10.第十一讲全等三角形能力训练(七下S)

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北师大七年级下-第11讲-三角形的认识和图形全等

三角形的认识和图形全等三角形的有关概念由3条不在同一条直线上的线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形有3条边、3个顶点和3个内角．三角形的边和角称为三角形的基本元素．如图，线段BC、CA、AB是三角形的边，也可以分别用表示；点A、B、C是三角形的顶点．∠A、∠B、∠C是相邻两边所组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角．三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．三角形的分类三角形按角可以分成如下三类：三角形按边可以分成如下两类：三角形的三边之间的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边，若三角形的三边为a，b，c，则a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b;（2）三角形的任意两边之差小于第三边．若三角形的三边为a，b，c，则 a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b（3）三角形的边的不等关系的应用和作用．①判断三条线段a、b、c能否组成三角形，其判断方法有如下三种：1°当a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b都成立，即三条边都小于其它两条边之和时，能组成三角形；2°当|a－b|<c<a＋b时，即任意一条边大于其它两条边差的绝对值（即大边减小边），而小于其它两条边之和，可以构成三角形；3°当a最长，且有b＋c>a时，即最大边小于其它两条边之和时可以构成三角形．②确定三角形第三边的取值范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和如果三角形已知两边分别为a、b，第三边为c，则|a－b|<c<a＋b从而得到三角形的周长的取值范围，设a>b，则2a<a＋b＋c<2(a＋b)③说明线段的不等关系．三角形的特殊线段（1）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫做三角形的内心．（2）三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线．如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点E，所得线段AE叫做△ABC的边BC上的中线．一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫三角形的重心．（3）三角形的高在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为F．那么线段AF叫△ABC的边BC上的高．三角形有三条高，且它们(或它们的延长线)相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心.注意：①锐角三角形的三条高，都在三角形的内部.②直角三角形的三条高，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的边上.③钝角三角形的三条高，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的外部.典型例题讲解例1、如图所示，图中三角形的个数共有（）A．1个B．2个C．3 个D．4个解析：由三条线段首尾顺次相连得到图形为三角形，所以图中三角形有△ABD，△ABC和△ADC，共有三个．答案：C例2、有四根长度分别为10cm、6cm、5cm、3cm的钢条，以其中三根为边，焊接成一个三角框架，问此三角形框架的周长可能是多少？分析：在四根钢条中任选3根，也就是在4根中去掉1根，共有四种情况，分类讨论在每种情况下能否构成三角形，即是否满足“三角形的任意两边之和大于第三边”.解：此三角形框架三边长有以下四种情况：⑴当三线段长分别为6cm、5cm、3cm时，周长为14cm；⑵当三线段长分别为10cm、5cm、3cm时，不能构成三角形；⑶当三线段长别为10cm、6cm、3cm时，不能构成三角形；⑷当三线段长别为10cm、6cm、5cm时，周长为21cm.所以此三角形框架的周长可能是14cm或21cm.例3、一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它的周长是（）A．17 B．22 C．17或22 D．13分析：计算等腰三角形的边长或周长时，常要分类讨论谁是腰，谁是底，这时往往忽略三边关系是前提条件．若第三边长是4，由于4＋4<9，不符合三边关系定理，所以第三边只能为9，从而知周长为4＋9＋9=22，故选B．答案：B点评：分类讨论时应注意验证三边关系．例4、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.分析：由题意可知，中线BD将的周长分为AB＋AD和BC＋CD两部分，故有两种可能：⑴⑵再由AB=AC=2AD=2CD，知⑴式成立，⑵式不成立.解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x.⑴当AB＋AD=15，且BC＋CD=6时，有2x＋x=15，x=5，所以2x=10，BC=6－5=1．⑵当BC＋CD=15，AB＋AD=6时，有2x＋x=6，x=2，所以2x=4 ，AB=AC=4，BC=13，又因为4＋4=8<13，这与“三角形任意两边之和大于第三边”相矛盾，故不能组成三角形.答：这个三角形的腰长为10，底边长为1.点评：分类讨论是研究几何问题常用的数学思想方法，要求不重不漏;把线段长设为未知数，列方程解几何题是将问题化难为易的有效方法;要考虑求解结果是否满足三角形三边关系.全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．典型例题讲解例1．下列说法正确的是（）A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形选：D．【点评】此题主要考查了全等图形的性质与判定，正确利用全等图形的性质得出是解题关键．例2．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等选：C．【点评】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．例3．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（）A．105°B．120°C．115°D．135°选：D．例4．下列四个图形中，全等的图形是（）A．①和②B．①和③C．②和③D．③和④选：D．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．例5．图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a ，b ，c ，e ，α各字母所表示的值．【解答】解：对应顶点：A 和G ，E 和F ，D 和J ，C 和I ，B 和H ，对应边：AB 和GH ，AE 和GF ，ED 和FJ ，CD 和JI ，BC 和HI ；对应角：∠A 和∠G，∠B 和∠H，∠C 和∠I，∠D 和∠J，∠E 和∠F； ∵两个五边形全等，∴a=12，c=8，b=10，e=11，α=90°．【点评】此题主要全等图形，关键是找准对应顶点，全等图形，对应边相等，对应角相等．测试11、两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们订成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是________.3cm<x<17cm2、如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，则S 阴影=________．1cm 23、已知△ABC 的三边长为5，12，3x －4，周长为偶数，求整数x 及周长．解:先求x 的取值范围，∴12－5<3x －4<12＋5，即113＜x ＜7，而x 为整数，∴x=4、5或6．若周长12＋5＋3x －4=13＋3x 是偶数，则x 为奇数， ∴x=5，从而周长为5＋12＋3x －4=28．4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 上的中线把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角形各边的长．解：因为BD 是中线，所以AD=DC ，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2x ，则AD=CD=x ，（1）当AB ＋AD=30，BC ＋CD=24时，有2x ＋x=30，∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm ，20cm ，14cm ．（2）当AB ＋AD=24，BC ＋CD=30，有2x ＋x=24∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为16cm ，16cm ，22cm ． 5、如图，P 是△ABC 内一点，试说明AB ＋AC>PB ＋PC 成立的理由．要添加辅助线，构造新的三角形．比较明显的辅助线可以作BP或CP的延长线．解答：延长BP交AC于D，解：（1）1；4；10（2）（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取67、设m，n，p均为自然数，满足，且m＋n＋p=15，试问以m，n，p为边长的三角形有多少个?分析：本题考查三角形三边之间的关系．A．全等三角形的大小相等B．两个等边三角形一定是全等三角形C．全等三角形的形状相同D．全等三角形的对应边相等选B．【点评】本题考查了全等三角形的定义与性质，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，即形状相同、大小相等两个三角形叫做全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角相等．2．下列说法：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的周长相等；（4）周长相等的两个三角形相等；（5）全等三角形的面积相等；（6）面积相等的两个三角形全等．其中不正确的是（）A．（4）（5） B．（4）（6） C．（3）（6） D．（3）（4）（5）（6）选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形，以及全等三角形的性质，关键是掌握能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D选C．4．下列各组图形中，一定全等的是（）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形选D．5．全等三角形用符号≌来表示；其对应边相等，对应角相等．6．如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于585°．7．找出全等图形．【解答】解：由图形可得出：（1）和（8）；（2）和（6）；（3）和（9）；（5）和（7）；（13）和（14）是全等图形．课后作业1、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（）A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3、一个三角形三边之比为3︰4︰5，则这个三角形三边上的高线之比为（）A．3，4，5 B．4，5，6C．10︰7︰5 D．20︰15︰124、如图，ΔABC，ΔADE及ΔEFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点.若AB = 4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是（）A．12 B．15C．18 D．215、若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）．A．2对B．3对C．4对D．6对6、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）A．－6<a<－3 B．－5<a<－2C．－2<a<5 D．a<－5或a>27、以7和3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8、下列判断正确的是（）（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；（2）三角形的中线、角平分线都是线段；（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．（1）（2）（3）（4） C．（3）（4）B．（2）（3）（4） D．（2）（3）9、等腰三角形的各边长都是正整数，且周长为12，这样的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10、若自然数a、b、c为三角形的三边，且a≤b≤c，b=4，问这样的三角形有（）个．A．4 B．6C．8 D．10答案：CDDBB BDDCD11、观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．B．C．D．解析：第1个图形中有4个三角形；第2个图形中有8个三角形；第3个图形中有12个三角形； ……由此规律，第n 个图形中有4n 个三角形．答案：D12、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，3.5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm 解析：选项A 中1＋2<3.5不能组成三角形；选项B 中4＋5=9不能组成三角形；选项C 中5＋8<15不能组成三角形；而D 中6＋8>9，符合三角形三边关系，故选D.答案：D13、不等边△ABC 的两边高分别为4和12，若第三边上的高也是整数，试求它的长．分析：由两边上的高4和12可以求出这两边的关系，从而可以表示出第三边的取值范围，再用面积法可以求出第三边上的高．解答：设第三边c 边上高为h ，三角形面积为S ，高为4，12的两边为a ，b ，则有，∴a=2S 4，b=2S 12，c=2Sh ．据三角形三边关系，得，∴．∵h 为整数，∴h=4或5.又∵三角形为不等边三角形，∴h=5.14、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，交AB 于点E ，DF∥AB，交AC 于点F.图中DA 是否平分∠EDF，为什么?解：图中DA 平分∠EDF.理由：由ED∥AC，得∠EDA=∠CAD. 同理，由DF∥AB，得∠FDA=∠BAD.又由AD 是△ABC 的角平分线，得∠BAD=∠CAD. 所以∠EDA=∠FDA，即DA 平分∠EDF.点评：一个图形中，若具有“角平分线”与“平行线”的条件常常可以找到等角.。

