高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.2事件的独立性预习导学案新人教B版选修2
高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.1_2.2.2条件概率与事件的独立性课堂导学案
2.2.1-2.2.2 条件概率与事件的独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？解析：一个家庭的两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为Ω，A=“其中一个是女孩”，B=“其中一个是男孩”，则Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，男），（男，女），（女，男）}，AB={（男，女），（女，男）}，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A）.由上面分析可知P（A）= 34，P（AB）=24.由公式②可得2P（B|A）= 434 2, 3因此所求条件概率为温馨提示2 3 .关键是弄清楚P（A·B）及P（A）.二、事件的独立性的应用【例2】甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲（或乙）是否投中，对乙（或甲）投中的概率是没有影响的，也就是说，“甲投篮一次，投中”与“乙投篮一次，投中”是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生的概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生的概率，从而可以得到所求的各个事件的概率.解：（1）设A=“甲投篮一次，投中”，B=“乙投篮一次，投中”，则AB=“两人各投篮一次，都投中”.由题意知，事件A与B相互独立，根据公式③所求概率为P（AB）=P（A）·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中（事件A∩B发生），另一种是甲未投中、乙投中（事件A∩B发生）。
2021_2022学年高中数学第2章概率2.2.2事件的独立性讲义新人教B版选修2_3
2.2.2 事件的独立性学习目标：1.理解相互独立事件的定义及意义．(难点)2.理解概率的乘法公式．(易混点)3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．(重点)教材整理 事件的相互独立性阅读教材P 50～P 52例2以上局部，完成以下问题．1．定义设A ，B 为两个事件，假设事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，那么称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．2．性质(1)当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．(2)假设事件A ，B 相互独立，那么P (B )＝P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )，P (A ∩B )＝P (A )P (B )． 3．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，那么称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．4．n 个相互独立事件的概率公式如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )，并且上式中任意多个事件A i 换成其对立事件后等式仍成立．以下说法正确有________．(填序号)①对事件A 和B ，假设P (B |A )＝P (B )，那么事件A 与B 相互独立；②假设事件A ，B 相互独立，那么P (A ∩B )＝P (A )×P (B )；③如果事件A 与事件B 相互独立，那么P (B |A )＝P (B )；④假设事件A 与B 相互独立，那么B 与B 相互独立．【解析】 假设P (B |A )＝P (B )，那么P (A ∩B )＝P (A )·P (B )，故A ，B 相互独立，所以①正确；假设事件A ，B 相互独立，那么A ，B 也相互独立，故②正确；假设事件A ，B 相互独立，那么A 发生与否不影响B 的发生，故③正确；④B 与B 相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】 ①②③相互独立事件的判断【例1】 判断以下各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生〞与“从乙组中选出1名女生〞；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球〞与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球〞；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点〞与“出现3点或6点〞．【精彩点拨】 (1)利用独立性概念的直观解释进展判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球〞发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球〞的概率是否一样进展判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．【解】 (1)“从甲组中选出1名男生〞这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生〞这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球〞的概率为58，假设这一事件发生了，那么“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球〞的概率为47；假设前一事件没有发生，那么后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，那么A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (A ∩B )＝16. ∴P (A ∩B )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立．判断事件是否相互独立的方法1．定义法：事件A ，B 相互独立⇔P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．1．(1)以下事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面〞，B ＝“第二次为反面〞B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球〞，B ＝“第二次摸到白球〞C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数〞，B ＝“出现点数为偶数〞D ．A ＝“人能活到20岁〞，B ＝“人能活到50岁〞(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标〞，事件B ：“乙击中目标〞，那么事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥【解析】 (1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 项是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，A ，B 应为互斥事件，不相互独立；D 是条件概率，事件B 受事件A 的影响．应选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．应选A.【答案】 (1)A (2)A相互独立事件发生的概率【例2】 面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A ，B ，C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求： (1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【精彩点拨】 明确事件的概率及其关系→ 把待求事件的概率表示成事件的概率→选择公式计算求值【解】 令事件A ，B ，C 分别表示A ，B ，C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13. (1)他们都研制出疫苗，即事件A ，B ，C 同时发生，故P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )＝15×14×13＝160. (2)他们都失败即事件A ，B ，C 同时发生，故P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C )) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗〞的对立事件为“他们都失败〞，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A ∩B ∩C )＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．