首次积分法应用的探讨

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浅谈积分因子及首次积分

浅谈积分因子与首次积分摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重要命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的几类微分方程的积分因子.关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比Introduction to integral factor and the points for the first timeChen Xueyun(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University 741000) Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors ,first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application.Keywords Differential equations,Integrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than目录0 引言 (1)1 相关概念 (1)1.1 积分因子 (1)1.2 首次积分 (2)1.3 特征方程（组） (2)2 预备知识 (2)3 问题的引入 (3)4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题 (5)4.1 命题一 (5)4.2 命题二 (7)5 几类常见微分方程的积分因子 (8)5.1 可分离变量的微分方程 (8)5.2 齐次微分方程 (9)5.3 线性微分方程 (10)5.4 Bornoulli微分方程 (10)6 小结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)浅谈积分因子与首次积分0 引言在微分方程的学习中，微分方程的求解是至关重要的，并且对于不同类型的微分方程可以给出不同的解法.Euler 曾在他的论文中指出：凡是可用分离变量法的地方都可以用积分因子法，这就启示我们要更多的了解和学习积分因子法.而这其中恰当微分方程就可以通过积分的方法求出，但并非所有的微分方程均为恰当微分方程，于是如何将一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程，让求其通解变得简单？将是一个很显眼的问题，对此本文就特殊积分因子的求法引进了首次积分法，并加以论证运用.1 相关概念1.1 积分因子定义1 对于下面的一阶方程 (,)dy f x y dx= 现把它写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或者把,x y 平等的处理，写成具有对称形式的一阶微分方程，如下(,)(,)0,M x y dx N x y dy += （1.1.1）其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，(,)x y D ∈，D 为单连通区域.这样如果存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=,为一恰当微分方程，即存在函数(,)u x y ，使 u u Mdx Ndy du dx dy x yμμ∂∂+≡=+∂∂, 则称(,)x y μ为方程（1.1.1）的积分因子.1.2 首次积分定义2 对于一般的常微分方程组 1112221212(,,,,),(,,,,),(,,,,).n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （1.2.1）其中，右端函数12,,,n f f f 都在某个域G 内连续.设函数12(,,,,)n x y y y Φ=Φ在域G 内连续可微，且12(,,,,)n x y y y const Φ=Φ≠，如果以方程组的（1.2.1）的任一解()(1,2,)i y x i n =代入函数Φ时，使得函数12(,(),(),,())n x y x y x y x const Φ=Φ=（其中const 为任意常数），且此常数与x 无关，同时此常数值随不同解而异，则称表达式12=(,,,,)n x y y y const ΦΦ=为方程（1.2.1）的一个首次积分，有时也称12(,,,,)n x y y y Φ为首次积分.1.3 特征方程（组）定义3 对于一阶齐次线性偏微分方程 121(,,,)0n i n i iX x x x x μ=∂=∂∑, （1.3.1）其中12,,,n x x x 是自变量，μ是12,,,n x x x 的未知函数，函数()(1,2,,)0i iX x i n x μ∂==∂为域'G 内相应的已知函数，则常微分方程组 1212n ndx dx dx X X X ===, （1.3.2）称为一阶齐次线性偏微分方程（1.3.1）的特征方程组，也称特征方程.2 预备知识引理[1] 函数(,)x y μ是方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂. （2.1）现在对（2.1）式做如下变形 M N M N y y x xμμμμ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂， M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭，则可得到如下以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程 ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. （2.2） 3 问题的引入通过对常微分方程的学习，我们了解了一阶微分方程的各种解法，其中对于恰当微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=我们可以通过积分求出它的通解，但是在学习研究中所遇到的微分方程大多并非全微分方程，于是我们引进了积分因子，以便更好的将一个非恰当微分微分方程转化为恰当微分方程，对于一般的积分因子我们可以通过观察法、分组法、公式法等来求解，那么对于特殊的又当如何呢？能否关联到有关偏微分方程的理论呢？下面的定理告诉我们这是肯定的.定理[2] 一阶微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有可求的积分因子⇔方程（2.2）的特征方程有可求的首次积分.证 )⇒ 由引理我们知道如果存在函数(,)x y μ，使(,)(,)(,)(,)x y M x y d x x y N x y μμ+= 为全微分方程，则有方程（2.1）成立，而方程（2.1）又与偏微分方程（2.2）等价，所以想要求解微分方程（1.1.1）关键是要求出积分因子(,)x y μ，而要求出积分因子(,)x y μ的关键是求解（2.2）式即偏微分方程 ln ln M N NM x y y x μμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂，现在令 ln t μ=， M N T y x∂∂=-∂∂，（3.1）则方程（2.2）可变形为如下偏微分方程 t t N M T x y∂∂-=∂∂，（3.2）由定义3现在可以写出（3.2）的特征方程 dx dy dt N M T==-，（3.3）所以求解积分因子(,)x y μ的关键就在于求出（3.3）的首次积分，假设现在求出特征方程（3.3）式的两个首次积分11ϕ（x,y,t ）=c ，22ϕ（x,y,t ）=c ，并且让它们相互独立，即雅可比行列式 1112220(,)x y D D x y x yϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂=≠∂∂∂∂（,），（3.4）那么，若120ϕϕΦ=（,），并能从120ϕϕΦ=（,）中确定函数ln (,)t x y μϕ==，则120ϕϕΦ=（,）为方程（2.2）的通解.)⇐ 假设特征方程（3.3）存在首次积分(,,)x y t c ϕ=()c 为常数，由 1ln (,)(,)t x y x y μϕ==可得 1(,)(,)x y x y e ϕμ=.把1(,)(,)x y x y e ϕμ=代入ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂，经验证成立. 故(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y μμ+=是一个全微分方程，并且(,)x y μ为方程(,)(,)0M x y d x N x y d y +=的一个积分因子.例1 用首次积分求解方程组22,().()dx y dt y x dy x dt y x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩ 解首先将两式相比可得 dx y dy x=，即 0xdx ydy -=对上式积分我们就可以得到方程组的一个首次积分2211x y c ψ=-=.再次将两式作差得到 2()()()d x y x y dt x y ---=-, 即 ()()0dt x y d x y +--=.对上式关于(x-y)积分可得 2221()2t x y c ψ=+-=. 下面根据定理以及（3.4）式验证首次积分1ψ与2ψ的相互独立性，因为 1121222(,)2()0(,)x y D x y D x y x yψψψψψψ∂∂∂∂==--≠∂∂∂∂，故首次积分1ψ与2ψ是相互独立的，因而原方程组的通解为 22122,1().2x y c t x y c ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题4.1 命题一对一阶微分方程(,)(,)0,M x y dx N x y dy += (,)x y D ∈（4.1.1） D 为单连通区域，其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与x 有关的函数()P x ，使得M N N y x ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=成立，则方程（4.1.1）存在只与x 有关的积分因子()()P x dx x e μμ⎰==，证（方法一）对于方程（4.1.1），由题设条件知，若存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则 0yμ∂=∂. 这时方程 M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭, 变为 M N Nx y x μμ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭，即 ()M N d y x dx P x dx Nμμ∂∂-∂∂==，（4.1.2）进而得到 ()d P x dx μμ=，（4.1.3）这里()P x 仅为x 的函数，现在对方程（4.1.3）两边同时积分，可以求得方程（4.1.1）的一个积分因子 ()()P x dx x e μμ⎰==.