2019届高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第1讲 函数及其表示
2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2-10函数模型及其应用课件文
4．(2017·湖北孝感模拟)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙 中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝aent；假设过
5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a4 L，则 m 的值为( )
A．5
B．8
C．9
D．10
[解析] 由题意得 ae5n＝a－ae5n，可得 e5n＝0.5，若再过 m min
[答案] A
3．(2018·北京朝阳区模拟)为了缓解城市拥堵，某市对非居民
区的公共停车场制定了不同的收费标准(见下表).
地区类别 首小时内
首小时外
一类 2.5 元/15 分钟 3.75 元/15 分钟
二类 1.5 元/15 分钟 2.25 元/15 分钟
三类 0.5 元/15 分钟 0.75 元/15 分钟
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
[小题速练]
1．某沙漠地区的某天某时段气温(℃)与时间(h)的函数关系是
f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大℃
C．64℃
D．68℃
[解析] 易知当 t＝12 时，f(t)max＝43，当 t＝4 时，f(t)min＝－
甲桶中的水只有a4 L，可得 ae(5＋m)n＝a4，解得 m＝5.故选 A. [答案] A
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 二次(一次)函数模型——常考点 (2017·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们
的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害， 为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元， 搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元， 其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发 现种西红柿的年收入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位： 万元)与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋4 2a，Q＝14a＋120，设 甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单 位：万元)．
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示 Word版含解析
第2章函数、导数及其应用2．1函数及其表示[知识梳理]1．函数与映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y ＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．必记结论函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有n m个．(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(4)f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 23T 2)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案 C解析 由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.(2)(必修A1P 18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 项，函数g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝x ＋1的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D项，由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≥0，解得x ≥1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1}．由x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，即g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选A.3．小题热身(1)(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1) D ．(0,1]答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2答案 C解析 因为f (1)＝－2，所以f (－2)＝－2.故选C.题型1 函数的概念典例1 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x用定义法．答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应．选项C 不符合，因为当x ＝4时，y ＝83∉B .故选C.典例2 (2018·秦都区校级月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( )①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；④f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5. A ．①② B ．②③ C ．③D ．③④用定义法．答案 C解析 对于①，y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3＝x －5(x ≠－3)，与y 2＝x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数．对于②，f (x )＝x ，与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，不是同一函数．对于③，f (x )＝x (x ∈R )，与g (x )＝3x 3＝x (x ∈R )的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．对于④，f 1(x )＝(2x －5)2＝2x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥52， 与f 2(x )＝2x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数． 综上，以上是同一函数的是③.故选C. 方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．见典例1.2．两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．见典例2.冲关针对训练1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．故选C.2．下列函数中一定是同一函数的是________． ①y ＝x 与y ＝a log a x ；②y ＝2x ＋1－2x 与y ＝2x ； ③f (u )＝1＋u1－u，f (v )＝ 1＋v1－v； ④y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)． 答案 ②③解析 ①y ＝x 与y ＝a log a x 定义域不同． ②y ＝2x ＋1－2x ＝2x (2－1)＝2x 相同． ③f (u )与f (v )的定义域及对应法则均相同． ④对应法则不相同．题型2 函数的定义域典例1 (2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]列不等式组求解．答案 C解析 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，(x －3)(x －2)x －3>0，解之得2<x <3或3<x ≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.典例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫12，1已知f (x )，x ∈[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，则a <g (x )<b .答案 B解析 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.故选B.[结论探究] 典例2中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域．解 函数f (3x ＋1)有意义，需－1<3x ＋1<0，解得－23<x <－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1<x <－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.[条件探究] 若典例2中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解 因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，所以－2<x －1<－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2<2x ＋1<－1，解得－32<x <－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.