北师大版七年级下册全等三角形判定练习

全等三角形判定练习方法一：三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)【基础练习】例1：已知：如图，AB=CD，AD=CB，求证：△ABC≌△CDA.证：在△与△中∵⎩⎨⎧∴△≌△例2：已知如图所示，点B是AC的中点，BE＝BF，AE＝CF，求证：△ABE≌△CBF【巩固练习】1、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌△ ADE。

2、如图，AD=CB，E、F是AC上两动点，且有DE=BF。

（1）若E、F运动至如图①所示的位置，且有AF=CE，求证：△ADE≌△CBF。

（2）若E、F运动至如图②所示的位置，仍有AF=CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？（3）若E、F不重合,AD和CB平行吗？说明理由。

DFC BAEDFC BAEDB3、如图，△ABC 中 AB=AC ， D 为BC 中点求证：①△ABD ≌△ACD ． ②∠BAD=∠CAD 证明：4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC.求证：∠B=∠D.5、如图，AB=DC ，AC=DB.求证：（1）∠ACB=∠DBC ；（2）12∠=∠.6、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论： (1)∠D=∠B ；(2)AE ∥CF ．方法二：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)D【基础练习】例1：如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠________=∠_________(角平分线的定义).在△ABD 和△ACD 中， ∵∴△ABD ≌△ACD （）例2：如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ，求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵∴△AOB ≌△COD( )【巩固练习】1、已知如图1，在△ABF 和△DEC 中，∠B=∠DEC ，AB=DE ，BE=CF 证明：△ABF ≌△DEC.2、如图，∠B ＝∠E ，AB ＝EF ，BD ＝EC ，那么△ABC 与△FED 全等吗？为什么？3、如图，AB=AC,D 、E 分别是AB 、AC 的中点，,求证：BE=CD第1题4、如图 AB=AC，AD=AE，∠1=∠2试说明：（1）△ABD≌△ACE（2）∠ABD=∠ACE 5、已知：如图，AB=AC，AD=AE ，∠1 =∠2 。

