备战2018年中考数学《与圆有关的位置关系》专题练习含答案
2018届初三数学中考复习 与圆有关的位置关系 专项复习综合训练 含答案
2018届初三数学中考复习与圆有关的位置关系专项复习综合训练1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是( )A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外2. 在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( ) A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴，与y轴都相切3. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是点D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( )A．9 B．10 C．12 D．144. 如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.65. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sin E的值为( )A.12B.32C.22D.336. 已知⊙O 的半径为2，直径l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交7. 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2 B ．22－2 C ．2－ 2 D.2－28. 给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线的是圆的切线．其中正确的说法个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°10. 如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D.过点C 作CF∥AB，在CF 上取一点E ，使DE ＝CD ，连接AE.对于下列结论：①AD＝DC ；②△CBA∽△CDE；③BD ︵＝AD ︵；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是( )A ．①②B ．①②③C ．①④D ．①②④11. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3 cm 和5 cm ，则AB 的长为________cm.12. ⊙O 的半径r ＝5 cm ，圆心到l 的距离OM ＝4 cm ，在直线l 上有一点P ，且PM ＝3 cm ，则点P 在⊙O________.13. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是________．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C＝20°，则∠CDA＝____．15. ⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为________．16. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠ACB ＝60°，AB ＝3，点D 为BA 延长线上的一点，且∠D ＝∠ACB ，⊙O 为△ACD 的外接圆．(1)求BC的长；(2)求⊙O的半径．参考答案：1—10 AADBA DBBCD11. 812. 上13. 相交14. 125°15. 416. (1)如图所示，过点A 作AE⊥BC 于点E ，则∠AEB＝∠AEC＝90°.在Rt △ABE 中，∵sin B ＝AE AB ，∴AE ＝AB·sin B ＝32·sin 45°＝32×22＝3，∵∠B ＝45°，∴∠BAE ＝45°，∴BE ＝AE ＝3.在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACB ＝AE EC ，∴EC ＝AE tan ∠ACB ＝3tan 60°＝33＝3，∴BC ＝3＋ 3.(2)如图所示，连结AO 并延长到⊙O 上一点M ，连结CM.由(1)可得，在Rt △ACE 中，∠EAC ＝30°，EC ＝3， ∴AC ＝23，∵∠D ＝∠M＝60°，∴sin M ＝sin 60°＝AC AM ＝23AM ＝32，解得AM ＝4，∴⊙O 的半径为2.。
2018中考数学试题分类汇编考点29与园有关的位置关系 答案
2018中考数学试题分类汇编：考点29 与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN 取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．3．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m （m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．三．解答题（共4小题）17．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠A BD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．20．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD=∠DBO ，∴∠EBD=∠BDO ，∴DO ∥BE ，∵DE ⊥BC ，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BE ，DF ⊥AB ， ∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin ∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．。
知识点34 与圆有关的位置关系2018-2019领军中考数学(原卷版)
专题三十四 与圆有关的位置关系瞄准中考一、选择题1. （2018浙江嘉兴，6，3）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A ．点在圆内.B ．点在圆上.C ．点在圆心上.D ．点在圆上或圆内.2. (2018湖南湘西州，18，4分)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，C D ＝8，则弦AC 的长为( )A ．10B ．8 C． D．3. (2018湖南湘西州，15，4分) 已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4.（2018江苏常州，7，2）如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB =52，则∠NOA 的度数为（ ）A ．760B ．560C ．540D ．520第18题图5.（2018上海，6，4分）如图1，己知∠POQ =30°，点A 、B 在射线OQ 上(点A 在点O 、B 之间)，半径为2的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是（ ）A ．5 < OB < 9 B ．4 < OB < 9C ． 3 < OB <7D ．2 < OB < 7考点（知识点）讲解考点一、圆的相关概念 （3分）1、圆的定义在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （3分）（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB ）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD ）图1PQ直径等于半径的2倍。
通用版2018年中考数学总复习 专题检测20 与圆有关的位置关系试题 新版新人教版
专题检测20 与圆有关的位置关系(时间90分钟满分100分)一、选择题(每小题3分,共36分)1.若☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,则点A与☉O的位置关系是(A)A.点A在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.不能确定2.已知半径为5的圆,其圆心到直线的距离是3,此时该直线和圆的位置关系为(C)A.相离B.相切C.相交D.无法确定3.下列命题正确的有(B)①过两点可以作无数个圆;②经过三点一定可以作圆;③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;④任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交☉O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°,则∠OAC为(B)A.20°B.25°C.30°D.40°〚导学号92034202〛(第4题图)(第5题图)5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4 cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是(B)A.相离B.相切C.相交D.相切或相交6.如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切☉O于点B,则PB的最小值是(B)A. B. C.3 D.2(第6题图)(第7题图)7.如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC的度数为(C)A.40°B.50°C.80°D.100°8.如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为(B)A.2.3B.2.4C.2.5D.2.6(第8题图)(第9题图)9.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠BAC=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是(B)A.25°B.40°C.50°D.65°10.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是(B)A.B.1 C.2 D.11.如图,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P与☉O相切的直线,其作法如下.甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.乙:过点A作直线MN⊥OP:以点O为圆心,OP为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP 即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是(C)A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.两人都正确D.两人都错误〚导学号92034203〛12.如图,在等边三角形ABC中,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于D,E两点,F是AC上的点,则下列说法错误的是(C)A.若EF⊥AC,则EF是☉O的切线B.若EF是☉O的切线,则EF⊥ACC.若BE=EC,则AC是☉O的切线D.若BE=EC,则AC是☉O的切线二、填空题(每小题6分,共24分)13.△ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,∠A=75°,∠B=45°,则圆心角∠EOF=120°.(第13题图)(第14题图)14.如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C=45度.15.如图(1),PT与☉O1相切于点T,PB与☉O1相交于A,B两点,可证明△PTA∽△PBT,从而有PT2=PA·PB.请应用以上结论解决下列问题:如图(2),PB,PD分别与☉O2相交于A,B,C,D四点,已知PA=2,PB=7,PC=3,则CD=.图(1)图(2)16.如图,圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆O n与直线y=x相切,设半圆O1、半圆O2、…、半圆O n的半径分别是r1,r2,…,r n,则当r1=1时,r2 017=32 016.三、解答题(共40分)17.(13分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为的中点.(1)求证:AB=BC.(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.(1)证明∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OCB=∠A.∴AB=BC.(2)解四边形BOCD为菱形,理由如下:连接OD交BC于点M,∵D是的中点,∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD.∴OM=MD.∴四边形BOCD为菱形.〚导学号92034203〛18.(13分)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.(1)求证:AD是☉O的切线;的半径为5,CE=2,求EF的长.(1)证明∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,即∠BAF+∠FAC=90°;∵∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF,是☉O的切线.(2)解∵∠FAC=∠AOD,∠ACO=∠ACO,∴==,即==,解得CA=,AE=.∵CE=2,BC=10,∴BE=8.连接BF,∵∠EAC=∠EBF,∠AEC=∠BEF,∴△CAE∽△FBE,∴=,即=,∴EF=.19.(14分)如图,已知:AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一点,CE 交☉O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数.②若☉O(1)是☉O的切线平分-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.如图,过点O作OG⊥CE,可得FG=CG.在Rt△OGC中,OC=2,∠OCE=45°,∴OG=CG=OCsin 45°=2×=2.∴FG=CG=2.在Rt△OGE中,OG=2,∠E=30°,∴EG===2.∴EF=EG-FG=2-2.。
2018年中考数学试题分类汇编 知识点34 与圆有关的位置关系
知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）【答案】D【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （2018四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ． 【知识点】圆与圆的位置关系3. （2018江苏无锡，8，3分） 如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O 相切.其中正确说法的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2 B．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODCOB=，即42DC=．∴DC【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2018四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=×=1.所以边心距为1.【知识点】正多边形和圆1. （2018湖北鄂州，8，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O 的直径，OP与AB相交于点D，连接BC．下列结论：①∠APB＝2∠BAC；②OP∥BC；③若tanC＝3，则OP＝5BC；④AC2＝4OD·OP．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A．【思路分析】利用切线长定理证明Rt△APO≌Rt△BPO，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP＝∠C，得到OP∥用勾股定理和∠AOP＝∠C，可证得OP＝5BC BC=，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相，再通过等量代换可证得AC2＝4OD·OP，故④正确．的切线，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°，则在Rt△APO 和Rt△BPO中，∵OA OBAP BP==⎧⎨⎩，∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL），∴∠APB＝2∠APO＝2∠BPO，∠AOE＝∠BOE，∴∠AOP＝∠C，∴OP∥BC，故②正确；∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＋∠AOP＝90°，即∠C＋∠APO＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠APO＝2∠BAC，故①正确；∵tanC＝3，∴tan∠AOP＝3，则在Rt△ABC中，3ABBC=，则AB＝3BC，故AC＝=，在Rt△BPO中，3APAO=，则AP＝3OA，故OP＝11522AC BC====，故③正确；∵OA＝OC，OP∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝12BC，BC＝2OD，在△ABC和△P AO中，∵∠OAP＝∠ABC＝90°，∠AOP＝∠C，∴△ABC∽△PAO，∴AC BCOP OA=，∴212AC ODOPAC=，∴4AC ODOP AC=，∴AC2＝4OD·OP，故④正确．故选A．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2.（2018·重庆A卷，9，4）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．．3 D．2.5【答案】A．【解析】如下图，连接OD．∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （2018河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O 上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A．30° B．35° C.40° D．45°【答案】D【解析】∵直线AB 是O 的切线，C 为切点，∴∠OCB =90°，∵//OD AB ，∴∠COD =90°，∴∠CED =45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （2018广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =,则光盘的直径是( )A ．3B ．C ． 6D ． 【答案】D ．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO ＝∠OAB ，从而求出∠BAO 的度数，再在Rt △OAB 中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O ，设另一个切点为点C ，连接OA 、OB 、OC ，则由切线长定理可得，∠CAO ＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OB AB，即t a n603OB =︒=解得OB ＝故直径为．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（2018湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3- 【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ， ∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）. 故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ， ∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质 二、填空题1. （2018四川内江，24，6） 已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b ，则△ABC的外接圆半径＝ ． 【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋2－＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋)22＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，)22≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD 4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R-，解得R＝258．BCODA【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （2018安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB ， ∴∠AOD=12∠AOB=30°， 同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°， 故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦C D A B ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③O C F O E C ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， ∴BC BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ， ∴OCFOEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （2018江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°. 