（方法二）由定理以及证明过程可知，设函数(,)x y μ为方程（4.1.1）的积分因子，那么它必满足偏微分方程（3.2）和特征方程 ln dx dy d M N N M y xμ==∂∂--∂∂，（4.1.4）现在将条件M N N y x ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=变形为()*(,)M N P x N x y y x ∂∂-=∂∂并代入（4.1.4），得 ln 1()dx d P x μ=，对上式积分可得首次积分为ln ()p x dx μ=⎰.从而可得方程（4.1.1）的一个积分因子()()P x dx x e μμ⎰==.4.2 命题二对一阶微分方程(,)(,)0,M x y dx N x y dy += (,)x y D ∈（4.2.1） D 为单连通区域，其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与y 有关的函数()Q y ，使得M N M y x ⎛⎫∂∂-- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=成立，则方程（4.2.1）存在只与y 有关的积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==.证（方法一）对于方程（4.2.1），由题设条件知若存在只与y 有关的积分因子()y μμ=，则0x μ∂=∂，这时方程 M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭变为 M N My y x μμ⎛⎫∂∂∂-=- ⎪∂∂∂⎝⎭，即 ()M N d y x dy Q y dy Mμμ∂∂-∂∂==-，（4.2.2）即 ()d Q y dy μμ=，（4.2.3）这里()Q y 仅为y 的函数，现在对方程（4.2.3）两边同时积分可以求得方程（4.2.1）的一个积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==（方法二）由定理以及证明过程，现在设函数(,)x y μ为方程（4.2.1）的积分因子，那么它必满足偏微分方程（3.2）和特征方程 ln dx dy d M N N M y xμ==∂∂--∂∂，（4.2.4）现在将条件 ()M N y x Q y M∂∂-∂∂=-变形为 []()*(,)M N Q y M x y y x∂∂-=-∂∂并代入方程（4.2.4），得 ln 1()dy d Q y μ=，对上式积分可得首次积分为ln ()Q y dy μ=⎰，从而可得方程（4.2.1）的一个积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==.例2 求解(2)0y y e dx x xy e dy -+=的通解.解容易看出 (,)y M x y e =，(,)(2)y N x y x xy e =-+以及 y M e y ∂=∂， 4y N xy e x∂=--∂. 由于 2M N y x N x∂∂-∂∂=-，即此方程存在只与x 有关的积分因子()x μ. 由命题一可知 2()21()dx x x e xμ-⎰==，再用积分因子21()x x μ=乘原方程两端可得 220y ye e dx ydy dy x x--=，即 20ye d dy x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，于是，原方程的通解是 2ye y c x+=. 5 几类常见微分方程的积分因子5.1 可分离变量的微分方程设可分离变量方程为()()dy f x y dx ϕ=，其中()f x ，()y ϕ分别是,x y 的连续函数. 现在对上述方程做出变形得到更一般的形式1212()()()()0M x M y dx N x N y dy +=. （5.1.1）现在取211(,)()()x y M y N x μ=，同时乘到（5.1.1）式的两边，得到1212()()0()()M x N y dx dy N x M y +=. （5.1.2）由于 1212()()0()()M x N y y N x x M y ⎛⎫⎛⎫∂∂== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，所以式（5.1.2）为恰当微分方程即全微分方程，故211(,)()()x y M y N x μ=就是方程（5.1.1）的一个积分因子.5.2 齐次微分方程这里只考虑第一种形式的奇次微分方程.设齐次微分方程 ()dy yf dx x=，（5.2.1）其中()f u 是u 的连续函数.作变量变换 yu x=，则 y ux =，（5.2.2）两边关于x 求导可得 dy du x u dx dx =+. （5.2.3）现在将（5.2.1）式和（5.2.2）式代入（5.2.3）式可得到如下可分离变量的微分方程()duxu f u dx+= 或 []()0xdu u f u dx +-=，（5.2.4）所以由前文对分离变量微分方程的讨论可知，微分方程（5.2.4）的积分因子是[]1(,)()x y x u f u μ=-. 现将[]1(,)()x y x u f u μ=-同时乘到（5.2.4）的两边得到 []110()du dx u f u x +=-，（5.2.5）由于 []110()u x x u f u ⎛⎫∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪∂∂-⎝⎭⎝⎭，所以（5.2.5）是全微分方程，也即 1(,)()x y y y xf xμ=- 是方程（5.2.1）的积分因子.5.3 线性微分方程设一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+，（5.3.1）其中()P x ，()Q x 是关于x 的连续函数. 对上式进行简单变形可得如下对称形式 []()()0P x y Q x dx dy ++=，其中 (,)()()M x y P x y Q x =+，(,)1N x y =.又由于 ()M N N P x y x ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ （这里()P x 只是关于x 的函数），所以由前文的命题一结论可知此一阶线性微分方程有只与x 有关的积分因子()x μ，即 0y μ∂=∂，d x dxμμ∂=∂. （5.3.2）将（5.3.2）式代入（2.2）式，得到 ()M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂= 即()d P x dx μμ=，对上式两边同时积分可得()()P x dx x e μ⎰=，即一阶线性微分方程（5.3.1）的积分因子是()()P x dx x e μ⎰=.5.4 Bornoulli 微分方程设Bornoulli 微分方程()()n dyP x y Q x y dx=+ (0,1)n ≠，（5.4.1）其中()P x ，()Q x 为x 的连续函数.现在把（5.4.1）式变形为 ()()0n P x y Q x y dx dy ⎡⎤+-=⎣⎦，其中(,)()()n M x y P x y Q x y =+，(,)1N x y =-，并且 1()()n M P x ny Q x y -∂=+∂，0Nx∂=∂，于是可以得到它的特征方程为11(()())()()n n dx dy dtP x y Q x y P x ny Q x -==--++. （5.4.2）对（5.4.2）式做一个变形可得1()()()()n n dx ndy ydtnP x y nQ x y P x y ny Q x -==++. （5.4.5）利用分式的性质可得1(1)()dx ndy ydt n P x y+=-，即 (1)()n P x ydx ndy ydt -=+， 1(1)()dt n P x dx ny dy -=--，对上式积分可得首次积分为 (1)()ln t n P x dx n y =--⎰，再由前文定理可知 (1)()ln ,(,)n P x dx n t x y y e μμ--⎰==.故Bornoulli 微分方程的积分因子是(1)()(,)n P x dx n x y y e μ--⎰=.例3 把方程32()()0x xy x y dx x y dy +++--=化为全微分方程. 解由题目很容易知道32(,)M x y x xy x y =+++， (,)()N x y x y =--，以及21M xy y ∂=+∂， 1Nx∂=-∂，从而可以写出此方程的特征方程为32()()22dx dy dtx y x xy x y xy ==---++++，对上式进行简单变形可得233222(1)xdx ydy dtx xy x y xy xy y xy ==-+++-+，利用分式性质可得2222()(1)(1)xdx ydy dtx y xy xy +=++-+，即 2222()1d x y dtx y +=+-，对上式两边同时积分可得首次积分为 22ln()t x y =-+. 再由定理可知 ln t μ=，故221(,)x y x y μ=+，故所要化简方程的一个积分因子为221(,)x y x y μ=+，于是原方程可以化为一个全微分方程，即3222220x xy x y x ydx dy x y x y+++--=++，其中 3222222222()x xy x y x y x y xyy x x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+++∂---=-= ⎪ ⎪∂∂++⎝⎭⎝⎭. 6 小结通过本文使我们对微分方程的积分因子与偏微分方程有了一个初步的了解，尤其对偏微分方程中的特征方程，首次积分等概念有了一个简单的认识.其次就偏微分方程中的特征方程，首次积分在求解常微分方程组的积分因子中的应用有了进一步的认识，最后应用本文中的理论求出了几类常见的微分方程的积分因子，为今后能更好的研究与积分因子相关的理论提供帮助.参考文献[1] 王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2006：50-60.[2] 李刚升.浅谈积分因子与偏微分方程[J].商丘科技职业技术学院，2004，（02）.[3] 张奕河，郭文川.关于一阶常微分方程的积分因子的求解问题[J].四川理工学院学报，2009.22（6）：11-13.[4] 徐安农，段复建.全微分方程与积分因子法[J].桂林电子工业学院学报，2002，22（2）：11-12.[5] 李耀红，张海燕.几类微分方程积分因子存在定理[J].巢湖学院学报，2002，8（3）：8-10.[6] 李伟鹏.求首次积分的几种方法[J].陇东学院学报.2007，17（1）22-24.致谢本论文的完成是在何万生老师的悉心指导下进行的，在何老师的指导下，我的各方面能力都有所提高，尤其是何老师渊博的知识，敏锐的学术思维，精益求精的工作态度以及诲人不倦的师者风范是我终生学习的楷模.何老师严谨求实和一丝不苟的治学态度和勤勉的工作态度也将永远鼓励我，至此，谨向何老师致以衷心的感谢和崇高的敬意.同时感谢所有教育过我的专业老师，你们传授的专业知识是我不断成长的源泉，也是我完成论文的基础.在此也感谢我同一组的组员和班里的同学，是你们在我遇到难题时帮我找大量相关资料，解决难题.再次真诚感谢所有帮过我的老师同学，另外，由于自己知识积累、能力有限和经验匮乏，论文中难免有许多考虑不周全的地方，希望各位老师多加指导.最后，我要向百忙之中抽出时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.。