北师大版七年级数学下册：探索三角形全等的条件同步练习

探索三角形全等的条件题组利用“SSS”判定三角形全等1.如图,E是BC的中点,连接AC,AE,若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对【解析】选D.在△ABE和△ACE中,AB=AC,AE=AE,BE=CE,所以△ABE≌△ACE(SSS),在△AEC和△CDA中,AE=CD,AC=CA,AD=CE,所以△AEC≌△CDA(SSS),所以△ABE≌△CAD.2.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS【解析】选D.在△ABC和△ADC中,所以△ABC≌△ADC(SSS).3.如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件: ,使得△ABC≌△DEC. 【解析】添加条件是:AB=DE,在△ABC与△DEC中,所以△ABC≌△DEC.答案:AB=DE(本题答案不唯一)4.如图,在△ABC中,已知AD=DE,AB=BE,∠A=80°,则∠CED= 度.【解析】因为AD=ED,AB=EB,BD=BD,所以△ABD≌△EBD(SSS),所以∠A=∠DEB=80°,所以∠CED=180°-80°=100°.答案:100【方法技巧】如何寻找全等条件1.先找已知条件,已知条件包括两部分:已知给出的;图中隐含的(如公共边、公共角、对顶角等).2.由已知条件推导所需要的条件.5.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.试说明:△ABC≌△DFE.【解析】因为BE=FC,所以BC=EF,在△ABC和△DFE中,所以△ABC≌△DFE(SSS).【方法技巧】“SSS”的用法和注意事项(1)当要说明的两个三角形已经具备“两边对应相等”的条件时,可考虑运用“SSS”.(2)运用“SSS”判定两三角形全等时,要注意公共边的条件以及线段和差的使用.(3)根据条件判定三角形全等后,对应顶点要写在对应位置上.题组三角形的稳定性1.下列实际情景运用了三角形稳定性的是( )A.人能直立在地面上B.校门口的自动伸缩栅栏门C.古建筑中的三角形屋架D.三轮车能在地面上运动而不会倒【解析】选C.古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性.2.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( )A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短【解析】选A.以A,O,B为顶点可构成一个三角形,三角形具有稳定性,所以利用的几何原理是三角形的稳定性.3.空调外机安装在墙壁上时,一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法是利用了三角形的.【解析】这种方法应用的数学知识是:三角形的稳定性.答案:稳定性如图,在△ABC和△AEF中,AB=AE,EF=BC,AF=AC,试说明,∠EAB=∠FAC.【解析】在△ABC和△AEF中,AB=AE,EF=BC,AF=AC,所以△AEF≌△ABC,所以∠EAF=∠BAC,所以∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF,所以∠EAB=∠FAC.【母题变式】[变式一]如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,且BE=CF,试说明:∠A=∠D.【解析】因为BE=CF,所以BE+EC=EC+CF,所以BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,EF=BC,DF=AC,所以△DEF≌△ABC所以∠A=∠D.[变式二]如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且AC=DB,AB=DC.试说明:∠ABE=∠DCE.【解析】在△ABC与△DCB中,AC=DB,AB=DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB,所以∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,所以∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB,所以∠ABE=∠DCE.[变式三]已知:如图,AB⊥AC,且AB=AC,AD=AE,BD=CE.试说明:AD⊥AE.【解析】在△ABD和△ACE中,AB=AC,AD=AE,BD=CE,所以△ABD≌△ACE(SSS),所以∠EAC=∠DAB,所以∠DAE=∠BAC,因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°,所以∠DAE=90°,即AD⊥AE.探索三角形全等的条件题组利用“ASA”判定三角形全等1.如图,∠1=∠2,BC=EF,欲证△ABC≌△DEF,则还需补充的一个条件是( )A.AB=DEB.∠ACE=∠DFBC.BF=ECD.∠ABC=∠DEF【解析】选D.根据“ASA”,另一组角必须是∠ABC和∠DEF,故它们必须相等.2.如图,已知∠ABC=∠D,∠ACB=∠CBD,关于图中的两个三角形的关系的说法中正确的是( )A.可用ASA说明它们全等B.可用AAS说明它们全等C.可用SSS说明它们全等D.不全等,缺少对应边相等的条件【解析】选D.图中的两个三角形不全等,因为缺少对应边相等的条件.3.如图,∠BAC=∠DAC,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得△ABC≌△ADC,并说明理由.【解析】添加∠BCA=∠DCA.理由如下:在△ABC与△ADC中,因为∠BCA=∠DCA,AC=AC,∠BAC=∠DAC,所以△ABC≌△ADC(ASA).4.如图,已知EF∥MN,EG∥HN,且FH=MG,试说明:EF=NM.