【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =22°，∴∠AOB =136°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠COB =46°，∵CB 是⊙O 的切线，OBC =90°，∴∠OCB =90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （2018江苏泰州，16，3分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，P 为线段A′B′上的动点，以点P 为圆心、PA '长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 .【答案】15625或10213【解析】设⊙P的半径为r，∵∠ACB=90°，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，∴∠A′EB=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（2018山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE ≌△EB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （2018四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》 中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为1,若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，S= .(结 果保留根号）【答案】【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC 为等边三角形，∴BH OH tan ∠BOH ，∴,∴S=121×12【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （2018浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC ＝40°，则∠BOD 的度数是 ．【答案】70°【解析】∵⊙O 内切于△ABC ，∴OB 平分∠ABC ．∵∠ABC ＝40°，∴∠OBD ＝20°．∴∠BOD ＝70°．故填70°. 【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2018宁波市，17题，4分） 如图，正方形ABCD 的边长为8,M 是AB 的中点,P 是BC 边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P与DC相切时，如图（1）所示，设BP=x，则PC=8-x;∵DC于圆相切，∴PC=PM又∵M是AB中点∴BM=4在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2∴x2+42=(8-x)2∴解得：x=3∴BP=3(2)如图（2）所有当⊙P与DA相切时过点P作PE⊥AD,交AD与点E∵⊙P与DA相切与点E∴EP=MP=8题图）图1在Rt △BMP 中，根据勾股定理可得 ∵BM 2+BP 2=MP 2∴BP=综上所述：BP 的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10. （2018浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm，小正六边形的面积为2cm 2，则该圆的半径为cm.【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O 连接OP,OA,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB 中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8 【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x ，得32494362=⨯x ，得x=337所以再利用四边形OCPD 为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB 中解三角形，过点P 作PH ⊥OB 因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP ,PH=235,所以在△OPH 中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8图2【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。
2018年中考数学总复习 第六单元 圆 专题20 与圆有关的位置关系试题 新人教版 Word版 含答案
专题20与圆有关的位置关系2016~2018详解详析第27页A组基础巩固1.(2017海南临高二中模拟,12,3分)已知☉O的半径是4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是(A)A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.不能确定2.(2017山东聊城阳谷一模,7,3分)已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长为4 cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是(A)A.相离B.相切C.相交D.不能确定3.(2016云南曲靖一模,7,3分)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E且分别交PA,PB于点C,D,若PA=4,则△PCD的周长为(C)A.5B.7C.8D.104.(2016湖南株洲十五中月考,16,3分)Rt△ABC中两条直角边分别为6 cm,8 cm,则外接圆半径为5 cm.5.(2016江西临川一模,10)如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°,则∠B=60°.6.(2017山东滨州邹平模拟,23,10分)已知直线l与☉O,AB是☉O的直径,AD⊥l于点D.(1)如图①,当直线l与☉O相切于点C时,求证:AC平分∠DAB;(2)如图②,当直线l与☉O相交于点E,F时,求证:∠DAE=∠BAF.图①图②证明略.〚导学号92034086〛B组能力提升1.(2017山东临沂模拟,11,3分)以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,与坐标轴恰好有三个交点,则r 应满足(A)A.r=2或B.r=2C.r=D.2≤r≤2.(2017天津西青期末,17,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为1或5.〚导学号92034087〛C组综合创新(2017甘肃庆阳长庆期末,10,13分)如图,已知AB是☉O的直径,AD切☉O于点A,点C是的中点,则下列结论:①OC∥AE;②EC=BC;③∠DAE=∠ABE;④AC⊥OE,其中正确的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个。
【精品】2018版中考数学：5.3-与圆有关的位置关系(含答案)(1)
§5.3与圆有关的位置关系A 组2018年全国中考题组一、选择题1．(2018·浙江衢州，10，3分)如图，已知等腰△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是A ．3B ．4C.256D.258解析连结DB ，OD 易得DE ⊥BC ，△CDE ∽△ABD ，利用对应线段的比相等，可求得直径AB ，再求得半径．答案D2．(2018·湖北宜昌，11，3分)如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm 2解析由题意得：BC ，AC 分别是⊙O 的切线，B ，A 为切点，∴OA ⊥CA ，OB ⊥BC .又∵∠C＝90°，OA ＝OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∴OA ＝AC ＝4，故A ，B 正确；∴AB ︵的长度为：90·4π180＝2π，故C 错误；S 扇形OAB ＝90·π·42360＝4π，故D 正确．答案C3．(2018·四川泸州，8，3分)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为()A ．65°B ．130°C ．50°D ．100°解析∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB ＝2∠C＝130°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.答案C4．(2018·福建漳州，9，4分)已知⊙P的半径为2，圆心在函数y＝－8x的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为()A．0B．1C．2D．4解析根据题意可知，当⊙P与y轴相切于点D时，得x＝±2.把x＝±2代入y＝－8x得y＝±4，∴D(0，4)，(0，－4)；当⊙P与x轴相切于点D时，得y＝±2.把y＝±2代入y＝－8x得x＝±4，∴D(4，0)，(－4，0)，∴符合条件的点D的个数为4.答案D二、填空题5．(2018·浙江绍兴，14，5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB.若PB＝4，则P A的长为________．解析连结CP，延长PB交⊙C于P′，连结P′A，如图．∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，∴CB2＋PB2＝CP2，∴△CPB为直角三角形，∠CBP＝90°，∴CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠C＝90°，∴PB∥AC，而PB ＝AC＝4，∴四边形ACBP为矩形，∴P A＝BC＝3，在Rt△APP′中，∵PA＝3.PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73，∴P A的长为3或73.答案3或73三、解答题6．★(2018·浙江温州，21，10分)如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF＝135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝22，求DE的长．(1)证明连结OF，∵DF切半圆O于点F，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四边形ABFE为圆内接四边形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB.。
中考数学压轴题考点训练圆的有关位置关系试题及答案解析
