10 白噪声过程通过线性系统讲解
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
第4章 随机过程通过线性系统分析
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
声学知识之白噪音与粉红噪音解析
声学知识之白噪音与粉红噪音解析或许你会觉得奇怪，噪音还有颜色？有的。
比如我们今天要讲解的自然界常见的＂白噪声＂和＂粉红噪声＂。
之所以叫白噪声，粉红噪声，是由光波的谱线图就是光谱图类比而来。
白噪声各频段的能量均匀（频谱类似太阳光谱即白光光谱），在人耳可听的频率范围内，具有相同能量的噪声称为白噪声。
白噪声广泛用于环境声学测量中。
粉红噪声是在低频段强在高频段弱的噪声（频谱图类似偏红的光谱即粉红光谱）。
白噪音所谓白噪音是指一段声音中的频率分量功率在整个人耳可听的频率范围（0～20KHz）内都是均匀的，具有相同能量的噪声。
由于人耳对高频敏感一点这种声音听上去是很吵耳的沙沙声。
电视机无信号时的背景噪声和调频收音机无台时的背景噪声均是白噪声。
白噪声广泛用于环境声学测量中，可用来测量扬声器和耳机的谐振和灵敏度等。
粉红噪音简单说来，粉红噪音的频率分量功率主要分布在中低频段。
粉红噪音从人耳中听到的是平直的频率响应——"非常悦耳的一种噪声"。
粉红噪音最常用于进行声学测试的声音，可以测试出音域是否平坦或过多或不足。
从频谱图分析，两种噪音的区别：图一是粉红噪声（pink noise）的频谱，图二是白噪声（white noise）的频谱，两个图的频率都是对数座标(X轴)我们知道，由于噪声频谱分配不同，使得在听感上会有差异。
由上图可知：1、从频谱仪的图形上看，白噪声在全频谱内是一条平直的线，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。
粉红噪声，从波形角度看，粉红噪音是分形的，是-3dB/Oct的斜率，以其倍数频率向下衰减。
即1倍频，2倍频……频率越高谱线高度越低。
粉红噪声与白噪声一样都是无规噪声，都具有连续的噪声谱，不同之处在于,粉红噪声的功率谱密度与频率成反比。
2、在对数坐标中，起输出为一水平线，白噪声的能量是以每倍频程增加3dB分布的，粉红噪声是均匀分布的；3、在线性坐标中，白噪声的能量分布是均匀的，粉红噪声是以每倍频程下降3dB分布的；噪声能量在每倍频程内是相等的。
数字信号处理第10章习题
第十章习题10－1. 试证明随即过程统计平均量的下列性质： (a) ][][][m n m n y E x E y x E +=+ (b)][][n n x aE ax E =【解题思路】从定义去证明。
证明：(a)][][),(),(),(),(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,()(][22m n y x x x y y x y x y x y x y x y x m n y E x E dy m y yp dx n x xp n x p xn x P yx m y n x P dyy x m y n x P dy m y n x p dxdym y n x yp dxdy m y n x xp dxdym y n x p y x y x E m n n n m n m n m n m n m n m n +=+∴=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+-∞=∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-+∞∞-+∞∞-上式＝(b)][),(),(][n x x n x aE dx n x xp a dx n x axp ax E n n ===⎰⎰+∞∞-+∞∞-10－2. 设x(n)和y(n)是两不相关的随机序列，试证： 如果w(n)=x(n)+y(n)，则y x μμμω+=和222y x σσσω+=【解题思路】从定义去证明。
证明：yx w y x n y E n x E n y n x E n w E n y E u n x E μμμμ+=+=+==∴==)]([)]([)]()([)]([)]([)]([用上题结论])()))(()((2))()([(])))()([(]))([(]))([(]))([(222222222y x y x y x w w y y x x n y n x n y n x E n y n x E n w E n y E n x E μμμμμμμσμσμσ++++-+=--+=-=∴-=-= 又证明：2)()]}([)]([){()]()([)()]))(()([(y x y x y x y x n y E n x E n y n x E n y n x E μμμμμμμμ+=++=++=++222222222222222222])([])([])(2)()([)]([)]([)]()([)()()]()([2)]([)]([]))()([()(]))()([(])())()([(yx y x y x y x w yx y x y x w n y E n x E n y n x E n y E n x E n y n x E n y n x n y n x E n y E n x E n y n x E n y n x E n y n x E σσμμμμμμσμμμμμμσ+=-+-=+-++=∴=⋅∴++++-+=+-+=∴＝不相关与由于＝其中10－3. 某一个随机过程的取样序列x(n)的形式为)cos()(0θω+=n n x式中θ是一个均匀分布的随机变量，其概率密度如图。
