概率论分赌注问题
从赌博的“梅雷问题”到帕斯卡三角：概率论是怎么产生的？
从赌博的“梅雷问题”到帕斯卡三⾓：概率论是怎么产⽣的？中世纪的欧洲国家的贵族盛⾏赌博之风，赌博之⽅式倒是特别地简单：掷骰⼦，或者抛硬币。
不过，如此简单的赌具中却蕴藏着不⼀般的数学，因为这⼉涉及到的游戏结果，是与众不同的⼀类变量。
⽐如说抛硬币吧，硬币有正反两⾯，抛丢的硬币落下后的结果不确定，可能是“正”⾯，也可能是“反”⾯。
结果的正反是随机的，难以预料的，但却按照⼀定的概率出现，因⽽被称之为“随机变量”。
现在，我们把研究随机变量及其概率之数学理论称为“概率论”。
（抛硬币。
图⽚来⾃⽹络）话说当年的法国有⼀位叫德·梅雷的贵族，在掷骰⼦游戏之余，也思考⼀点相关的数学问题，苦思不得其解时，便向以聪明著称的帕斯卡请教。
1654年，他向帕斯卡请教了⼀个亲⾝经历的“分赌注问题”。
故事⼤概如此：梅雷和赌友各⾃出32枚⾦币，共64枚⾦币作为赌注。
掷骰⼦为赌博⽅式，如果结果出现“6”，梅雷赢1分；如果结果出现“4”，对⽅赢1分。
谁先得到10分，谁就赢得全部赌注。
赌博如此进⾏了⼀段时间，梅雷已得了8分，对⽅也得了7分。
但这时，梅雷接到紧急命令，要⽴即陪国王接见外宾，于是只好中断赌博。
那么，问题就来了，这64枚⾦币的赌注应该如何分配才合理呢？（帕斯卡。
图⽚来⾃⽹络）这个问题实际上在15、16世纪时就已经被提出过，称之为“点数分配问题”，意思就是说，当⼀场赌博半途中断的情况下，应该如何分配赌注？⼈们提出各种⽅案，但未曾得到⼤家都认为合理的答案。
就上⾯梅雷和赌友的例⼦。
将赌注原数退回显然不合理，没有考虑赌博中断时的输赢情况，相当于⽩赌了⼀场。
将全部赌注归于当时的赢家也不公平，⽐如当时：梅雷⽐对⽅多得⼀分，但他还差2分才赢，⽽对⽅差3分，如果继续赌下去的话，对⽅也有赢的可能性。
帕斯卡对这个问题⼗分感兴趣。
直观⽽⾔，上⾯所述的两种⽅案显然不合理，赌博中断时的梅雷应该多得⼀些，但到底应该多得多少呢？也有⼈建议以当时两⼈⽐分的⽐例来计算：梅雷8分，对⽅7分，那么梅雷得全部赌注的8/15，对⽅得7/15。
04 赌博与概率论
赌博与概率论
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼数学家卡当，据说他曾进行过大量的赌博．他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽．据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容．已知骰子的六个面上分别为1～6点，那么，赌注下在多少点上最有利？
两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2～12共11种．从图
中可知，7是最容易出现的和数，它出现的概率是
1
36
＝
1
6
，卡当曾预言说押7最
好．
现在看来这个想法是很简单的，可是在卡当的时代，应该说是很杰出的思想方法．
在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论．十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要紧急处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教．正是这封信使概率论向前迈出了第一步．
帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题．于是，一个新的数学分支——概率论登上了历史舞台．概率论从赌博的游戏开始，完全是一种新的数学．现在它在许多领域发挥着越来越大，十分
重要的作用．。
概率统计应用题解析
概率统计应用题解析概率统计是数学的一个分支，它研究随机事件的出现规律和概率分布。
在现实生活中，我们经常会遇到一些和概率统计相关的问题，比如赌博、抽奖、投资等。
在这篇文章中，我们将探讨几个常见的概率统计应用题，帮助读者更好地理解和应用概率统计。
题目一：赌博游戏假设有一个赌博游戏，每次投注10元，在赢的情况下，可以获得60元的回报。
根据历史数据，该游戏的中奖概率是80%。
请问，如果你投注1000次，预计能够赚到多少钱？解析：根据题意，每次投注的成本是10元，中奖的概率是80%，回报是60元。
所以，平均每次投注能够获得的回报为0.8 * 60 = 48元。
那么，投注1000次后，总的回报将是1000 * 48 = 48000元。
由此可见，预计能够赚到的钱是48000元。
题目二：抽奖游戏某抽奖活动中，共有10个奖项，其中有一个特等奖，一等奖两个，二等奖三个，三等奖四个。
如果你购买一张彩票，求中奖的概率以及中奖后不同奖项的概率分布。
解析：总共有10个奖项，所以中奖的概率为中奖总数/奖项总数 =1/10。
中奖后不同奖项的概率分布如下：特等奖：1/10一等奖：2/10 = 1/5二等奖：3/10三等奖：4/10 = 2/5题目三：投资回报率某投资人投资了两个项目A和B，其中项目A的回报率为20%，项目B的回报率为15%。
如果他投资了10万元在项目A上、20万元在项目B上，求他的总回报率。
解析：投资金额为10万元，在项目A上的回报率为20%，所以回报为10万元 * 20% = 2万元。
同样，投资金额为20万元，在项目B上的回报为20万元 * 15% = 3万元。
总回报为2万元 + 3万元 = 5万元。
总投资金额为10万元 + 20万元 = 30万元。
总回报率为总回报/总投资金额 = 5万元 / 30万元 = 16.67%。
通过以上三个例子，我们可以看到概率统计在实际生活中的广泛应用。
不论是赌博游戏、抽奖游戏还是投资，我们都可以利用概率统计的方法来分析和预测可能的结果。
赌徒破产定理
赌徒破产定理赌徒破产定理是一个经济学和概率论中的重要理论，用来描述赌徒在持续进行赌博的情况下最终破产的概率。
该定理认为，只要赌博是一个纯随机的过程，赌徒最终会失去所有的赌注。
这个理论的核心观点可以通过一个简单的实例来进行解释。
假设有一个赌徒，他拥有初始赌注A，他每次下注的金额是该赌注的一个固定比例p（0 < p < 1）。
每次赌注都是相互独立的，概率为q=1-p来赢得下注金额的倍数。
在这个特定情况下，赌徒在下注n次后失去所有赌注的概率为q^n。