【解】 记“第1次取出的2个球都是白球〞的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球〞的事件为B ，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球〞的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (A ∩B )＝P (A )P (B )＝C 23C 25×C 22C 25＝310×110＝3100. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100. (2)P (C ∩A )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.事件的相互独立性与互斥性[探究问题]1．甲、乙二人各进展一次射击比赛，记A＝“甲击中目标〞，B＝“乙击中目标〞，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件A∩B与A∩B呢？【提示】事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而A∩B与A∩B是互斥事件．2．在探究1中，假设甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？【提示】“甲、乙二人恰有1人击中目标〞记为事件C，那么C＝A∩B＋A∩B.所以P(C)＝P(A∩B＋A∩B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？【提示】相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记做：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记做：A∪B(或A＋B)计算公式P(A∩B)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)对C各一盘．甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【精彩点拨】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜〞与事件“红队至少两名队员获胜〞是由哪些根本领件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．【解】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，那么D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D∩E∩ F，D∩E∩ F，D∩ E∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P[(D∩E∩F)∪(D∩E∩F)∪(D∩ E∩F)]＝P(D∩ E∩F)＋P(D ∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(D∩E∩ F)＋P(D∩ E∩F)＋P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜〞与“红队最多一人获胜〞为对立事件，而红队都不获胜为事件D∩E∩F，且P(D∩E∩F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(D∩ E∩F)＝1－0.35－0.1＝0.55.1．此题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少〞“至多〞问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进展：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并〞“交〞表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进展计算．3．(2021·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛完毕．甲、乙两位同学进展单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛完毕．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜〞的概率．【解】(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛完毕，那么这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛完毕，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，那么A与B的关系是( )A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件【解析】由，有P(A)＝1－28＝34，P(B)＝1－48＝12，P(A∩B)＝38，满足P(AB)＝P(A)P(B)，那么事件A与事件B相互独立，应选C.【答案】 C2．袋内有大小一样的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球〞，用B表示“第二次摸到白球〞，那么A与B是( )A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．非相互独立事件【解析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B不是相互独立事件．【答案】 D3．明天上午李明要参加“青年文明号〞活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，那么两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，那么P (A )＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.【答案】4．(2021·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进展篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛完毕)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主〞．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，那么甲队以4∶1获胜的概率是________．【解析】 记事件M 为甲队以4∶1获胜，那么甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P (M 222.【答案】5．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．【解】 记“甲气象台预报天气准确〞为事件A ，“乙气象台预报天气准确〞为事件B ．(1)P (A ∩B )＝P (A )×P (B )＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P ＝1－P (A ∩B )＝1－P (A )×P (B )＝1－15×14＝1920.。
高中数学 第二章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.2 事件的独立性课件 新人教B版选修23
事件Ai换成其对立事件后等式仍成立.
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名师点拨 互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别: 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;若两个事件互斥, 但在一次试验中这两个事件必然有一个发生,称这两个事件对立; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概 率没有影响. A,B互斥,则P(A∩B)=0; A,B对立,则P(A)+P(B)=1; A,B相互独立,则P(A∩B)=P(A)P(B).
题型一 题型二 题型三
解:(1)有两名小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男, 男),(男,女),(女,男),(女,女)},
它有 4 个基本事件,由等可能性知概率各为14. 这时A={(男,女),(女,男)}, B={(男,男),(男,女),(女,男)}, A∩B={(男,女),(女,男)}, 于是 P(A)=12,P(B)=34,P(A∩B)=12. 因为P(A∩B)≠P(A)P(B), 所以事件A与B不相互独立.
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【做一做 2】 甲射击命中目标的概率是12,乙射击命中目标的概 率是13,丙射击命中目标的概率是14,若现在三人同时射击目标,则目标
被击中的概率是( )
A.
3 4
B.
2 3
C.