【解析】因为EF∥MN,EG∥HN,所以∠F=∠M,∠EGF=∠NHM,因为FH=MG,所以FH+HG=MG+HG,所以GF=HM,在△EFG和△NMH中,因为∠F=∠M,GF=HM,∠EGF=∠NHM,所以△EFG≌△NMH(ASA).所以EF=NM.5.如图,D,E分别在BC,AC边上,且∠B=∠C,AB=DC,∠BAD=∠CDE.试说明:△ADE是等腰三角形.【解析】因为在△ADB和△DEC中,∠BAD=∠CDE,AB=DC,∠B=∠C,所以△ADB≌△DEC(ASA).所以AD=DE,所以△ADE 是等腰三角形. 题组利用“AAS ”判定三角形全等1.如图,能用AAS 来判断△ACD ≌△ABE,需要添加的条件是 ( ) A.∠ADC=∠AEB,∠C=∠B B.∠AEB=∠ADC,CD=BE C.AC=AB,AD=AE D.AC=AB,∠C=∠B【解析】选 B.AAS 是根据两角及其中一角的对边对应相等判定三角形全等的方法.【知识归纳】(1)要说明两个三角形全等,只要这两个三角形中存在两个角对应相等,一条边对应相等,就可以考虑运用“角边角”或“角角边”.(2)如果两个三角形有两个角对应相等那么第三个角也必然对应相等,因此由“角边角”判定方法可以得到判定三角形全等的又一个方法,即“角角边”. (3)综合“角边角”和“角角边”这两个判定方法解决三角形全等问题. 2.如图,点B,F,C,E 在一条直线上,已知FB=CE,AC ∥DF,请你添加一个适当的条件使得△ABC ≌△DEF.【解析】添加∠A=∠D.理由如下: 因为FB=CE,所以BC=EF.又因为AC ∥DF,所以∠ACB=∠DFE.所以在△ABC 与△DEF 中,所以△ABC ≌△DEF(AAS). 答案:∠A=∠D(答案不唯一)3.如图,已知BD=CE,∠B=∠C,若AB=8,AD=3,则DC= . 【解析】在△ABD 和△ACE 中,∠A=∠A,∠B=∠C,BD=CE,所以△ABD≌△ACE(AAS),所以AC=AB=8,所以CD=AC-AD=8-3=5.答案:54.如图,四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G与B,C不重合),AE⊥DG 于点E,CF∥AE交DG于点F.(1)在图中找出一对全等三角形,并加以说明.(2)试说明:AE=FC+EF.【解析】(1)△AED≌△DFC.因为四边形ABCD是正方形,所以AD=DC,∠ADC=90°.又因为AE⊥DG,CF∥AE,所以∠AED=∠AEG=∠DFC=90°,所以∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°,所以∠EAD=∠FDC.所以△AED≌△DFC(AAS).(2)因为△AED≌△DFC,所以AE=DF,ED=FC.因为DF=DE+EF,所以AE=FC+EF.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4.试说明:BD=BC.【解析】因为∠ABD+∠3=180°,∠ABC+∠4=180°,且∠3=∠4,所以∠ABD=∠ABC,在△ADB和△ACB中,因为∠1=∠2,AB=AB,∠ABD=∠ABC,所以△ADB≌△ACB(ASA),所以BD=BC.【母题变式】[变式一]如图,已知∠C=∠D,∠3=∠4.试说明:BD=BC.【解析】因为∠ABD+∠3=180°,∠ABC+∠4=180°,且∠3=∠4,所以∠ABD=∠ABC,在△ADB和△ACB中,因为∠D=∠C,∠ABD=∠ABC,AB=AB,所以△ADB≌△ACB(AAS),所以BD=BC.[变式二]如图,已知AD=AC,BD=BC.试说明:∠3=∠4.【解析】在△ADB和△ACB中,因为AD=AC,BD=BC,AB=AB,所以△ADB≌△ACB(SSS),所以∠ABD=∠ABC,因为∠ABD+∠3=180°,∠ABC+∠4=180°,所以∠3=∠4.[变式三]如图:已知AE交BD于点C,∠DAC=∠EBC=∠BAC,AB=AC.试说明:DC与BE 有怎样的数量关系.【解析】DC=BE.因为∠EBC=∠BAC,∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠ABE=∠EBC+∠ABC, 所以∠ACD=∠ABE,在△ACD和△ABE中,∠DAC=∠BAC,AC=AB,∠ACD=∠ABE,所以△ACD≌△ABE(ASA),所以DC=BE.如图,AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB.试说明:∠ABO=∠DCO.【解析】连接BC.在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB,所以△ABC≌△DCB(SSS),所以∠A=∠D,在△AOB和△DOC中,∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,AB=DC,所以△AOB≌△DOC(AAS).所以∠ABO=∠DCO.探索三角形全等的条件题组利用“SAS”判定三角形全等1.如图,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是( )【解析】选B.A.与△ABC有两边相等,而夹角不一定相等,二者不一定全等;B.与△ABC有两边及其夹角相等,二者全等;C.与△ABC有两边相等,但两边的夹角不相等,二者不一定全等;D.与△ABC有两角相等,但边不对应相等,二者不一定全等.2.已知:如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD,若∠D=25°,则∠B的度数为 ( )A.25°B.30°C.15°D.30°或15°【解析】选A.因为∠1=∠2,所以∠BAC=∠DAE,又因为AC=AE,AB=AD,所以△ABC≌△ADE,所以∠B=∠D=25°.3.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带去玻璃店.【解析】带第③块玻璃去,根据它能确定原来三角形的两角及其夹边的大小,从而根据“ASA”确定新的三角形与原来的三角形一样.答案:第③块玻璃4.