方法技巧1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．见典例1.(2)抽象函数(见典例2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．冲关针对训练1．(2017·临川模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 D解析 由y ＝f (x ＋1)定义域[－2,3]得y ＝f (x )定义域为[－1,4]，所以－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52.故选D.2．(2018·石河子月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，则y ＝f (x －1)＋2－x 2x 2－3x －2的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1D ．(－∞，2)答案 A解析 ∵函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)， ∴y ＝f (x －1)＋2－x 2x 2－3x －2中，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，2－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x ≤2，x ≠－12或x ≠2，即x <2且x ≠－12，∴f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.故选A.题型3 求函数的解析式典例1 已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 配凑法．解 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，故f (x )＝x 2－2，且x ≤－2或x ≥2.典例2 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．换元法．解 令t ＝2x ＋1>1，得x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg2x －1(x >1)．典例3 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．待定系数法．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，对f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．典例4 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．方程组法．解 由f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，消掉f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 可得f (x )＝23x ＋13. 方法技巧函数解析式的常见求法1．配凑法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．见典例1.2．待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．见典例3.3．换元法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．见典例2.4．方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (－x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．见典例4.冲关针对训练1．(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (e)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．e答案 A解析 根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值，设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1， 即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1， 则f (x )＝ln x ＋1， 则f (e)＝ln e ＋1＝2.故选A.2．已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )．解 解法一：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，求f (x )．解 (消元法)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，①以1x 代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x －1，② ①×2－②得3f (x )＝6x －3x －1， 故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).题型4 求函数的值域角度1 分式型典例 求f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域． 分离常数法．解 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1， ∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.角度2 根式型典例 求函数的值域． (1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法．解 (1)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值， ∴函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. (2)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4. ∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1.∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]． 角度3 对勾型函数典例 求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域．用分类讨论法．解 y ＝log 3x ＋log x 3－1，变形得y ＝log 3x ＋1log 3x －1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x <0，即0<x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”． 综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 角度4 单调性型典例 函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)本题用复合函数“同增异减”的单调性原则求解．答案 A解析 根据对数函数的定义可知，真数3x ＋1>0恒成立，解得x ∈R .因此，该函数的定义域为R ，原函数f (x )＝log 2(3x ＋1)是由对数函数y ＝log 2t 和t ＝3x ＋1复合的复合函数，由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的．根据指数函数的性质可知，3x >0，所以，3x ＋1>1， 所以f (x )＝log 2(3x ＋1)>log 21＝0.故选A. 角度5 有界性型典例 求函数y ＝1－2x1＋2x的值域． 本题用转化法．解 由y ＝1－2x 1＋2x可得2x＝1－y 1＋y . 由指数函数y ＝2x 的有界性可知2x >0， ∴1－y1＋y>0，解得－1<y <1. 所以函数的值域为(－1,1)． 角度6 数形结合型典例 求函数y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的值域． 本题用数形结合法．解 函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点， A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，如图． ∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.方法技巧求函数值域的常用方法1．分离常数法(见角度1典例) 2．配方法(见角度2典例(1)) 3．换元法(见角度2典例(2)) (1)代数换元； (2)三角换元．4．有界性法(见角度5典例) 5．数形结合法(见角度6典例) 6．基本不等式法(见角度3典例) 7．利用函数的单调性(见角度4典例) 冲关针对训练求下列函数的值域：(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2；(2)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 解 (1)∵x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2≤12， ∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.(2)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以y ∈[10，＋∞).题型5 分段函数角度1 求分段函数的函数值 典例 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12确定自变量所在区间，代入相应解析式．答案 C解析 ∵－2<1，log 212>1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 角度2 求参数的值典例 (2018·襄阳联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f [f (14－a )]＝________.