量子力学第一、二章习题课

前两章的综合与复习
第一部分 状态与波函数
1、量子力学中用波函数描写微观体系的状态 、 2、 态叠加原理：设 ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,⋯ψ n ⋯是体系的可能状态，那么， 、 态叠加原理： 是体系的可能状态，那么， 这些态的线性叠加 状态。 状态。
ψ = ∑ cnψ n
n
也是体系的一个可能
3、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： 、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
j= iℏ (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ) 2µ
ρ = ψ ∗ψ 与几率密度
∂ρ +∇⋅ j = 0 满足连续性方程 ∂t
第二部分 一维运动
1、一维无限深势阱 、 本征值 本征函数
0 V ( x) = ∞ 0<x<a x ≤ 0或者x ≥ a
n 2π 2 ℏ 2 En = , n = 1,2,3, ⋯ 2 2 µa
dm p = dp mc 2
dm p υg = c = =υ dp m
2
的物体， 三、如果我们需要观测一个大小为 2.5 Α 的物体，可用的光子的 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（ ？（要 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（要） 解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同 为了发生散射， 数量级或者更小。 数量级或者更小。故在本问题中能够采用的光的最大波长 ，这样相应的光子的最小能量为： 这样相应的光子的最小能量为：
ℏ2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + V (r , t )Ψ ∂t 2µ
当势场
V (r ) 不显含时间
t
时，其解是定态解
Ψ (r , t ) = ψ (r )e −iEt / ℏ
ψ (r ) 满足定态薛定谔方程
ℏ2 2 Hψ = [− ∇ ψ + V (r , t )] = Eψ 2µ
定态薛定鄂方程就是能量算符的本征值方程。 定态薛定鄂方程就是能量算符的本征值方程。
−α 2 x 2 / 2
H n (αx)
α µω ,α = n ℏ π 2 n!
α
[ n n +1 ψ n −1 + ψ n +1 ] 2 2
d n n +1 ψ n = α [ ψ n −1 − ψ n +1 ] dx 2 2
宇称
ψ n (− x) = (−1) nψ n ( x)
4、势垒贯穿 、 方势垒
2 − ℏ
∫
a
b
2 µ (V ( x ) − E ) dx
指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？ 一、 指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些 实验主要证明能量交换的量子性？ 实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质 粒子的波动性？（ ？（要 粒子的波动性？（要） 、（2）黑体辐射谱、（ 、（3） （1）光电效应、（ ）黑体辐射谱、（ ）Franck-Hertz实验 ）光电效应、（ 实验 （4）Davisson-Germer实验、（5）Compton散射 ） 实验、（ ） 散射 实验、（
∗ 0
a
2
πx
a
) 2 dx = 1
由此得： 由此得：
2 A= a
（2）同理，有： ）同理， 得： A =4 a2
∫
+∞
−∞
A exp(−αikx （3）空间概率密度为 P( x) = e e = 1 ）
π
，即在空间中任何位置
单位体积内测到一个粒子的概率为1 单位体积内测到一个粒子的概率为 若沿以上求归一化系数，出现： 若沿以上求归一化系数，出现：
∫
+∞
2
−∞
A e
−ikx ikx
e dx = ∫
+∞
−∞
A dx = ∞ ⋅ A
2
2
要使积分为1，必须 要使积分为 ，必须A=0，因此波函数不能归一。只能： ，因此波函数不能归一。只能：
1 ∫−∞ 2π exp(−ik ′x) exp(ikx)dx = δ (k − k ′)