当n趋近于无穷大时，这个概率趋近于1，也就是说赌徒最终会破产。
这个理论可以通过一些数学推导得出。
假设赌徒的初始赌注为X_0，每次下注的比例为p，如果赌徒赢得下注金额的倍数为1+r，那么每次赌注后赌徒的赌注金额可以表示为X_{n+1}=X_n(1+p(1+r))或者简写为X_{n+1}=aX_n，其中a=1+p(1+r)。
根据上述递推关系，可以得到赌徒在第n次下注后的赌注金额为X_n = a^n X_0。
当a大于1时，赌注金额随着下注次数的增加而指数增加；当a小于1时，赌注金额随着下注次数的增加而指数减少。
从这个递推关系中，我们可以看出赌徒破产的条件。
如果a<1，也就是说下注的期望值小于1，那么赌徒下注的金额将会趋近于0，最终破产。
如果a>1，下注的期望值大于1，赌徒的赌注金额将会趋近于无穷大，最终也会破产。
赌徒破产定理的一个重要应用是在赌场中。
赌场设计了各种赌博游戏，确保在长期下注的情况下，赌徒最终会输掉所有的赌注。
这是因为赌场设置了一些规则和边际，使得所有游戏的期望值都小于1。
尽管赌徒破产定理描述了赌徒在无限次下注的情况下的结果，但在现实生活中，很少有人会无限制地进行赌博。
人们通常会设定一个目标或者限制自己的赌注，以避免完全破产。
此外，赌徒破产定理暗示了赌博是一种长期来看是不可持续的行为。
虽然那些赢得了大量赌注的赌徒可能较为引人注目，但大多数赌徒最终会破产。
概率与赌博
概率与赌博概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
概率论是一门研究事情发生的可能性学问，但是最初的概率论的起源是与赌博问题有关，赌博与概率息息相关。
历史上一系列的赌博问题开始揭示出了概率与赌博之间不可分割的关系。
16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。
17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家（相当于赌场）赢。
按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。
当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6,因此6倍于前一种规则的次数，也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。
然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”，他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。
赌徒问题的两种算法数学史
赌徒问题的两种算法数学史在历史上，有很长的一段时间里面，数学家们都没研究过概率。
数学史中，研究概率的起源其实是赌博，所以当我们研究 probability 时，有许多问题都是关于扔硬币、掷骰子和扑克牌。
最早在16 世纪，数学家卡尔达诺 (1501-1576)，他深陷赌博不可自拔，长达25 年。
他在自传中如此写道：那段时间里，我并不是“时不时”参与赌博，说来可耻，我是每天都在赌博。
他甚至留下如此的名言：“赢得赌博最好的办法，就是完全不参加赌博。
”卡尔达诺写过一本关于赌博的入门书，里面涉及许多概率的计算。
但其中有不少算法是错误的，数学史并不把他当作数学中概率论的创始人。
这告诉我们，连有名的数学家都能在概率的运算大量犯错了，那我们初学概率时，题算错也是情有可原的！今天要介绍的赌徒破产问题，也是早期数学家在思考的一个和赌博相关的概率问题。
我们常听说“十赌九输”，这句话的意思当然不是说赌徒在赌博中的每一局胜率都只有10%，而是说：如果你一赌再赌，不知节制，很大可能性终究是输钱的。
今天要介绍的赌徒破产问题，可以说是“十赌九输”的数学证明。
赌徒破产问题要说的意思是：任何一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输个精光。
这是因为：即使一开始赢得多，总是一定有输回来的概率。
但输光了，却没有再赢回来的资本。
值得注意的是，在赌徒破产问题中，并没有讨论到赌徒的单局胜率多大。
无论赌徒单局胜率多高，只要不是100% 的胜率（当然实际上也不可能，那样就不叫赌博了），那么必然会在足够多的局数之后把资本输光。
为了简化讨论，让我们先考虑下面这问题：问题赌徒A 与赌徒B 分别持有m、n 份筹码。
每一局输的人要把一份筹码交给对方，两人胜率皆为 0.5 。
游戏一直进行到其中一方没有筹码为止，求 A 获胜（对方破产）的概率。
先讲结论：A 获胜的概率为分母为两人筹码总和，分子为自己筹码数。
要计算出这结果并不容易，而且冗长。
如果你学过期望值，那么这里附上一个比较高超而简便的计算：因为双方胜率各半，这是个公平赌局，因此就 A 而言，无论玩几局之后，他的手上筹码期望值等于初始的 m。
数学与应用数学毕业论文----赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析
xx大学毕业论文赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析专业名称：数学与应用数学班级：学生姓名：xx指导教师：xx完成时间：摘要概率论是一门研究随机现象规律的数学分支，概率论与以它作为基础的数理统计学一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着重要的作用。
概率论作为理论严谨、应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展得到发展。
本文从概率论与赌博的密切的发展联系到在彩票中数学的应用，阐述概率论在这两方面给我们的启示，并通过实例分析，弄清赌博与彩票陷阱的本质。
本文大体上分为引言、赌博中的概率问题、彩票陷阱的分析。
引言中主要阐述概率论的起源及发展；在概率论与赌博部分中，阐述了概率与赌博的发展联系并通过实例来分析赌博中的概率问题；在彩票陷阱的分析中，主要通过彩票的获奖概率分析彩票陷阱的原理及如何看清彩票陷阱的本质。
整篇论文的目的是为了深刻的阐述在赌博与彩票中的数学问题，通过典型事例对其深刻理解，把握规律。
