2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.6对数与对数函数对点训练理
(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题2.6对数与对数函数(讲)(含解析)
第06讲对数与对数函数---讲1.理解对数的看法，掌握对数的运算，会用换底公式.2．理解对数函数的看法，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.认识对数函数的变化特色.4.高考展望：（1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独观察外，在大题中观察对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热门.5.备考要点：（1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类谈论问题.知识点1．对数及其运算1.对数的看法（1）假如x ＝(>0，且≠1) ，那么叫做以为底的对数，记作＝log ，此中叫做对数的底数，a x a x aaN叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②log a1 0；③log a a 1；（3）对数恒等式logN a a＝N2.对数的运算法规假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；M②log a N＝log a M－log a N；a n a③log M＝n log M(n∈R)；④log a n nm M＝log a M(m，n∈R，且m≠0).m(3)对数的重要公式log a N①换底公式：log b N＝log a b(a，b均大于零且不等于1)；1②log a b＝log b a，推行log a b·log b c·log c d＝log a d.③log a a b＝b(a>0，且a≠1)【典例1】（2019·山东高考模拟（文））设函数，则（）A．9B．11C．13D．15【答案】B【分析】∵函数，∴=2+9=11．应选：B．【规律方法】对数运算的一般思路(1)拆：第一利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，而后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，而后逆用对数的运算性质，转变为同底对数真数的积、商、幂的运算．【变式1】【2018届安徽省宿州市第三次检测】已知，，，则（）A.-2B.2C.D.【答案】C【分析】由题意，设，则，，，据此有：，则：，即，据此可得：或，此中：，据此可得：，则.本题选择C选项.知识点2．对数函数及其性质(1)看法：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，此中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)性质当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y<0在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数【典例2】（2019·北京高考模拟（理））若函数则函数f(x)的值域是（）A．(,2)B．(,2]C．[0,)D．【答案】A【分析】画出函数的图像以以下图所示，由图可知，函数的值域为,2，应选A.【要点总结】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转变为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式2】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的分析式可得函数为奇函数，绘制函数图像以以下图，则不等式即，即fm 0，观察函数图像可得实数m的取值范围是.应选：A.考点1【典例对数的化简、求值3】（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，此中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1【答案】A【分析】两颗星的星等与亮度满足,令,.应选：A.【易错提示】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中全部的对数符号有意义的前提下才成立的，不可以出现log212＝log2[( －3)×(－4)] ＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不一样底的对数式转变为同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式3】则a＝，b＝.【答案】4，2.【分析】设，由于，所以考点2对数函数的图象及应用【典例4】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同向来角坐标系中的图象可能是（）A． B ．C．D．【答案】D【分析】关于A、B两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，关于C、D两图，0＜＜1，在C图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C错，D正确．应选：D．【总结提高】ylog a x的底数变化，其图象拥有以下变化规律：（1）上下比较：在直线x 1的右边，a 1时，底大图低（凑近x轴）；0 a 1x轴）．（2）左右比较（比较图象与y1的交点）：交点横坐时，底大图高（凑近标越大，对应的对数函数的底数越大.【变式4】【2018届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的选项是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】由于，.所以函数单调递减，消除B，D.与的图象关于轴对称.消除A.应选A.考点3对数函数的性质及应用【典例5】【2018年天津卷理】已知，，，则a，b，c的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【分析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.【总结提高】比较对数式大小的种类及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类谈论．(2)若底数不一样，真数同样，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不一样，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．【变式5】【2017天津，理6】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若，b g(20.8)，c g(3)，则a，b，c的大小关系为（A）abc（B）cba（C）bac（D）bc a【答案】C【分析】由于f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x0时，f(x)0，从而是R上的偶函数，且在[0,)上是增函数，，20.8 2，又 4 5.1 8，则，所以即，，所以b a c，应选C．【典例6】（2019·山东高考模拟（文））已知，若正实数a满足，则a 的取值范围为（）A．a 3 3 4 4B．0a 或a4 33D．a1C．0a 或a14 【答案】C【分析】由于y e x1 与y4x 4都是R上的增函数，所以是R上的增函数，又由于等价于log a3所以1，4由1 log a a ，知,当0a1时，ylog a x 在0, 上单调递减，故a3a3，从而0；44当a 1时，ylog a x 在0,3 ，从而a 1，上单调递加，故a34综上所述，a 的取值范围是0 或a1，应选C.a4【技巧点拨】解对数不等式的种类及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助 y ＝log a x 的单调性求解，假如a 的取值不确立，需分a ＞1与0＜a＜1两种状况谈论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将 b 化为以a 为底的对数式的形式．【变式6】（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数f x 在区间[0，上单调递加，且的图象关于x1对称，若实数a 满足，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．1,4D ．4,444【答案】C 【分析】依据题意，的图象关于x1对称，则函数 fx 的图象关于y 轴对称，即函数fx 为偶函数，又由函数 fx在区间[0，上单调递加，则，即，解得：1a 4，4即a 的取值范围为1,4；4应选：C ．考点4对数函数的综合应用【典例 7】(2019·宜春中学、新余四中联考 )已知函数f (x )＝a －x＋4－2， ＜1，ax若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )1＋log 2x ，x ≥1，A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)【答案】B【分析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 一定是增函数，1，才能满足f (x )的值域为R ，可得a －1＞0， 且最大值大于或等于 解得a ∈(1,2]．a －1＋4－2a ≥1，【总结提高】应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，一定弄清三方 面的问题：一是定义域，全部问题都一定在定义域内谈论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．别的，解题时要注意数形结合、分类谈论、转变与化归思想的使用． 【变式7】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】B 【分析】由题意知函数的定义域为， 当 时， ， ∴ 在 上单调递减，∵ 是偶函数， ∴ 在上单调递加． ∵，∴ ， 两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是．应选B．。