首次积分法求Modified Regularized Long Wave方程的解

解．
ｔｉｏｎ），文献［６］利用Ａｄｏｍｉａｎｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ（ＡＤＭ）方法研究了它的解．笔者主要利用首次积分法讨论得出了它的一种精确解２８卷第２期
２０１３年４月
平顶山学院学报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＰｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．２８Ｎｏ．２Ａｐｒ．２０１３
首次积分法求ＭｏｄｉｉｆｅｄＲｅｇｕｌａｒｉｚｅｄＬｏｎｇＷａｖｅ方程的解
Ｆ（ｕ，ｕ，ｕ，１１，，Ｍ， … ）＝０，
收稿日期：２０１２— ０９—１９
利用首次积分法求解偏微分方程的过程中，用到了代数上一个非常重要的定理一除法定理．下
面我们给出除法定理：除法定理设Ｐ（ ∞，）和Ｑ（ ∞，ｚ）都是复数域
Ｑ（，）＝Ｐ（，ｚ）Ｇ（，）．
微分方程的精确解在力学、工程学以及其他科学应
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ｘｘ
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，
…
，…
用方面都有很重要的意义．随着数字技术和计算机技术的日益发展，很多源于实际应用的偏微分方程利用（２）就可以把偏微分方程（１）变成下面的常

首次积分法在积分学中的应用

（，１内可导，ＲＧｏ＝＝Ｇ１．由Ｒｌ０）（）０（）ｏｅ定理可知，存在 ∈ ０１，使得Ｇ（）０，从而有ｆ１）ｌ（，）＝（一＋
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概述定积分的发展及应用

概述定积分的发展与应用摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.1准备阶段主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的xy dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人理解到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把⎰dy 表示为所有这些差的和,⎰=dy y 明确指出："⎰"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.3 完成阶段19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"⎰"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=n k k k k n x x xf s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数⎰=xx dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,所以,他把不定积分写成：C dt t f dx x f xx +=⎰⎰0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f xx -=⎰.至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.二定积分在不同学科中的应用1 定积分在分析中的应用例1 求极限nn n n ⋅++++∞→ 321lim .解：因为∑=⋅=⋅++++n i n n i n n n 11321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b i a i +=-+=1ξ,nn a b x i 1=-=∆. 故：原式321lim 101==⋅=⎰∑=∞→dx x n n i n i n . 例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(x x f -=在区间[]1,0上的一个和式的极限.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n n n n n n n 1)(41)2(41)1(41lim 222⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=∞→ ⎰∑==-=⋅-==∞→10102126|2arcsin 411)(41lim πx dx x n n i n i n . 2 定积分在几何中的应用(1) 用定积分求平面图形的面积例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积.分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线,确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面积.解：解方程组⎩⎨⎧-==422x y x y 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰y y y dy y y s .。

