数学(理科提高版)大一轮复习自主学习第9课二次函数、幂函数 Word版含解析

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第9课二次函数、幂函数【自主学习】第9课二次函数、幂函数(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P54测试7改编)函数f (x )=x 2+2x-3，x ∈[0，2]的值域为 . 【答案】[-3，5]【解析】由f (x )=(x+1)2-4，知f (x )在[0，2]上单调递增，所以f (x )的值域是[-3，5].2.(必修1P47习题9改编)若函数y=x 2+(a+2)x+3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x=1对称，则b= . 【答案】6【解析】由二次函数y=x 2+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称，可得-22a +=1，所以a=-4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x=1对称，所以2a b+=1，所以b=6. 3.(必修1P44习题3改编)函数f (x )=222-1[0)-2-1(-0)x x x x x x ∈∞∈∞⎧++⎨+⎩，，，，，的单调增区间是 . 【答案】R【解析】画出函数f (x )的图象可知.4.(必修1P89练习3改编)若幂函数y=f (x )的图象经过点193⎛⎫⎪⎝⎭，，则f (25)= .【答案】15【解析】设f (x )=x α，则13=9α，所以α=-12，即f (x )=1-2x ，所以f (25)=15.5.(必修1P73练习3改编)已知幂函数y=(m 2-5m+7)·2-6mx在(0，+∞)上单调递增，那么实数m= . 【答案】3【解析】由题意得22-571-60m m m ⎧+=⎨>⎩，，解得m=3.1.二次函数的三种表示方法： (1)一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)； (2)两点式： y=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)； (3)顶点式： y=a (x-x 0)2+n (a ≠0).2.二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)图象的对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.3.一元二次方程根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f (x )=ax 2+bx+c=0(a>0).(1)若f (x )=0在(m ，n )(m<n )内有且只有一个实数解，则需满足f (m )·f (n )<0或f (m )=0，另一根在(m ，n )内或f (n )=0，另一根在(m ，n )内.(2)若f (x )=0在(m ，n )(m<n )内有两个实数解，则需满足2-40()0()0-2b ac f m f n b m na ⎧∆=≥⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，，，.(3)设x 1，x 2为方程f (x )=0的两个实数根，若x 1<m<x 2，则f (m )<0；若m<x 1<n<p<x 2<q，则需满足()0()0()0()0f m f n f p f q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，，，.(4)若方程f (x )=0的两个实数根中一根小于m ，另一根大于n (m<n )，则需满足()0()0f m f n <⎧⎨<⎩，.(5)若一元二次方程f (x )=0的两个实数根都大于r ，则需满足2-40-2()0b ac br a f r ⎧∆=≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，，. 4.幂函数的图象与性质由幂函数y=x ，y=12x ，y=x 2，y=x -1，y=x 3的图象，可归纳出幂函数的性质如下： (1)幂函数在(0，+∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1，1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，+∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，且在(0，+∞)上单调递减. 5.五种幂函数的比较 (1)图象比较：(2)性质比较：函数特征性质y=x y=x 2 y=x 3y=12xy=x -1定义域R R R [0，+∞) {x|x≠0}值域R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增当x∈[0，+∞)时，单调递增；当x∈(-∞，0]时，单调递减增增当x∈(0，+∞)时，单调递减；当x∈(-∞，0)时，单调递减公共点(1，1) 【要点导学】要点导学各个击破幂函数的图象与性质例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.(1)y=23 x；(2)y=3-2 x；(3)y=x-2.【思维引导】求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.【解答】(1)要使函数y=23x 有意义，只需y=32x 有意义，即x ∈R ，所以函数y=23x 的定义域是R .又f (-x )=f (x )，所以函数y=23x 是偶函数，它在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数.(2)要使函数y=3-2x 有意义，只需y=3x 有意义，即x ∈(0，+∞)，所以函数y=3-2x 的定义域是(0，+∞).由于函数y=3-2x 的定义域不关于原点对称，所以函数y=3-2x是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.(3)要使函数y=x -2有意义，只需y=21x 有意义，即x ≠0，所以函数y=x -2的定义域是{x|x ≠0}.又f (-x )=f (x )，所以函数y=x -2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.【精要点评】熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础.在函数解析式中含有分数指数幂时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.变式如果幂函数f (x )=213-22p p x++(p ∈Z )是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式.【解答】因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以-12p 2+p+32>0，即p 2-2p-3<0，所以-1<p<3.又因为f (x )是偶函数且p ∈Z ，所以p=1，故f (x )=x 2.【精要点评】幂函数y=x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凹；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凹.求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.【思维引导】由不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)，可先把f(x)表示出来，再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求出a，从而求出f(x)的解析式，最后把其最大值表示出来，求a的取值范围.【解答】(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-1 5.又a<0，所以a=-1 5.将a=-15代入①得f(x)的解析式为f(x)=-15x2-65x-35.