数值积分和数值微分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
6.数值积分与数值微分
b Ak =∫a lk( x)dx
2、n=2时 有(x0，f（x0）)， (x1，f（x1）) ， (x2，f（x2）) b ∫a f( x)dx ≈ A0 f（x0）+ A1f（x1）+ A2f（x2） = A0 f（a）+ A1f（x1）+ A2f（b） b b A0 =∫a l0 ( x)dx =∫a [(x- x1)( x- x2)/[(x0-x1)(x0-x2)]] dx b =∫a [(x-x1)( x-b)/[(a-x1)(a-b)]]dx =[(b-a)(2a+b-3x1)]/[6(a-x1)]
b b
3. n=4时,有5个节点 4 （ 4 ） 4 C0 =(-1) /[4(0!)(4!)] ∫0 (t-1)(t-2)(t-3)(t-4)dt=7/90 4 C1（4） =(-1) 3 /[4(1!)(3!)] ∫0 t(t-2)(t-3)(t-4)dt=32/90 4 C2（4） =(-1) 2 /[4(2!)(2!)] ∫0 t(t-1)(t-3)(t-4)dt=12/90 4 （ 4 ） 1 C3 =(-1) /[4(3!)(1!)] ∫0 t(t-1)(t-2)(t-4)dt=32/90 4 C4（4） =(-1) 0 /[4(4!)(0!)] ∫0 t(t-1)(t-2)(t-3)dt=7/90 可以看出 C0（4） =C4(4) ， C1(4) = C3(4) ∴ I4 =(b-a)∑ C k (4) f(x0 +kh) =[(b-a)/90][7f(x0)+32 f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7(x4)] 这是Cotes求积公式。 Cotes系数性质： b (1)与[a,b]无关，f(x)=1时， (b-a)∑Ck（n）1=∫a 1 dx=b-a 所以 ∑Ck（n） = 1 (2)对称性Ck（n） =Cn-k(n)
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值分析-第八章数值微分与数值积分
ab
f
x dx
n
i1
xxii1
f
x dx
n
i1
xi
xi1 2
f
xi1
f
xi
h 2
n
i1
f
xi1
f
xi
h 2
f
a
n1
2
i1
f
a ih
f
b
Tn
11
复合梯形公式的误差:
RTn
f
n h3 f i1 12
i
h3 nf 12
ba3
12
1 n2
f
二 复合Simpson公式
ab f x dxin1xxii1 f xdx
n
i1
xi
xi1 6
我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.
从而得到能够对任意函数都通用的公式.
2
§2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插 值多项式求导,得到:
fx0fx0,x 1 fx 1fx0,x 1
其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.
a b公式
7
三 N-C公式的截断误差
Rnfa bfxdxba n Ck nfxk k0 ab f x dx ab Ln x dx
ab
f
n1 n 1!
第八章 数值微分和数值积分
第2章数值微分和数值积分
f '( x) D(h) O ( h) 2 f '( x) D(h / 2) O(h / 2)
f '( x) D(h) 2 f '( x) 2D(h / 2) f '( x) D(h / 2) D(h) D(h / 2)
例：
f(x)=exp(x)
h 0.10 0.09 f’(1.15) 3.1630 3.1622 R(x) -0.0048 -0.0040 h 0.05 0.04 f’(1.15) R(x) 3.1590 3.1588 -0.0008 -0.0006
f
误差
(k )
( x) Ln ( x)
(k )
f ( n1) ( ) Rn ( x) n ( x) f ( x) Ln ( x) (n 1)! k ( n 1) d f ( ) (k ) Rn ( x) k n ( x) dx (n 1)!
1 h2 f '( x0 ) L '2 ( x0 ) 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 f '( x1 ) L '2 ( x1 ) f ( x0 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 6 1 h2 f '( x2 ) L '2 ( x2 ) f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 (4) f ''( x0 ) L ''2 ( x0 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [ hf '''(1) f (2 )] h 6 1 h2 (4) f ''( x1 ) L ''1 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) h 12 1 h2 (4) f ''( x2 ) L ''2 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [hf '''(1 ) f (2 )] h 6 2 Taylor展开分析，可以知道，它们都是 O(h )
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值微分与数值积分的计算方法
数值微分与数值积分的计算方法数值微分和数值积分是数学中一种非常重要的方法。
在实际生活和科学研究中，很多情况下，需要对函数进行微分或积分的计算。
然而，由于很多函数的解析式很难或者根本不能求出，因此需要采用一些数值方法来近似计算。
本文将讨论数值微分和数值积分的计算方法。
一、数值微分在数值计算中，常常会遇到需要求函数在某个点处的导数的问题。
这时候，我们就需要用到数值微分。
数值微分主要有三种方法：前向差分、后向差分和中心差分。
（一）前向差分前向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点和向前一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$$其中，$h$表示步长。
（二）后向差分后向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点和向后一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$$（三）中心差分中心差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点左右两个点的平均斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}$$对于三种方法，其截断误差的阶分别为 $\mathcal{O}(h)$、$\mathcal{O}(h)$ 和 $\mathcal{O}(h^2)$。
二、数值积分数值积分是指用数值方法对某个函数在某一区间上的定积分进行近似计算的过程。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法和龙贝格法。