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
带通白噪声
jt
dt
d
x(
)
h(t
)
e
j (t
)
dt
e
j d
x( )H ()e j d
H () X ()
∴ Y () X () H () 当 y (t) x(t) * h(t)
上式表明，线性时不变系统的输出完全由系统的输 入与系统的冲击响应卷积确定。这是在时间域给出 了系统输出表示形式。当输出信号比较复杂时，我 们同样考虑通过付氏变换将其变换到频率去研究， 进而使问题得以简化。
3. 线性时不变系统输出信号的付氏变换
对于一个线性不变系统， x(t),h(t), y(t) 设其相应的
而 L [ (t )] 表示有个 (t ) 的输入函
数通过线性系统，其输出可记为
h (t, ) L [ (t )]
显然，h (t, ) 可称为 (t ) 函数（冲激函数）
的冲激响应。
8
y (t) x( ) h(t, )d
②线性时不变系统
E
X
(t)
h( ) X
(t
)
d`
E
X
(t)
h()
X
(t
)
d
E [X (t)X (t )] h() d
若 X (t) 为平稳过程，则有
RX ( ) h() d RXY ( )
Y (t)
设系统的输入 X (t) ，是两个联合平稳且单独， 平稳的随机过程 X1(t) 与X 2 (t) 的和，即
10 白噪声过程通过线性系统讲解
f
df
FY f0
H jf 2 df
0 H jf0 2
2、噪声等效通频带－低通
对低通滤波器来说：
fe
0
FY
f
df
FY 0
0
H jf 2 H 0 2
df
3、噪声等效通频带－结论：
噪声通频带如信号通频带那样，仅 由线性电路本身决定。
0
cos cos0 sin sin 0 d
N0
K
2 0
2
0 0
e2 / 2
cos
cos0 d
N0
K
2 0
cos 0
0 e2 / 2 cos d
0
N0
K
2 0
cos 0
e2 / 2 cos d
2
H j 2d
0
或
2 Y
N0
H
jf
2
df
这里
2
f
0
4、冲击响应法
RX ( )
N0 2
( ),因此
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
N0 ( ) h( ) h( )
2
N0 h( ) h( ) N0
(0)
sin
相关时间0
sin d 1
0
2 4f
3、噪声通频带
由于输出噪声的功率谱为矩形，系统 的噪声通频带等于信号的通频带，即：
fe
白噪声的产生和应用
，A不能 的伪随机数
• 不同的A值对应的随机序列的周期：
• T=
• 64 NaN 3 5 11 13 19 21 … A=4*i-2-(-1)^i
• 32 NaN 7 9 23 25 39 41 … A=8*i-4-(-1)^i*3
• 16 NaN 15 17 47 49 79 81 … A=16*i-8-(-1)^i*7
白噪声的产生和应用
组员：黄健 张颖 蔡朋飞 主讲人：黄 健
白噪声的产生方法
1.均匀随机数的产生 • 乘同余法 • 混合同余法 2.正态随机数的产生 • 统计近似抽样法 • 变换抽样法 3.M序列
均匀随机数的产生
1.乘同余法 第一步：递推式 其中 太小。初值 取正奇数。 第二步： 为伪随机数，周期为
接收 E ＋ X1 用户
Y m序列 产生器
原始信码 X1 m序列 Y
加密输出 E 解密输出 X1
10 110 100 11 11 000 010 11 01 110 110 00 10 110 100 11
3.误码率的测量
m序列 发生器
数传机 发送端
信道
数传机 接收端
＋
误码 计数器
m序列 发生器
A=256*i+1
A=179时产生的随机序列，周期：T =64
2.混合同余法 第一步：递推式 其中： c为正整数，初值 为非负整数 第二步： 是周期为 的伪随机数
M=2^8时，不同的c值对应的随机序列的周期：
• T=
• 256 NaN 10 14 18 22 …c=4*i-2
Ci
M序列
n级线性移位寄存器的如图：
＋
＋
＋
c0＝1
c1
北大随机信号分析基础课件3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽
3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽3.2.1 白噪声通过线性系统设线性系统的传输函数为)(ωH ，输入白噪声功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ωω=上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(ωH 决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。