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=212-aa xa+⎛⎫⎪⎝⎭-241a aa++及a<0，得f(x)的最大值为-241a aa++.由241-0a aaa⎧++>⎪⎨⎪<⎩，，解得a<-2-3或-2+3<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0).【精要点评】二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.变式(2015·栟茶中学)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1，10)，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的解析式.【解答】由题意可设f(x)=a(x+1)2+10，即f(x)=ax2+2ax+a+10，所以b=2a，c=a+10.设方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则21x+22x=12，即(x1+x2)2-2x1x2=12，所以(-2)2-2×10aa+=12，解得a=-2，所以f(x)=-2x2-4x+8.二次函数的图象和性质(最值)微课3● 问题提出二次函数的图象与性质的重要应用是求函数的最值，那么利用二次函数的性质求函数的最大(小)值的解题模板是怎样的呢?● 典型示例例3函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a)的函数表达式；(2)求g (a )的最大值. 【思维导图】【规范解答】(1)①当a<-2时，函数f (x )的对称轴x=2a<-1，则g (a )=f (-1)=2a+5；②当-2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x=2a∈[-1，1]，则g (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3-22a ；③当a>2时，函数f (x )的对称轴x=2a>1，则g (a )=f (1)=5-2a.综上所述，g (a )=225-23--2225-2 2.a a a a a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，(2)①当a<-2时，由(1)知g (a )<1；②当-2≤a ≤2时，由(1)知g (a )∈[1，3]；③当a>2时，由(1)知g (a )<1.综合①②③可得g (a )max =3.【精要点评】(1)利用二次函数的性质求函数的最大(小)值，一定要结合图形来分析在何处取得最值，当题目中含有参数时，要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；(2)利用图象求函数的最大(小)值；(3)利用函数单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y=f (x )在x=b 处有最大值f (b )；如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y=f (x )在x=b 处有最小值f (b ).● 总结归纳二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要熟练掌握，特别是含参数的两类问题(定轴动区间、定区间动轴)的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.● 题组强化1.函数y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为.【答案】0【解析】因为y=3+2x-x2=-(x-1)2+4，所以函数在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，所以y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为y=3+2×3-32=0.2.(2014·泰州中学)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3，若函数f(x)在[-1，3]上的最大值为1，则实数a= .【答案】-13或-1【解析】函数f(x)的对称轴为直线x=-2-12a.①当-2-12a≤1，即a≥-12时，f(x)max=f(3)=1，所以6a+3=1，即a=-13，满足题意；②当-2-12a>1，即a<-12时，f(x)max=f(-1)=1，所以-2a-1=1，即a=-1，满足题意.综上，a=-13或-1.3.(2015·南京阶段测试)设函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值为g(t).(1)求g(t)的解析式.(2)作出g(t)的大致图象，并写出g(t)的最小值.【解答】(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8.当t>2时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，所以g(t)=f(t)=t2-4t-4；(第3题)当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=-8；当t+1<2，即t<1时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，所以g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.综上可知，g(t)=22-2-71 -812-4-4 2. t t ttt t t⎧<⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，，，(2)g(t)的大致图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为-8.4.已知13≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.【解答】(1)f(x)=ax2-2x+1=21-a xa⎛⎫⎪⎝⎭+1-1a，由题设知1≤1a≤3.当1≤1a≤2，即12≤a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=9a-5-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=9a+1a-6；当2<1a≤3，即13≤a<12时，M(a)=f(1)=a-1，N(a)=f(x)min =1-1a，g(a)=(a-1)-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=a+1a-2.所以g(a)=111-232119-6 1.2a aaa aa⎧+≤<⎪⎪⎨⎪+≤≤⎪⎩，，，(2)当13≤a1<a2<12时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1211a a⎛⎫-⎪⎝⎭<0，所以g(a)在1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12；当12≤a1<a2≤1时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1219-a a⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以g(a)在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12. 三个“二次”之间的转换例4已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.(1)若存在x∈R使得f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)存在x∈R，使得f(x)<b·g(x)⇒x2-bx+b<0的解集不是∅⇒二次函数f(x)=x2-bx+b的图象与x轴有两个交点⇒Δ>0.(2)先结合判别式的符号研究函数y=F(x)的图象，再根据翻折变换研究函数y=|F(x)|在[0，1]上的图象，利用数形结合思想讨论对称轴和零点的位置确定参数m的取值范围.