本题用方程思想求a ，再根据区间分类讨论，由内到外，逐层求解．答案 －158解析 当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，解得a ＝7，所以f [f (14－a )]＝f [f (7)]＝f (－3)＝2－3－2＝－158.角度3 分段函数与不等式的交汇典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法．答案 D解析由题意作出y＝|f(x)|的图象：由图象易知，当a>0时，y＝ax与y＝ln (x＋1)的图象在x>0时必有交点，所以当a≤0，x≥0时，|f(x)|≥ax显然成立；当x<0时，要使|f(x)|＝x2－2x≥ax恒成立，则a≥x－2恒成立，又x－2<－2，∴a≥－2.综上，－2≤a≤0.故选D.方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1．求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．见角度2典例．2．求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．见角度2典例．3．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．见角度3典例．4．数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准．见角度3典例．冲关针对训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]答案 D 解析依题意可知⎩⎨⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎨⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]．故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2018)＝________.答案 1008解析 根据题意：f (2018)＝f (2016)＋1＝f (2014)＋2＝…＝f (2)＋1008＝f (0)＋1009＝1008.1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C.2．(2018·河北名校联盟联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.故选A.3．(2018·工农区模拟)函数y ＝x ＋1－1－x 的值域为( ) A ．(－∞，2] B ．[0，2] C ．[－2，2] D ．[－2，0]答案 C 解析要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1,1]，根据函数的解析式，x 增大时，x ＋1增大，1－x 减小，－1－x增大，所以y 增大，即该函数为增函数．所以最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (1)＝2， 所以值域为[－2，2]．故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－14，＋∞解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论． 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1， 解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立． 当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立． 综上可知，x ＞－14.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B ．89 C ．－2716 D ．18答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t15(t >0)，∴f (t )＝lg t15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎨⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a C ．[－a,1－a ]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2答案 A 解析⎩⎨⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a2≤x ≤1－a 2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4x D ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x 2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1， 故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )． 综合①②③知a ≥23.故选C. 二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析 当x ≥1时，f (x )＝2x－1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎨⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解(1)依题意得⎩⎨⎧x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)． (2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9， ∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13.综上，得a ＝13.16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且 f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.31 (2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2， 故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。
【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示配套课件 理 新人教A版
【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一 函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实 数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x， 则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在 元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是 同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关， 可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换 元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求 解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第1讲 函数及其表示课件
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若本例(2)中条件变为：“函数 f(x－1)的 定义域为(－1,0)”，则结果如何？
解析 若 a<0，则 f(a)<1⇔12a－7<1⇔12a<8，解得 a> －3，故－3<a<0；若 a≥0，则 f(a)<1⇔ a<1，解得 a<1， 故 0≤a<1.综合可得－3<a<1.故选 C.
考点 4 分段函数
若函数在定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
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[必会结论] 1．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与 x 轴垂 直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点． 2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对 应关系完全一致． 3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集， 其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分 组成，但它表示的是一个函数．
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝a 最多有 2 个交 点．( × ) (2)函数 f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t 是同一函数．( √ ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是 相等函数．( × ) (4)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的映射．( × )
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版