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE.【解析】因为AE=BF,所以AE+EF=BF+EF,即AF=BE,在△ADF和△BCE中,所以△ADF≌△BCE.5.已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD. 【解析】因为∠ABC=∠ACB,所以AB=AC,因为点D,E分别是AB,AC的中点.所以AD=AE,在△ABE与△ACD中,所以△ABE≌△ACD,所以BE=CD.题组三角形全等判定方法的综合应用1.如图,AE∥DF,AE=DF,要使△EAC≌△FDB,需要添加下列选项中的( )A.AB=CDB.EC=BFC.∠A=∠DD.AB=BC【解析】选A.因为AE∥FD,所以∠A=∠D,因为AB=CD,所以AC=BD,在△AEC和△DFB中,AE=DF,∠A=∠D,AC=DB.所以△EAC≌△FDB(SAS).2.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是.【解析】延长AD至点E,使DE=AD,连接EC,因为BD=CD,DE=DA,∠ADB=∠EDC,所以△ABD≌△ECD,所以CE=AB,因为AB=5,AC=3,所以CE=5,因为AD=m,所以AE=2m,所以2<2m<8,所以1<m<4.答案:1<m<43.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,则图中共有对全等三角形.【解析】因为在△ABD和△CDB中,AD=BC,AB=CD,BD=BD,所以△ABD≌△CDB(SSS),所以∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠BDC,因为在△ABC和△CDA中,AD=BC,AB=CD,AC=CA,所以△ABC≌△CDA(SSS),所以∠DAC=∠BCA,∠ACD=∠BAC,因为在△AOB和△COD中,∠BAO=∠DCO,AB=CD,∠ABO=∠CDO,所以△AOB≌△COD(ASA),因为在△AOD和△COB中,∠ADB=∠DBC,AD=CB,∠DAC=∠BCA,所以△AOD≌△COB(ASA).答案:44.已知:如图,△AOC≌△BOD.试说明:△AOD≌△BOC.【解析】因为△AOC≌△BOD,所以OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD,即∠AOD=∠BOC,在△AOD和△BOC中,AO=BO,∠AOD=∠BOC,OD=OC,所以△AOD≌△BOC.5.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.试说明:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.【解析】在△ABF和△ACE中,AB=AC,∠BAF=∠CAE,AF=AE,所以△ABF≌△ACE(SAS),所以∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),所以BF=CE(全等三角形的对应边相等),因为AB=AC,AE=AF,所以BE=CF,在△BEP和△CFP中,∠BPE=∠CPF,∠PBE=∠PCF,BE=CF,所以△BEP≌△CFP(AAS),所以PB=PC,因为BF=CE,所以PE=PF,所以图中相等的线段为PE=PF,BE=CF,EC=BF.【知识归纳】(1)首先观察待判断的线段(角),存在于哪两个可能全等的三角形之中.(2)根据题目中已有的条件,对照全等判定的定理,分析采用哪条定理易判断这两个三角形全等,看还缺什么条件.(3)设法判断出所缺条件,此时应注意所缺条件可能存在于另外一对易判断的全等三角形中.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.试说明:BD=CE.【解析】因为BD,CE是高,所以∠ADB=∠AEC=90°,在△ABD和△ACE中,∠A=∠A.∠ADB=∠AEC,AB=AC,所以△ABD≌△ACE(AAS).所以BD=CE.【母题变式】[变式一]如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.试说明:BE=CD.【解析】因为BD,CE是高,所以∠ADB=∠AEC=90°,在△ABD和△ACE中,∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,AB=AC,所以△ABD≌△ACE(AAS),所以AD=AE.因为AB=AC,所以BE=CD.[变式二]如图,已知△ABC中,BD,CE是高,BD与CE相交于点O,若∠A=80°,求∠BOC的度数.【解析】因为BD,CE是高,所以∠ADB=∠AEC=90°在△ABC中,∠A=80°,所以∠ABD=90°-80°=10°,所以∠BOE=90°-10°=80°,所以∠BOC=180°-80°=100°.[变式一]如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.试说明:△BEO≌△CDO.【解析】因为BD,CE是高,所以∠ADB=∠AEC=90°,在△ABD和△ACE中,∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,AB=AC,所以△ABD≌△ACE(AAS),所以AD=AE.因为AB=AC,所以BE=CD.又因为∠BDC=∠BEC,∠BOE=∠COD,所以△BEO≌△CDO(AAS).[变式二]如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. 试说明:△BEC≌△CDB.【解析】因为BD,CE是高,所以∠ADB=∠AEC=90°,在△ABD和△ACE中,∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,AB=AC,所以△ABD≌△ACE(AAS),所以AD=AE,BD=CE,因为AB=AC,所以BE=CD.又因为BC=CB,所以△BEC≌△CDB(SSS).。