论大学数学积分方法的现实应用

论大学数学积分方法的现实应用数学这门学科最早来源于生活，因此数学原理与生活密切相关，数学原理基本上都能在现实生活中得到应用。

积分方法是数学中的一个重要的分支学科，它是一种无限接近的数学思想，该方法在生活中有着广泛的应用前景。

简要地介绍了积分方法在生活中的实际应用，充分展现出数学原理的多用途性。

数学积分现实应用数学这一学科源于生活，应用与生活，而积分这一分支更是与生活密不可分，息息相关。

积分方法在我们生活中无处不在，它的发现和发展为我们的生活提供了很多便利。

最早积分的产生就是为了解决这些实际问题，如求物体运动的路程、变力做功多少、曲线围成的面积和曲面围成的体积等。

积分的进一步发展后推动了现代力学、工程学及天文学等学科的发展，对于科学的发展和变革有重要意义。

一、积分方法概论1.积分的含义积分是用来研究函数的微分及相关概念和应用的一个数学分支学科。

这一概念是为了计算某一变量的瞬时变化值而提出的，即数学积分研究的是变量在函数中的应用；如果站在物理学的角度看积分，则是为了解决速度和加速度的问题。

积分这一概念的关键点在于“变”，因此积分对现实生活才具有了应用价值。

2.积分思想积分应用的极限的思想。

积分首先是一种数学的思想，我们常说的微分法是无线细分的思想，而积分则是无限求和的思想。

上述无限即为极限的思想，它是微积分理论的基础思想，这种思想是站在运动的角度即“变”的角度来看待问题和解决问题。

这种思想的关键点在于用微元和无限接近，将一个变量拆分为无限多个小的单元来看待，就可以把它看待为常量来处理，最终将常量叠加起来就解决了变量的问题。

积分的这种极限思想是生活中的基本原理之一，在伟大科学家们的分析和拓展之后，积分的极限思想更好的为人类服务。

牛顿就是利用积分的思想研究了运动的过程，为后人研究物理问题提供了极大的理论支持。

有了微积分原理，才有了历史上的几次工业革命，才有了先进的生产力和现代社会。

动车、高铁、航天飞机、宇宙飞船等心高科技的交通工具都是在积分思想的指导下得以实现的。

首次积分法在微分学中的应用

Ｏｃ．，２０ｔ０８Ｖ０．７Ｎｎ１２５
第２７卷
第５期
首次积分法在微分学中的应用
龚东山，富俊牛
（．１兰州大学数学与统计学院，甘肃
２中国科学院寒区旱区环境与工程研究所．
兰州７００；３００
兰州７００）３００
难．文借助首次积分法来构造辅助函数，本为这类问题的解决提供了一种新思路．１首次积分的概念和存在性条件
设ｌ，）、（Ｙ厂Ｙｇ，）是定义在区域Ｄｃ（
，
内的两个连续可微函数，于方程对（）１
）一：Ｃ． Fra bibliotek．容易验证，函数Ｆ（）满足在［，］ｎ６上
连续，（，）内可导，在 Ⅱｂ且（）＝（）．口ｂ
由ｏ中定有（）至存一得（ｌ＝（一Ｒ值理：口内少在点，：厂）ｌｌｅ在，６使）ｆ
即厂（）：，得证．
［作者简介］龚东山（９９一）男，１６，湖北监利人，讲师，博士．
４７
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存在的条件．对其两边积分，可得首次积分：（
令辅助函数Ｆ）：ｕ（（））：）一
）：）
维普资讯
２００８年ｌ０月
重庆文理学院学报（自然科学版）
ＪｕａｆＣｏｇｉｇＵｉｒｔｏｒｎｃｅｃｓ（ａｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒｌｈｎｑｎｎｖｓｙｆｔａｄＳｉｎｅＮｔａＳｉｅＥｉｏ）ｎｏｅｉＡｓｕｎｉ