4 5Βιβλιοθήκη D.7 10解析:设“甲射击命中目标”为事件 A,“乙射击命中目标”为事件
B,“丙射击命中目标”为事件 C,则 P(������ ∩ ������ ∩
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【做一做1-1】 设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相 互独立,则下列命题一定成立的是( )
A.A与B相互独立 B.A与C互斥 C.B与C互斥 D. ������与������相互独立 答案:D
高中数学 第二章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.3 独立重复试验与二项分布预习导学案
2.2.3 独立重复试验与二项分布
预习导航
一、独立重复试验
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．
如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)．
思考1在独立重复试验中，某事件每次发生的概率是否相同？
提示：在每次试验中，某事件发生的概率是相同的．
思考2独立重复试验满足什么条件？
提示：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
点拨n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义
二、二项分布
如果随机变量X的分布列为
其中
由于表中第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
思考3二点分布与二项分布有何关系？
提示：在二项分布中，n次独立重复试验中各次试验的条件相同，对每次试验来说，只考虑两个可能的结果发生与不发生，或者说每次试验服从相同的二点分布．。
2.2 条件概率与事件的独立性
【高二数学学案】§2. 2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率主备人： 时间：一、自学导引1、条件概率一般地，设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)= 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
一般把P(B|A)读作 。
2、求条件概率的两个公式（1）P(B|A)= ; （2）P(B|A)= .二、学法指导条件概率计算公式的使用说明：（1）利用定义计算。
先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后将它们相除得到条件概率)()()|(B P AB P A B P =，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A 、B 同时发生。
（2）利用缩小样本空间的观点计算。
在这种观点下，原来的样本空间缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB 。
而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率。
即)()()|(A n AB n A B P =，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的概率空间。
三、典例精析例1、设31)(,21)|()|(===A P A B P B A P ，求P(B).随练：某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮风的概率为152，既刮风又下雨的概率是101，设A 为下雨，B 为刮风。
求：（1）P(A|B); （2）P(B|A)。
例2、在5道题中有3道理科题和2道文科题。
如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。
随练：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A), P(B), P(AB);（2）当已知蓝色骰子两点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？例3、在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀。
高中数学必修2-3第二章2.22.2.2事件的相互独立性讲解
稳健启程夯基固本2. 22 事件的相互独立性1. 问题导航(1) 事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？ (2) 在运用相互独立性公式求概率时要注意什么？ 2. 例题导读例3是求两相互独立事件中的概率，请试做教材P 55练习1、2、3题.1. 相互独立的概念设A , B 为两个事件，若 P(AB)= __________ P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立. 2. 相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么 A 与 ___________ B , A 与 ________ B , A 与B 也相互独立.1.判断(对的打“/',错的打“X”)(1) 不可能事件与任何一个事件相互独立. ( )(2) 必然事件与任何一个事件相互独立.()⑶“P(AB) = P(A) P (B)”是“事件 A , B 相互独立”的充要条件. ()答案：(1)2 (2) V (3) V1 2 2•甲，乙两人投球命中率分别为1,5,甲，乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为() A 1 A .21答案：9 D石A3•甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A : “甲击中目标”， 事件B : “乙击中目标”，则事件 A 与事件B( )A .相互独立但不互斥B .互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 答案：A4.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为 0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为 _____________ .答案：0.56..... 荻名呃侑灌“..相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A, B同时发生，记作：AB互斥事件A, B中有一个发生，记作：A U B(或A+ B)计算公式P(AB)= P(A)P(B)P(A U B) = P(A) + P(B)探究点一相互独立事件的判断例①从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得老K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J” .判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1) A 与B;(2) C 与A.” 4 1［解］(1)P(A)= 52=13，26 1P(B)= 52=2，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)P(A)P(B) = P(AB)，因此事件A与B相互独立.(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件.厂［旁桂阳谢i］r判断两事件的独立性的方法：(1) 定义法：如果事件A, B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A, B为相互独立事件.(2) 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(3) 当P(A) > 0 时，可用P(B|A) = P(B)判断.2 _52 =丄26,从而有A.互斥的事件C.对立的事件B .相互独立的事件D .不相互独立的事件2次，每次取一球，用)1. (1)坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球A i表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(3 2 1 3解析：选D. T P(A i) = 5.若A i 发生了，P(A2)= 2= 2；若A l 不发生，P(A2)=-，即A l 发生的结果对A2发生的结果有影响，••• Ai与A2不是相互独立事件.(2) —个袋子中有4个小球，其中两个白球，两个红球，讨论下列A，B事件的相互独立性与互斥性.