(浙江专版)高考数学一轮复习 2.6 对数与对数函数限时集训 理
(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知2x ＝9，y ＝log 223，则x ＋2y ＝( ) A ．3B ．4C ．2D ．log 422．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A.1b B ．－1bC ．－bD ．b3．若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 4．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )5．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( ) A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n 7．(2013·丹东模拟)函数y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)8．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．若a >0，a 23＝49，则log 23a ＝________. 10．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝lg x ．若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.11．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．12．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在区间[－2,2]上的值域不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是________．13．(2013·台州模拟)已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是________．14．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．16．设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )．(1)求f (x )的解析式及定义域；(2)求f (x )的值域；(3)讨论f (x )的单调性．17．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．答 案[限时集训(八)]1．C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C9．解析：∵a 23＝49， ∴log 23a 23＝log 2349＝2. ∴23log 23a ＝2，即log 23a ＝3. 答案：310．解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1.∴lg(ab )＝1.∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg a ＋2lg b＝2lg(ab )＝2.答案：211．解析：(1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2. (2)当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12. 由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或1212．解析：当a >1时，a 2≤2，故1<a ≤2；当0<a <1时，a －2≤2，故22≤a <1. 则当22≤a ≤2时， －12≤g (a )≤12， 又a ≠1，∴g (a )≠0.∴g (a )＝log 2a 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 13．解析：令f (x )＝2－ax ，∵a >0且a ≠1，∴函数f (x )＝2－ax 在[0,1]上是减函数．又∵y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，∴a >1.又∵f (x )＝2－ax >0在[0,1]上恒成立，∴f (1)>0，即2－a >0，即a <2.∴1<a <2.答案：(1,2)14．解析：∵f (x )<0且0<a <1，∴a 2x －2a x －2>1，a 2x －2a x－3>0.即(a x －3)(a x ＋1)>0.∴a x >3，即x <log a 3.答案：(－∞，log a 3)15．解：∵f (x )＝log a x ，当0<a <1时， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)| ＝log a 13＋log a 2＝log a 23>0， 当a >1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝ －log a 13－log a 2＝－log a 23>0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>|f (2)|总成立． 则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1， 只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1， 即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 当a >1时，得a －1≤13≤a ， 即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ， 得0<a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 16．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )．∴y ＝103x (3－x )且⎩⎪⎨⎪⎧ 3x >0，3－x >0，⇒0<x <3.(2)∵y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，则y ＝10u ，当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274， ∴u ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，274.∴y ∈(1,10274]． (3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数， 而y ＝10u 为增函数，∴在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3上，f (x )是减函数． 17．解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F(x)＝log a 1＋x1－x，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)＝log a 1＋x1－x＝log a⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x－1在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0，故m≤0即为所求．。
2017数学文一轮课件：2-6 对数与对数函数
底数， N 叫做真数．
2 对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M，N，a，b 都是正数，且 a，b≠1)
①alogaN＝ N
； ② logaaN ＝
N
；
③
logbN
＝
logaN logab
；
④
logambn
＝
n m
logab
；
⑤
logab
＝
1 logba
，
推
广
logab·logbc·logcd＝ logad .