关键词概率论；赌博；彩票陷阱；应用ABSTRACTProbability theory is a math branch which focuses on the rules of random phenomenon. Both probability theory and mathematic statistics which is based on probability theory has important effect on many fields, such as natural science, social science, engineering, military science, industrial and agricultural production and so on. People pay more attention to probability theory because it has preciseness on its theory and be taken as a widely use math branch. As the development of the technology, probability theory will be more developed. In this paper, it will through the analysis of the facts to discuss the essence of gambling and lottery trap in different ways. For example, according to the connection between probability theory and gambling, this paper put lottery into the application of math and expatiate the revelation on probability theory. The paper divided into several parts, such as introduction, probability problem in gambling, and the analysis in lottery trap. In the introduction part mainly talk about the beginning and development of probability theory. In the probability theory and gambling part, expounding the connection of probability and gambling and analyzing the probability problem in gambling. In the analyzing of the lottery trap, it is mainly through the probability of bearing the palm in lottery to analyze the element in lottery trap and how to understand the essence in it. The purpose of the paper is deeply expatiating the math problem in gambling and lottery. It deeply understands the math problems through typical facts in order to hold the rules.Key words probability theory；gambling；lottery trap；application目录一、引言 (1)二、赌博中的概率问题 (2)（一）主要结论 (2)（二）扑克牌分析 (3)2.1洗牌问题 (4)2.2桥牌游戏 (4)2.3升级游戏 (5)2.4抽牌问题 (6)（三）其他例题分析 (6)3.1骰子游戏 (6)3.2轮盘游戏 (7)三、彩票陷阱的分析 (8)（一）定义 (8)（二）彩票的基本分析 (8)2.1传统型 (9)2.2 乐透型 (10)（三）抽奖陷阱的分析 (12)四、总结 (14)参考文献 (16)赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析一、引言概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。
500年后再谈赌金分配问题
500年后再谈赌金分配问题历史的车轮滚滚向前，“赌金分配问题”已经过去500百年了，今天我们再来谈谈它，用另外一种方式解决它，揭开它神秘的外纱。
1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书。
书中叙述了这样的一个问题：在一场赌博中，某一方先胜6局便算赢家。
可是，当甲方胜了4局，乙方胜了3局的情况下，因出现意外，赌局被中断，无法继续，此时，赌金应该如何分配？帕西奥尼的答案是：应当按照4:3的比例把赌金分给双方。
当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理。
因为，已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而另一方则需要胜3局，并且至少有2局必须连胜，这样要困难得多。
但是，人们又找不到更好的解决方法。
在这以后100多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案。
直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”，引起了这位法国天才数学家的兴趣，并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信，他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题。