①A:取一个球为红球，B:取出的红球放回后，再从中取一球为白球；②从袋中取两个球， A :取出的两球为一白球一红球；B:取出的两球中至少一个白球. 解：①由于取出的红球放回，故事件A与B的发生互不影响，因此A与B相互独立，A, B能同时发生，不是互斥事件.②设两个白球为a, b,两个红球为1, 2,则从袋中取两个球的所有取法为{a, b} , {a, 1}, {a, 2}, {b, 1} , {b, 2}, {1 , 2},4 25 2则P(A) = 4 = 2 , P(B) = 5 , P(AB) = 2 ,6 3 6 3•/ P(AB)工P(A) P(B),•事件A , B不是相互独立事件，事件 A , B能同时发生.• A , B不是互斥事件.相互独立事件同时发生的概率■'nCj甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1和4,求：3 4(1) 2个人都译出密码的概率；(2) 2个人都译不出密码的概率；(3) 至多1个人译出密码的概率；[解]记“甲独立地译出密码”为事件A, “乙独立地译出密码“为事件B , A与B为相1 1互独立事件，且P(A) = - , P(B)=-.3 4(1) “ 2个人都译出密码”的概率为：1J 1P(AB)= P(A) P(B)= 4 =石.(2) “2个人都译不出密码”的概率为：———— 1 11P(A B)= P(A) P(B)= [1 - P(A)] X [1 - P(B)] = (1 - -)X (1 - 4)=夕(3) “至多1个人译出密码”的对立事件为“ 2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1、/ 1 111-P(AB)= 1 - P(A)P(B)= 1-3X 4 =石[互动探究]在本例条件下，求：(1) 恰有1个人译出密码的概率；(2) 至少1个人译出密码的概率.解：(1) “恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P(A- + -B)= P(A-)+ P(-B)=P(A)P(B)+ P(A)P(B)(2) “至少1个人译出密码”的对立事件为“ 2个人都未译出密码 所以至少1个人译出密码的概率为：—— — — 2^31 1- P(A B)= 1 — P(A)P( B)= 1— 3X 4= ^.厂［方储旳倩］r1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：(1) 首先确定各事件之间是相互独立的； (2) 确定这些事件可以同时发生； (3) 求出每个事件的概率，再求积.2•使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事 件是相互独立的，而且它们能同时发生.都没有投进的概率为()B 石C.1 1D.— 10解析： 选C .甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为1— g 1—5 1—1 = 5⑵设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：① 进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； ② 进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解：记A 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，记B 表示事件“进入商场 的1位顾客购买乙种商品”，记C 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中 的一种”，记D 表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.①易知C = A —U —B ,则 P(C) = P(AB U AB)= P(AB) + P(AB)= P(A)P( B) + P(A)P(B)= 0.5X 0.4 + 0.5X 0.6=0.5.②易知D = AB ,则 P( D) = P( A B) = P( A)P( B)= 0.5X 0.4= 0.2, 故 P(D)= 1 —P( D) = 0.8.1 1 1=尹(1 - 4)+(1 - 3) 5 12.2. (1)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是 3，5，1现3人各投篮1次，则3人(3)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为的概率为—.10求：①恰有一名同学当选的概率； ②至多两人当选的概率.解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A 、B 和C.①因为事件A, B, C 相互独立，恰有一名同学当选的概率为 P(A B C ) + P( A B C )+ P( ABC) = P(A)P( B )P( C) + P(A )P(B)P(C ) + P(A)P( B) P(C)=4X 2 X 3 3x 3+ 1 X = 5 5 10 5 5 10 5 5 10 ②至多有两人当选的概率为 1 -P(ABC) = 1-P(A)P(B)P(C)= 1 -4X5 X务 曇.................. .... h+rr ＞〔蒙谆兪提1笄)J ...甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2和弓.假设两人射击是否击中目标3 4相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1) 求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2) 求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率.［解］(1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”， 依题意知事件 A 和事件B 相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB) = P(A)P(B) = 3 X 3 = 23 4 2⑵记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i = 1， 2， 3， 4)，并记“甲4次射击 恰有3次连续击中目标”为事件C ，贝V C = A 1A 2A 3A 4 U A 1A 2A 3A 4，且 A 1A 2A 3A 4与 A 1A 2A 3A 4 是互斥事件， 由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A j (i ，j = 1，2，3，4，且i 工j)之间也相互独立.2由于 P(A” = P(A0= P(A 3)= P(A 4)= 3， 故 P(C)= P(A 1A 2A 3A 4 U A 1A 2A 3A 4)=P(A”P(A 2)P(A 3)P(A 4)+ P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)问题.4 3 4，乙当选的概率为3，丙当选 5 5•-P(A) = 4, 5P(B) = 5, P(C)=和47250.《)3= 1681.［感悟提高］1.在求解第(2)问时，利用了分类讨论思想，把该事件分为两类求其概率.2. 求较复杂事件概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2) 理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立 )，列出关系式;(3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.测)<1•抛掷3枚质地均匀的硬币， A =｛既有正面向上又有反面向上｝ , B = ｛至多有一个反面向上｝，则A 与B 的关系是()A .互斥事件B .对立事件C .相互独立事件D .不相互独立事件2 3 4 1 3解析：选 C.由已知，有 P(A)= 1 —： = ：,P(B)= 1 — =-,P(AB)=，满足 P(AB) = P(A)P(B),8 4 8 2 8 则事件A 与事件B 相互独立，故选 C. 2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记"硬币正面向上”为事件A ,"骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A , B 中至少有一件发生的概率是( )5 AA.12解析：选 C. •/ P(A) = - , P(B)=-,2 6—1—5•-P (A) = 2 P (B) = 6. 又A , B 为相互独立事件， 155•-P(A B) = P(A)P(B)= X 6=石.