z变换应用实例
差分方程及Z变换工程实例
工程实例机械电子工程 谈卓雅一、基于时域有限差分方法求解薛定谔方程 在量子力学理论中一维时域薛定谔方程的具体形式如下:()()()()t x x V x t x m h t t x jh ,,2,222ψψψ+∂∂-=∂∂ (1)式中,参数h-为普朗克常数；m 为粒子质量；()y x ,ψ定义为状态变量;()x V 为势函数。
在求解含时薛定谔方程时,本文将利用时域数值计算方法——时域有限差分(finite difference time domain, FDTD)来差分离散薛定谔方程。
其基本思想是利用微分方程的中心差分离散形式建立空间和时间上的迭代。
时域有限差分法与传统的量子力学计算方法相比更加直观、计算效率更高、操作性更强。
因此,该数值方法在量子力学等其他领域中的应用亟待进一步发展与完善。
在运用FDTD 方法时,数值稳定性条件是首要考虑因素之一,它直接影响着数值计算结果的精度和有效性。
本文主要是分析用FDTD 方法求解薛定谔方程时所需要满足的稳定性要求,又进一步提出了在不同势能情况下从一维到三维的统一的数值稳定性表达方式。
1 薛定谔方程的基本形式将式(1)改写为：()()()()t x x V hj x t x m h j t t x ,,2,22ψψψ-∂∂=∂∂ （2）为了便于计算,将()y x ,ψ复函数的实部和虚部分别考虑： ()()()()t x x V h x t x m h j t t x R R I ,1,2,22ψψψ-∂∂=∂∂ （3a ） ()()()()t x x V h xt x m h j t t x I I R ,1,2,22ψψψ+∂∂=∂∂ （3b ）FDTD 方法在时间上的差分格式如下所示： ()()()()()I or R t t n x t n x t t x t n t =∆∆-∆+=∂∂∆+=ξψψψξξξ,,1,,2/12 (4)及空间上的差分格式为： ()()()()()()()[]t n k x t n xk t n k x x x t x t n t x k x ∆-∆+∆∆-∆+∆∆=∂∂∆=∆=,1,2,11,222ξξξξψψψψ (5)同时记()()k t n x k n ψψ⇔∆∆,,将式(4)与式(5)代入式(3)后化简为：()()()()()()[]()()k k V h t k k k x t m h k k n I n I n I n I n R n R 2/12/12/12/1211212+++++∆+-+-+∆∆-=ψψψψψψ (6a) ()()()()()()[]()()k k V h t k k k x t m h k k n R n R n R n R n I n I 2/12/12/12/1211212+++++∆--+-+∆∆+=ψψψψψψ (6b)由此,利用时间步步的迭代可以算出每时刻的函数值。
第二章Z变换例题
第二章 Z变换 例题
重要概念：
连续系统： 傅里叶变换————拉普拉斯变换 离散系统： 傅里叶变换————Z变换 重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质 和定理，单位取样响应h(n)的Z变换---系统函数
0 z Rx, n n2 0
（ z 0, z 需单独讨论。）
解：对X(z)的分子和分母因式分解，得
X (z)
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1
1 2
z 1
1
1 2
jz 1
1
1 2
jz 1
1
3 4
z 1
从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。
解
由 N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk , 0 k N 1 n0
rN 1
N 1
Y (k) DFT[ y(n)] y(n)WrnNk x(n)WrnNk
n0
n0
N
1
x(n)e
j
2 N
n
k r
X
(
k r
)
,
k lr ,
l 0,1,
, N 1
n0
所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当
点对应于 x(n) y(n) 应该得到的点。
常见序列的z变换
常见序列的z变换标题：深入解析常见序列的z变换摘要：本文将详细介绍常见序列的z变换。
通过对不同类型序列的z变换进行探索，我们将深入了解z变换的概念、应用和特性。
我们将以简单明了的方式从基础知识开始，并逐步深入，以帮助您更好地理解和应用z变换。
1. 引言- 介绍z变换的背景和重要性- 提出探索常见序列的z变换的目的与意义2. 离散时间序列和连续时间序列的比较- 解释离散时间序列和连续时间序列的基本概念- 比较两种序列的优势与局限性- 探讨为什么我们要使用z变换来处理离散时间序列3. z变换的定义与性质- 介绍z变换的定义和数学表达式- 解释z平面的含义和使用- 探讨z变换的线性性质与平移性质4. 常见序列的z变换4.1 单位脉冲序列的z变换- 讨论单位脉冲序列的定义和特点- 推导单位脉冲序列的z变换表达式- 分析不同参数下单位脉冲序列的z变换结果4.2 正弦序列的z变换- 研究正弦序列的定义和性质- 导出正弦序列的z变换公式- 探讨正弦序列在z平面中的映射规律4.3 随机序列的z变换- 探讨随机序列的特点和使用场景- 分析随机序列的z变换方法和结果- 讨论随机序列的z变换在信号处理中的应用5. z变换的应用- 介绍z变换在控制系统分析和设计中的重要性 - 探讨z变换在数字滤波器设计中的应用- 简要介绍z变换在图像处理和压缩中的应用6. 总结与回顾- 对本文的主要内容进行总结- 强调z变换在信号处理和系统分析中的关键作用- 提供对z变换的观点和理解，以便读者进一步研究和应用结论：通过本文的深度讨论，我们从基本概念到常见序列的具体例子，全面探索了常见序列的z变换。