中考数学压轴题考点训练圆的有关位置关系【考点 1】点与圆的位置关系【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上D．点在圆上或圆内【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选 D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.【变式1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，O A为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【答案】A【解析】试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点 E、F、G 在圆内，点 H 在圆外.考点：点与圆的位置关系【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB= =，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，∴时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内．故选 B．考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题．【考点 2】直线与圆的位置关系【例 2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线 y=kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移 m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点），则 m 的取值范围为_．【答案】0<m ＜ 132 【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线 y=kx 得，﹣5=12k ，∴k=﹣ 5 ；12 由 y=﹣ 5 x 平移 m （m ＞0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y=﹣ 5 x+m （m 12 12＞0），设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 、B ，（如图所示）当 x=0 时，y=m ；当 y=0 时，x=12 m ， 5 ∴A （ 12 m ，0），B （0，m ），5 即 OA= 12 m ，OB=m ，5在 Rt△OAB 中，过点 O 作 OD⊥AB 于 D ，∵S △ABO = 1 OD•AB= 1 OA•OB，= 13 m ， 5 2 2∴ 1 OD• 13 m = 1 × 12 m×m，2 5 2 5∵m＞0，解得 OD= 12 m，13由直线与圆的位置关系可知12 m ＜6，解得 m＜13 ，13 2故答案为 0<m＜13 .2【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含 m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.【变式2-1】（2019·广东中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为（）A．0 条B．1 条C．2 条D．无数条【答案】C【解析】【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析 P 可作⊙O 的切线条数即可解答.【详解】解：因为点 P 到 O 的距离为 2，大于半径 1，所以点 P 在圆外，所以，过点 P 可作⊙O 的切线有 2 条；故选 C.13 13 12 2 +182 13 AC 2 + CD 2 【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.【变式 2-2】（2019·浙江中考真题）如图， Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 12，点 D 在边 BC 上，CD = 5 ，BD = 13 .点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的圆 P 与∆ABC 的一边相切时，AP 的长为 .【答案】13 或3 2 【解析】【分析】根据勾股定理得到 AB == 6 ， AD == 13，当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H ，则 PH=6，当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴ AB = = 6 ，在 Rt△ADC 中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴ AD = = 13，当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H ，则 PH=6，122 +182 AC 2 + CD 26 13 13∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴ PD ＝ PH ，DA AC ∴PD = 6 ， 13 12 ∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，过 P 作 PG⊥AB 于 G ，则 PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴ AP ＝ PG ，AB AC ∴ AP = 6 ， 12∴AP=3 ，13 13 ∵CD=5＜6，∴半径为 6 的⊙P 不与△ABC 的 AC 边相切，综上所述，AP 的长为 6.5 或 3 ，故答案为 6.5 或 3 ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．【考点 3】切线的判定与性质的应用【例 3】（2019·湖北中考真题）如图， ∆ABC 中， AB = AC ，以 AC 为直径的⊙ O 交 BC 于点D ，点E 为C 延长线上一点，且∠CDE = 1 ∠BAC ．2（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB = 3BD , CE = 2 ，求⊙ O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）7【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC = 90 ，按照等腰三角形的性质和已知的2 倍角关系，证明 ∠ODE 为直角即可；（2）通过证得∆CDE ~ ∆DAE ，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD, AD ，AC 是直径，∴∠ADC = 90︒，∴AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD =1∠BAC ，2∠CDE =1∠BAC ．2∴∠CDE =∠CAD，OA =OD ，∴∠CAD =∠ADO ，∠ADO +∠ODC = 90︒，∴∠ODC +∠CDE = 90︒∴∠QDF = 90︒又 OD 是⊙ O 的半径∴DE 是⊙ O 的切线；（2） AB =AC, AD ⊥BC ，∴BD =CD ，2 2x AB =3BD ，∴AC = 3DC ，设DC =x ，则AC = 3x ，∴AD = = 2 2x，∠CDE =∠CAD, ∠DEC =∠AED ，∴∆CDE'~ ∆DAE ，∴CE=DC=DE ，即 2 =x=DE DE AD AE DE 3x + 2∴DE = 4 2, x =14 ，3∴AC = 3x = 14 ，∴⊙ O 的半径为7 ．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以 AD 为直径的⊙O 与边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且AG ＝EG ，连接 GO 并延长交⊙O 于点 F，连接 BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF 是⊙O 的切线．（2）若 BD＝6，求图形中阴影部分的面积．AC2 - DC2【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S 阴影＝27 3- 6π．2【解析】【分析】（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；②先判断出△AOG 是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出 OB＝2BE，建立方程 6+r＝2r，继而求出 AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE 是等边三角形，得出 GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出 CE＝3【详解】，即可得出结论．解：（1）证明：①如图 1，连接 OE，∵⊙O 与 BC 相切于点 E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，3∵AG ＝EG，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG 是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△O FB≌△OE B（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线；（2）如图 2，连接 GE，62 - 32 3 3 27 3∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE ，设⊙O 的半径为 r ，∵OB＝OD+BD ，∴6+r＝2r ，∴r＝6，∴AG＝OA ＝6，AB ＝2r+BD ＝18，∴AC＝ 1 AB ＝9，∴CG＝AC ﹣AG ＝3，2由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE ，∴△OGE 是等边三角形，∴GE＝OE ＝6，根据勾股定理得，CE= = 3 ，∴S ＝S ﹣S ＝ 1 （6+3）× - 60π• 62 = - π． 阴影【点睛】梯形 GCEO 扇形 OGE 2 3 6 360 2 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性 GE 2 - CG 2质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O 的半径是解本题的关键．【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，在Rt ABC 中，∠ACB＝90︒，D 为AB的中点，以CD 为直径O 的分别交AC，BC 于点E，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G .(1)试判断FG 与O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC＝3，CD＝2.5 求FG 的长．【答案】（1）FG与【解析】【分析】O相切，理由见解析；（2）FG=6.5(1)如图，连接OF ，根据直角三角形的性质得到CD＝BD ，得到∠DBC＝∠DCB ，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF ，得到∠OFC＝∠DBC ，推出∠OFG＝90︒，于是得到结论；(2)连接DF ，根据勾股定理得到BC =据三角函数的定义即可得到结论．【详解】= 4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90︒，根（1）相FG与O 切，理由：如图，连接OF ，AB2 -AC2∠ACB ＝90︒，D 为 AB 的中点，∴CD ＝BD∴∠DBC ＝∠DCBOF ＝OC∴∠OFC ＝∠OCF∴∠OFC ＝∠DBC∴OF / / DB∴∠OFG + ∠DGF ＝180︒，FG ⊥ AB∴∠DGF ＝90︒，∴∠OFG ＝90︒∴ F G 与 O 相切；(2)连接 D F ，CD ＝2.5∴ AB ＝2CD ＝5BC == 4CD 为 O 的直径，∴∠DFC ＝90︒，∴ FD ⊥ BCDB ＝DC∴ BF = 1 BC = 22sin ∠ABC = AC = FG ABFB即 3 = FG ，5 2 ∴ FG =6 .5【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式 3-2】（2019·甘肃中考真题）如图，在 Rt ∆ABC 中， ∠C ＝90︒ ，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，切线 DE 交 AC 于点 E ．