••• A , B 中至少有一件发生的概率为 5 71 — P(A B)= 1 —石=石 3.有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是彳，乙能解决的概率是 * 2人试 23图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为 ______________ ，问题得到解决的概率为4 5 *答案：12 4.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再 重复，试求下列事件的概率；(1) 第3次拨号才接通电话； (2) 拨号不超过3次而接通电话.解：设A i = ｛第i 次拨号接通电话｝, i = 1, 2, 3.4 1 12 1解析：都未解决的概率为(1 —刁(1 —§)= X 3=§•问题得到解决就是至少有1人能解决1B.2• P = 1 — 23.(1)第3次才接通电话可表示为A1 —A2—A3 ,9 8 11于是所求概率为P(A1- A—A3) = 190X9X-8=盘.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A i + A i A2+ A i—A2 —A3,于是所求概率为P(A i + A i —A2+ A i —A2 —A3)=P(A i)+ P(A i A2)+ P(A i—A2 —A3)=丄+ 2 X 1 + 2 X 8X 丄=i0 i0 9 i0 9 8训练案一知能捉升[A.基础达标]i •设A与B是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是（）A • A 与- B.—与 BC.—与—解析：选D.A、B、C选项的两事件相互独立，而A与A是对立事件，不是相互独立事件.2. —袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，i个白球，从每袋中任取i 个球，则至少取i个白球的概率为（）3A.83B.32解析：i%选B.至少取i个白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一袋中取i个球3 2为红球的概率为6，从另一袋中取i个球为红球的概率为2，则至少取i个白球的概率为i —5 3解析：选A.左边转盘指针落在奇数区域的概率为6=f，右边转盘指针落在奇数区域的2 2 2 46X2= 35 3 5'3. 如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）3i0.4A.92B.22 i概率为2，二两个指针同时落在奇数区域的概率为 2 X 3=9.3 3 3 91 14. 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为2和3，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )1 2 A.3 B.3 i C.2D . 1解析：选C.设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”.依 1 1题意知，事件A 和B 相互独立，且P(A)= 2，P(B)= 3.记“有且只有一人通过听力测试 ”为事件C ,贝V C = (AB) U (AB)，且AB 和A B 互斥.故 P(C)= P((AB)U (AB))=P(AB)+ P( AB) = P(A)P( B)+ P(A )P(B) 111 1 1 =2x (1 —3)+(1—2 x3=2.1-,从乙袋中摸出一个红球的概率是3 1 22,从两袋各摸出一个球，则2等于()A. 2个球不都是红球的概率B. 2个球都是红球的概率C. 至少有1个红球的概率D. 2个球中恰有1个红球的概率解析： 1 2 •- P(A)= 2, P(B)= 3,—1 — 1••• P(A) = 2, P(B) = 3.1 1 1• P(AB)= P(A)P(B)= 2 X 3= 6， 111P(A B)= P(A)P(B) = 2X-= 6.答案:J J7. (2015铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母 中有180个是A 型•若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为 _________ .解析：从甲盒内取一个 A 型螺杆记为事件 M ，从乙盒内取一个 A 型螺母记为事件 N , 因事件M 、5. (2015东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是 解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件1 1A 、B ,则 P(A) = -, P(B)于A 、B 相互独立，所以1- P(A)P(B)2 1 2=1 — 3 x 2=3.根据互斥事件可知 C 正确.6. 已知A , B 是相互独立事件，且 1 2 —P(A)= 2，P(B)= 3,贝V P(AB) = ；P(A B)N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为160、，180 3P(MN)= P(M)P(N)=200x240=5.3答案：35&设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为 ________ 、 _______ 、解析：记“机器甲需要照顾”为事件A, “机器乙需要照顾”为事件B, “机器丙需要照顾”为事件C,由题意可知A, B, C是相互独立事件.P (AB)= P (A) P ( B)= 0.05,由题意可知P (AC)= P (A) P ( C)= 0.1 ,P (BC)= P ( B) P (C)= 0.125 ,P (A)= 0.2 ,得P (B)= 0.25,P (C)= 0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2、0.25、0.5.答案：0.2 0.25 0.59 .掷3枚质地均匀的硬币，设事件A表示第一枚正面朝上，事件B表示3枚结果相同，试判断A与B是否相互独立.4 1解：掷3枚硬币，基本事件总数为8，事件A包含的基本事件个数为 4 ,••• P(A):8 2B包含的基本事件个数为2,二P(B)= |= £ AB包含的基本事件为(正，正，正),8 41•- P(AB)=-.111而P(A)P(B)=『1 = - = P(AB),• A、B相互独立.10.某工厂有3套设备，它们在一天内不要工人维护的概率分别是：第一台为0.9,第二台为0.8，第三台为0.7.计算一天内：(1) 3套设备都要维护的概率是多少？(2) 恰有1套设备要维护的概率是多少？(3) 至少有1套设备要维护的概率是多少？解：设在一天内，第一台、第二台、第三台需工人维护分别为事件A、B、C,则A, B,C 相互独立，且P(A) = 1- 0.9= 0.1 , P(B) = 1 - 0.8= 0.2, P(C)= 1 - 0.7= 0.3.(1)3套设备都需维护的概率是P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= 0.1 X 0.2X 0.3= 0.006.⑵恰有1套设备要维护的概率是P(AB C) + P(ABC) + P(A BC)= 0.398.(3)至少1套设备需要维护的概率是1 — P(A B C)= 1 - P(A)P( B)P(C) = 1 - 0.9X 0.8X 0.7= 0.496. 1 •设两个独立事件 A 和B 都不发生的概率为 [B.能力提升] 11, A 发生B 不发生的概率与 B 发生A 不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率P(A)是( B .18 八2 1 C.3 解析：选D.由题意, 2 D.2 1 P(A) P (B)= 9，P(A) P(B)= P(A) - P(B) • P(B)=y ,(1 - y )= 9y = x (1-y ).1-9， 设 P(A) = x ， (1-x ) 则$I ( 1-x )1 - x - y + xy =石, X= y ,••• x 2-2x + 1 = 9,1 1•-x -1 = - 3，或 x -1 = 3(舍去), 2• x = 3,故选 D.32•甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就得冠军，乙队需要再 赢两局才能得冠军•若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 3 B.3 1A.2 C.| D .3 解析：选D.由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为 1 1，甲要获得冠 军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为 1 -;第二种情况是再打两局，第 111 113一局甲输，第二局甲赢•则其概率为(1 -2)X -=故甲获得冠军的概率为2+ 4=4.3.