【解答】(1)存在x∈R，f(x)<b·g(x)⇒存在x∈R，使得x2-bx+b<0⇒(-b)2-4b>0⇒b<0或b>4.故实数b的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞).(2)F(x)=x2-mx+1-m2，Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.①当Δ≤0，即-255≤m ≤255时，必须2m≤0，则-25≤m ≤0.②当Δ>0，即m<-25或m>25时，设方程F (x )=0的根为x 1，x 2(x 1<x 2).若2m≥1，则x 1≤0，即212(0)1-0mF m ⎧≥⎪⎨⎪=≤⎩，⇒m ≥2；若2m≤0，则x 2≤0，即202(0)1-0mF m ⎧≤⎪⎨⎪=≥⎩，⇒-1≤m<-25.综上所述，实数m 的取值范围为[-1，0]∪[2，+∞).【精要点评】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称三个“二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关三个“二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.变式 (2014·金陵中学)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a>0，c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，且f (c )=0，当0<x<c 时，恒有f (x )>0.(1)当a=13，c=2时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac=12，求a 的值；(3)若f (0)=1，且f (x )≤m 2-2m+1对所有的x ∈[0，c ]恒成立，求正实数m 的最小值.【解答】当a=13，c=2时，f(x)=13x2+bx+2，因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(2)=0，所以f(x)=0的一个根为2，设另一个根为x1，则2x1=6，即x1=3.所以f(x)<0的解集为{x|2<x<3}.(2)因为函数f(x)的图象与x轴有两个交点，且f(c)=0，所以f(x)=0的一个根为c，设另一个根为x2，则cx2=ca，即x2=1a.又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，则三个交点分别为(c，0)，1a⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，c)，以三上交点为顶点的三角形的面积S=11-2ca⎛⎫⎪⎝⎭c=8，且ac=12，解得a=18，c=4.(3)当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，所以f(x)在[0，c]上单调递减，且在x=0处取得最大值1.要使f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所以m2-2m+1≥1，即m2-2m≥0，解得m≥2或m≤0，又m>0，所以m的最小值为2.1.(2015·启东中学)已知函数f(x)=x，x∈[-1，8]，函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]，若存在x∈[-1，8]，使f(x)=g(x)成立，则实数a的取值范围是.【答案】3-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞)【解析】分别作出函数f(x)=x，x∈[-1，8]与函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]的图象.当直线经过点(-1，-1)时，a=3；当直线经过点(8，8)时，a=34.结合图象有a≤34或a≥3.2.(2014·南通一中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是.【答案】y=-x2+2x+8【解析】由题意设二次函数表达式为y=a(x+2)(x-4)(a<0)，对称轴为直线x=1，当x=1时，ymax=-9a=9，所以a=-1，所以y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.3.(2016·苏州期中)设函数f(x)=2-40--30x xx x⎧>⎨<⎩，，，，若f(a)>f(1)，则实数a的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】当a>0时，f(a)>f(1)⇒2a-4>-2⇒a>1；当a<0时，f(a)>f(1)⇒-a-3>-2⇒a<-1.故实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).4.(2014·镇江期末)已知a∈R，函数f(x)=x2-2ax+5.(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值.【解答】(1)因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，所以2a<x+5x对x>0恒成立.因为x>0时，x+5xx=5x，即min5xx⎛⎫+⎪⎝⎭=所以2a<(2)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]. 又因为f (x )的值域为[1，a ]，所以22()-251(1)1-25f a a a f a a ⎧=+=⎨=+=⎩，，解得a=2.【融会贯通】融会贯通能力提升(2014·南通调研)设a 为实数，函数f (x )=x 2+|x-a|+1，x ∈R ，求f (x )的最小值.【思维引导】【规范解答】①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2-x+a+1=21-2x ⎛⎫⎪⎝⎭+a+34，其对称轴方程为x=12.………………………………………………………………………2分若a≤12，则对称轴x=12在区间(-∞，a]的右侧，f (x)在此区间上单调递减，此时f(x)的最小值为f(a)=a2+1；……………………………………………………………4分若a>12，则对称轴x=12在区间(-∞，a]内，此时f(x)的最小值为f12⎛⎫⎪⎝⎭=34+a.……………………………………………………………7分②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=212x⎛⎫+⎪⎝⎭-a+34，其对称轴方程为x=-12.………………………………………………………………………9分若a>-12，则对称轴x=-12在区间[a，+∞)的左侧，f(x)在[a，+∞)上单调递增，此时f(x)的最小值为f(a)=a2+1.……………………………………………………………11分若a≤-12，则对称轴x=-12在区间[a，+∞)内，此时f(x)的最小值为f1-2⎛⎫⎪⎝⎭=34-a.综上，当a≤-12时，f(x)min=34-a；当-12<a≤12时，f(x)min=a2+1；当a>12时，f (x )min =34+a.……………………………………………………………………14分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第17~18页.【检测与评估】第9课二次函数、幂函数一、填空题1.若函数f (x )=(m 2-m -1)2-2-3mm x是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的值为 .2.函数y =2x 2-8x +2在区间[-1，3]上的值域为 .3.已知幂函数f (x )=x α的部分对应值如下表：x 1 12f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是 .4.若二次函数f (x )=ax 2+bx +1满足f (x 1)=f (x 2)，则f (x 1+x 2)= .5.若函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2，+∞)上是单调增函数，则f (1)的取值范围为 .6.