北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案

最新北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案最新七年级下册三角形全等的证明1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BEA B DCE 122、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。

求证：AF=CE。

F EA CDB3、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

AEDCB4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。

① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

E6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。

（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。

你添加的条件是：________ ___（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。

求证：EB=ED。

DA E CB8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。

求证：∠ACE=∠BDF。

AB CDEFO9、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

求证：BF⊥AC。

AE FDB C10、. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。

人教版第十一全等三角形的提高拓展训全等三角形经典题doc[1]

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． [要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲`板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．￥【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系DOECB ANEBMAD—【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系。

初一下册七年级下册数学全等三角形练习题

第讲学生：任课教师：辜老师年级：7年级全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：SAS,SSS,ASA,AAS,HL6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

【分类解析】（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CDD CE FAB（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD 和CE. 求证：CD=2CE(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、EDCBADCBABC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

鲁教版数学七年级下册10.1全等三角形习题及答案

鲁教版数学七年级下册10.1全等三角形习题及答案一、单选题1．如图，△ABD ≌△CDB ，下面四个结论中，不正确的是( )A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A ＋∠ABD ＝∠C ＋∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD ＝BC2.如图，ABC R t ∆沿直角边BC 所在的直线向右平移得到DEF ∆，下列结论中错误的是（）A.△ABC ≌△DEFB. ︒=∠90DEFC.DF AC =D.CF EC =3.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠一次，则图中全等三角形有（）A.2对B. 3对C. 4对D.5对4．如图，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E ，F 是DB 上两点且BF ＝DE ，若∠AEB ＝100°，∠ADB ＝30°，则∠BCF ＝( )A ．150°B ．40°C ．80°D ．70°5.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE ，AC=DF ，则△ABC ≌△DEF 的理由是（）A.SASB.ASAC.AASD.HL6.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB ＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是( )A、AD＝BCB、CD＝BFC、∠A＝∠CD、∠F＝∠CDE7．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD＝BC8．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（）A.25°B.27°C.30°D.45°9.如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（）A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（）A．6 B．8 C．4 D．1011.如图，在△ABC中，点E在边AC上，D E是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE 的周长为12，则线段AB的长为（）A ．9B ．8C ．7D ．612.如图，已知AB ＝AC ＝BD ，则∠1与∠2的关系是（）A ．3∠1﹣∠2＝180°B ．2∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．∠1＝2∠2二、填空题13.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3=________ ．14. 已知ABC DEF ∆∆≌，AC AB =，且ABC ∆的周长为22cm ，BC=4cm ，则DEF ∆的边=DE cm .15. 在△ABC 中，∠C=90°，BC=4cm ，∠BAC 的平分线交B C 于D ，且BD ︰DC=5︰3，则D 到AB 的距离为_____________.16．如图，已知△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，连接AO 并延长交BC 于D ，OH ⊥BC 于H ，若∠BAC ＝60°，OH ＝5 cm ，则∠BAD ＝_____________，点O 到AB 的距离为____________ cm.17．△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 是对应顶点，如果AB=8cm ，BD=•6cm ，AD=5cm ，则BC=________cm ．18．已知，如图，AD=AC ，BD=BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有对全等三角形．三、解答题19.如图，已知∠AOB=20°．（1）若射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，请你在图中画出所有符合要求的图形；（2）请根据（1）所画出的图形，求∠COD的度数．20．如图，AB＝DC，AD＝BC，DE＝BF.求证：BE＝DF.21. 在ABC∆中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.22．已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等（要求写出作法，并保留作图痕迹，写出结论）ONMBA23．（8分）已知： BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：△BEC ≌△DAE24．已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．25.如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？26.如图，已知CA ＝CD ，CB ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ，试说明△ACE ≌△DCB 的理由．27. 如图，四边形ABCD 中，E 点在AD 上，其中∠BAE ＝∠BCE ＝∠ACD ＝90°，且BC ＝CE ，求证：△ABC ≌△DEC ．BDF AAC BDE F28.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC，求证：DE⊥AB．29.如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．（1）求证：△AGE≌△AFC；（2）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD．30.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D、E分别是AB，AC上的不动点．且BD+CE＝BC，点P 是BC上的一动点．（1）当PC＝CE时（如图1），求∠DPE的度数；（2）若PC＝BD时（如图2），求∠DPE的度数还会与（1）的结果相同吗？若相同，请写出求解过程；若不相同，请说明理由．31.已知：如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：△ABC是等腰三角形．32.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．33.如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD 和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．参考答案一、单选题1-5 CDDDD 6-10 DCBBB 11-12 CA二、填空题13、 90°14. 915. 5.116． 30° 517． 518. 3三、解答题19、解：（1）如图1、如图2，OC （或OC ′）、OD （或OD ′）为所作；（2）如图1，∵OC ⊥OA ，OD ⊥OB ，∴∠BOD=∠AOC=90°，∴∠COD=360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°，∠COD ′=∠BOC ﹣∠AOC=90°+20°﹣90°=20°，如图2，同理可得∠COD=160°，∠COD ′=20°，∴∠COD=20°或160°．（2）如图1，由于OC ⊥OA ，OD ⊥OB ，则∠BOD=∠AOC=90°，于是利用周角的定义可计算出∠COD=160°，利用∠COD ′=∠BOC ﹣∠AOC 可得到∠COD ′=20°，如图2，同理可得∠COD=160°，∠COD ′=20°．20. 解：连接BD.∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CDB(SSS)，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴180°－∠ADB ＝180°－∠DBC ，∴∠BDE ＝∠DBF ，易证△BDE ≌△DBF(SAS)，∴BE ＝DF21.（1）证明①︒=∠+∠90BCE ACD Θ︒=∠+∠90ACD DAC BCE DAC ∠=∠∴ 又︒=∠=∠=90,BEC ADC BC AC CEB ADC ∆∆∴≌.②CEB ADC ∆∆≌ΘCE AD BE CD ==∴，BE AD CD CE DE +=+=∴.（2）CEB ADC ∆∆≌成立，BE AD DE +=不成立，此时应有BE AD DE -=.22．作∠BOA 的平分线交MN 于P 点，就是所求做的点。