经过笔者查找资料，费马的解法是，如果继续赌局，最多只要再赌4轮便可决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列：甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙甲乙甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙乙甲甲乙甲方胜乙方胜在这16种排列中，当甲出现2次或2次以上时，甲方获胜，这种情况共有11种；当乙出现3次或3次以上时，乙方胜出，这种情况共有5种。
因此，赌金应当按11:5比例分配.大数学家费马的高明之处在于构造了16种等可能性事件，把问题转化成了古典概型，实在是让人拍案称奇！而帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形”，欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”。
事实上，早在北宋时期中国数学家贾宪就在《黄帝九章算法细草 》中讨论过，后经南宋数学家杨辉加以完善，并载入其著作《详解九章算法》一书中。
源自赌博的概率论
源自赌博的概率论赌博遇到数学问题概率论起源于17世纪中叶，是研究随机现象规律的数学分支。
当时在人口统计、保险等工作中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。
但当时，刺激数学家们首先思考概率论的问题却是源自赌博者的问题。
三四百年前，在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风，掷骰子是他们常用的一种赌博方式。
因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。
有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德?梅耳发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双6点的机会却很少。
这是什么原因呢？后人称此为著名的德?梅耳问题。
又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。
如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类需要计算可能性大小的赌博问题有很多，但他们自己也无法给出答案。
数学家们参与“赌博”参赌者将他们遇到的上述问题请教了当时法国的数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而是把它们交给另一位法国数学家费马。
他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。
这些问题后来被到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回到荷兰后，他独立地进行研究。
帕斯卡和费马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念――数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。
而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。
1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》，这本书迄今为止仍被认为是概率论中最早的论著。
对一个常见概率学问题的数学分析
作者：霜焰
提问： 听说有一个方法，可让赌博十有八九能赢，而且很科学。方 法如下（赌博规则是赢了双倍返还赌金，输了不返还赌金；设每 局赢的概率是 49%，输的概率是 51%。因为赌博规则一般都会让 输的概率略高，赌场才能赚钱） ： 第一次投 1 元，如果赢了， 停止； 如果输了， 继续投注 2 元； 然后如果赢了停止投注， 如果输了， 继续投注 4 元……依此类推， 一旦输了，就翻倍继续投注，直到赢一次为止。这样一来，只要 能赢一次，就是赚的。而“一次都不赢”的概率是很低的，比如 投 10 次， “一次都不赢”的概率只有 0.25%；如果投 20 次， “一 次都不赢”的概率只有 0.0006%；也就是说，使用这个方法，实 际上几乎可以百战百胜。 使用这个方法，是不是就可以做到久赌必赢呢？
每轮的收益期望值=赢的概率×赢的收益+输的概率×输的收益 =99.999981%×1－0.000019%×8388607 =－0.58 可以看出，虽然赢的概率是输的概率的 N 倍，但是输的损 失却也是赢的收益的 N 倍。综合考虑起来，期望值仍然负数， 甚至还低于每次投 1 元，赢就赢，输就输这种最简单的投法（收 益期望值-0.02） ，也就是说只有折腾亏得会更厉害。 有人会说，我就是薄利多投，一次赚 1 元也甘心，行不行？ 坚持下去，积少成多，能不能多赚？很遗憾，不能。因为这种赌 法最怕的恰恰是“坚持，多次” ，因为输的概率只有大约 5 万分 之一，如果你只投几次、几十次，那么基本上都不会输，除非是 非常倒霉。但是，一旦次数累积起来， “至少输一次”的可能性 就大幅提高。而这种方法，要想多赚钱，却不得不累积次数，这 就是致命的矛盾。 比如你 1000 万的身家投进去，这样折腾就为赚几百元显然 没有意义。你打算要 10%的收益，赚个 100 万，那么你需要投 100 万轮，这样搞 50 万次“至少输一次”的可能性为：
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小论文报告
问题来源：
分赌注问题是统计学历史上最著名的问题。1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？
方法：历史分析和文献考证。
<<惠更斯与概率论的奠基>>
主要内容:惠更斯是概率论学科的奠基者之一。其《论赌博中的计算》是第一部概率论著作,该书首次提出数学期望的概念,创立了“惠更斯分析法”,第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。