●命题角度三 分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所 以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一 函数解析式的求法 【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二 分段函数——多维探究 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段 函数与不等式问题．
●命题角度一 分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，
2019版高考数学文高分计划一轮高分讲义：第2章函数、
第2章函数、导数及其应用2．1函数及其表示[知识梳理]1．函数与映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y ＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．必记结论函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有n m个．(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(4)f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 23T 2)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案 C解析 由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.(2)(必修A1P 18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 项，函数g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝x ＋1的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≥0，解得x ≥1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1}．由x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，即g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选A.3．小题热身(1)(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1) D ．(0,1]答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2答案 C解析 因为f (1)＝－2，所以f (－2)＝－2.故选C.题型1 函数的概念典例1 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x用定义法．答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应．选项C 不符合，因为当x ＝4时，y ＝83∉B .故选C.典例2 (2018·秦都区校级月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( )①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；④f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5. A ．①② B ．②③ C ．③D ．③④用定义法．答案 C解析 对于①，y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3＝x －5(x ≠－3)，与y 2＝x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数．对于②，f (x )＝x ，与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，不是同一函数．对于③，f (x )＝x (x ∈R )，与g (x )＝3x 3＝x (x ∈R )的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．对于④，f 1(x )＝(2x －5)2＝2x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥52， 与f 2(x )＝2x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数． 综上，以上是同一函数的是③.故选C. 方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．见典例1.2．两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．见典例2.冲关针对训练1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{x|0≤x≤1}为值域的函数的是()答案 C解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．故选C.2．下列函数中一定是同一函数的是________．①y＝x与y＝a log a x；②y＝2x＋1－2x与y＝2x；③f(u)＝1＋u1－u，f(v)＝1＋v1－v；④y＝f(x)与y＝f(x＋1)．答案②③解析①y＝x与y＝a log a x定义域不同．②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x相同．③f(u)与f(v)的定义域及对应法则均相同．④对应法则不相同．题型2函数的定义域典例1 (2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]列不等式组求解．答案 C 解析依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，(x －3)(x －2)x －3>0，解之得2<x <3或3<x ≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.典例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1已知f (x )，x ∈[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，则a <g (x )<b .答案 B解析 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.故选B.[结论探究] 典例2中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域．解 函数f (3x ＋1)有意义，需－1<3x ＋1<0，解得－23<x <－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1<x <－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.[条件探究] 若典例2中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解 因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，所以－2<x －1<－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2<2x ＋1<－1，解得－32<x <－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.方法技巧1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．见典例1.(2)抽象函数(见典例2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．冲关针对训练1．(2017·临川模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 D解析 由y ＝f (x ＋1)定义域[－2,3]得y ＝f (x )定义域为[－1,4]，所以－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52.故选D.2．(2018·石河子月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，则y ＝f (x －1)＋2－x 2x 2－3x －2的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1D ．(－∞，2)答案 A解析 ∵函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，∴y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2中，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，2－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎨⎧x <2，x ≤2，x ≠－12或x ≠2，即x <2且x ≠－12，∴f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.故选A.题型3 求函数的解析式典例1 已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 配凑法．解 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，故f (x )＝x 2－2，且x ≤－2或x ≥2.典例2 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式． 换元法．解 令t ＝2x ＋1>1，得x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg2x －1(x >1)．典例3 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．待定系数法．