位置的概率分布： （4）粒子的本征位置函数为ψ ( x) = δ ( x − x0 ) 位置的概率分布： ）
2
ω
λ
（2）由定义 ）
h h λ= = p mυ
dω d (2πν ) dν υg = = = dk d (2π ) d (1 λ )
λ
mc 2 及ν = h
可得： 可得：
dm υg = c dp
2
通过相对论的能量－ 通过相对论的能量－动量关系 可得 由此可得： 由此可得：
2 E 2 = m 2 c 2 = p 2 c 2 + m0 c 4
λ = 2.5 Α
Emin = hν min =
hc
λmax
≈ 4.96 ×103 eV
，按照非相对论计算
若改为电子，最大的电子波长为 2.5 Α 若改为电子，
p = 2me E
因此
h h λ= = p 2me Ek
则
h2 Ek = ≈ 24.1eV 2 2me λmax
四、讨论以下波函数的归一化问题 （1）粒子在一维无限深势阱中运动，设 ψ ( x) = A sin a (0 ≤ x ≤ a) ）粒子在一维无限深势阱中运动， 使得波函数归一. 求A 使得波函数归一 （2）设 ） 化常数A. 化常数 （3）设 ） 归一？ 归一？ （4）设 ） 归一？ 归一？ 粒子的位置概率分布如何？ ψ ( x) = exp(ikx) ，粒子的位置概率分布如何？能否
∫ψ 4、波函数归一化条件： 、波函数归一化条件：
(全)
2
dτ = 1
，相对几率分布， 相对几率分布，
波函数常数因子不定性：相位因子不定性。 波函数常数因子不定性：相位因子不定性。 5、波函数一般应满足三个基本条件：连续性、有限性和 、波函数一般应满足三个基本条件：连续性、 单值性。 单值性。 6、几率流密度 、
1 nπx cos , n为奇数 ，x < a ψn = a 2a 0, x ≥a
2、三维无限深势阱 、 本征值 En ,n ,n
1 2 3
0 V (x) = ∞
0 < x < a,0 < y < b,0 < z < c 其余
2 2 π 2 ℏ 2 n12 n2 n3 = （ 2 + 2 + 2 ） n1 , n2 , n3 = 1,2,3, ⋯ , 2µ a b c
h 、（要 试确定与 、（要）试确定与de Broglie波长 波长 λ=
（1）由 ）
up 相应的波的相速度
ug 和群速度
p
mc ν= h
2
E = mc 2 = hν
可知
2
，又因为
h h λ= = p mυ 所以
2πν mc h c up = = = νλ = ⋅ = >c k 2π h mυ υ
2 nπx sin , 0<x<a ψn = a a 0, x ≤ 0或者x ≥ a
0 V (x) = ∞ x <a x ≥a
对于 有本征值 本征函数
n 2π 2 ℏ 2 En = , n = 1,2,3, ⋯ 2 8µa
1 nπx sin , n为偶数 ，x < a ψn = a 2a 0, x ≥a
πx
1 2 2 为已知常数， ψ ( x) = A exp(− α x ) ，a为已知常数，求归一 为已知常数 2
ψ ( x) = δ ( x)
，粒子的位置概率分布如何？能否 粒子的位置概率分布如何？
（1）全空间发现粒子的概率为1，应有： ）全空间发现粒子的概率为 ，应有：
∫ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ A (sin
+∞
P( x) =
∫
+∞
−∞
δ ( x′ − x0 )δ ( x − x′)dx′ = δ 2 ( x − x0 )
2
在x=x0处可测得粒子，其他处测不到粒子，不能归一。只能： 处可测得粒子，其他处测不到粒子，不能归一。只能：
∫
∞
−∞
δ ( x − x1 )δ ( x − x2 )dx = δ ( x1 − x2 )
V0 , 0 < x < a V = 0 , x ≤ 0 or x ≥ a
2 µ (V0 − E )
2a a − 当 透射系数为： 2µ (V0 − E ) >> 1 时，透射系数为：T = T e ℏ 0 ℏ 透射系数为： 对任意形状的势垒 V (x ) ，透射系数为：
T = T0 e
5、束缚态、非束缚态 、束缚态、 6、简并、简并度 、简并、
8 n1πx n2πy n3πz ψ n1 ,n2 ,n3 (r ) = abc sin a sin b sin c , 本征函数 0, 阱外
阱内
3、一维谐振子 V = 、
1 µω 2 x 2 2
本征值 本征函数
1 En = (n + )ℏω 2
ψ n = N ne
Nn =
xψ n = 1