（1）求证： ∠A ＝∠ADE ；（2）若 AD ＝8，DE ＝5 ，求 BC 的长．【答案】（1）见解析；（2） BC = 152【解析】【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）首先证明 AC=2DE=10，在 Rt△ADC 中，DC=6，设 BD=x ，在 Rt△BDC 中，BC 2=x 2+62，在 Rt △A BC 中，BC 2=（x+8）2-102，可得 x 2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OD ，DE 是切线，∴∠ODE＝90︒，∴∠ADE +∠BDO＝90︒，∠ACB＝90︒，∴∠A +∠B＝90︒，OD＝OB ，∴∠B＝∠BDO ，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD ．∠ADE＝∠A，∴AE＝DE ，BC 是⊙ O 的直径，∠ACB＝90︒，∴EC 是⊙ O 的切线，∴ED＝EC ，∴AE＝EC ，DE＝5，∴AC＝2DE＝10 ，在Rt∆ADC 中，DC＝6 ，设 BD ＝x ，在 Rt ∆BDC 中， BC 2＝x 2 + 62 ，在 Rt ∆ABC 中， BC 2＝（x + 8）2﹣102 ，∴ x 2 + 62＝（x + 8）2﹣102 ，解得 x = 9， 2∴ BC =【点睛】= 15 2 本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点 4】三角形的内切圆与切线长定理【例 4】（2019·江苏中考真题）如图，PA 、PB 是 O 的切线，A 、B 为切点，点 C 、D 在⊙O 上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_°．【答案】219【解析】【分析】连接 AB ，根据切线的性质得到 PA ＝PB ，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝ 12（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．【详解】解：连接 AB ，∵PA、PB 是⊙O 的切线，62 + ⎛ 9 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎪∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝1 （180°−102°）＝39°，2∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为：219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式4-1】（2019·山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(L e o n h a r d E u l e r)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr.如图 1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与 AB 相切分于点 F，设⊙O 的半径为 R，⊙I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI＝d，则有 d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长 AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，5 ∴△MDI∽△ANI，∴IM = ID ， IA IN ∴ IA ⋅ ID = IM ⋅ IN ①，如图 2，在图 1(隐去 MD ，AN)的基础上作⊙O 的直径 DE ，连接 BE ，BD ，BI ，IF ，∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I 与 AB 相切于点 F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IA = IF ，∴ IA ⋅ BD = DE ⋅ IF ②， DE BD 任务：(1)观察发现： IM = R + d ， IN =(用含 R ，d 的代数式表示)；(2)请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为 5cm ，内切圆的半径为 2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.【答案】(1)R-d ；(2)BD=ID ，理由见解析；(3)见解析；(4) .【解析】【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得 BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可．【详解】(1)∵O、I、N 三点共线，∴OI+IN＝ON，∴I N＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为：R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵点 I 是△ABC 的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又IA⋅ID =IM ⋅IN ，IA ⋅BD =DE ⋅IF ，∴DE·IF=IM·IN，∴ 2Rr = (R +d )(R -d )，∴ R2 -d 2 = 2Rr55∴ d 2 =R2 - 2Rr ；(4)由(3)知：d 2 =R2 - 2Rr ，把 R=5，r=2 代入得：d 2 = 52 - 2 ⨯ 5⨯ 2 = 5 ，∵d>0，∴d =，故答案为：.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.【变式4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在△A BC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3．（1）求 CE 的长；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．（3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离．【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△A BC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为5 ．2【解析】【分析】（1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；（2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明△ACD≌△FBD，从而得到AC=BF，∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得 R= 25 ，则 PD= 7 ，再利用6 6面积法求出 r= 4 ，即 QD= 4 ，然后计算 PD+QD 即可．3 3【详解】（1）解：∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，又∵BD=CD，∴△ACD≌△FBD，∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，又∵∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠BFD，∴BA=BF,∴AB=AC,∴△ABC 为等腰三角形．32 42（3）如图，连接 BP 、BQ 、CQ ，在 Rt△ABD 中，AB= =5，设⊙P 的半径为 R ，⊙Q 的半径为 r ，在 Rt △PBD 中，（R-3）2+42=R 2，解得 R=25 ， 6∴PD=PA -AD= 25 -3= 7 ，6 6 ∵S △ABQ +S △BCQ +S △ACQ =S △ABC ，∴ 1 ×r×5+ 1 ×r×8+ 1 ×r×5= 1 ×3×8，解得 r= 4 ，2 2 2 23 即 QD=4 ，3 ∴PQ=PD+QD= 7 +4 =5 ．6 3 2 答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 ．2点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为 A、B，PO交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD D．AB 平分 PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到 PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，由此可判断 D 不一定成立．【详解】∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴PA＝PB，所以 A 成立；∠BPD＝∠APD，所以 B 成立；∴AB⊥PD，所以 C 成立；∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴AB⊥PD，且 AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立，故选 D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.一、单选题1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则O 的半径为（）A．2【答案】A【解析】【分析】B．3 C．4 D．4 -连接AO ，OE ，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.【详解】设O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE ，∵等边三角形ABC 的边长为 8，∴ AC = 8，∠C =∠BAC = 60︒，∵圆分别与边AB ，AC 相切，∴ ∠BAO =∠CAO =1∠BAC = 30︒，2∴ ∠AOC = 90︒，3 33 3 ∴ OC = 1 AC = 4， 2∵ OE ⊥ AC ，∴ OE =3 OC = 2 ， 2∴ O 的半径为2 ，故选：A ．【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.2．（2019·黑龙江中考真题）如图，PA . PB 分别与O 相切于 A . B 两点，点C 为 O 上一点，连接 AC . BC ，若∠P = 50︒ ，则∠ACB 的度数为（ ）.A ． 60︒；B ． 75︒；C ． 70︒；D ． 65︒.【答案】D【解析】【分析】连接OA . OB ，由切线的性质可知∠OAP = ∠OBP = 90︒，由四边形内角和可求出∠AOB 的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知∠ACB 的度数.