我们深入剖析了z变换的定义、性质和应用，帮助读者建立对这一主题的深刻理解。
我们强调了z变换在信号处理、系统分析和数字滤波器设计中的重要性，并鼓励读者进一步研究和应用这一强大的工具。
simulink z变换传递函数
simulink z变换传递函数【1.Simulink简介】Simulink是一款由MathWorks公司开发的数学软件，广泛应用于科学计算、控制系统设计、信号处理等领域。
它提供了一套丰富的库和工具，使得用户可以方便地创建、仿真和分析各种动态系统模型。
在Simulink中，有一个重要的概念就是Z变换传递函数。
【2.Z变换传递函数的概念】Z变换传递函数是用来描述线性时不变系统（LTI系统）在Z域中的输入输出关系。
Z变换是将时间域信号转换为频域信号的一种方法，它使得我们能够分析系统的稳定性、动态性能以及系统对输入信号的响应。
【3.Simulink中的Z变换传递函数模块】在Simulink中，Z变换传递函数模块位于Continuous block library 中。
通过拖拽这个模块到模型编辑器中，可以创建一个Z变换传递函数模型。
这个模块有两个输入端口，分别表示系统的输入和输出，还有一个参数窗口，用于设置变换频率、采样频率等参数。
【4.创建和配置Z变换传递函数模型】以下是一个简单的Z变换传递函数模型的创建过程：1.打开Simulink，新建一个模型；2.从Simulink库中拖拽一个Z变换传递函数模块到模型编辑器中；3.双击Z变换传递函数模块，打开参数设置窗口，根据需要设置变换频率、采样频率等参数；4.添加输入输出信号源模块，例如正弦信号模块、阶跃信号模块等；5.使用电缆连接各个模块，形成一个完整的系统模型；6.编译模型，观察系统仿真结果。
【5.Z变换传递函数的应用实例】一个常见的应用实例是使用Z变换传递函数分析滤波器性能。
在Simulink 中，可以创建一个包含有源滤波器和一个阻抗匹配器的系统模型。
通过观察滤波器的频率响应，可以评估其对不同频率信号的抑制能力。
【6.总结与展望】本文介绍了Simulink中的Z变换传递函数，包括其概念、模块的使用以及一个应用实例。
作为一种重要的分析工具，Z变换传递函数可以帮助我们更好地理解线性时不变系统的性能，并为控制系统设计提供依据。
利用z变换解差分方程
于是
Y(z) =
br z−r ∑ ak z−k ∑
k＝ 0 M r＝ 0 N
M
X(z)
令
H(z) =
∑b z
r r＝ 0 N k＝ 0
−r
ak z−k ∑
则
Y(z) = X (z)H(z)
−1
此时对应的序列为 y(n) = F [X(z)H(z)]
差分方程为 例：若描述离散系统的 1 1 y(n) + y(n −1) − y(n − 2) = x(n) 2 2 x(n) = 2n u(n) , y( 已知激励 初始状态 −1) =1, y(−2) = 0, 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r [X(z) + ∑x(m)z−m] ∑
k＝ 0 r＝ 0 m=−r N M −1
如果激励x(n)为因果序列， 如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成 x(n)为因果序列
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r X(z) ∑
k＝ 0 r＝ 0 N M
8.5节已经给出利用 节已经给出利用z 在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简 单实例，本节给出一般规律。 单实例，本节给出一般规律。这种方法的原 理是基于z变换的线性和位移性， 理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程 转化为代数方程，从而使求解过程简化。 转化为代数方程，从而使求解过程简化。
k＝ 0 l =−k r＝ 0 m=−r −1
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时 若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态， x(n)=0,即系统处于零输入状态 差分方程（ 差分方程（1）成为齐次方程∑a y(n −源自) =0k=0 kN
第六章 Z 变换及其应用
1.单位样值序列δ(n)
Z [ ( n )] ( n ) z n 1
n 0
(n) 1
第六章
Z 变换及其应用
27
2.单位阶跃序列 u(n)
Z [u(n )] z
n 0
n
1 1 | z | 1 1 1 z
z | z | 1 z 1
第六章
RX | z | RX
(6.2-4)
式(6.2-4)表明双边序列的收敛区是以 RX-为内径，以RX+为外径 的一环形区；而当RX+ < RX-时，X(z)的双边Z变换不存在。
第六章
Z 变换及其应用
22
例6.2-5 已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。
c n n 0 |n| x(n) c n c n0
第六章
Z 变换及其应用
11
例6.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解
X ( z ) z n 1 z 1 z 2 z ( N 1)
n 0
N 1
1 z N 1 z 1
收敛域为0<|z|≤ ∞
第六章
Z 变换及其应用
12
2.