数学分析论文：积分的思想及其应用

积分的思想及其应用院系：数学科学学院专业：信息与计算科学年级： 2011级日期： 2012年5月摘要本论文概述了积分思想的产生和发展过程.根据积分区域的不同，积分可分为：定积分，二重积分，三重积分等.本论文正是讨论这前三种积分的定义及求解.利用积分可以解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题.关键词：积分思想；定积分；二重积分；三重积分AbstractThis paper summarizes the production and the development of the integral thought process.According to the difference of integral area,integral can be divided into:the integral,the double integral,the triple integral,etc.This paper is to discuss the first three integral definition and solving,Use of integral can solve for the motion of distance,become force work by curve and surrounded by the surface area and surrounded the volume.Keywords: the integral thought ; the integral ; the double integral ; the triple integral目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)Keywords (Ⅱ)前言 (1)1.积分思想的产生与发展 (2)2.积分思想的理解 (2)定积分的定义 (2)决定函数可积的因素 (2)多重积分 (4)积分的应用 (5)3.再述重积分 (5)3.1积分与微分 (5)3.2积分思想的理解 (6)4.积分的计算 (6)4.1二重积分的计算 (6)4.2三重积分的计算 (9)参考文献 (12)前言本论文主要借鉴数学分析教材中的理论，参考《积分思想基础》一书总结了积分的产生和发展历程，认识到积分思想是经过历代数学家的努力与积累才逐渐产生的.具体来说是为了解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题,才导致了积分的产生.论文中例1是采用定积分思想中无限分割的方法，来求取解侧面积，先利用替换再采用分割的方法，即在区间[]0,?,T T 中插入无穷多个分点，利用定积分定义求取极限最后采用莱布尼茨（Leibnitz ）公式求解定积分.例2则是定积分性质的一个简单证明，充分体现了积分与极限的关系.例3、例4、例5、例6直接简单的验证了多重积分的计算和应用.第1章积分思想的产生与发展积分思想的萌芽，可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,有不少是用无穷的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长.例如：古希腊德谟克利特（Democritus）的“数学原子论”，阿基米德（Archimedes）的“穷竭法”，刘徽的“割圆术”均有积分思想的雏形.在这些方法中都可以清楚的看到无穷小分析的原理.随着数学科学的发展，开普勒（Kepler）的“同维无穷小方法”，卡瓦列利（Cavalieri）的“不可分量法”，费马（Fermat）的“分割求方法”（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）揭示了微分与积分的内在联系——微积分基本定理，从而产生了微积分，开创了数学发展的新纪元.第2章积分思想的理解1.定积分的定义设ƒ(x )是定义在区间[],a b 点012311i i n n x a x x x x x x x --=<<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<b =将区间[,]a b 任意分成n 个子区间[]1,i i x x - (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅这些子区间及其长度均记作1i i i x x x -∆=- (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅在每个子区间i x ∆上任取一点i ξ作n 个乘积()i i f x ξ∆的和式()1niii f x ξ=∆∑如果当最大的子区间长度{}1max 0i i nx λ≤≤=∆→时,和式()1niii f x ξ=∆∑的极限存在，并且其极限值与[],a b 的分法及i ξ的取法无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，此极限值称为()f x 在区间[],a b 的定积分，记作 ()baI f x dx=⎰即()baf x dx ⎰=01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.2. 决定函数可积的因素函数()f x 在区间[],a b 上的和式1()niii f x ξ=∆∑的值，一般依赖于四个因素：a .函数()f x ；b .区间[],a b ；c .区间[],a b 的分法；d .[]-1,i i i x x ξ∈的取法.但当()f x 在区间[],a b 上可积，即01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑存在时，则不依赖于区间[],a b 的分法与i ξ的取法，因此只与函数()f x 和区间[],a b 两个因素有关.例1：已知一母线平行于z 轴的柱面介于曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤与xoy 面之间，其中'''(),(),()x t y t z t 在[]0,T T 上连续，且()22''()+()0,0.x t y t z t ⎡⎤⎡⎤≠≥⎣⎦⎣⎦证明该柱面的侧面积为s=.TT z ⎰ 证明: 设空间曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤在xoy 面上的投影曲线为L ,则L 的方程可写为{0=x(t),=(t)().x y y T t T ≤≤在区间 0[,]T T 内任意插入-1n 个分点0012-1=<<<<<=,n n T t t t t t T 将区间[]0,T T 分成n个小区间[]()-1,t =1,2,,,k k t k n 并记-1=-(=1,2,,),k k k t t t k n ∆则曲线L 在每个小区间[]-1,t k k t 上对应曲线段的长度k s ∆为,=kk t k k t s t ∆⎰其中[]()-1,t =1,2,,,k k k T t k n ∈并且该小曲面的面积'k s ∆为()'(=1,2,,k k k s z T t k n ∆≈.又因为z 在[]0,T T 上连续，所以由定积分的定义可得00=1=lim (=nT k k T k s z T t z λ→∑⎰其中1=max k k nt λ≤≤∆.例2：若(),()f x g x 在[,]a b 可积，证明(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证明：因(),()f x g x 在[,]a b 可积，即()baf x dx ⎰与()bag x dx ⎰存在，故对任意分法∆：012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=以及1[,]i i x x -中任意i ξ，有()01lim ()()nbi i ai f x f x dx λξ∆→=∑∆=⎰由分法∆及i ξ的任意性，得()g x 在此任意分法下，对上述1[,]i i x x -中的i ξ，也有()01lim ()()nbi i ai g x g x dx λξ∆→=∑∆=⎰，于是有()01()01()01()()lim ()lim ()lim (()())n n nbbi i i i i i i aai i i f x dx g x dx f x g x f g x λλλξξξξ∆→=∆→=∆→=+=∑∆+∑∆=∑+∆=⎰⎰(()())baf xg x dx +⎰从而(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 上可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.3.多重积分定义：设Ω为一几何形体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一曲面图形、一块曲面、一块空间区域等）这个几何形体是可以度量的（也就是它是可以求长的，或者是求面积的、可以求体积的等等）.在这个几何形体Ω上定义了一个函数()f M （M ∈Ω），将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块123,,,n ∆Ω∆Ω∆Ω⋅⋅⋅⋅∆Ω，既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言.同样的，把它们的度量大小记为i ∆Ω()1,2,3i n =⋅⋅⋅⋅并令{}1max i i nd ≤≤=∆Ω的直径在每一块∆Ω中任取一点i M ，作下列和式1()ni i i f M =∆Ω∑，如果这个和式不论对于Ω怎样划分以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要当0d →时恒有同一极限I ，则称此极限为()f M 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为()I f M d Ω=Ω⎰，也就是()01lim ()ni id i I f M d f M Ω===Ω=∆Ω∑⎰4.积分的应用a.若几何形体Ω是一块可求面积的平面图形σ，那么σ上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为(),f x y dxdy σ⎰⎰.b.若几何形体Ω是一块可求体积的平面图形ν，那么ν上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为(),,Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰.c.若几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，那么l 上的积分就称为第一类曲线积分，记为(),,lf x y z ds ⎰.d.若几何形体Ω是一可求面积的曲面s ，那么s 上的积分就称为第一类曲面积分，记为(,,)Sf x y z ds ⎰⎰.1.积分与微分积分与微分是相对的统一.微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度.客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀.对简单的，规则的，均匀的，我们都是建立所有人都认可的标准，从而建立简单的认识.而对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理.可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁.2.积分思想的理解积分学只是极限的一个简单应用.但其可以帮助我们解决生活中的许多问题.在此，谈论的是我们对积分思想的理解.一重积分，即定积分，通过莱布尼茨（Leibniz）公式处理，关键是确定原函数，即不定积分.二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X型Y型区域去处理.XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征，整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示.“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影.只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析.三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套表示.将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或者先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式.其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可以看作是确定具有变化密度的物体的质量的过程.必须强调指出的是，确定出这些重积分的过程也反映着很多其他的现实过程.1.二重积分的计算解决二重积分时可以将复杂的区域分割为若干简单区域，即将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X 型Y 型区域去处理.通俗来说就是首先考虑一个变量的取值范围，对其积分；然后用第一个变量或其它常数作为第二个变量的取值范围，最后运用莱布尼茨（Leibniz ）公式求解即可.例3：解二重积分{}22(),(,)1,1Dx y d x y x y σ+≤≤⎰⎰其中D= 解：积分区域如下图所示22()Dx y d σ+⎰⎰112211123111121311()13223223383dx x y dyx y y dx x dxx x ------=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰例4：解二重积分2,Dxy dxdy ⎰⎰其中D 是由抛物线()220y px p =>和直线()02ax a =>所围成的区域.解：由方程组22,2px y a x ==⎧⎨⎩解得两个交点分别为,,.22a a ⎛⎛ ⎝⎝故由题意可知，积分区域D 可表示为(),0,,2a D x y x y ⎧=≤≤≤≤⎨⎩于是2220aDxy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰3205207220327a a y x dx x dxx ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎫=⎪⎪⎝⎭=⎰2.三重积分的计算三重积分的先一次再两次积分是常用的方法.可以向任何一个平面投影,但我们一般向XOY 面投影.先两次再一次积分适合于某一个变量,如z 具有明确上下限,而由z 所确定的z D 平面区域可以很容易处理,例如:用于球体,半球体,锥体,椭球体等.关于平面极坐标,空间柱面坐标,极坐标.我们可以看作是重积分的换元法.换元后微元都发生了改变,其他过程则跟直角坐标系下一致.（1）平面极坐标主要适用于积分的区域有:圆域,环域,扇形域等.（2）柱面坐标本质是对某一个变量,如z ,用直角坐标系表示,对XY XY 用极坐标表示后, z 也要用半径跟角度表示.其主要适用于:圆柱,圆锥,球体,半球体等.（3）关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体.例5：求()vI x y z dxdydz =++⎰⎰⎰，V 是平面1x y z ++=和三个坐标所围成的区域.解：因为这区域对三个变量是对称的，并且被积函数也是对称的，因此有等式,VVVxdxdydz ydxdydz zdxdydz ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算其中一个积分10xyx yvxdxdydz dxdy xdzσ--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()110012201201230(1)(1)112121221,24xy xx x y dxdyx x y dy dxx x x x dx x x dx x x x dx σ-=--=--⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦=-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 ()113.248Vx y z dxdydz ++=⨯=⎰⎰⎰一些三重积分求解问题用柱面坐标会比较简单.例6：求,VI zdxdydz =⎰⎰⎰V 是球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围部分.解：用柱面坐标作变换，上面两个方程分别变换为224r z +=及23r z =. 它们的交线是{1,z r =因此V 在(),r θ平面的投影r θσ为r =()=在z 0平面上的一个圆，于是213r r I rdrd zdz θσθ=⎰⎰⎰221313.4r d πθπ==⎰⎰总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的表示,主要注意在不同坐标系下的微元即可.参考文献：【1】欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（下），高等教育出版社，2007年4月，第三版【2】朴志会，冯良贵，廖基定.积分思想基础，国防科技大学出版社，2004年6月【3】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（下），高等教育出版社，2003年6月，第四版。