甲、乙两人参加环保知识竞赛，在 10道备选试题中，甲能答对其中的 6道题，乙能 答对其中的8道题.现规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对2题为 合格•则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ____________ •解析：设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A 、B ,事件A 、B 相互独立.P(A)=c 6c i + C (5 2 C ；0 =3,c 8c ；+ C 3 14 P(B)=C ；0=15所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB) = P(A)P(B) = 1-2 1 -希=454 •在一线路中并联着 3个自动控制的常开开关，只要其中有 就能正常工作•假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 正常工作的概率是 __________ •解析：由题意，分别记这段时间内开关 J A , J B , J C 能够闭合为事件 A , B , C •这段时间 内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响. 根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A — B — C — ) = P(A — )P(B — )P(C —) =[1 — P(A)][1 — P(B)][1 — P(C)] =(1 — 0.7)(1 — 0.7)(1 — 0.7)= 0.027.所以这段时间内至少有 1个开关能够闭合，即使线路能正常工作的概率是 1 — P(A —B—C — ) = 1— 0.027 = 0.973.答案：0.9735•某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个 问题分别得100分、100分、200分，答错得零分•假设这名同学答对第一、二、三个问题 的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.(1) 求这名同学得300分的概率； (2) 求这名同学至少得 300分的概率.解：记"这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i = 1, 2, 3)，则P(A 1)= 0.8, P(A 2)= 0.7, P(A 3) = 0.6, A 1 , A 2, A 3相互独立.(1)这名同学得300分的概率 P 1= P(A 1A 2 — A 3) + P(A 1 — A 2A 3)=P(A 1)P(A 2 — )P(A 3) + P(A 1 — )P(A 2)P(A 3)=0.8X 0.3 X 0.6+ 0.2 X 0.7X 0.6 = 0.228.⑵这名同学至少得300分的概率P 2= P 1 + P(A 1A 2A 3) = 0.228+ P(A 1)P(A 2)P(A 3)=0.228+ 0.8 X 0.7X 0.6 = 0.564.6. (2015石家庄高二检测)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 P = 1 — P(A B)=45 44 45.答案: 44451个开关能够闭合，线路 0.7,则在这段时间内线路三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5, 0.6, 0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(1) 求该应聘者用方案一通过的概率；(2) 求该应聘者用方案二通过的概率.解：记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A, B, C.P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, P(C) = 0.9.(1) 该应聘者用方案一通过的概率是P i= P(AB C)+ P(A BC)+ P(A BC) + P(ABC)=0.5X 0.6 X 0.1 + 0.5X 0.6 X 0.9 + 0.5X 0.4X 0.9 + 0.5 X 0.6 X 0.9 = 0.03 + 0.27 + 0.18 + 0.27= 0.75.(2) 应聘者用方案二通过的概率1 1 1P2= §P(AB)+ §P(BC)+ §P(AC)1=3(0.5 X 0.6 + 0.6X 0.9 + 0.5X 0.9)1=-X 1.29= 0.43.3。
2.2.1&2.2.2条件概率与事件的独立性导学案
Ｂ
2 3
C
1 2
D
1 4 4 15
10.掷两颗均匀的骰子，在它们点数不同的条 ， 件下， 至少有一颗出现 6 点的概率为 。
4.某地气象台统计， 该地区下雨的概率为 刮风的概率为
1 10 2 15
，既刮风又下雨的概率为
11.设 n 件产品中含有 m 件废品，今从中任取 两件， 在已知其中一件是废品的前提下， 另一 件也是废品的概率为____________。 12. 若 P ( B | A ) = P ( A | B ) 则 P ( B ) ____。 13. 已知A,B为相互独立事件，且 P ( A )
P (B )= 2 3 1 2 1 2 P ( A) 1 3
，设 A 为下雨，B 为刮风，则 P ( B | A ) =
1 4
Ａ
Ｂ
1 2
C
3 4
D
2 5
，
5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球（各不 相同） ，无放回的依次摸出 2 个球，在第一次 摸出红球的条件下， 第二次也摸到红球的概率 是（ ） Ａ
1 4
Ｂ
15 16
C
3 5
D
19 20
Ｂ
6 13
C
1 26
二、填空题 9. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回 地抽取 2 次， 每次抽 1 张． 已知第 1 次抽到 A ， 则第 2 次也抽到 A 的概率是 ．
3.一个家庭中有两个小孩。 假定生男生女是等 可能的。 已知这个家庭有一个是女孩。 问另一 个也是女孩的概率是（ ） Ａ
事件 D，称为事件 A 与 B 的交（或积） ，记作 3. 条件概率公式：
探究任务二：事件的独立性
高中数学选修2(新课标)课件2.2.2事件的相互独立性
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件．于
是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B) 成立．从而事件 A 与 B 是相互独立的．
【答案】 (2)见解析
状元随笔 (1)因为事件 A 和事件 B 相互独立，故 P(A B )＝P(A)
－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P( B )．
由相互独立事件的定义知事件 A 与事件 B 相互独立．类似可证
明 A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (2)两个事件的相互独立性可以推广到 n(n＞2，n∈N*)个事件的
＋P( A )P(B)＝0.6×0.4×2＝0.48.
(3)至少有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事件 AB 发 生，由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 AB 不可能同 时发生，为互斥事件，所以至少有 1 人击中目标的概率为 P(AB)＋ P(A B )＋P( A B)＝0.36＋0.48＝0.84.
【答案】 (1)①②③
(2)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能 的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：
高中数学 第2章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的独立