若函数f (x )=-x 2+(2a -1)|x |+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 .7.(2014·苏中三市、连云港二调)已知对任意的x ∈R ，函数f (x )满足f (-x )=f (x )，且当x ≥0时，f (x )=x 2-ax +1.若f (x )有4个零点，则实数a 的取值范围是 . 8.(2015·北京海淀区)如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则实数a = .(第8题)二、解答题9.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1，x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值；(2)求证：x1<-1且x2<-1；(3)如果1211010xx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，试求a的最大值.10.设a为实数，函数f(x)=x|x-a|，其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间.11.(2014·盐城一中)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，若f(x)>x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；【检测与评估答案】第9课二次函数、幂函数1.2【解析】由题意知m2-m-1=1，解得m=2或m=-1.当m=2时，m2-2m-3=-3，f(x)=x-3符合题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，f(x)=x0不合题意.综上，m=2.2.[-6，12]【解析】y=2(x-2)2-6，当x=2时，y取得最小值为-6；当x=-1时，y取得最大值为12.3.{x|-4≤x ≤4} 【解析】由f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=2⇒α=12，故f (|x|)≤2⇒|x 12|≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|-4≤x ≤4}.4.1 【解析】因为f (x 1)=f (x 2)且f (x )的图象关于直线x=-2b a 对称，所以x 1+x 2=-ba ，所以f (x 1+x 2)=f -b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=a ·22b a -b ·b a +1=1.5. [25，+∞) 【解析】由题意知8m≤-2，所以m ≤-16，所以f (1)=9-m ≥25.6.12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】f (x )=-x 2+(2a-1)|x|+1的图象是由函数f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的图象变化得到的.第一步去除y 轴左侧的图象，保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以2-12a >0，即a>12.7.(2，+∞) 【解析】由题意得f (x )为偶函数.因为f (x )有4个零点，又f (0)=1>0，所以当x>0时，f (x )=x 2-ax+1有2个零点，所以202-40aa ⎧>⎪⎨⎪∆=>⎩，，解得a>2.8.-12 【解析】设y=a (x-x 1)(x-x 2)，由题设知a (t-x 1)(t-x 2)=2.又AC ⊥BC ，利用斜率关系得12-t x ·22-t x =-1，所以a=-12.9.(1)由题意知x 1+x 2=-1a ，x 1x 2=1a ，所以(1+x 1)(1+x 2)=1+(x 1+x 2)+x 1x 2=1-1a +1a =1. (2)令f (x )=ax 2+x+1(a>0)，由Δ=1-4a ≥0，得0<2a ≤12，所以一元二次方程f (x )的对称轴方程x=-12a ≤-2<-1. 又f (-1)=a>0，所以f (x )的图象与x 轴的交点都在点(-1，0)的左侧，故x 1<-1且x 2<-1.(3)由(1)知x 1=211x +-1=-221x x +，所以12x x =-21110110x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，，所以-211101111x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以a=121x x =-2221x x +=2211---2x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦+14，故当-21x =12时，a 取得最大值14.10.(1) 当a=0时，f (x )=x|x|，因为定义域为R ，关于原点对称，且f (-x )=-x|-x|=-f (x )，所以f (x )为奇函数.当a ≠0时，因为f (a )=0，f (-a )=-a|2a|，所以f (-a )≠f (a )，f (-a )≠ -f (a )，所以f (x )是非奇非偶函数.(2) 当a=0时，f (x )=220-0x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为-2a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，和(a ，+∞)，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当a<0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，a )和2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11.(1)由题意知f (-1)=a-b+1=0，且-2ba =-1，所以a=1，b=2.所以f (x )=x 2+2x+1，单调减区间为(-∞，-1]，单调增区间为[-1，+∞).(2)f (x )>x+k 在区间[-3，-1]上恒成立，即x 2+x+1>k 在[-3，-1]上恒成立.设g (x )=x 2+x+1，x ∈[-3，-1]，有k<g (x )min .因为g (x )在[-3，-1]上单调递减，所以g (x )min =g (-1)=1.所以k<1，即k 的取值范围为(-∞，1).12.(1) 当a=1时，f (x )=x 2-|x|+1=22-1010x x x x x x ⎧+≥⎨++<⎩，，，=2213-02413024x x x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，，所以f (x )的单调增区间为11-022∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，f (x )的单调减区间为11--022∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. (2) 由于a>0，当x ∈[1，2]时，f (x )=ax 2-x+2a-1=a 21-2x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2a-14a -1. ①当0<12a <1，即a>12时，f (x )在[1，2]上为增函数，g (a )=f (1)=3a-2； ②当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )=f 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2a-14a -1； ③当12a >2，即0<a<14时，f (x )在[1，2]上为减函数，g (a )=f (2)=6a-3.综上，g (a )=16-3041112--144213-2.2a a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，，。