方法：历史分析和文献考证。
<<惠ຫໍສະໝຸດ 斯的5个概率论问题>>
<<惠更斯的14个概率命题研究>>----------西北大学学报(自然科学版 )
徐传胜潘丽云 任瑞芳
2007年 2月, 第 37卷第 1期
<<惠更斯与概率论的奠基>>----------------第二十八卷2 0 0 6 第6期
自然辩证法通讯徐传胜 曲安京
<<惠更斯的5个概率论问题>>--------------西北大学数学与科学史研究中心
•分法1朴素法（5：3，你62.5元，我37.5元）：就按比分5：3分钱。
•分法2均胜局法（7：1，你87.5元，我12.5元）：应该按取得最终胜利的可能性来分。我需要连胜3局才赢，你只需要在我连胜3局之前胜1局就赢。假设胜1局的可能性都是1/2，则我赢的可能性是(1/2)3＝1/8，你赢的可能性是7/8。
方法：文献考察，历史分析，理论验证
（二）相关知识
1.二项式定理
2.二项分布概率公式P(X=k)=C(n,k)(p^k)*(1-p)^(n-k),n是试验次数,k是指定事件发生的次数,p是指定事件在一次试验中发生的概率。
3.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次实验获胜的概率是p1，失败的概率是p2=1-p1。则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1，n2=
※惠更斯的5个概率问题
问题1两人玩掷双骰子游戏。若A掷出6点则赢,而B掷出7点胜。A先掷一次后, B掷二次, A再掷二次,如此下去直至一方获胜。A与B的胜负比是多少？
问题2一袋中装有4个白球8个黑球,3人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜,求三人获胜的机会比。
惠更斯在其1665年的笔记中给出问题答案为9∶6∶4。
最终通过计算机模拟赌博结果证实，10：1才是正确的分赌注方法。
这个问题可以改为更一般的表述：多次尝试同一件事，先成m次则成功，先失n次则失败。当尝试到i（成功）+j（失败）次时，如何估计最终成败的概率？正确的方法是贝叶斯法。通过采用与分赌注问题相同的解法可求出最终成败的概率，最终为现实中的事情做出正确的抉择提供考虑依据。
应用：甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，可采用5局3胜制或者7局4胜制进行比赛，问采取哪一种比赛制对甲有利？这一问题实际上是问采取哪一种赛制，甲获胜的概率更大。因此，只需在5局3胜制或者7局4胜制中，分别计算甲获胜的概率即可，且这两个概率是分赌注问题的特殊情形。
4.甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是Pn1,n2=
5.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次试验获胜的概率是p1，失败的p2=1-p1。则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1,n2=
6.惠更斯的14个概率命题
公理每个公平博弈的参与人愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数[ 2]。
命题1若在赌博中获得赌金a和b的概率相
等,则数学期望值为(a + b) /2。
命题2若在赌博中获得赌金a, b和c的概率相等,则数学期望值为( a+ b + c) /3。
徐传胜 曲安京
<<数学研究与评论>> 第27卷第4期
（1）文献综述﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1
（2）相关知识﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2
（3）应用实例﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3
（4）总结感受﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4
（5）文献列表﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒5
（一）文献综述
<<浅谈分赌注问题>>
主要内容：本文以通俗的语言介绍概率发展史上一个著名的问题—分赌注问题，并讨论它的简单解法，给出简单的实际应用。
分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具，如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等、可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。
推出结论：如果每局甲获胜的概率比输的概率大，则多比赛几局对甲是有利的。
<<分赌注问题的一个推广>>
主要内容：分赌注问题是个很有名的问题，但一般的分赌注只研究两个人分赌注，如果三个人分赌注该如何呢？本文在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。
方法：二项分布
应用：甲乙二人扔硬币比赛，约定出现正面得一分，谁先得三分就获胜；如果出现双方都得两分的情况，则视为平局，此后比赛继续下去，谁能比对方多得两分，谁就获胜现比赛进行到甲得两分，乙得一分时感觉成绩不如甲，有退赛的想法，问如果继续比赛下去，乙获胜的概率还有多大？
几篇文献分别以不同的侧重探讨了这一问题，在总结帕斯卡，惠更斯等人的理论成就的基础上，进行了更进一步的论述，有一些实际的应用，亦有一些拓展。在<<分赌注问题的一个推广>>中，将一般的分赌注只研究两个人分赌注，推广到了三个人分赌注该如何分。而<<启蒙视野中的概率期望思想>>则探讨了分赌注的期望问题。
分赌注问题源远流长，曾有过各式各样的求解方法。设你和我打赌，可以是任何赌法，各出50元赌本，先赢6局者拿走100元。但是赌到5：3你领先时被迫停止，不能继续。现在的问题是：100元中你我各应该分到多少钱？
命题12一次掷多少颗骰子有利于/至少出现一对6点0?