2020春北师大七下数学-第11讲-全等三角形(二)-教师版

第11讲全等三角形（二）温故知新（一）三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

符号语言：已知△ABC与△DEF的三条边对应相等。

在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）（2）三角形的稳定性：由“SSS”结论可知，三角形三条边的长度确定了，三角形的大小和形状也就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。

（3）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

符号语言：如下图，已知∠D=∠E，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABD≌△ACE．证明：在△ABD和△ACE中，∠D=∠EAD=AE∠BAD＝∠CAE∴△ABD≌△ACE（ASA）智慧乐园知识要点一三角形全等的判定条件（二）（一）三角形全等的条件（1）三角形全等条件3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。

符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE证明：在△ACD和△ABE中．∠A=∠ADC=EB∴△ACD≌△ABE（AAS）．注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。

（2）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

符号语言：在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．注意：①应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。

（3）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”②“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。

完整word版)___版七年级下全等三角形专题训练

完整word版)___版七年级下全等三角形专题训练全等三角形讲义复巩固】1.判断三角形全等的条件有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL2.角边角和角角边的区别：角边角（SAS）：两个角和它们之间的边分别相等。

角角边（AAS）：两个角和它们对应的边分别相等。

3.判断三角形全等的一般思路：先找到两个相等的角或边，再找到一个能够对应的角或边，最后判断是否符合全等条件。

分组练】一。

分别指出对应顶点，对应角，对应边。

再完成练1.如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能说明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A。

∠A=∠DB.B。

BC=___.C。

∠ACB=∠FD.D。

AC=DF变式1：如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．证明：因为AC=DB，所以△ACB≌△DBA，又因为∠A=∠B，所以AB=BA，所以△ABC≌△DBA，又因为∠E=∠F，所以DE=DF，所以△ABC≌△DEF，所以DE=CF。

变式2：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．证明：因为C为AB中点，所以AC=CB，又因为CD∥BE，所以∠ACD=∠CBE，又因为CD=BE，所以△ACD≌△___。

2.如图，在△ABC和△BAD中，∠___∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A。

AC=BD.B。

∠___∠DBAC.C。

∠C=∠DD.D。

BC=AD变式1：如图，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA。

试说明：AC=BD。

证明：因为AD=BC，所以△ADB≌△BCA，又因为∠DAB=∠CBA，所以AB=AC，又因为AE与BD相交于点F，所以△AEB≌△DFB，又因为AD=BC，所以△AED≌△CFB，所以AC=BD。