2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数【课件】

单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
提醒：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)
．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n) ．
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)＝0 的两根．
课堂考点突破
——精析考题提升能力
考点一幂函数的图象与性质
【题组练透】
1．(多选)已知幂函数 f(x)的图象经过点(4,2)，则下列选项正确的有( AC ) A．f(x)为增函数
B．f(x)为偶函数
C．若 x≥9，则 f(x)≥3
D．若
x2>x1>0，则fx1＋2 fx2>f
x1＋x2 2
【解析】设幂函数 f(x)＝xα，将点(4,2)的坐标代入函数 f(x)＝xα 得 2＝4α，则 α＝12，
则 a，b，c 的大小关系为( D ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 【解析】由图可知，a<0，b>1>c>0，故 a<c<b.故选 D.
4．函数 f(x)＝2x2－mx＋3 在[－2，＋∞)上单调递增，则实数 m 的取值范围是 _____(_－__∞__，__－__8_] _________________．

高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第9课二次函数、幂函数 Word版含答案

第9课二次函数、幂函数A 应知应会1.函数y=2x2-8x+2在区间[-1,3]上的值域为.2.若函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为.3.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:则不等式f(|x|)≤2的解集是.4.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围为.5.已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上有一个最大值,此最大值为-5,求实数a的值.6.已知a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(x)的单调区间.B 巩固提升1.若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=.2.已知对任意的x∈R,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点,则实数a的取值范围是.3.(2016·浙江模拟改编)已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.若b>2a,且函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为2,最小值为-4,则函数f(x)的最小值为.(第4题)4.(2015·北京海淀区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C(t,2),且与x轴交于A,B 两点.若AC⊥BC,则实数a=.5.已知关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)如果∈,求a的最大值.6.已知函数f(x)=ax2+bx+1,x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,若f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.第9课二次函数、幂函数A 应知应会1.[-6,12]【解析】y=2(x-2)2-6,当x=2时,y取得最小值,为-6;当x=-1时,y取得最大值,为12.2.2【解析】由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3,符合题意;当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0,不合题意.综上,m=2.3.{x|-4≤x≤4}【解析】由f=⇒α=,故f(|x|)≤2⇒|x≤2⇒|x|≤4,故其解集为{x|-4≤x≤4}.4.[25,+∞)【解析】由题意知≤-2,所以m≤-16,所以f(1)=9-m≥25.5.【解答】由题意知f(x)=-4-4a,其图象的顶点坐标为,对称轴为直线x=.当≥1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,此时f(x)的最大值为f(1)=-4-a2,则-4-a2=-5,解得a=±1<2,舍去.当0<<1,即0<a<2时,f(x)的最大值为f=-4a,则-4a=-5,解得a=∈(0,2).当≤0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,此时f(x)的最大值为f(0)=-4a-a2,则-4a-a2=-5,即a2+4a-5=0,解得a=-5或a=1(舍去).综上所述,a=或a=-5.6.【解答】(1)当a=0时,f(x)=x|x|,因为定义域为R,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.当a≠0时,因为f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),所以f(x)是非奇非偶函数.(2)当a=0时,f(x)=x|x|=则f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为和(a,+∞),f(x)的单调减区间为;当a<0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为(-∞,a)和,f(x)的单调减区间为.B 巩固提升1. 1【解析】因为f(x1)=f(x2)且f(x)的图象关于直线x=-对称,所以x1+x2=-,所以f(x1+x2)=f=a·-b·+1=1.2.(2,+∞)【解析】由题意得f(x)为偶函数.因为f(x)有4个零点,又f(0)=1>0,所以当x>0时,f(x)=x2-ax+1有2个零点,所以解得a>2.3.-【解析】因为a∈N*,所以二次函数的图象开口向上.由b>2a得函数图象的对称轴x=-<-1,则函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故f(x)min=f(-1)=a-b+c=-4,f(x)max=f(1)=a+b+c=2,两式相减得b=3.又因为a<且a∈N*,所以a=1,c=-2,所以f(x)=x2+3x-2,则f(x)min=f=-.4.-【解析】设y=a(x-x1)(x-x2),由题设知a(t-x1)(t-x2)=2.又AC⊥BC,利用斜率关系得·=-1,所以a=-.5.【解答】(1)因为x1+x2=-,x1x2=,所以(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-+=1.(2)令f(x)=ax2+x+1(a>0),由Δ=1-4a≥0,得0<2a≤,所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=-≤-2<-1.又f(-1)=a>0,所以f(x)的图象与x轴的交点都在点(-1,0)的左侧,故x1<-1且x2<-1.(3)由(1)知x1=-1=-,所以=-∈,所以-∈,所以a==-·=-=+,故当-=时,a取得最大值.6.【解答】(1)由题意知f(-1)=a-b+1=0,且-=-1,所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+1,其单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],有k<g(x)min.因为g(x)在[-3,-1]上单调递减,所以g(x)min=g(-1)=1.所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1).。