【详解】解：连接OA. O B ，∵PA . PB 分别与O 相切于A .B 两点，∴ OA ⊥PA，OB ⊥PB ，∴ ∠OAP =∠OBP = 90︒，∴ ∠AOB = 180︒-∠P = 180︒- 50︒= 130︒，∴ ∠ACB =1 ∠AOB =1 ⨯130︒= 65︒．2 2故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键. 3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点 A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】D【解析】【分析】连接 OB，CB 与⊙O 相切于点 B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB 的度数，然后用三角形内角和求出∠C 的度数即可．【详解】解：如图：连接 OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB 与⊙O 相切于点 B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选：D．【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键．4．（2019·江苏中考真题）如图，AB为O的切线，切点为A ，连接AO、BO，BO与O交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若∠ABO = 36o ，则∠ADC 的度数为( )A．54o B．36o C．32o D．27o【答案】D【解析】【分析】由切线性质得到∠AOB ，再由等腰三角形性质得到∠OAD =∠ODA，然后用三角形外角性质得出∠ADC【详解】切线性质得到∠BAO = 90o∴∠AOB = 90o - 36o = 54oQ OD =OA∴∠OAD =∠ODAQ ∠AOB =∠OAD +∠ODA∴∠ADC =∠ADO = 27o故选 D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB．若∠C =110︒，则∠ABC 的度数等于（）A．55︒B．60︒C．65︒D．70︒【答案】A【解析】【分析】连接 AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠A CB、∠CAB，计算即可．【详解】连接 AC，∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，∵ DC CB ，∴∠CAB= 1 ∠DAB=35°，2∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选 A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30°，切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（）2 3 3 A ．2B ． 【答案】B【解析】【分析】C ．D ． 12连接 OA ，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值.【详解】连接 OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA 是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC = PA ,OA∴PA= tan60°×1= .故选 B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.7．（2019·湖南中考真题）如图，边长为2 的等边 ABC 的内切圆的半径为( )33A ．1B ． 【答案】A【解析】【分析】C ．2D ． 2连接 AO 、CO ，CO 的延长线交 AB 于 H ，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= 1 2AB=3，然后利用正切的定义计算出 OH 即可． 【详解】设∆ABC 的内心为 O ，连接 AO 、BO ，CO 的延长线交 AB 于 H ，如图，∵ ∆ABC 为等边三角形，∴CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，∵ ∆ABC 为等边三角形，∴ ∠CAB = 60︒ ， CH ⊥ AB ，∴ ∠OAH = 30︒ ， AH = BH = 1 AB = 3 ，2 在Rt ∆AOH 中，∵ tan ∠OAH =OH = tan 30 ︒ ， AH∴ OH =3 ⨯ = 1， 3即∆ABC 内切圆的半径为1．故选 A ．3 3【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．8．（2019·山东中考真题）如图,O 的直径A B =2,点D 在A B 的延长线上,D C 与O 相切于点 C ,连接A C .若∠A =30°,则C D 长为()A． 1 B ． 3 3 【答案】D【解析】【分析】C ． 2 3D ． 3先连接 BC ，OC ，由于 AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA ，又 DC 是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D ，再由切线的性质可得∠BCD =∠A=30°，∠O CD=90°，易得 OD ，由勾股定理可得 CD ．【详解】如图所示，连接 BC ，OC ，3 322 -12 3∵AB 是直径,∴∠BCA=90°，又∵∠A=30°，∴∠CBA=90°−30°=60°，∵DC 是切线，∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，∵AB=2，∴OC=1，∴OD=2，故选 D.【点睛】= = ，考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键.9．（2019·重庆中考真题）如图，A B 是⊙O 的直径，A C 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C = 40︒ ，则Ð B 的度数为（ ）OD 2 - OC 2A．60︒B．50︒C．40︒D．30︒【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求∠A B C＝50°．【详解】解：∵A C是⊙O的切线，∴ AB ⊥AC ，且∠C = 40︒，∴ ∠ABC = 50︒，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形 AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF，∴四边形 AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为 r，∴OE=OF=r，∴S 四边形 AEOF=r²，连接 AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴ 1 ( AB +AC +BC)r =1 AB ⋅AC ，2 2∴r=2，∴S 四边形 AEOF=r²=4，故选 A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.11．（2019·湖北中考真题）如图，AD是圆O 的直径，BC是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（）A．AP = 2OP【答案】A【解析】【分析】B．CD = 2OP C．OB ⊥AC D．AC 平分OB利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝0B，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系，可对 A 选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC 可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为△ACD 的中位线，则 CD＝20P，原式可対 B 选项进行判断；同时得到 OB＝2OP，则可对 D 选项进行判断.【详解】解：∵ AD 为直径，∴ ∠ACD = 90 ，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴ CD / /OB ，CD =OB ，在Rt∆ACD 中，sin A =CD =1 ，∴ ∠A = 30 ，AD 2在Rt∆AOP 中，AP = 3OP ，所以 A 选项的结论错误；∵ OP / /CD ，CD ⊥AC ，∴ OP ⊥AC ，所以 C 选项的结论正确；∴ AP =CP ，∴ OP 为∆ACD 的中位线，∴ CD = 2OP ，所以 B 选项的结论正确；∴ OB = 2OP ，∴ AC 平分OB ，所以 D 选项的结论正确．故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，O经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D = 80︒，则∠EAC 的度数为( )A．20︒B．25︒C．30° D．35︒【答案】C【解析】【分析】()由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形AECD是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利用三角形外角的性质即可求出∠EAC 的度数.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠D = 80︒，∴ ∠ACB =1 ∠DCB =1 180︒-∠D = 50︒，2 2∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴ ∠AEB =∠D = 80︒，∴ ∠EAC =∠AEB -∠ACE = 30︒，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积.13．（2019·四川中考真题）如图，等腰∆ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB =AC = 5，BC = 6 ，则DE 的长是( )A．3 1010 【答案】D 【解析】B．3 105C．3 55D．6 55【分析】如图，连接OA、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，先证明点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，从而可得BE =CE = 3，在Rt∆ABE 中，利用勾股定理求出 AE 长，再由切线长定理求得 BD 长，进而得 AD 长，设⊙ O 的半径为r ，则OD =OE =r ，AO = 4 -r ，在Rt∆AOD 中，利用勾股定理求得r =3 ，在Rt∆BOE 中，求得OB= 3 5 ，再证明 OB 垂直平2 2分DE ，利用面积法可得1 HE ⋅OB =1 OE ⋅BE ，求得 HE 长即可求得答案.2 2【详解】连接OA、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，等腰∆ABC 的内切圆⊙ O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，AB =AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE =CE = 3，OD ⊥AB ，BE =BD ，在Rt∆ABE 中， BD =BE =3，∴AD = 2 ，AE = = 4，设⊙ O 的半径为r ，则OD =OE =r ，AO = 4 -r ，在Rt∆AOD 中，r 2 + 22 = (4 -r)2 ，解得r =3 ，2在Rt∆BOE 中，OB = 32+(3）2=35，2 252 - 323 56 553BE =BD ，OE = OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH =EH ，OB ⊥DE ，1HE ⋅OB =1OE ⋅BE ，2 23⨯3∴HE =OE ⋅BE= 2 =，OB 3 5 52∴DE = 2EH =，故选 D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.14．