左边序列是无始有终的序列，即n1→-∞，如图6.2-3所示。 左边序列的Z变换为
n x ( n ) z n2
X ( z)
n
当n2>0时，将左边序列的X(z)分为两部分
n | x ( n ) z | n2 n n | x ( n ) z | | x ( n ) z | n 0 1 n2
Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理
26利用Z变换分析信号和系统的频域特性
26利用Z变换分析信号和系统的频域特性Z变换是一种用于分析信号和系统的频域特性的数学工具，它将离散时间函数转换为复平面上的函数。
在这篇文章中，我们将利用Z变换来分析信号和系统的频域特性，并了解Z变换在信号处理中的应用。
首先，让我们回顾一下Z变换的定义。
对于一个离散时间信号序列x(n)，其Z变换X(z)可以表示为：X(z)=∑[x(n)·z^(-n)](1)其中，z是复平面上的变量，n表示离散时间的取值。
Z变换的核心思想是将离散时间信号映射到复平面上的一些点，从而能够在频域中进行分析。
Z变换的频域特性由其极点和零点所决定。
对于一个系统的冲击响应h(n)，其Z变换H(z)表示为：H(z)=∑[h(n)·z^(-n)](2)系统的频率响应可以通过Z变换来计算。
假设系统输入为x(n)，那么经过该系统的输出y(n)可以通过信号的卷积运算来计算：y(n)=x(n)*h(n)=∑[x(k)·h(n-k)](3)其中*表示卷积运算。
通过引入Z变换，我们可以得到输入信号X(z)和系统冲击响应H(z)的乘积，从而得到输出信号Y(z)，即：Y(z)=X(z)·H(z)(4)利用Z变换，我们可以方便地在频域中对信号和系统进行分析。
特别是，我们可以通过计算X(z)和H(z)的乘积，得到输出信号Y(z)的频域特性。
例如，我们可以计算系统的频率响应函数H(z)在z所在的点上的值，从而了解系统在该频率上的增益或衰减特性。
除了频率响应函数外，Z变换还可以用于信号和系统的稳定性分析。
对于一个稳定系统，其冲击响应h(n)的Z变换H(z)的所有极点必须位于单位圆内。
如果存在极点位于单位圆外，那么系统就是不稳定的。
Z变换在实际的信号处理中有广泛的应用。
例如，在数字滤波器中，Z变换可以用于设计滤波器的频率响应。
通过选择合适的Z变换函数来实现希望的滤波效果。
此外，Z变换也用于信号采样和量化，以及数字信号传输和压缩等方面。
实验三、Z变换
实验三、Z变换一、实验目的1、学会运用Matlab表示Z变换的方法2、观察并熟悉变换的过程二、实验原理1、定义2、Z变换的收敛域3、逆Z变换4、Z变换的性质5.利用Z变换解差分方程三、实验内容1、解：程序设计如下：num=[0 1];den=[3 -4 1];[r,p,k]=residuez(num,den)MATLAB 计算结果如下： r =0.5000 -0.5000 p =1.0000 0.3333 k =[] （1）、1<|z|<∞：-z R =1；两个极点31,121==z z ，|1z |=1<-z R ,312=z <-z R )1()31(21)(21)]([)(1---==-n u n u z x Z n x n 这是一个右边序列。
2、解：程序设计如下：xn=[2 3 4 ];Xz=[2 3 4 ]; yn=[3 4 5 6]; Yz=[3 4 5 6]; xnCyn=conv(xn,yn)XzMYz=conv(Xz,Yz)；XzMYz 求两个数的卷积 MATLAB 计算结果如下xnCyn =6 17 34 43 38 24 XzMYz =6 17 34 43 38 243、求解系统差分方程Y(n)=x(n)-5x(n-1)+8x(n-3)解：两边求Z 变换得：H(z)=1-51-Z +83-Z 程序设计如下：b=[1 -5 0 8];N=30; n=0:N-1; x=0.8.^n;y=filter(b,1,x); stem(n,y); gridMATLAB 计算结果如下：0510********4、解：两边进行Z 变换得：H(z)=212145.04.014.045.0-------+zz z z 程序设计如下：num=[0.45 0.4 -1];den=[1 -0.4 -0.45]; x0=[1 2]; y0=[0 1]; N=50;n=[0:N-1]'; x=0.8.