幂函数、二次函数 Word版含解析

课时规范练A组基础对点练1.(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.9 2C．3 D.32 22．设函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，则f(m－1)的值为()A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能3．(2018·贵州适应性考试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是() A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数4．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则以下结论中正确的是()A．f(0)<f(－2)<f(5) B.f(－2)<f(5)<f(0)C．f(－2)<f(0)<f(5) D.f(0)<f(5)<f(－2)5．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是()A．[1,2] B.(0,1]C．(0,2] D.[1，＋∞)6．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟 B.3.75分钟 C ．4.00分钟D.4.25分钟8．下面四个图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B.－13C.53D.－13或539．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1B.－13C ．－19 D.1910．设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是____．11．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是___． 12．已知幂函数y ＝ (m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝__.13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是___．B 组能力提升练1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B.(－∞，1) C ．(1，＋∞)D.(4，＋∞)2．已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B.[1,2] C ．(0，＋∞)D.(0,2]3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ).4．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16 B.a 2＋2a －16 C ．－16D.165．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋4x (0≤x <1)，log 2 013x (x >1)，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A ．(2,2 014) B.(2,2 015) C ．(3,2 014)D.(3,2 015)6．函数f (x )＝(m 2－m －1)是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断7．如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象．已知n 分别取±2，±12四个值，与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应的n 依次为( )A ．2，12，－12，－2 B.2，12，－2，－12 C ．－12，－2,2，12D.－2，－12，12，28．已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是9．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是____．10．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 11．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为12．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a的取值范围．。

二次函数与幂函数一轮复习课件

.
【解析】因为f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,所以Δ=1-20a<0且a>0,
1
解得a> .
20
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
二次函数的图象与性质
【例 1】已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)若 y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数 a 的取值范围;
(2)当 a=-1 时,求函数 f(|x|)的单调区间.
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能躲开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,重视“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
根.(函数对应的方程有实根的情况)
答案
2.二次函数的图象与性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
4- 2
,+∞
4
值域
单调性
在 -∞,
2
对称性

2
上单调递减,在 -
, + ∞ 上单调递增
4-2
-∞,
4
在 -∞,
2

2
上单调递增,在 -
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析

高考数学复习考点知识专题讲解课件9---幂函数与二次函数

题，中档难度.
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基础知识自主学习
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新高考大一轮复习 · 数学 1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
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B．a＜b＜c
D．c＜a＜b
在(0，＋∞)上为增函数，
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3．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)
(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋
∞)上是减函数，则 n 的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意，故选 B.
a<0，由 f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知3－2aa≤－1，解得－3≤a<0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．答案：D
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引申探究若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 的单调减区间是[－1，＋∞)，则 a＝ ________. 解析：由题意知 f(x)必为二次函数且 a<0，又3－ 2aa＝－1，∴a＝－3. 答案：－3
题型分类深度剖析
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题型一幂函数的图象和性质 1．若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系中的图象如图所示，
则 a，b，c，d 的大小关系是( A．d>c>b>a

