x 1＜x 2，则y 1 y 2．(填“＞”或“＜”) 16．(天津中考)已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为 ． 17．在平面直角坐标系中，将直线y ＝－2x ＋1向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式为 ．18．如图14－119所示的是小明从学校到家行进的路程s (米)与时间t (分)的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快．其中正确的有 (填序号)．19．如图14－120所示，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式组x 21＞kx ＋b ＞－2的解集为 ．20．用棋子按如图14－121所示的方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n －1)个图形多 枚棋子．三、解答题(第21～23小题各8分，第24～26小题各12分，共60分)21．我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，某时刻，益阳地面温度为20℃．设高出地面x 千米处的温度为y ℃．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少摄氏度；(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34℃，求飞机离地面的高度为多少千米．22．如图14－122所示，在平面直角坐标系中，一条直线l 与x 轴相交于点A (2，0)．与正比例函数y ＝kx (k ≠0，且k 为常数)的图象相交于点P (1，1)． (1)求k 的值；(2)求△AOP 的面积．23．已知一次函数y ＝kx －4，当x ＝2时，y ＝－3．(1)求一次函数的解析式；(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x 轴交点的坐标．。