第五页，编辑于星期六：二点 五十三分。
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撬点·基础点 重难点
6 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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1 对数的概念 如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的
17 撬点·基础点 重难点
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[错解]
[错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错． [心得体会]
20 撬点·基础点 重难点
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高考数学一轮复习教学案：第二章函数2.6对数与对数函数
1． 对数的概 念与性质
对数的 定义
如果 __ ____________ ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
__________ ，其中 ____叫做对数的底数， ____叫做真数． (1)________ 没有对数．
对数的 性质
(2)log a1＝ ____( a＞0，且 a≠1) ． (3)log aa ＝ ____( a＞ 0，且 a≠ 1)．
1
1
A. 4
B. 2
C．2
D． 4
5．函 数 y＝ lo ga(x－ 1)＋2(a＞ 0 且 a≠ 1)的图象恒过一定点是 __________ ．
一、对数式的化简与求值 【例 1－ 1】 若 xlog3 2＝ 1，则 4x＋ 4－x＝ __________.
【例 1－ 2】 (2012 北京高考 ) 已知函数 f(x) ＝ lg x，若
值域： ______
过定点 ______，即 x＝ 1 时， y＝ ______
单调性：在 (0，＋∞ ) 上是 ______
单调性：在 (0，＋∞ ) 上是 ______
当 0＜x＜ 1 时， y∈______；当 x＞ 1 当 0＜x＜ 1 时， y∈ ______；当 x
时， y∈______
(1)对数函数的定义 一般地，我们把函数 y＝ __________ 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞ )． (2)对数函数 y＝ log ax(a＞0，且 a≠ 1)的图象和性质 a＞ 1
0＜ a＜1
图象
性 质 [来
源 :]
定义域： __________ [来源:www ][来源:www ]
2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第二章 第6讲对数与对数函数 含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、填空题1。
（2015·四川卷）lg 0。
01＋log216的值是________.解析lg 0。
01＋log216＝lg 10－2＋log224＝－2＋4＝2.答案 22.设a，b，c均为不等于1的正实数，给出下列等式：①log a b·log c b＝log c a；②log a b·log c a＝log c b；③log a(bc）＝log a b·log a c；④log a （b＋c）＝log a b＋log a c。
其中恒成立的是________（填序号).解析log a b·log c a＝log a b·错误!＝错误!＝log c b，故②正确，①③④均错误.答案②3.(2015·盐城一检)函数y＝错误!的定义域为________。
解析要使函数y＝错误!有意义，则log错误!（3x－1）≥0，所以0＜3x－1≤1，解得错误!＜x≤错误!，故函数的定义域是错误!。
答案错误!4。
(2015·湖南卷改编）设函数f（x)＝ln(1＋x)－ln(1－x），给出下列说法:①f（x)是奇函数，且在（0，1)上是增函数；②f(x）是奇函数，且在(0，1）上是减函数；③f(x）是偶函数，且在(0,1)上是增函数；④f（x）是偶函数,且在（0，1）上是减函数。
则上述说法正确的是________(填序号）.解析易知函数定义域为(－1，1）,f（－x）＝ln(1－x)－ln（1＋x）＝－f(x），故函数f(x）为奇函数，又f（x)＝ln错误!＝ln错误!，由复合函数单调性判断方法知，f（x)在(0，1）上是增函数.答案①5。
方程lg x2－lg(x＋2)＝0的解集是________。
解析原方程可化为lg错误!＝0，则错误!由x2－x－2＝0得x＝2或x＝－1，检验知x＝2与x＝－1均为原方程的根. 答案{－1，2}6。
2017版高考数学课件：2.6 对数与对数函数
的最小值为
.