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，对f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．典例4 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．方程组法．解 由f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，消掉f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 可得f (x )＝23x ＋13. 方法技巧函数解析式的常见求法1．配凑法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．见典例1.2．待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．见典例3.3．换元法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．见典例2.4．方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (－x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．见典例4.冲关针对训练1．(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (e)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．e答案 A解析 根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值，设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1， 即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1， 则f (x )＝ln x ＋1， 则f (e)＝ln e ＋1＝2.故选A.2．已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )．解 解法一：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，求f (x )．解 (消元法)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，①以1x 代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x －1，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x －1， 故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).题型4 求函数的值域角度1 分式型典例 求f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域． 分离常数法．解 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1， ∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.角度2 根式型典例 求函数的值域． (1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法．解 (1)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值， ∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4. ∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1.∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]． 角度3 对勾型函数典例 求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域．用分类讨论法．解 y ＝log 3x ＋log x 3－1，变形得y ＝log 3x ＋1log 3x －1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x <0，即0<x <1时，y ≤－2－1＝－3.当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 角度4 单调性型典例 函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)本题用复合函数“同增异减”的单调性原则求解．答案 A解析 根据对数函数的定义可知，真数3x ＋1>0恒成立，解得x ∈R .因此，该函数的定义域为R ，原函数f (x )＝log 2(3x ＋1)是由对数函数y ＝log 2t 和t ＝3x ＋1复合的复合函数，由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的．根据指数函数的性质可知，3x >0，所以，3x ＋1>1， 所以f (x )＝log 2(3x ＋1)>log 21＝0.故选A. 角度5 有界性型典例 求函数y ＝1－2x1＋2x的值域． 本题用转化法．解 由y ＝1－2x 1＋2可得2x＝1－y 1＋y .由指数函数y ＝2x 的有界性可知2x >0， ∴1－y1＋y >0，解得－1<y <1. 所以函数的值域为(－1,1)． 角度6 数形结合型典例 求函数y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的值域． 本题用数形结合法．解 函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点， A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，如图． ∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.方法技巧求函数值域的常用方法1．分离常数法(见角度1典例) 2．配方法(见角度2典例(1)) 3．换元法(见角度2典例(2)) (1)代数换元； (2)三角换元．4．有界性法(见角度5典例) 5．数形结合法(见角度6典例) 6．基本不等式法(见角度3典例)7．利用函数的单调性(见角度4典例) 冲关针对训练 求下列函数的值域：(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2；(2)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 解 (1)∵x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2≤12， ∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.(2)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以y ∈[10，＋∞).题型5 分段函数角度1 求分段函数的函数值 典例 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12确定自变量所在区间，代入相应解析式．答案 C解析 ∵－2<1，log 212>1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 角度2 求参数的值典例 (2018·襄阳联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f [f (14－a )]＝________.本题用方程思想求a ，再根据区间分类讨论，由内到外，逐层求解．答案 －158解析 当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，解得a ＝7，所以f [f (14－a )]＝f [f (7)]＝f (－3)＝2－3－2＝－158.角度3 分段函数与不等式的交汇典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法．答案 D解析 由题意作出y ＝|f (x )|的图象：由图象易知，当a >0时，y ＝ax 与y ＝ln (x ＋1)的图象在x >0时必有交点，所以当a ≤0，x ≥0时，|f (x )|≥ax 显然成立；当x <0时，要使|f (x )|＝x 2－2x ≥ax 恒成立， 则a ≥x －2恒成立，又x －2<－2，∴a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0.故选D. 方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1．求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．见角度2典例．2．求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．见角度2典例．3．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．见角度3典例．4．数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准．见角度3典例．冲关针对训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]答案 D解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]． 故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2018)＝________.答案 1008解析 根据题意：f (2018)＝f (2016)＋1＝f (2014)＋2＝…＝f (2)＋1008＝f (0)＋1009＝1008.1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C.2．(2018·河北名校联盟联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.故选A.3．(2018·工农区模拟)函数y ＝x ＋1－1－x 的值域为( ) A ．(－∞，2]B ．[0，2]C ．