2．2.1 条件概率 2．2.2 事件的独立性1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式．3．能利用概率公式解决实际问题．1．条件概率(1)定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P (B |A )”来表示，读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．类似地，事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率记为“P (A |B )”，读作“B 发生的条件下A 发生的概率”．(2)事件的交(或积)由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )．(3)条件概率计算公式 一般地，条件概率公式为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）(P (A )＞0)，类似地，P (A |B )＝P （A ∩B ）P （B ）(P (B )＞0)．2．相互独立事件(1)定义：一般地，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．若n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称这n 个事件相互独立．(2)相互独立事件的性质一般地，若事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)相互独立事件同时发生的概率①两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A ∩B )＝P (A )×P (B )．②如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )并且上式中任意多个事件A i 换成其对立事件后，等式仍成立．1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)若事件A 、B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )为( )A.950 B.12 C.910D.14答案：B3．甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是0.6，则他们都击中目标的概率是( )A ．0.6B ．0.36C ．0.16D ．0.84答案：B4．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．答案：0.95求条件概率[学生用书P26]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【解】 设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为A 25＝20. 根据分步乘法计数原理，事件A 的总数为A 13×A 14＝12. 故P (A )＝1220＝35.(2)因为事件A ∩B 的总数为A 23＝6. 所以P (A ∩B )＝620＝310.(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.法二：因为事件A ∩B 的总数为6，事件A 发生的总数为12，所以P (B |A )＝612＝12.利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设事件A 为“在所取得的产品中发现有一件不合格品”，事件B 为“另一件产品也是不合格品”，则P (A )＝C 14C 16C 210＝4×6×210×9＝815，P (A ∩B )＝C 24C 210＝215.因此P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝14.相互独立事件的判断判断下列各对事件是不是相互相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2，4，6}，B ＝{3，6}，AB ＝{6}， 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，所以P (A ∩B )＝P (A )·P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)当P (A )＞0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件， 由等可能性知概率各为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， A ∩B ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (A ∩B )＝12.由此可知P (A ∩B )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件， A ∩B 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (A ∩B )＝38，显然有P (A ∩B )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．求相互独立事件的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率；【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.与相互独立事件有关的概率问题求解策略一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么：A ，B 互斥 A ，B 相互独立P (A ＋B ) P (A )＋P (B )1－P (A －)P (B －)P (AB ) 0P (A )P (B ) P (A －B －)1－[P (A )＋P (B )]P (A －)P (B －)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合第一问、第二问、第三问可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率． (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)． (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (A B C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C )＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．解：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3， 则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34，不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1，P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝P (A 2∪A 3)·P (A 1) ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.————————————————————————————————————————————————1．求条件概率的方法(1)利用定义，分别求P (A )和P (A ∩B )，得P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （A ∩B ）n （A ）.2．判定两个事件相互独立的方法(1)定义法：如果A 、B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A 、B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．事件A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．注意与事件互斥区别．1．求复杂事件的概率时，先判断事件间的关系，是互斥还是独立，特别对“至多”“至少”等问题，可分成互斥事件求概率，也可用对立事件求概率．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A －B －；A 、B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A －B －.1．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316B.1316C.34D.14解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34.2．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( )A.115 B.215C.15D.110解析：选C.甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝15.3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝16.答案：16[A 基础达标]1．