2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练九幂函数与二次函数 Word版含解析

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课时分层提升练九幂函数与二次函数……………………25分钟50分一、选择题(每小题5分,共35分)1.集合A={x|2l g x<1},B={x|x2-9≤0},则A∩B= ( )A.[-3,3]B.(0,)C.(0,3]D.[-3,)【解析】选 C.由题意得A={x|2l g x<1}=={x|0<x<},B={x|x2≤9}={x|-3≤x≤3},所以A∩B={x|0<x≤3}=(0,3].2.(2020·攀枝花模拟)如图,在四个图形中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象只可能是( )【解析】选C.根据指数函数y=可知a,b同号且不相等,则二次函数y=ax2+bx的对称轴-<0可排除B与D,又二次函数y=ax2+bx,当x=0时,y=0,而A中,x=0时,y<0,故A不正确.3.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x ≤4},则a+2b的值为( )A.-2B.3C.-3D.2【解析】选 A.依题意,-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两根,所以解得所以a+2b的值为-2.4.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的增函数,则m的值为( )A.2B.-1C.-1或2D.0【解析】选B.因为函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.又因为幂函数在(0,+∞)上为增函数,所以-5m-3>0,即m<-,所以m=-1.5.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )【解析】选C.设幂函数的解析式为y=x a,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4a,解得a=,所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项可得答案.6.若函数f(x)=x2+bx+c对任意的x∈R都有f(x-1)=f(3-x),则以下结论中正确的是( )A.f(0)<f(-2)<f(5)B.f(-2)<f(5)<f(0)C.f(-2)<f(0)<f(5)D.f(0)<f(5)<f(-2)【解析】选A.若函数f(x)=x2+bx+c对任意的x∈R都有f(x-1)=f(3-x),则f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴为x=1且函数f(x)的图象的开口方向向上,则函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,所以f(2)<f(4)<f(5),又f(0)=f(2),f(-2)=f(4),所以f(0)<f(-2)<f(5).7.函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠1},对定义域中任意的x,都有f(2-x)=f(x),且当x<1时,f(x)=2x2-x,那么当x>1时,f(x)的递增区间是( )A. B.C. D.【解析】选C. 因为f(x)对定义域中任意的x,都有f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的对称轴是x=1,因为当x<1时,f(x)=2x2-x=2-,所以当x<1时,f(x)的递增区间是,递减区间是,由函数f(x)的对称轴是x=1,得当x>1时,f(x)的递增区间是.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若不等式(a2+a)x2-ax+1>0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,不等式恒成立,当a=-1时,不等式为x+1>0,x>-1不合题意.当a≠0且a≠-1时有解得a>0或a<-,综上可得,实数a的取值范围是a≥0或a<-.答案:a≥0或a<-9.(2020·贵阳模拟)幂函数f(x)=(m2-3m+3)x m的图象关于y轴对称,则实数m=________.【解析】函数f(x)=(m2-3m+3)x m是幂函数,所以m2-3m+3=1,解得:m=1或m=2.当m=1时,函数y=x的图象不关于y轴对称,舍去,当m=2时,函数y=x2的图象关于y轴对称,所以实数m=2.答案:210.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a=__________.【解析】由于函数f(x)的值域为[1,+∞),所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.答案:3或-1……………………20分钟40分1.(5分)(2020·铜仁模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n的图象上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c【解析】选A.点(2,8)在幂函数f(x)=x n的图象上,可得2n=8,n=3,则f(x)=x3,且f(x)在R上递增,0<<<1,lnπ>1,得f<f<f(lnπ),即a<c<b.2.(5分)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③【解析】选B.因为二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.3.(5分)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.【解析】y=函数y=kx-2恒过定点M(0,-2),k MA=0,k MB=4.当k=1时,直线y=kx-2在x>1或x≤-1时与直线y=x+1平行,此时有一个公共点,所以k∈(0,1)∪(1,4)时,两函数图象恰有两个交点.答案:(0,1)∪(1,4)4.(12分)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(-1,3),且关于直线x=1对称.(1)求f(x)的解析式.(2)若m<3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域.【解析】(1)因为函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(-1,3),且关于直线x=1对称,所以解得所以f(x)=x2-2x.(2)当1≤m<3时,f(x)min=f(m)=m2-2m,f(x)max=f(3)=9-6=3,所以f(x)的值域为[m2-2m,3];当-1≤m<1时,f(x)min=f(1)=1-2=-1,f(x)max=f(3)=3,所以f(x)的值域为[-1,3].当m<-1时,f(x)min=f(1)=1-2=-1,f(x)max=f(m)=m2-2m,所以f(x)的值域为[-1,m2-2m].5.(13分)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】 (1)由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x.所以所以因此,所求解析式为f(x)=x2-x+1.(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在区间[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上的最小值大于0即可.因为g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上单调递减,所以g(x)min =g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).关闭Word文档返回原板块。

江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第9练二次函数与幂函数理含解析

江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第9练二次函数与幂函数理含解析[基础保分练]1．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．2．(2019·苏州调研)已知幂函数y ＝f (x )的图象通过点(2,22)，则该函数的解析式为________． 3．若幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是________． 4．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．5．(2019·徐州质检)幂函数f (x )＝(m 2－8m ＋16)·243m m x -+在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为________．6．已知函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c 满足关系：f (x )＝f (4－x )，则f (－2)，f (0)，f (5)的大小关系为____________．7．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为________．8．已知函数f (x )＝1－ax －x 2，若∀x ∈[a ，a ＋1]，都有f (x )>0成立，则实数a 的取值范围是________．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则f (1)的最小值为________．10．(2019·扬州诊断)已知幂函数f (x )＝x －m 2－2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)＝____________.[能力提升练]1．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx －2，如果f (x 1)＝f (x 2) (x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.2．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3的定义域为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 3．已知函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，若存在a ∈R ，当x ∈[1，m ](m >1)时，使得f (x ＋a )≤4x 成立，则m 的最大值为________．4．(2018·镇江调研)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝12x ，给出下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；③若0<x 1<x 2，则x 2f (x 1)<x 1f (x 2)；④若0<x 1<x 2，则f x 1＋f x 22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确命题的序号是________．6．(2019·盐城模拟)若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．答案精析基础保分练1.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 2.y ＝32x 3.(－∞，0) 4．(－3，＋∞) 5.56．f (－2)<f (5)<f (0) 7.c <b <a8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 9.4 10．16解析 ∵幂函数f (x )＝223m m x--+(m ∈Z )为偶函数， ∴幂指数为偶数，∵幂函数f (x )＝223m m x --+(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是单调增函数．∴幂指数为正数，即－m 2－2m ＋3>0，解得－3<m <1，∴m ＝－2，－1,0，∴对m 取值，得到当m ＝－1时，幂指数为4，符合题意， ∴解析式为f (x )＝x 4，则f (2)＝16.能力提升练 1．－2 2.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 3.9 4．(0,1]∪[3，＋∞)解析根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞上为增函数；函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[3，＋∞)．5．①④解析结合函数的解析式逐一考查所给的说法：①函数f (x )＝12x 单调递增，且f (1)＝1，据此可知，若x >1，则f (x )>1，①正确； ②令x 1＝1，x 2＝4，满足0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝124－121＝1，而x 2－x 1＝4－1＝3，不满足f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，②错误； ③令x 1＝1，x 2＝4，满足0<x 1<x 2，而x 2f (x 1)＝4×121＝4，x 1f (x 2)＝1×124＝2，不满足x 2f (x 1)<x 1f (x 2)，③错误；④如图所示的幂函数f (x )＝12x 图象上有两点A ，B ，满足x A <x B ，不妨设点A 的横坐标为x 1，点B 的横坐标为x 2，则AB 中点N 的横坐标为x 1＋x 22，则f x 1＋f x 22的值为N 点的纵坐标y N ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为M 点的纵坐标y M ，很明显y N <y M ，即f x 1＋f x 22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确．综上可得，正确命题的序号是①④.6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14解析 x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝－(x 2＋x )，令y ＝－(x 2＋x )，分析可得，y ≤14，若方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则必有⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥14，当且仅当0≤a ≤14时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14，当且仅当0≤a ≤14时，存在x ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝－(x 2＋x )成立，即x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，可得实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.。