微积分中的积分应用研究

微积分中的积分应用研究微积分是数学的一个重要分支，其中的积分是微积分的核心概念之一。

积分可以用于解决各种实际问题，包括物理学、经济学、生物学、工程学等领域的应用。

本文将探讨微积分中的积分应用，并重点研究三个不同领域的应用案例。

第一个应用案例是面积计算。

通过积分，我们可以计算曲线与坐标轴围成的区域的面积。

假设有一个函数f(x)，我们可以通过求解定积分∫[a,b]f(x)dx来计算曲线与x轴之间的面积。

例如，给定函数f(x) = x^2，我们可以计算出曲线y = x^2与x轴之间的面积。

通过积分的方法，我们可以得到面积为1/3的结果。

第二个应用案例是求解物体的质量。

在物理学中，我们经常需要求解物体的质量。

假设有一根线密度为ρ(x)的杆，我们希望求解这根杆的质量。

我们可以将杆分成无数个微小的长度dx，并假设每个微小的长度都具有相同的密度ρ(x)。

通过积分的方法，我们可以得到整根杆的质量为∫[a,b]ρ(x)dx。

这个积分可以通过求解函数ρ(x)的积分来得到答案。

第三个应用案例是求解力的大小。

在物理学中，一些问题需要求解力的大小。

假设有一个绳子，质量均匀分布在绳子上，并受到一个沿绳子方向的拉力F(x)。

我们可以将绳子分成无数个微小的长度dx，并假设每个微小的长度都受到相同的拉力F(x)。

通过积分的方法，我们可以得到整根绳子受到的总拉力为∫[a,b]F(x)dx。

这个积分可以通过求解函数F(x)的积分来得到答案。

上述三个应用案例只是微积分中积分应用的一小部分。

积分在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在经济学中，积分可以用于计算定量经济模型中的面积和质量。

在生物学中，积分可以用于计算生物体的体积和质量。

在工程学中，积分可以用于计算物体的重心位置和压力分布等。

通过积分，我们可以将一个复杂的问题简化为求解一个函数的定积分。

这种方法可以准确地计算出问题的结果，并提供了一种统一的数学工具来解决各种应用问题。

积分应用的研究不仅帮助我们理解微积分的理论基础，同时也为解决实际问题提供了有效的数学工具。

第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用的论文

第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用的论文本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用在高等数学中，微积分学是重要的知识内容.第一换元积分法（也叫凑微分法）是一种重要的基本积分方法，它的关键步骤是“凑微分”.熟练掌握和运用“凑微分”的思想方法，对学习后续的第二换元积分法和分部积分法等积分方法有很重要的作用.由于积分是微分的逆运算，没有固定的公式和模式可以直接套用，需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来，所以，初学者在学习的过程中往往对要凑微分的函数作出多次尝试，浪费了时间.本文就第一换元积分法中的“凑微分”思想的理论依据进行解析，总结出凑微分的具体计算方法，帮助初学者更好地学习和掌握凑微分的知识并在积分运算中运用第一换元积分法是当被积表达式不容易求出积分时，可以通过恒等变形和变量代换，将被积表达式转化成为基本积分公式表中的某一被积表达式，然后根据基本积分表中的某些公式，对新变量进行积分，最后还原求出结果.其具体的计算过程可表示为：［φ(x)］［φ(x)］［φ(x)]+c.即“恒等变形→凑微分→换元→积分→回代”的计算过程.其中最为关键的步骤是将积分表达式中的φ′(x)凑成dφ(x)的形式，即俗称的凑微分1.“凑微分”思想的理论依据和知识点解析“凑微分”思想的理论依据：其一是原函数的概念，其二是复合函数一阶微分形式的不变性的性质.原函数的概念是不定积分的一个最基本的概念，即：若f′(x)=f(x)，则称为f(x)的一个原函数.由微分的定义和计算公式可得：任意函数f(x)的微分df(x)=f′(x)dx=f(x)dx.相对于复合函数而言，设y=f(u)，u=φ(x),则复合函数［φ(x)]的微分为dy=f′(u)·φ′(x)dx，由于du=φ′(x)dx，所以上式可以写成dy=f′(u)du，这表明，不论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分形式保持不变，这就是一阶微分形式的不变性，即dy=f′(u)·φ′(x)dx=f′(u)du=f′［φ(x)］d ［φ(x)］，这个式子从正向看是利用微分计算公式进行运算，而从逆向看是一个凑微分的过程，实际上也是一个积分的过程，即f′［φ(x)］d［φ(x)］=f′(u)du=f′(u)·φ′(x)dx=dy.所以要掌握凑微分的运算技巧，既要会用微分公式计算函数的微分，又要善于利用逆向思维灵活变形.例如：，cosxdx=dsinx，，3dx=d(3x+2)等2.凑微分时要分清复合函数结构，由函数结构确定基本积分公式和凑微分因式凑微分没有一个固定的模式，需要对函数正向逆向计算比较之后才可以确定凑微分的因式.而将什么函数凑进微分，如何凑，有没有一般的规律可遵循呢？一般地，大部分被积函数中都会出现复合函数的形式，而运用积分公式运算时需要积分变量与函数的中间变量保持一致，因此，复合函数的外层函数往往决定了求解时可以利用基本积分表中的积分公式，而除去外层函数后剩下的部分即为凑微分的因式.“凑微分”的计算步骤可归纳为：第一，先观察被积函数的函数结构，由外向内逐层分析复合函数结构，通过外层函数联系基本积分公式表就可以确定需要运用的基本积分公式；第二，把握积分变量和函数中间变量相一致的原则，将出发点放在被积函数中的复合函数上，除去外层函数剩下的函数的中间变量即为需要凑微分的因式，可尝试将函数中间变量凑进微分里，然后展开计算函数的微分，与原积分式子作一比较，看需要什么条件进行补充，使之成为恒等变形，然后逆向运算进行凑微分后，即可利用基本积分公式进行求解3.运用第一换元积分法计算积分的方法和步骤我们结合凑微分运用第一换元积分法计算积分时可分为三个步骤进行：第一步，确定积分公式：分析被积的复合函数的结构，由外层函数联系基本积分公式表，可以初步判断将要运用到的某一个基本积分公式第二步，“凑微分”：除去外层函数，将复合函数的中间变量函数φ(x)凑进微分里变成dφ(x)，对比观察原被积表达式，补充一定的条件使之成为一个恒等变形，将积分表达式凑成［φ(x)］dφ(x)的形式，即俗称的“凑微分”，为能够运用基本积分公式表中的公式创造条件第三步，积分计算：将中间变量函数φ(x)换元，然后利用基本积分公式积分，最后回代换元.当然做熟练之后，换元的步骤可以省略.即将中间变量函数φ(x)视为一个整体变量，通过外层函数套用基本的积分公式进行积分求解即可本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！。