设A 与B 是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是( ) A ．A 与B －B.A －与B C.A －与B －D ．A 与A －解析：选D.A 、B 、C 选项的两事件相互独立，而A 与A －是对立事件，不是相互独立事件． 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6解析：选A.A ＝“数学不及格”，B ＝“语文不及格”，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16D.17解析：选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A 66，n (AB )＝A 55，P (B |A )＝A 55A 66＝16.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：选C.满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋ P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 6．已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则两台雷达都未发现飞行目标的概率为________．解析：所求概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015. 答案：0.0157．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 解析：设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，所以p ＝35.答案：358．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥， 又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：349．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率．(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C 28＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，所以P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3) ＝514×69＋1528×59＋328×49＝712. [B 能力提升]11．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A |B )等于( )A.25B.12C.35D.45解析：选A.因为A ∩B ＝{2，5}，所以n (AB )＝2. 又因为n (B )＝5，故P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝25.12．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )＝________．解析：由题意，P (A －)·P (B －)＝19，P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)．设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， 所以x 2－2x ＋1＝19，所以x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，所以x ＝23.答案：2313．一只口袋内装有2个白球和2个黑球．求：(1)在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ 解：(1)记A ＝“先摸出一个白球不放回”，B ＝“再摸出一个球为白球”， 则AB ＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A )＝24＝12，P (A ∩B )＝A 22A 24＝16，所以P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝13.(2)记A 1＝“先摸出一个白球放回”，B 1＝“再摸出一个球为白球”， 则AB 1＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A 1)＝24＝12，P (A 1∩B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1∩B 1）P （A 1）＝12.14．(选做题)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.求：(1)恰有一名同学当选的概率； (2)至多有两人当选的概率．解：设甲，乙，丙当选分别为事件A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为P (A ∩B －∩C －)＋P (A －∩B ∩C －)＋P (A －∩B －∩C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710 ＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (A ∩B ∩C )＝1－P (A )P (B )P (C )4 5×35×710＝83125.＝1－。
第二章2.22.2.2事件的相互独立性
③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任 取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取 到绿球”，B＝“第二次取到绿球”．
解：①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互
独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有
影响，所以 A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生 对事件 B 发生的概率没有影响，所以 A 与 B 相互独立．
(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种 是甲射中，乙未射中(事件AB发生)；另一种是甲未射 中，乙射中(事件AB发生)．根据题意，事件AB与AB互 斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概 率乘法公式，所求的概率为
P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.
第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独 立的概念(重点)． 2.能利用相互独立事件同时发生的概 率公式解决一些简单的实际问题(难点)．
1．相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)如果A与B相互独立，那么A与B，A_与B_，A与_ B也 都相互独立． (3)如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B) ＝P(A)．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－ P(A- B—C)＝1－P(A- )P(B- )P(C- )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
[迁移探究] 在典例 2 条件下，求恰有一列火车正点 到达的概率．
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2.2.2 事件的独立性
预习导航
一、两个事件相互独立
思考1 若两个事件相互独立是否就说明这两个事件间没有任何关系？
提示：两个事件A ，B 相互独立是指事件A 是否发生与事件B 是否发生没有关系，并不是说事件A ，B 间没有关系．相反，若事件A ，B 相互独立，则常有事件AB ≠∅，即事件A ，B 不互斥．
思考2 相互独立事件与互斥事件有什么区别？
提示：相互独立事件与互斥事件的区别如下表：
1．对于n个事件A1，A2，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称A1，A2，…，A n相互独立．
2．如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)，并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。