下面将分别介绍这三种方法。
（一）梯形法梯形法是一种比较简单的数值积分方法。
其基本思想是将积分区间分成若干个小梯形，然后求出这些小梯形面积的和。
具体地，假设我们要对函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上进行积分，将该区间分成 $n$ 个小区间，步长为 $h=(b-a)/n$，则梯形法的计算公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$$梯形法的截断误差的阶为 $\mathcal{O}(h^2)$。
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定理 对于n+1节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
§5.2 牛顿－柯特斯求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插 值
多一项、式公建式立推的导数：值求积公式
将积分区间[a, b]分割为n等份, 步长为h b a , n
从几何上看，就是计算曲 边梯形面积的近似值。
最简单的办法，是用直线、 抛物线等代替曲边，使得 面积容易计算。
用直线代替曲边
f(x)
f(a) a
a
f(a) a
b f(x)
(a+b)/2
b
f(x)
f(b)
b
左矩公式
b
a
f ( x)dx
f ab a
中矩公式
b f ( x)dx f a b b a
a1 dx b a =
b
x
dx
b2
a2
=
a
2
b
2
a
[1
1]
b a [a b] 2
b x2dx b3 a3
a
3
b
2
a
[a 2
b2 ]
因此梯形公式只对一次多项式精确成立。
➢代数精度
定义 如果某个求积公式对于次数不超过m的一切多
项式都准确成立,而对 某个m+1次多项式并不准确成 立，则称该求积公式的代数精度为m。
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n ，
以此分点为节点,构造出的插值型求积公式。
根据插值型求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f xk
k0
重 点 是 求 求 积 系 数Ak
Ak的 计 算:
Ak
b
a lk ( x)dx
b
x x j dx
a 0 jn xk x j
P(x)
xb ab
f (a)
xa ba
f
(b)
A1
A2
b
2
a
b f ( x)dx
ba[
f (a)
f (b)]
a
2
考察 f (x) 1, x, x2时,其,求x积m 误差。
梯形公式
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 f(x) = 1： 代入 f(x) = x ： 代入 f(x) = x2 ：
b
jk
j)
n 0
0
j
n
(t
j ) dt
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
(1)nk
n
Ak
( xk x j )
j0
称为求积系数。由节点 决定， 与 f (x) 无关。
jk
定义
求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f xk
k0
其系数
b
Ak a lk ( x)dx ，lk ( x为)拉各朗日插值基函数
这种求积公式称为插值型积分公式
插值型的求积公式余项
b
n
b
b
R[ f ] f ( x)dx a
§ 5.1 数值积分概述
§
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分
是微积分学中的基本问题。
❖ 传统方法的困境 ❖ 数值积分的基本思想 ❖ 数值积分的一般形式 ❖ 代数精度问题
➢传统方法的困境
对于积分
b
I( f ) a f (x)dx
如果知道f ( x)的原函数F ( x), 则由Newton Leibniz公式有
b sin x2dx
a
0x
a
(3) f ( x)的表达式结构复杂,求原函数较困难
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的 工具之一。
➢数值积分的基本思想
数值积分----指计算定积分近似值的各种计算方法。 常用一个简单函数代替原来的复杂函数求积分。
jk
注意是等距节点
令x a th 由 x [a,b] 可知 t [0, n]
Ak b
x x j dx
a 0 jn xk x j
jk
n
a th a jh hdt
0 0 jn a kh a jh
jk
n (t j)h
h
0
0 jn
(k
jk
j)h
h
dt
0 jn (k
Ak
或写为：
b
a
f
x dx
n
Ak
f
xk
k0
b
a
f
x dx
n
Ak
f
xk
R
f
k0
其中， -x--k- 称为求积节点 Ak----称为节点 xk 上的权系数。)在节点 xk 上的函数值，
----称为求积公式的截断误差或余项。
R f
后再进行求
正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。
a
2
梯形公式
b
a
f
( x)dx
b a f
2
a
f
b
用抛物线代替曲边
抛物线公式
b f ( x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
又称辛普森公式
➢数值积分的一般形式
x 上述的近似求积公式都是取[a,b]上若干点 处的高度通过加权 i
和得到积分的近似值，写成一般形式：
Ak f ( xk )
[ f ( x) P( x)]dx
a
R ( x)dx
a
k0
b a
f
( ( n1) x
(n 1)!
)
n k0
(x
xk )dx
为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求
积公式能够对尽可能多的函数f(x)都准确成立,这在
数学上常用代数精度这一概念来说明。
例：对于[a, b]上1次插值，有
b f ( x)dx F( x) b F(b) F(a)
a
a
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
(1) f ( x)的解析式根本不存在,只给出了f ( x)的一些数值 (2) f ( x)的原函数F ( x)求不出来,如F ( x)不是初等函数
b ex2dx,
1 sin x dx,
插值型求积公式
思 路
利用插值多项式 Pn ( x)
f ( x)则积分易算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
在积分区间[a, b]上取一组节点
a x0 x1 xn b
作f ( x)的n次插值多项式
n
P( x) f ( xk )lk ( x) k0
其 中：lk ( x)(k 0,1, , n)为 插值 基函 数
以拉格朗日插值多项式为例
不同的 插值方
法 有不同
的
基函数
用P( x)作为被积函数f ( x)的近似, 有
b f ( x)dx
a
b
P( x)dx a
bn
a
f ( xk )lk ( x)dx
k0
n
b
f ( xk ) a lk ( x)dx
Ak
k0
Ak
b a
n
dx ( x x j )