命题13甲、乙2人赌博,将两颗骰子掷一次,若其点子和为7则甲赢,为10则乙胜,为其他点则平分赌注。试求2人分配赌注的比例。
命题14 A, B 2人轮流掷两颗均匀的骰子,若A先掷出7点,则A胜;若B先掷出6点,则B胜。B先掷,求A获胜的概率。
（三）应用实例
•分法3最大似然法（485：27，你94.73元，我5.27元）：仍按最终赢的可能性来分，但胜1局的可能性不应该是1/2，而应该根据当前比分作最大似然估计，即你胜1局的可能性为5/8，我胜1局的可能性为3/8。我最后赢的可能性，即应该拿到的份额，应该是(3/8)3=27/512。
•分法4贝叶斯法（10：1，你90.91元，我9.09元）：该法考虑了你胜1局的概率p的期望分布，则你最后赢的期望概率为根据贝叶斯定律：其中为先验概率分布，在此采用无信息先验，可从公式中去掉，所以解出10：1
※甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是Pn1,n2=
（证明见右侧）
（四）总结感受
远自1654年职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡提出的一个分赌本问题，无意间成为了开启了概率论时代的敲门砖。意大利数学家卡尔丹写出的《游戏的机遇学说》，讨论了两人赌博中断，如何分赌本的问题。16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚等人也讨论过这种问题，直到今天，依然有人在探讨分赌注问题。“分赌注”的魅力可见一斑。
主要内容及改进：惠更斯在第一部概率论著作<<论赌博中的计算>>中提出5个概率问题，但均无求解过程。这5个问题即可看作实际问题，又可看作该书中的命题延伸，这些问题以机会问题为研究对象，把赌博问题的分析提升到一定的理论高度。这就为概率论的进一步发展奠定了坚实的基础。本文尝试以惠更斯的方法来解决这些问题，再对比今日所用之法，从中得到若干结论。
※A，B二人赌博，各出注金 元。每局各人获胜概率都是 ，约定：谁先胜S局，即赢得全部注金 元。现进行到A胜 局，B胜 局，（ 和 都小于 ）时赌博因故停止，问此时注金 应如何分配给A和B，才算公平？
解：
至多再赌 局，即能分出胜负。为A获胜，他在这 局中至少须胜 局。因此按二项分布，A取胜的概率为 ,而B取胜的概率为 .
命题3若在赌博中分别以概率p和q(p \ 0, q \ 0, p + q = 1)获得赌金a和b,则数学期望值为
pa+ qb。
命题4假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为1, 2时,其赌注应如何分?
命题5假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为1, 3时,其赌注应如何分?
命题6假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为2, 3时,其赌注应如何分?
改进：在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。
<<启蒙视野中的概率期望思想>>
主要内容:尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算,但早期概率学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。早期概率论中对于数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的/期望0术语的两种不同的定性含义,一是人们对于法律中公平公正的期望,另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁,并将概率论与理性和道德科学的启蒙观念联系在一起,于是对于期望思想的探讨便成为17、18世纪启蒙思想实践的一部分。然而至19世纪,随着启蒙运动的结束,这个议题失去了其主要的素材来源,也失去了有效性的判断标准,随之期望作为概率论研究的中心地位也就被其它方面的研究取而代之了。