首次积分法及其在非线性发展方程中的应用

Ｍａｌ和吴氏消元法得到了变系数ＡＮ方程的一些新的精确解。ｐｅＮＶ关键词：首次积分法；变系数ＡＮＶ方程；延拓；对称；精确解；吴氏消元法Ｎ中图分类号：０７１５文献标识１：Ａｆｑ－Ｄ：．９９．ｓ．７ — ０５２１．．０ＯＩ０３６／ｉｎ１４８８．２００１１ｊｓ６０４
行波变换，再结合常微分系统的首次积分的定义来
定义】函数Ｆ称为微分方程＝ｖ） ∈ ：（，Ｕ的
首次积分，如果它在ｖ向量场的方向导数为零，即
Ｆ＝Ｉ０
ａ
＋Ｖ２
（１）
ａ
＋ … ＋
其中在局部坐标，，，中，此算子取形式 …
ｓｌｔｏｏｕｉｎｓ
求非线性偏微分方程的精确解是孤立子理论中的重要内容之一。对于不同类型的方程有不同的求解方法，如：Ｆ展开法，ｔｎ一ａｈ函数法，三角函数法，指数函数法，李群方法，齐次平衡法【］。在ｌ等２０年，冯兆生提出了用首次积分方法】非０２求解
（ｃｏｌｆｔｅｔｓｃｅｃ，ｉｏｈｎｉｒｔ，ｉｃｅｇＳａｄｎ５０９ｈｎ）ＳｈｏｏＭａｈｍａｃｉｅＬａｅｅｇｉＳｎＵｎｖｓｙＬａｈｎ，ｈｎｏｇ２２５，Ｃｉａｅｉｏ
文章编号：１７．０５２１）４００ — ５６４８８（０２０ — ０１０

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文章编号:1673-2103(2008)05-0030-04首次积分法应用的探讨3张群力(菏泽学院数学系,山东菏泽274015) 摘　要:基于首次积分法,对微分中值定理中的辅助函数、求解积分因子、函数零点存在等中的函数构造问题作了探讨,从而构造辅助函数转化为求首次积分,易于操作,且用实例解释其合理性。

关键词:首次积分法;函数;导数;积分因子;洛尔定理中图分类号:O 175.1 文献标识码:A引言文献[1]研究了利用一阶线性微分方程d yd x+p (x )y =q (x )的积分因子μ(x )=e ∫p(x)dx,证明一类函数零点的存在性。

本文借助于微分方程组的首次积分,研究与导函数相关的一些问题,使之明了易操作,同时,也是文献[1]中方法的推广。

考虑初值问题:d y id x =f i (x;y 1,y 2,…,y n )　y i (x 0)=y 0i　(i =1,2…,n ).(1)式(1)中f i 在域G 内满足存在惟一性条件。

定义　在域G 内连续可微且不恒等于常数的函数Ψ(x;y 1,y 2,…,y n ),如果其中的变元y i (i =1,2,…,n )用(1)式的任一解y i (x )(i =1,2…,n )代替时,它就取常数值(对不同的解,常数值也不同),则称Ψ(x;y 1,y 2,…,y n )为(1)式的在域G 内的一个首次积分[2,3]。