（2019·广西中考真题）如图，在∆ABC 中，O 是AB边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD = 3OD ，AB =12，CD 的长是（）A．2【答案】AB．2 C．3D．43 33 【解析】【分析】由切线的性质得出 AC ⊥ OD求出∠A ＝30︒，证出∠ODB ＝∠CBD，得出OD //BC ，得出∠C ＝∠ADO ＝90︒ ，由直角三角形的性质得出∠ABC ＝60︒，BC ＝ 1AB ＝6，AC ＝ 23BC ＝6 ，得出∠CBD ＝30︒【详解】，再由直角三角形的性质即可得出结果．解：∵ O 与 AC 相切于点 D ，∴ AC ⊥ OD ， ∴∠ADO ＝90︒， AD ＝ 3OD ，∴tanA ＝ OD ＝ 3，AD 3∴∠A ＝30︒， BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD ＝∠CBD ，OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODB ＝∠CBD ， ∴OD / / BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90︒，∴∠ABC ＝60︒，BC ＝ 1AB ＝6，AC ＝23BC ＝6 3，∴∠CBD ＝30︒，∴CD ＝ 3 BC ＝ 3⨯ 6＝2 3；3 3故选A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD / / BC 是解题的2关键．15．（2019·湖北中考真题）如图， AB 是 O 的直径， M 、 N 是弧 AB （异于 A 、 B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交 O 于点 D ，∠BAC 的平分线交CD 于点 E ．当点C 从点M 运动到点 N 时，则C 、 E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．B ．πC ． 3D ． 5222【答案】A【解析】【分析】连接 BE ，由题意可得点 E 是△ABC 的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点 E 的运动轨迹是是弓形 AB 上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上，根据题意过圆心 O 作直径 CD ，则 CD⊥AB，在 CD 的延长线上，作 DF ＝DA ，则可判定 A 、E 、B 、F 四点共圆，继而得出 DE ＝DA ＝DF ，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R ，求出点 C的运动路径长为πR ，DA ＝求得答案.【详解】连结 BE ，R ，进而求出点 E 的运动路径为弧 AEB ，弧长为 2 πR ，即可2∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点，∴点 E 是△ABC 的内心，22∴BE 平分∠ABC，∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEB＝180°－1 (∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，AD =BD ，∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧，∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上，∵ AD =BD ，∴AD=BD，如下图，过圆心 O 作直径 CD，则CD⊥AB，∠BDO＝∠ADO＝45°，在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，则∠AFB＝45°，即∠AFB+∠AEB＝180°，∴A、E、B、F 四点共圆，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴DE＝DA＝DF，∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R，2 2则点 C 的运动路径长为：πR ，DA ＝ R ，点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为：90π⨯2R =2πR ，πRC 、E 两点的运动路径长比为： 2 πR 2 180 2= ，故选 A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键.16．（2019·广西中考真题）如图，在Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 4 ， BC = 3，点O 是A B 的三等分点，半圆O 与A C 相切，M ，N 分别是B C 与半圆弧上的动点，则M N 的最小值和最大值之和是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】设⊙O与A C相切于点D，连接O D，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段O P最短，P F最小值为OP -OF ，当N在A B边上时，M与B重合时，M N经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O与A C相切于点D，连接O D，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段O P最短，P F最小值为OP -OF ，∵ AC = 4 ，BC = 3，∴ AB = 5∵ ∠OPB = 90︒，∴OP AC∵点O是A B的三等分点，∴O B =2 ⨯ 5 =10 ，OP =OB =2 ，3 3AC AB 3∴ OP =8 ，3∵⊙O与A C相切于点D，∴ OD ⊥AC ，∴ OD‖BC ，∴ OD =OA =1 ，BC AB 3∴ OD = 1，∴M N最小值为OP-OF=8-1=5，3 3如图，当N在A B边上时，M与B重合时，M N经过圆心，经过圆心的弦最长，M N最大值=10+1=13，3 35+13=6 ,3 3∴M N长的最大值与最小值的和是6．故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 17．（2019·四川中考真题）如图，∠EOF 的顶点O是边长为2的等边∆ABC 的重心，∠EOF的两边与∆ABC 的边交于E，F，∠EOF=120︒，则∠EOF 与∆ABC 的边所围成阴影部分的面积是（）A．32【答案】C【解析】【分析】B．2 35C．33D．34连接OB 、OC ，过点O作ON ⊥BC ，垂足为N，由点O是等边三角形ABC 的内心可以得到。
【新】全国2018年中考数学真题分类汇编 第23讲 与圆有关的位置关系
（分类）第23讲与圆相关的位置关系知识点1 点与圆的位置关系知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质知识点4 切线的判定知识点5 切线长定理知识点6 三角形与圆知识点1 点与圆的位置关系（2018烟台）（考查确定圆的条件）（-1，-2）知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质（2018福建）D（2018·包头）115(2018重庆A 卷)9．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC ，则PA 的长为( A )A ．4B ．C ．3D ．2.5（2018重庆B 卷）10.如图，△ABC 中，∠A=30°，点0是边AB 上一点，以点0为圆心，以OB 为半径作圆,⊙0恰好与AC 相切于点D ，连接BD ，若BD 平分∠ABC ，AD=32,则线段CD 的长是( )A.2B.3C.23D.323（2018哈尔滨）A（2018宁波）17.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P .当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为．（2018山西）15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，A C=6，B C=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，B C 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的切线FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为___125__.（2018无锡）6.如图，矩形ABCD中，G是BC中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；BC与圆O相切。
其中正确的说法的个数是（C）A.0B.1C.2D.3（2018安徽）12如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE 60°。
2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题31点直线与圆的位置关系试题(含解析)