答案 2
3
解析 函数f(x)=|log3x|的图象如图:
c
而f
1 3
=f(3)=1,
f(1)=0,由图可知当a=
,1b=1时,b-a取得最小值
3
.2
3
第十一页，编辑于星期六：二十点 二十一分。
对数式的求值与化简
典例1 (1)(2013浙江,3,5分)已知x,y为正实数,则 ( )
A.2 =2 +2 lg x+lg y lg x lg y
解析 由题图可知,函数在定义域内为减c 函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>
0,即logac>0,所以0<c<1.
第二十页，编辑于星期六：二十点 二十一分。
2-2
若不等式x2-logax<0对任意x∈
0,
1 2
恒 成立,则实数a的取值范围是
()
A.{a|0<a<1}
C.{a|a>1}
答案 B
若x=0,则y=1;若x<0,则y>1
若x=1,则y=0;若0<x<1,则y>0
y=ax(a>0且a≠1)的图象与y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线⑤ y=x 对称
第五页，编辑于星期六：二十点 二十一分。
1.已知2a=3b=m,且
1 +
1=2,则实数m的值为
(
)
ab
A. 6 B. 1 C.6 D.± 6
第二十一页，编辑于星期六：二十点 二十一分 。
当a>1时,显然不成立;
当0<a<1时,如图所示,需f1 ≤12 f2
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数学案 文
2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．特别提示：底数a对函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测] 1．概念思辨(1)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( ) (2)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) (3)函数f (x )＝lgx －2x ＋2与g (x )＝lg (x －2)－lg (x ＋2)是同一个函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 72例8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c答案 D解析 解法一：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c .故选D.解法二：由对数运算法则得a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，∵log 27>log 25>log 23>0，∴1log 27<1log 25<1log 23，即log 72<log 52<log 32，故a >b >c .故选D.(2)(必修A1P 75T 11)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 原式＝(lg 5)2＋lg 2·[lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. 3．小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同．故选B.题型1 对数的运算典例1 (2017·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a＋1b的值为( ) A ．36 B ．72 C ．108D.172对数式转化成指数式．答案 C解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k 2k －23k －3＝6k 2k 4×3k 27＝6k6k 108＝108.故选C. 典例2 (2018·镇江模拟)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.换底公式．解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是 log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法技巧对数运算的一般思路1．对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解．见典例2.2．在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．对于连等式，注意设等式为k ，见典例1.冲关针对训练1．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2答案 C解析 因为3a＝4b＝12， 所以a ＝log 312，b ＝log 412， 1a＝log123，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log12 3＋log12 4＝log1212＝2.故选C.2．(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝log 322·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3 12 ·3 13 ＝32lg 2lg 3·56lg 3lg 2＝54. 题型2 对数函数的图象及应用典例 (2018·长春模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)数形结合法，排除法．答案 B解析 解法一：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，a ＞22，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 解法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有4 12 ＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除选项A.故选B.[条件探究] 若本典例变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 冲关针对训练1．(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 B解析 由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.故选B. 2．(2017·青岛统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象(如图)可知，当x ＝12时，f (x )取最大值，f (x )max ＝14；因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54，故答案为k ≤34或k ≥54.题型3 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小典例 (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c利用指数函数、对数函数的单调性，结合不等式的性质比较大小；也可用特值法．答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ， ∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a logbc <b log a c ，故C 正确．故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．故选C.角度2 解对数不等式典例 (2017·江西名校联考)设函数f (x )＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)利用函数的奇偶性、单调性，结合换元法解不等式．答案 B解析 ∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1.又∵f (1)＝log 12 2＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1,1]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.故选B. 角度3 对数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．运用复合函数的单调性“同增异减”．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1．对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式，形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；形如log a x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．4．对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y＝log a f(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f(x)>0的x的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y＝log a u及u＝f(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y＝log a f(x)为增函数，若一增一减，则y＝log a f(x)为减函数，即“同增异减”．冲关针对训练1．(2018·河南模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 B解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.2．(2017·南昌调研)a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1 B ．a >1C.18≤a <14D.15≤a ≤14或a >1 答案 A解析 ∵a >0，a ≠1，令g (x )＝|ax 2－x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠0，x ≠1a 作出其图象如右：∵函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数， 若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1a <3，a >1，解得a >1；若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，1a >4，解得16≤a <14.故选A.题型4 指数函数、对数函数的综合应用典例1 (2018·西安模拟)设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2数形结合法．答案 B解析 由方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，log 12 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x 1>1>x 2>0，于是有log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x2<log 12x 2，得x 1<1x 2，所以0<x 1x 2<1.故选B.