变式2：如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD。

初中数学鲁教版七年级下册《1011 全等三角形》练习

《全等三角形》自主学习任务单（5）评测练习课题全等三角形课型新授课学习目标1．会根据基本事实证明“AAS”定理．2．灵活运用基本事实和定理判定两个三角形全等．3．对推理证明的要求进一步熟练和提高．目标分解达成目标设计学习形式评价方式预告时间预测一温故知新|知识储备及衔接填空：1．如图，已知△ABC≌△DEF，则可以得到如下结论：．2．如图，（1）如果AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠D，则证明△ABC≌△DEF，用到的方法是：；（2）如果AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则证明△ABC≌△DEF，用到的方法是：；（3）如果AB=DE，∠B=∠E，，则证明△ABC≌△DEF，用到的方法是：AAS；（4）如果AB=DE，AC=DF，，则证明△ABC≌△DEF，用到的方法是：SSS．独立思考完成——个别交流答案及知识点．5分钟二、小试锋芒|掌握定理的证明1．用符号语言表示另外两个基本事实：（1）∵∴△ABC≌△A'B'C'（SAS ）（2）∵∴△ABC≌△A'B'C'（ASA ）2．证明命题：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．符号语言：独立思考——师引领步骤——独立完成——集体展示交流思路．1分钟三思维独立思考完成，第7分钟ACBDFEACBA’C’B’DAB COEBCDAO加油站|巩固判定方法1．如图，线段AB与CD相交于点O．判断下面的命题是否正确，并说明理由．如果AC=BD，AO=DO，那么△AOC≌△DOB．2．已知，如图，AE和CD相交于点O ，∠ADO=∠CEO=90O．要证明△AOD≌△COE ，只需再添加一个条件= ，依据是；或= ，依据是；或= ，依据是．1题个别交流，3题同桌交流，统计掌握情况．四、宝剑锋从磨砺出|灵活运用知识如图，已知AO=DO，∠C=∠B，请你设计本题的问题并给出严谨的证明．个体思考，尝试——学生小组交流，补充——教师引领总结．1分钟五、思维加油站|综合运用1．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AD．求证：AC平分∠BCD．第一、二两题在独立思考的基础上小组交流，第3题学生小组合作交流探索．8分钟DABCODABC2．已知：如图，AC=BC，AC⊥BC，过点C任意画一条与AB不平行的直线a，分别过点A、B向直线a作垂线，垂足分别是E、F．求证：EF=AE+BF．3．变式：（快手园地）已知：如图，若过点C的直线a与AB交于点D，其余条件不变，请你在图中画出图形，探索此时A E，BF，EF 之间的数量关系并证明．盘点收获1．你认为自己这节课的参与程度怎么样？（1）非常积极（2）一般（3）不积极，原因是什么？2．你认为自己这节课在知识和习惯方面最大的收获是什么？在解题方法和解题思路方面最大的收获是什么？3．在解决问题的过程中，你有什么要提醒大家注意的地方？同桌交流——班级交流5分钟作业布置1．必做：课本随堂练习1、2知识技能12．选作：已知：如图，线段AB与CD相交于点O ，AC=BD，AB=DC．求证：△AOC≌△DOB．AaE BCFaDABCEFBCDAO当堂检测：1．如图，线段AB 与CD 相交于点O ，已知AC =BD ，AB =DC ．求证：△AOC ≌△DOB ．2．（选作）延长CA 与BD 交于点E ，如果EB=EC ，AC=DB ，试说明C B ∠=∠.D A BC O EBC D A O。

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1
名师堂学校方法讲义
第十一讲全等三角形能力训练（七年级下）
姓名：_______ 自我评价：______
1、已知：如图，AD∥BC，CB
AD=，CF
AE=。

求证：CEB
AFD∆
≅
∆。

2、已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AC
AB=，C
B∠
=
∠。

求证：CE
BD=。

3、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB
AC=，DF
AE=，AD
EA⊥，
AD
FD⊥，垂足分别是A、D。

求证：FDC
EAB∆
≅
∆。

4、已知：如图，AC
AB=，AE
AD=，2
1∠
=
∠。

求证：ACE
ABD∆
≅
∆。

5、已知：如图，2
1∠
=
∠，4
3∠
=
∠。

求证：AD
AC=。

6、已知：如图，点E、F在BC上，CF
BE=，DC
AB=，C
B∠
=
∠。

求证：DE
AF=。

7、已知：如图，ABC
∆是一个钢架，AC
AB=，AD是连结点A与BC中点的支架。

求证：BC
AD⊥。

8、已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，DE
AB=，DF
AC=，CF
BE=。

求证：D
A∠
=
∠。

9、已知：如图，DBA
CAB∠
=
∠，BD
AC=。

AO等于BO吗？说明你判断的理由。

2
10、已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，DC AB =，DB AC =。

求证：C B ∠=∠。

11、如图所示，有一直角三角形△ABC ，∠C=900，AC=10cm ，BC=5cm ，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△APQ 全等。

12、如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？
13、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的。

14、如图1，A 、E 、F 、C 在同一条直线上，AE=CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，试说明BD 平分EF ；若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动变为图2时，其余条件不变，BD 是否还平分EF ，请说明理由。

15、如图，在△ABC 中，∠B ＝90º、AB=BC 、BD=CE ，M 是AC 边上的中点，试说明：△DEM 是等
腰三角形。

16、如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

（通过本专题的复习，你有什么收获？继续努力吧！相信今天的努力，可以换来明天的欢笑！）
Q
P。