输出自相关函数为：ωωπωωπτωτωτd e H N d e N H R j j Y ⎰⎰∞∞-∞∞-==2002)(42)(21)(输出平均功率为：ωωπd H N R t Y E Y ⎰∞∞-==202)(4)0()]([3.2.2 等效噪声带宽若在保持平均功率)0(Y R 不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。
若等效的功率谱密度的高度为2)0(H ，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e ω∆。
1．对于低通系统，用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：ee e H H ωωωωω∆>∆≤=)0()(22等效后系统输出的平均功率为：2020)0(2)(221)0(H N d H N R e e Y πωωωπ∆==⎰∞∞- 已知ωωπd H N R Y ⎰∞∞-=2)(4)0(可得ωωωωωππωd H H d H N H N e e ⎰⎰∞∞-∞∞-=∆=∆222020)0()(21)(4)0(2又2)(ωH 是偶函数，有ωωωd H H e ⎰∞=∆022)0()(2．若系统是以0ω为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在20)(ωH 处。
用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：其它022)()(00202ee e H H ωωωωωωω∆+<<∆-=等效后系统输出的平均功率为：20020)(2)(221)0(ωπωωωπH N d H N R e e Y ∆==⎰∞∞- 已知等效前系统输出的平均功率为：ωωπωωπd H N d H N R Y ⎰⎰∞∞∞-=02020)(2)(4)0(＝ 则有ωωωωωπωωωπd H H H N d H Ne e ⎰⎰∞∞=∆∆=0202200020)()()(2)(2等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。
白噪声通过线性系统
17
色噪声的产生与色噪声的白化
18
2 sin N 0 K 0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
相关系数
输出的平均功率
用相关系数的包络（慢变化）定义输出过程的相关时间：
0
0
sin
2 d 1 2f 2
与低通滤波器输出过程的相关时间定义相同
10
•白噪声通过高斯型带通系统
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( )
G X ( ) G X ( ) G X ( ) 4mX 1mX 2 ( )
1 2
G
GY ( )
若两个输入任一个零均值
RX ( ) RX ( ) RX ( )
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
1、用于系统辨识（ P90， 95） 2、色噪声（平稳过程）的产生
6
•白噪声通过理想低通系统 |H()| K0 -/2 /2
K 0 | H ( ) | 0
/ 2 / 2 other
输出物理谱（频域特征）：
N0 K 2 0 / 2 2 0 FY ( ) N0 H ( ) other 0
0
•对于带通系统
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0 ) H (0 )
•低通
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0) H (0)
系统等效的噪声带宽能反映系统输出的噪声功率， 通常作为比较线性系统性能的判据（如信噪比）。 仅用e 和 H (0 ) 就可以描述复杂的线性系统及其 噪声响应
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| H(j) |
C0
0 0
0
5、输出窄带噪声的总平均功率
输出窄带噪声的总平均功率为
RY
(0)
N 0 K 0 2 2
sin( /
/ 2) 2
cos 0
| 0
N 0 K 0 2 2
N 0 K 0 2 f
a(0)
输出窄带噪声总平均功率与系统带宽成正比
(0)
sin
相关时间0
sin d 1
0
2 4f
3、噪声通频带
由于输出噪声的功率谱为矩形，系统 的噪声通频带等于信号的通频带，即：
fe
f
2
,故有关系式
0fe 1/ 4,也即0与fe成反比。
若fe大，则
0
2
根据对称性：
Rh (
)
2
e| |
3、输出自相关函数
RY ( ) RX ( z)Rh (z)dz
N0
(
z)
e | z| dz
2
2
N0 ( z)e|z|dz 4
N0 e| |
4
4、相关系数和相关时间
0
cos cos0 sin sin 0 d
N0
K
2 0
2
0 0
e2 / 2
cos
cos0 d
N0
K
2 0
cos 0
0 e2 / 2 cos d
0
N0
K
2 0
cos 0
e2 / 2 cos d
0
N
0
K
2 0
2
e 2 2 / 4