典例2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为________．分类讨论法．答案 2解析 当x ≤0时，y ＝f [f (x )]－1＝f (2x)－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，表明此时y ＝f [f (x )]－1无零点．当x >0时，分两种情况：①当x >1时，log 2x >0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1，令log 2(log 2x )－1＝0，即log 2(log 2x )＝1，log 2x ＝2，解得x ＝4；②当0<x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝2log2x －1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1，因此函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为2.方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1．首先考虑函数的定义域，见典例2. 2．注意联想数形结合思想．见典例1. 冲关针对训练1．(2018·天津模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12答案 B解析 ∵f (x )＝ln (x 2＋1)在[0,3]上单调递增，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m .又∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)， ∴f (x )min ≥g (x )min ，即14－m ≤0，∴m ≥14.故选B.2．设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln (2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)答案 B解析 根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图象可知两函数图象关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即所求最小值．因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e x ′＝12e x ，则12e m＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．故选B.1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与M N最接近的是1093.故选D.2．(2018·山西模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图象是( )答案 C解析 因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0.故选C.3．(2018·江西九江联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．故选D.4．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a,1－b )C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析 作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x和y ＝log 2x 的图象，如图．由图可知有0<x 1<x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1>log 2x 1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1－log 2x 1>0. ∴f (x 1)>0.故选C.4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B 解析 函数y ＝2x ln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2xln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )， ∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B. 5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数． 当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1.∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．已知函数f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x 2－ax －a 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.故选B. 7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 12 4)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 12 4)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B.8．(2017·广东模拟)若函数f (x )＝(e x－e －x)x ，f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，则x的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92.故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝lne x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析 画出y ＝|lg x |的图象如图： ∵0<a <b ，且f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 答案 －14解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9. 若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意． 三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12 x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0. (2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。
高考数学一轮复习课件_2.6对数与对数函数
1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一 个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lg a|＝|lg b|得到ab＝ 1是解题的关键．
2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数 型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时， 常利用数形结合求解．
3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相 应函数图象问题，利用数形结合法求解．
【答案】 (1)A (2)(－∞，－1) (－1，＋∞)
【思路点拨】 (1)利用真数大于0构建不等式，但要注 意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调 性．
1．利用对数函数的性质比较对数值大小： (1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理； (2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图 象或比较其倒数大小来进行． (3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中 间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较． 2．利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三 点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数 的构成．
【提示】 作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点 的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得 到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条 件？
【提示】 若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0， 1)．
若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且 b∈(1，＋∞)．
3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的 和、差、倍之间进行转化．
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12)
D．(20，24)
优化探究2017届高考数学一轮复习第二章第六节对数与对解读
演练冲关
时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、 不等式问题常转化为相应的函数 图象问题，利用数形结合法求解．
考点二
1 ． 已 知 函 数
典题悟法
试题
f(x ) ＝
作出 f()的大致图
解析
象， 不妨设 a＜b＜ |lg x|，0＜x≤10， 1 若 a，b， c，因为 a，b，c － x ＋ 6 ， x ＞ 10 ， 2 互不相等，且 f(a)
C
)
B．b＞a＞c D．c＞a＞b
0.2 0.2
的大小即可，可以利用中间值或数 形结合进行比较； (3) 先判断函数 φ(x) ＝ xf(x) 的单调 性，再根据 20.2，logπ3，log39 的大 小关系求解．
(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时， f(x)＋xf′(x)＜0成立，a＝(2 )· f(2 )，b＝(logπ3)· f(logπ3)，c＝ (log39)· f(log39)，则a，b，c的大小关系是( A ) A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
知识点一
必记结论
知识点一
1．指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝logaN. 2．对数运算的一些结论： n ①logambn＝mlogab.②logab· logba＝1.③logab· logbc· logcd＝logad. 易误提醒 在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M＞0.