2025高考数学一轮复习-第9讲-二次函数与幂函数【课件】

故 C 不合题意； 1
当 α＝13时，f(x)＝x3，x∈R，且为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，故 D 符合
题意．
二次函数的动态问题
2 已知函数 f(x) ＝ ax2 － 2x(0≤x≤1) ，则 f(x) 的最小值是【解__析_】__当_a_＝__0_时_，__f_(x_)_＝_－_．2x在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.
定义域不关于原点对称，y＝f(x)为非奇非偶函数，A，B错误；由于－32＜0，故 y＝f(x)＝x－32在(0，＋∞)上单调递减，C 正确．【答案】C
变式 (1)若幂函数 f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5 在区间(0，＋∞)上单调递增，则 f(3)
＝( A ) A．27
B．9
C．19
数m的取值范围为 A．{0，－3}
B．[－3，0]
( A)
C．{0，3}
D．(－∞，－3]∪[0，＋∞)
【解析】由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3×(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}．
5．已知函数y＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a
＝__－__2___．
第二章基本初等函数
第9讲二次函数与幂函数
激活思维
1．已知幂函数
f(x)的图象经过点2，
22，则
f116的值等于
(B)
A．14
B．4
C．8
D．18
【解析】设幂函数
f(x)＝xα，因为幂函数
f(x)的图象经过点2，
22，所以
2α＝
22，α＝
－12，所以
1
f(x)＝x－2，则

2024届高考数学一轮复习第二章《函数》第三节+二次函数与幂函数

A. B. C. D.
D
3. （2023吉林长春高三模拟）设，使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是( )
A. B. ， C. ， D. ，，
A
[解析] 当时，，定义域为，不合题意；当时，，定义域为，为奇函数，不合题意；当时，，定义域为，为偶函数，符合题意.故 .
4. 易错题若函数在上有最大值4，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
C
[解析] .①当时，函数在上的值为常数1，不符合题意；②当时，函数在上是增函数，最大值为，解得；③当时，函数在上是减函数，最大值为，解得 .综上可知，的值为或 .
第二章函数
第三节二次函数与幂函数
必备知识·整合
关键能力·突破
拓展视野 “对勾”函数与分式一次型函数
课标要求
1.通过具体实例,结合，，，，的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
必备知识·整合
定义域
值域
_ ____________
对称轴
顶点坐标
奇偶性
续表
单调性
最值
提醒注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
单调递增
续表
2.幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.幂函数的特征：①自变量处在幂底数的位置，幂指数为常数；② 的系数为1；③只有一项.
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
（1）函数是幂函数.( )

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第课二次函数、幂函数
【自主学习】
第课二次函数、幂函数
(本课时对应学生用书第页)
自主学习回归教材
.(必修测试改编)函数()，∈[，]的值域为.
【答案】[，]
【解析】由()()，知()在[，]上单调递增，所以()的值域是[，].
. (必修习题改编)若函数()，∈[，]的图象关于直线对称，则.
【答案】
【解析】由二次函数()的图象关于直线对称，可得2
2a +，所以.而()是定义在[，]上的，即，关于对称，所以2a b
+，所以.
. (必修习题改编)函数()222-10-2-10x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，的单调增区间是.
【答案】
【解析】画出函数()的图象可知.
. (必修练习改编)若幂函数()的图象经过点193⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(). 【答案】1
5
【解析】设()α，则13α，所以α12，即()1-2x ，所以()15.
.(必修练习改编)已知幂函数()·2-6m x 在(，∞)上单调递增，那么实数.
【答案】
【解析】由题意得22-571-60m m m ⎧+=⎨>⎩，，解得.
.二次函数的三种表示方法：
()一般式：(≠)；。