引理1　若ψ(x ;y 1,y 2,…,y n )为方程组(1)的在域G 内的一个首次积分,则Ψ(x;y 1,y 2,…,y n )+C 也为(1)在域G 内的一个首次积分,其中C 为任意常数[2,3].引理2　设微分方程M (x,y )d x +N (x,y )d y =0,(2)则函数μ(x,y )是方程(2)的积分因子的充分必要条件,满足N 9μ9x -M 9μ9y =(9M 9y -9N 9x)μ[4].1　首次积分法的应用为书写方便,我们只探讨方程组(1)中含有两个未知函数的情形,即第30卷第5期Vol .30 No.5 菏泽学院学报Jour na l of Heze U niversity 2008年9月Sep.　20083收稿日期作者简介张群力(5),男,山东菏泽牡丹区人,讲师,硕士,研究方向常微分方程理论和动力系统:2008-01-27:197-:.d yd x =p (x;y,z ),　d z d x =q (x;y,z ).(3)1.1　柯西中值定理[5]中的辅助函数的构造设y =f (x ),z =g (x ),对于(3)式,令p (x;y,z )=k 1=f (b )-f (a ),q (x ;y,z )=k 2=g (b )-g (a ),则(3)式变为:　d yd x =k 1,　d zd x=k 2.(4)于是有　d y 1=k 1d z k 2.故Ψ(x;y,z )=y -k 1k 2z 是(4)式的一个首次积分,根据引理和洛尔定理的条件,可取辅助函数F (x)=f(x)-f (a)-f(b)-f (a)g (b )-g (a )(g (x)-g (a )),或者F (x)=f (b)-f(x)-f(b)-f (a)g (b )-g (a )(g (b)-g (x)).1.2　求积分因子命题1　设Ψ(x,y)是(2)式的一个首次积分,则9ψ9x M =9ψ9y　N 是(2)式的积分因子.证明　设μ(x,y )=9ψ9x　M ,则有μM d x +μN d y =0.因为　9(μM )9y =M 9μ9y +μ9M 9y =92ψ9x 9y ,9(μN )9x =N 9μ9x +μ9N 9y =92ψ9y 9x,所以由引理2得　9(μM )9y =9(μN )9x ,故μ(x,y)=9ψ9x　M 是(2)式的积分因子.又因为　d ψ=9ψ9x d x +9ψ9y d y =0,所以9ψ9x M =9ψ9y　N .例1　设f(z)和g (z)连续可微,φ(x,y)=(f(xy)-g (xy)xy ≠0,求证:1φ(x,y )是方程f (xy )y d x +g (xy )x d y =0(5)的一个积分因子[6].证明　由f (xy)y d x +g (xy)x d y =0得:f(xy)y d x =-g (xy)x d y,则d x-g (xy )x=d yf (xy )y,所以y d x -g (xy )xy =x d y f (xy )xy ,所以x d y +y d x f (xy )xy -g (xy )xy =d yf (xy )y,即x y +y x (f (xy)(xy))xy =y f(xy)y2008年张群力:首次积分法应用的探讨第5期d d -g d .设u =xy,则d u(f (u )-g (u ))u=d yyf (u ),于是有:f(u )d u (f (u )-g (u ))u =d yy,所以∫f (u )d u(f (u)-g (u ))u-1n |y |=C .令ψ(x,y)=∫f (u )d u(f(u)-g (u ))u-1n |y |,则9ψ9y =f(u)x (f (u )-g (u ))u -1y=g (xy)(f (xy )-g (xy ))y .由命题1知:1φ(x,y )是方程(5)式的一个积分因子.1.3　零点存在性命题2　设ψ(x ;y,z )是(3)式的一个首次积分,令y =f (x ),z =g (x ),且F (x )=ψ(x,f (x ),g (x ))在(a,b)上满足洛尔定理的条件,则至少存在ξ:(a,b),有F ′(ξ)=0;特别地,对于函数f ′(x)+p (x)f(x)-q (x )在(a,b )存在零点问题[1],令y =f (x ),f ′(x )+p (x )f (x )-q (x )=0,则d yd x+p (x )y -q (x )=0,(6)即d y +(p (x)y -q (x))d x =0,所以e ∫p(x)dxd y +e ∫p(x)dxp (x )y d x -e ∫p (x )dxq (x )d x =0,所以d (e ∫p (x )dx y)-d (∫e ∫p (x )dxq (x)d x)=0,所以ψ(x,y )=e ∫p(x)dx y -∫e ∫p (x)dxq (x )d x =C ,由命题1知,(6)式的积分因子为9ψ9y=e ∫p (x)dx.例2　设f (x )在[a,b ]上连续,在(a,b )内可导,且ab >0,证明存在ξ:(a,b ),使得1a -b ab f (a )f (b )=f (ξ)-ξf ′(ξ)[5,7].分析　令a =1,b =2,此题即为文献[1]中的例3.此题作法一般是通过观察(f (x )x)′=xf ′(x )-f (x )x2,对f (x )x 和1x 在[a,b ]上应用柯西中值定理易得到结论.在这里,我们令y =f (x ),k =1a -b a b f (a)f(b),则由y -xd y d x =k 得:(y -k )dx =xdy,即d x x =d yy -k,于是得到一个首次积分ψ(x,y )=1n |x |-1n |y -k |,或者ψ(x,y )=1n |y -k |-1n |x |,我们取F (x )=1n |x |-1n |f (x )-k |,或者F (x )=f(x)-k x (此结果是命题2的特殊情况,p (x )=-1x ,q (x )=-k x ),或者F (x )=xf (x )-k.证明　取F (x )=1n |x |-1n |f (x )-k |,则f (a)-k =a (f (a )-f (b ))a -b ,f(b)-k =b (f (a )-f (b ))a -b,于是F (a )-F (b )=(1n |a |-1n |b |)-(1n |f (a )-k |-1n |f (b )-k |)=0,由洛尔定理知:存在ξ:(a,b ),使得F ′(ξ)=0,即　1ξ-f ′(ξ)f (ξ)-k =0,故有　1ab f ()f ()=f (ξ)-ξf ′(ξ)成立.注令y =f(x),z =(x),则可将y x y x=看作y z xz y x=的特殊情况(z =x),通过求解y z xz y x=不同的首2008年菏泽学院学报第5期a -b a b :g -d d k d d -d d k d d -d d k2008年张群力:首次积分法应用的探讨第5期次积分得到不同的满足洛尔定理的F(x),譬如,ψ(x,y,z)=y+∫xηkdx z2是一个首次积分(η:[a,b]),常数k满足适当条件即z可有F(a)=F(b),使问题得到解决。

2　结论借助微分方程的求解方法———首次积分法,对微分中值定理中的辅助函数、求解积分因子、函数零点存在等导函数相关问题的辅助函数的构造作了思路上的探讨,使之易于掌握、操作。

参考文献:[1]　游文杰.一类证明函数零点存在性的积分因子法[J].数学的实践与认识,2007,37(22):190-192.[2]　王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].第2版(修订).北京:高等教育出版社,2006:306-307.[3]　四川大学数学系高等数学教研室.高等数学[M].第2版.北京:高等教育出版社,2003:269-277.[4]　窦霁虹.常微分方程考研教案[M].西安:西北工业大学出版社,2006:13.[5]　华东师范大学数学系.数学分析[M].第3版.北京:高等教育出版社,2004:125-127,158.[6]　周义仓,靳祯,秦军林.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003:63.[7]　刘立山,孙钦福.数学分析的基本理论与典型方法[M].北京:中国科学技术出版社,2005:91.An Explor i n g I nqu i r es About the Appli ca ti on of theM ethod of F i r st I n tegra lZH ANG Qun-li(Depart ment of M athem atic s of Heze Univ e rsity,Heze Shand ong274015,China)Abstra ct:B ased on the m ethod of first integral,the pr oble m s of constructing functions,such a s the differential m id-value theor em,the s oluti on of integrating factor and thr ze r o existence of some func tions,are explor ed.S o the p r oble m of construc ting auxiliary functions is transf or m ed int o s olving the first integral,and it is ea sy t o handle them.Some exa mp les also are de monstrated the ef fectiveness of pr oposed technique.Key wor ds:first integral;func tion;de rivative;integr a ting fac t or;Rolle theore m。