[－2，2]D ．[－2，0]答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1,1]，根据函数的解析式，x 增大时，x ＋1增大，1－x 减小，－1－x 增大，所以y 增大，即该函数为增函数．所以最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (1)＝2， 所以值域为[－2，2]．故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论． 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1， 解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立． 当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立． 综上可知，x ＞－14.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B ．89 C ．－2716 D ．18答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t15(t >0)， ∴f (t )＝lg t15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a C ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a2≤x ≤1－a 2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1x B ．f (x )＝e x －1 C ．f (x )＝x ＋4x D ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x 2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1， 故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )． 综合①②③知a ≥23.故选C. 二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥1时，f (x )＝2x－1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)． (2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13.综上，得a ＝13.16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且 f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。
2019年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用重点强化课1函数的图像与性质学案.docx
重点强化课（一）函数的图像与性质（对应学生用书笫26页）［复习导读］函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又 是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考 查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数 与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识.重点1函数图像的应用1 COS n X. 0, ~»例11己知为偶函数，当时，f^x ）=< 2x —L 十 gfd —的解集为（）I 3 当 X>-时，令 f\x ） =2x — 1W ㊁，解得-1 Q故有§£/0才因为心是偶函数，所以的解集为一扌，—扣片，彳，故 心一1）諾的解集为［母题探究1］在本例条件下，若关于X 的方程fg=k 有2个不同的实数解，求实数斤的则不等式当0WxW*时，令f3=cos “W ，解得是€；取值范围.［解］由函数代力的图像(图略)可知，当Q0或Q1时，方程fXx) =k 有2个不同的实 数解，即实数&的取值范圉是或Q1.［母题探究2］在本例条件下，若函数y=f(x)~k\x\恰有两个零点，求实数£的取值范围. ［解］函数y= f^x) —k\x\恰有两个零点，即函数y= f(x)的图像与y=k\x\的图像恰有 两个交点，借助函数图像(图略)可知斤$2或斤=0,即实数斤的取值范围为斤=0或k22. ［规律方法］1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左 右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.2. 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可市 解的个数求参数值或范圉.3. 有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解.［对点训练］已知函数/U)的图像是圆/+/=2上的两段弧，如图1所示，则不等式 f(x) >/'(-%) 一2/ 的解集是 ___________________ .【导学号：00090046］(-l,0)U (l,、但］［由图像可知，函数玖方为奇函数，故原不等式可等价转化为fg_x,在同一直角坐标系中分别画出y=f{x)与尸一JV 的 图像，由图像可知不等式的解集为(-1,0) U (l,、但］.］重点2两数性质的综合应用⑴(2017・石家庄质检(二))下列函数屮，既是偶函数又在(0, +oo)上单调递增的是(B. y=lg %C. y=\x\—l (2)已知fd)是定义在R 上的偶函数，且在区问(一g, 0)上单调递增.若实数々满足代2“角度1 单调性与奇偶性结合A. y=~)>f(—德)，则日的取值范围是()(1)C (2)C ［(1)函数丄是奇函数，排除A ；函数y=lg%既不是奇函数，也不是偶函X1是偶函数，且在(0, +8)上单调递增，故选C. ⑵因为是定义在R 上的偶函数，且在区间(一IO)上单调递增，所以 且 f(0 在(0, + oo)上单调递减.由 f(2“H) > f(—£), f(-y/2) = f(y/2)可得 2ia -11<V2,1 1 Q即 | a~ 1 | 所以7；V a<~ ] 角度2奇偶性与周期性结合若函数 f(x) =asin 2x+ Man x+1,且 f( —3)=5,则 f (兀+3)= _.—3 [令g(x)=wsin 2x+ Z?tan x,则g(x)是奇函数，且最小正周期是兀，由/( —3)= g(_3) + l=5,得 &(一3)=4,则 &(3) = —&(一3) = —4,则 f(兀+3) =g5+3)+1 = g(3)+l = _4+l = _3.] 角度3单调性、奇他性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数代劝满足f(x —4)= —f(x),且在区间［0,2］上是增函 数，贝虹 )【导学号：00090047】A. f(—25) Vf(ll) Vf(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. f(ll) Vf(80) Vf(—25)D. /(-25)<A8O)</'(11)D [因为 f(x)满足 f(x —4) = — /(%),所以fO-8) =/U)，所以函数fd)是以8为周期的周期函数，则代一25) =f( — l), A80) =f(o), All) = A3).由fd)是定义在R 上的奇函数，且满足fd —4)= —f(0,得A11)=A3)=-A-1) = Al).因为代方在区间［0, 2］上是增函数，f(0在R 上是奇函数，所以fd)在区间［一2, 2］上是增函数，所以 A-lXAOXAl),即 /(-25)</(80)</(11).］数,排除B ； 当 xG (0, + °°)时，排除D ；函数y=\x\ — 2-2 2-3 函数y= ”单调递减,［规律方法］函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化口变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.。
2019届高考数学(文)一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用--全部课件合编
函数及其表示
4．(2018· 黑龙江哈尔滨一模)若函数 f(f(1))的值是( A．－10 C．－2 ) B．10 D．2
2x＋2，x≤0， f(x)＝ x 2 －4，x>0，
则
解析：f(1)＝21－4＝－2，所以 f(f(1))＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝ －2，故选 C. 答案：C
)
x>－1， 所以 x≠1，
选 C.
答案：C
函数及其表示
3．下列图形可以表示为以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝ {y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：A 选项，函数定义域为 M，但值域不是 N，B 选项，函 数定义域不是 M，值域为 N，D 选项，集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不构成函数关系． 答案：C
解析：由映射的定义，A 中任取一个元素 x，B 中都有唯一确 定的 f(x)对应知①②错． 答案：C
函数及其表示
lgx＋1 2．函数 y＝ 的定义域是( x－1 A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
x＋1>0， 解析：由题意得 x－1≠0，
函数及其表示
1－x2 2．(2018· 贵阳监测)函数 y＝ 2 的定义域为( 2x －3x－2 A．(－∞，1] B．[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞) 1 1 D. －1，－2 ∪ －2，1
)
函数及其表示
2 1－x2 1－x ≥0， 解析：由函数 y＝ 2 得 2 解得 2x －3x－2 2x －3x－2≠0，
函数及其表示
1 5．已知 f（x ）＝x2＋5x，则 f(x)＝________.