知识点二
lgx－1，x＞1， lg1－x，x＜1.
演练冲关
当 x＝1 时，函数无意义， 故排除 B、D. 又当 x＝2 或 0 时，y＝0， 所以 A 项符合题意．
考点二
试题
2017版高考数学一轮总复习课件：第二章 第五节对数与对数函数
►两个常用结论：对数恒等式，换底公式.
1
(3)32log39＝________.
解析 原式＝3log3 9＝ 9＝3.
答案 3
(4)log29·log34＝________. 解析 原式＝llgg 92·llgg 43＝2llgg23·2llgg32＝4.
答案 4
【例 3】 (1)(2015·北京东城二模)设 a＝log4π，b＝log1π，
4
c＝π4，则 a，b，c 的大小关系是( )
A.a＞c＞b
B.b＞c＞a
C.c＞b＞a
D.c＞a＞b
第二十页，编辑于星期六：二十点 一分。
(2)(2015·山东青岛二模)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋1)＝ f(－x)，当 x∈0，12时，f(x)＝log2(x＋1)，则 f(x)在区间1，32内 是( )
函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示
.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数
为2，故选B.
3x （x≤1）， (2)∵函数 f(x)＝log13x （x＞1），
32－x
（x≥1），
则 y＝f(2－x)＝log13（2－x） （x＜1）.故函数 f(2－x)是
第十三页，编辑于星期六：二十点 一分。
解析 (1)2log 25＝2log252＝25，lg 5·lg 2＋lg22－lg 2＝ lg 2(lg 5＋lg 2)－lg 2＝0，即原式＝25. (2)因为 2a＝5b＝m，所以 a＝log2m，b＝log5m， 又2a＋1b＝2，所以log22m＋log15m＝2， 即 2logm2＋logm5＝2，解得 m＝ 20.
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1 C．q＝r>p D．p＝r>q 解析 ∵0 f(ab) ∴p＝r A．(0，＋∞) y＝log12 (x2－4)随x的增大而增大，即f(x 3．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( ) 4．已知关于x的方程12x＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a的取值范围是( ) 解析 当x>0时，0<12x<1，∵关于x的方程12x＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a<1， ∴ 1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a>0，解得－1 答案 C 答案 433 解析 ∵a＝log43＝log23，∴2a＋2－a＝2log23 ＋2－log23 ＝3＋13＝433.
2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.6 对
数与对数函数对点训练 理
1．设f(x)＝ln x,0
A．q＝r
答案 B
，
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
答案 D
解析 由x2－4>0得x>2或x<－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令
t
＝x2－4，当x∈(－∞，－2)时，t随x的增大而减小，y＝log12 t随t的增大而减小，所以
)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.
A．b
解析 由3<7<9得log33
1得c<1，因此c
A．(0,1) B．(0.1,10)
C．(0.1,1) D．(10，＋∞)
答案 C
2
解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)
在定义域内单调递减，排除D.选C.
6．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.