点直线与圆的位置关系一.选择题1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．2. （2018•广安•3分）下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3.（2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76° B．56° C．54° D．52°【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=26 度．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三.解答题1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，∴∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠OBD=90°，∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，∵点E是AB的中点，AB=12，∴AE=EB=6，OE⊥AB，又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，∴EF=BF=3，∴DF==4，∵∠AEC=∠DEF，∴∠A=∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO=∠DFE=90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO=4.5，∴△AOB的面积是：=27．2. （2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直径∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根据面积法AB•BE=BG•AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥AB∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA==，AM=OM=．∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC．∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC．∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC．∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE=OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC=OP，∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．8.（2018·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴阴影部分面积为﹣【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．9．（2018·辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．10．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE\1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径， =，∴∠BOC=90°．∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中．∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2•BD，∴BD=．12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，∵tan∠E==，∴=，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC===6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13. （2018•呼和浩特•10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC 与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．（1）证明：连接OD.OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴==，∴点P是BC的中点，∴BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，∴MD=2，∴==．14. （2018•乐山•10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA.DF，如图，∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．15. （2018•广安•9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC．（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE 的长【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos ∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，∴AD=8，（7分）∴FD==6，∴CD=CF+FD=16，在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，∴AB=2r=40，（8分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8，由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，∴AO=20，∴AB=40，（8分）在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．16. （2018•莱芜•10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O 的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．19. （2018•陕西•10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD ＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O 的切线，ON//AB，继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．【详解】（1）如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，∴MD＝NB．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．【详解】（1）如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴，即，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC．∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．22.（2018·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．23.（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P 在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP=5 ．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD.CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．故答案为：＜AP＜或AP=5．。
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2018年初三中考数学与圆有关的位置关系-切线的判定与性质专题复习练习题1．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )
A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝AT
C．∠B＝55°，∠TAC＝55° D．∠ATC＝∠B
2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠C ＝40°，则∠ABO的度数是( )
A．50° B．40° C．25° D．20°
3. 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连结OB交⊙O 于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )
A.12
B.22
C.32
D.33
5. 如图，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、B ，且与CD 相切，若正方形ABCD 的边长为2，则⊙O 的半径为( )
A ．1 B.52 C.43 D.54
6. 如图所示，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于______时，AC 才能成为⊙O 的切线．
7. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠DCB＝30°，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若AB ＝4，则DE 的长为_______.
8. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连结OC.若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的度数为_______
9. 如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF∥AB，则EF 的长度为______．
10. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－3
4x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的
最小值是_______．
11. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D ，求证：AC 是⊙O 的切线．
12. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上(异于A 、B 两点)，AD⊥CD. (1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．
13. 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
答案：
1---5 DCDAD
6. 60°
7. 2 3
8. 80°.
9. 2 3
10. 2 2
11. 证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
12. 解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵BC＝3，AB＝5，
∴AC＝AB2－BC2＝52－32＝4.
(2)证明：∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切．
13. 解：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4.
∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8，∴NB＝AB2－AN2＝43，∴B(43，2)．
(2)证明：连结MC，NC，∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝∠NCB＝90°.
在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝1
2NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD. ∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC.
∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD.
∴直线CD是⊙M的切线．。