函数的对称性
函数对称性问题
函数对称性问题函数图象的对称性体现了数学对称美。
函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。
本文从两方面探讨函数的对称性。
命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x?b?a对称。
2特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。
推论1、函数y?f(a??x)与函数y?f(b??x)的图象关于直线x?b?a对称2?ab证明：?y?f(a??x)?f[?(x?)],y?f(b??x)?f[??(x?)]所以，将函数y?f(?x)的图象向左平移|数y?f(??x)的图象向右平移|a?|个单位得y?f(a??x)的图象;将函b?|个单位得函数y?f(b??x)的图象,而y?f(?x)与y?f(??x)的图象关于y轴对称，可得两函数图象关于直线x?b?ab?a等距。
记忆技巧：令a??x?b，即为对称轴方程。
??x，养胃x?2?2?命题2、若函数y=f(x)对定义域中任一x均存有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x?a?b等距。
反之亦然。
2推断2、若函数y=f(x)对定义域中任一x均存有f(a+mx)=f(b-mx)，(m?0)，则函数y=f(x)的图象关于直线x?a?b对称。
反之亦然。
2命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a?bc,)成中心对称图形。
22下面举例说明其应用领域。
[例1]函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称求解：由命题1言，两函数图象关于x?3?1?1,即为关于直线x=1等距。
2[基准2]若方程f(3+2x)=0存有三个根，则方程f(1-2x)=0存有_____个根，两方程的所有的根之和为______求解：设y1?f(3?2x),y2?f(1?2x),由推展1言，两函数图象关于x?1?31??2?22等距，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也存有三个根，这六个跟之和为?1?6??3.2?[基准3]函数y=f(x)对一切x满足用户f(x+a)=f(b-x)（1）若方程f(x)=0恰有2n(n?n)个根，则这些根的和为多少？1（2）若方程恰2n+1(n?n)个根，则这些根的和为多少？解：由命题2知，y=f(x)图象关于x??a?b对称。
函数周期性对称性
一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。
2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。
3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。
4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。
（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。
（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。
（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。
（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。
二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是f(x)的周期。
2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。
（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。
（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。
（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
函数的对称问题讲解
函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。
函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。
函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。
二、函数图像的对称轴和对称中心1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。
三、奇函数和偶函数的对称性1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。
例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。
例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。
因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。
六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。
例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。
因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。
在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。
一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。
在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。
1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。
其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。
1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。
定义域上的这条轴称为对称轴。
轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。
1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。
中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。
二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。
对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。
具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。
结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。
它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。
完整版)常见函数对称性和周期性
完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。
即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。
推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。
2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。
3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。
4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。
5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。
三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。
2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。
函数的对称性(课堂PPT)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
函数对称性5个结论的推导
函数对称性5个结论的推导1.奇函数的推导：奇函数是指函数关于原点对称。
设函数f(x)是奇函数，那么有f(x)=-f(-x)。
为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=-f(x)。
这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值也会发生变化，并保持相反的正负号。
例如，f(2)=-f(-2)，f(3)=-f(-3)等等。
因此，奇函数关于原点对称。
2.偶函数的推导：偶函数是指函数关于y轴对称。
设函数f(x)是偶函数，那么有f(x)=f(-x)。
为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=f(x)。
这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值保持不变。
例如，f(2)=f(-2)，f(3)=f(-3)等等。
因此，偶函数关于y轴对称。
3.半个周期对称的推导：半个周期对称是指函数的两个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。
设函数f(x)是半个周期对称，那么有f(x)=f(x+T/2)，其中T表示函数的周期。
为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/2得到f(x+T/2)=f(x+T/2+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/2)。
这表明，函数在每个周期的半个周期上关于y轴对称。
4.四分之一周期对称的推导：四分之一周期对称是指函数的四个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。
设函数f(x)是四分之一周期对称，那么有f(x)=f(x+T/4)，其中T表示函数的周期。
为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/4得到f(x+T/4)=f(x+T/4+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/4)。
这表明，函数在每个周期的四分之一周期上关于y轴对称。
5.中心对称的推导：中心对称是指函数关于一些点对称，该点称为中心。
设函数f(x)是中心对称，那么有f(x)=f(2a-x)，其中a表示中心点的横坐标。
为了推导这个结论，我们考虑将自变量x替换成2a-x，得到f(2a-x)=f(x)。
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
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函数的对称性
函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。
例如，y=|lnx|没有对称性，而
y=|sinx|却有对称性。
函数的对称性公式推导
1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.
对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a
原函数与反函数的对称轴是y＝x．
而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．
f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，
还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．
如f（x－3）＝x－3。
令t＝x－3，则f（t）＝t。
可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。
同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）
2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）
注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．
同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）
但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π．
y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2
y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2
上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）
而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π
而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如
y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3
对称函数
在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。
从函数的形式中可以看出若输入变数排列后，方程式不会改变。
例如对于一个球体．若φ为其方位角，θ为其天顶角，r为半径，则大圆距离可以表示为
根据上述的距离公式，可以看出一些对称性，在以下变换下，距离不变：
天顶角各加某特定角度。
其方位角对调、天顶角对调，或是两者都对调。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。