cos 0
问题：等式为 什么成立？
4、输出噪声的相关系数及相关时间
输出噪声的相关系数为
rY ( )
RY ( )
RY (0)
2 2
e4
cos 0
此窄带噪声的相关时间为
0
2 2
e 4 d
0
N0 2
|
H(
j) |2
输出功率就不一定是均匀的！
RY
(
)
1
+
|
0
H(
j )
|2
GX
() cos d
N0
+
|
H(
j )
|2
cos d
2 0
输出自相关不再是理想脉冲！
3、频谱法－方差
因为白噪声为零均值，故
2 Y
CY
(0)
RY
(0)
N0
第9讲 回顾
主要内容
– 联合平稳互相关函数 – 非平稳输出过程的相关函数
主要结论
– 随机过程通过线性系统的输出输入相 关函数、功率谱密度与系统传递函数 之间的关系。
第10讲
白噪声过程通过线性系统
X(t) h(t) Y(t)
白噪声
低通、 高通滤 波器等
应用背景－模拟集成电路设计
信息采集的前端，信号非常微弱， 需要采用放大器进行放大，在放大 器的前端对噪声非常敏感，需要对 热噪声和1/F进行分析，只有噪声抑 制到一定程度才能提取出有用信号。
N
0
K
2 0
| 0 | / 2
0
| 0 | / 2
3、输出过程的自相关函数
其自相关函数为
RY
( )
1
2
GY ()cos d
0
1
2
0＋ / 2 0－ / 2
N0K02
cos d
N0 K02 2
1、输出过程的功率谱 2、输出自相关函数 3、噪声通频带
1、输出过程的功率谱
| H ( j) | 0K0
其它
输入白噪声功率谱
为 N0 / 2,因而
GY () GX () | H ( j) |2
N0K 2
2 0
0
rY ( )采用包络来代替
5、相关时间 注释
0
2 2
e 4 d
0
高斯型带通滤波器，参数 决定系
统通频带 f ，故相关时间 0 与系
统通频带 f 成反比。
本次作业
P 125, 第12，13，15 P126，第24 P127，第27
谢谢大家
cos 0
e 2 / 2 cos d
0
问题：分母系 数为什么是2？
3、输出过程的相关函数
RY
( )
N0 K02
2
e 2 / 2
0
cos cos0 sin sin 0 d
N0
K
2 0
2
e 0 2 / 2
2
H j 2d
0
或
2 Y
N0
H
jf
2
df
这里
2
f
0
4、冲击响应法
RX ( )
N0 2
( ),因此
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
N0 ( ) h( ) h( )
2
N0 h( ) h( ) N0
rY ( )
RY ( )
RY (0)
e | |
0
0 rY ( )d
e| |d 1 1
0
4fe
白噪声通过RC电路，若RC很大，即 很小，则
噪声通频带很小，相关时间很大。此时只有低频
分量才能通过电路，噪声起伏程度小，相关性强。
白噪声通过RC积分器－小结
N0K02
exp
(
0 2
)2
可知，白噪声过程通过具有高斯形频率
特性的窄带线性系统后，输出过程的功
率谱密度函数仍然是高斯形的。
3、输出过程的相关函数
输出过程的相关函数
RY
(
)
1
2
0 GY () cos d
N
0
K
2 0
2
0
exp
RY () a ()
0
(t)只含 / 2成分，与
cos0 相比，是慢变化
cos0
( )d
相关时间0
0
(0)
0
sin( / 2) ( / 2)
d
问题
相关时间 0
2 fe
0
fe
1 矛盾？ 2
| H( j)|
f
df
FY f0
H jf 2 df
0 H jf0 2
2、噪声等效通频带－低通
对低通滤波器来说：
fe
0
FY
f
df
FY 0
0
H jf 2 H 0 2
df
3、噪声等效通频带－结论：
噪声通频带如信号通频带那样，仅 由线性电路本身决定。
一、一般概念
1、基本假设 2、频谱法－自相关函数 3、频谱法－方差 4、冲击响应法
1、基本假设
冲击响应 h(t)
传递函数 H ( j)
输入噪声 X (t)的功率谱G N0 / 2 输出过程 Y (t) ?
2、频谱法－自相关函数
GY
()
GX
() |
H(
j)
|2
六、白噪声通过高斯带通系统
1、近于高斯曲线的频率特性 2、输出过程的功率谱密度函数 3、输出过程的相关函数 4、输出噪声的相关系数及相关时间 5、相关时间注释
1、近于高斯曲线的频率特性
在通信、雷达等各类接收机中，常常采用单调
谐多级中频放大器，其回路越多，频率特性就
越接近于高斯曲线。例如，五级单调谐中频放
FY (0 )
0
0
e
FY 0 e
0
FY
d
e
0
FY
d
FY 0
H j 2 d
0
H j0 2
1、噪声等效通频带
FY ()
FY (0 )
0
0
e
e 2fe
fe
0
FY
分析各个器件以及构成的电路的噪 声进行分析。
信号处理中－线性信号模型
有一类平稳随机序列，它是用白噪声 激励线性时不变系统产生的，特别是 系统函数为有理函数。
这样输出功率谱密度也是有理函数， 它的形状完全由滤波器的系数决定。 估计信号就是估计滤波器中的参数。
主要内容
一、一般概念 二、噪声等效频带 三、白噪声通过RC积分器 四、白噪声通过理想低通系统 五、白噪声通过理想带通系统 六、白噪声通过高斯带通系统
但是仅采用包络，这种做法不对！
0