^nzi=filter(num,den,y0,x0); [y,Zf]=filter(num,den,x,zi); plot(n,x,'r--',n,y,'b--'); title('response') xlabel('n');ylabel('a(n)-y(n)');legend('Input x','Output y',1); grid051015202530354045500.511.522.533.544.5responsena (n )-y (n )x =1.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277 0.2621 0.2097 0.1678 0.1342 0.1074 0.0859 0.06870.05500.04400.03520.02810.02250.01800.01440.01150.00920.00740.00590.00470.00380.00300.00240.00190.00150.00120.00100.00080.00060.00050.00040.00030.00030.00020.00020.00010.00010.00010.00010.00010.00000.00000.00000.00000.0000五、实验感想在离散信号与系统的理论研究中，Ｚ变换是一种重要的数学工具，他把离散系统的数学模型――差分方程转化为简单的代数方程，使得求解过程简单化，特别是计算机采样数据处理，这也使得用运用MATLAB工具可以实现Ｚ变换。
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z变换应用实例
摘要：
1.引言
2.Z 变换的定义和性质
3.Z 变换的应用实例
4.总结
正文：
1.引言
Z 变换是一种数学工具，主要用于信号与系统领域的分析与设计。
它是拉普拉斯变换和傅里叶变换的广义形式，可以处理更广泛类型的函数。
Z 变换的应用实例繁多，遍及控制理论、通信系统、数字信号处理等领域。
本文将通过几个具体的应用实例，来展示Z 变换的魅力。
2.Z 变换的定义和性质
Z 变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
它的基本思想是将一个时域信号通过一个因果系统，得到一个新的时域信号。
Z 变换的定义为：X(z) = ∫[x(n) * z^(-n)] dn，其中z 是复变量，x(n) 是时域信号，x(z) 是频域信号。
Z 变换具有以下性质：
(1) 线性性质：若x(n) 和y(n) 是两个时域信号，则X(z) 和Y(z) 的线性组合也是Z 变换的性质。
(2) 时域卷积与频域乘积：时域卷积x(n)*h(n) 可以通过Z 变换转化为频
域乘积X(z)H(z)。
(3) 时域采样与频域滤波：时域采样定理指出，时域信号x(n) 可以通过频域滤波器H(z) 恢复，即X(z) = H(z)X(z)。
3.Z 变换的应用实例
(1) 控制系统：在控制系统中，Z 变换可以用于分析系统的稳定性和动态性能。
通过将系统的输入输出信号进行Z 变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性和稳态误差。
(2) 通信系统：在通信系统中，Z 变换可以用于信号的调制与解调、信道均衡、误码纠正等。
通过Z 变换，可以将信号从时域转换为频域，便于在频域进行信号处理。
(3) 数字信号处理：在数字信号处理中，Z 变换可以用于数字滤波、频域分析等。
例如，在有限脉冲响应（FIR）滤波器设计中，可以利用Z 变换将滤波器的脉冲响应变换为频率响应，进而设计出满足特定性能要求的滤波器。
4.总结
Z 变换作为一种重要的数学工具，在信号与系统领域具有广泛的应用。
通过Z 变换，我们可以将时域信号转换为频域信号，方便在频域进行信号处理和分析。