数学 张芙华 函数及其性质 第二十讲 突破函数最值利器勾之美(四)
20第一部分 板块二 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质(小题)
(2)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).
若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于
A.－50
B.0
√C.2
D.50
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故选C.
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称， 又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)， 所以f(2 018)＋f(－2 019)＝f(0)－f(2 019) ＝－f(1)＋f(0)＝－(e1－1)＋(e0－1)＝1－e.
例 1 (1)函数 f(x)＝ A.－12，2
1 ＋ln(2x＋1)的定义域为 4－x2
B.－12，2
C.－12，2
√D.－12，2
解析 要使函数 f(x)＝ 4－1 x2＋ln(2x＋1)有意义， 则需满足42－x＋x21>>00，， 解得－12<x<2， 即函数 f(x)的定义域为－12，2.
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
数学函数最值讲解教案
数学函数最值讲解教案教案标题：数学函数最值讲解教案教学目标：1. 理解数学函数的最值概念；2. 能够确定函数的最大值和最小值；3. 掌握求解函数最值的方法和技巧。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、教学PPT、白板、黑板、彩色粉笔、练习题、答案；2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学函数的概念，复习函数的定义和性质；2. 引发学生对数学函数最值的思考，例如：什么是函数的最大值和最小值？如何确定函数的最值？二、讲解数学函数最值的概念（10分钟）1. 使用投影仪展示相关PPT，详细讲解数学函数最值的概念，包括最大值和最小值的定义；2. 强调最值与函数图像的关系，例如：最大值出现在函数图像的顶点，最小值出现在函数图像的谷底；3. 通过示例解释最值的意义，例如：最大值表示函数在某个定义域内取得的最大输出值，最小值表示函数在某个定义域内取得的最小输出值。
三、求解函数最值的方法与技巧（15分钟）1. 介绍求解函数最值的常用方法，包括：a. 导数法：通过求函数的导数来确定函数的最值；b. 列表法：通过列出函数在定义域内的取值，找出最大值和最小值；c. 图像法：通过观察函数图像，找出最大值和最小值；2. 分别讲解每种方法的步骤和应用场景，并通过实例演示求解过程；3. 强调方法的选择与实际问题的联系，让学生理解不同方法的优缺点。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成求解函数最值的练习；2. 在学生完成后，逐题讲解答案，解析求解过程；3. 鼓励学生提出问题，解答他们的疑惑。
五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考数学函数最值在实际问题中的应用，例如：最大利润、最小成本等；2. 提供实际问题，让学生运用所学知识求解最值；3. 鼓励学生讨论和分享解题思路，培养他们的应用能力。
六、总结与展望（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调数学函数最值的重要性和应用；2. 展望下节课的内容，例如：函数最值的应用拓展。
函数的最值及其几何意义-高中数学知识点讲解
函数的最值及其几何意义
1．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8
的最小值，有 2x +
푥
8
푥≥ 2 2푥
⋅
8
푥
= 8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍
然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参
数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
1/ 1。
函数值域及最值
函数的值域与最值1．函数值和函数值域的看法(1)函数值与函数值域是两个相关看法，函数值是一个局部看法，函数值域是一个整体看法．函数值域是函数值的会集 . (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法那么．2．函数的最值(1)定义〔见教材必修 1 30 页〕 (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y＝ f(x) 的图象以以下图．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大 (小 )值是函数在某一区间上的最大 (小 )值，而最大值与最小值那么分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．〔其实不是所有的函数都有最大值与最小值．〕根本初等函数的值域：3．函数值域〔最值〕的求法(1)列举法即直接依照函数的定义域与对应法那么将函数值一一求出来写成会集形式．这种方法只适于值域 B 中元素为有限或诚然是无量但倒是与自然数相关的会集．(2) 逐层求值域法：逐层求值域法就是依照x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．比方：求函数f(x) ＝1，x∈ [2,5] 的值域．1－ 2xcx＋d(3)分别常数法形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函数(4)配方法是求“二次函数类〞值域的根本方法，形如 F( x)＝ a[ f 2(x)＋ bf(x)＋ c]的函数的值域问题。
(5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ ax＋ b± cx＋ d(a、 b、 c、d 均为常数，且 a≠ 0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时必然要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性形如 sinα＝f(y)，x2＝ g(y)，a x＝h(y)等，因为 |sinα|≤ 1，x2≥0， a x＞0 可解出 y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法假设函数的剖析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式 (绝对值不等式 )利用均值不等式：a＋ b≥2a＋ b222ab， ab≤， a ＋ b ≥ 2ab.2用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等〞(9) 利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，那么函数在端点处取最值． 若是函数在端点处没有定义，那么不可以能在端点处获取最值．②关于自变量 x 的一次根式， 如 y ＝ ax ＋ b ＋ dx ＋ c ，假设 ad ＞ 0，那么用单调性求值域或最值；假设 ad ＜0，那么用换元法．③形如 y ＝ x ＋kx 的函数．(10) 导数法：利用导函数求最值．4． 条件最值所谓条件最值， 即函数在必然条件下才能获取最值，也许说函数的最值碰到某种条件的限制和影响． 因此，在求条件最值时， 必然要注意所求最值可否吻合条件；特别是实质应用题，要检查所求最值可否吻合实质意义．如 x 2＋ y 2＝ x ，求 u ＝ 3x 2＋ 1y 2 的最值．2配方法 换元法例 1 (1)函数f(x)＝ x 2＋ x － 2，其定义域分别为：① R ， ②[ －2，＋ ∞ )，③ [2,4] ，那么对应的值域依次是① ________， ② ________， ③ ________.(2) 求以下函数的最值①②yx 2 2x 21y2x x2例 2 : 求以下函数的最值〔1〕y 2x 4 1 x( 2) y x 1 x 2练习：求以下函数的最值：(1)y ＝ 2x ＋ 1－ 2x ；(2) y ＝x ＋ 4＋ 9－ x 2；分别常数法、有界性法例：求以下函数的最值：(1)y＝x－ 22x＋ 1；(2)y＝x－ 1；x＋ 12练习：求以下函数的值域(1)y＝5x－ 11x2 4x， x∈ [ － 3，－ 1]；( 2) y2＋ 21x不等式法、单调性法练习：求以下函数的值域例：求以下函数的值域(1) y4( x0)〔1〕 y log 1 4 x2 x2 x(2) y(1 )x 2(2) y x25x242〔〕log3x log x 31 3 y导数法例1： a为实数， f ( x) ( x 24)( x a).〔1〕假设 f / ( 1) 0, 求 f (x)在[ 2,2]上的最值；〔2〕假设 f (x)在 ( , 2]和[2, )上都是递加的，求a的取值范围数形结合法例：求以下函数的最值(1) y(x 3)216( x 5)242 sin x(2) y3cos x条件最值设 x，y≥0,2 x＋ y＝6，求 Z＝4x2＋3xy＋ y2－6x－3y 的最值．。
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.2.2函数的最值课件理
则 M 是 y＝f(x)的最大值
则 M 是 y＝f(x)的最小值
注意点 正确理解函数的最值
函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值.
1．思维辨析 (1)定义在 R 上的函数一定存在最大值或最小值．( × ) (2)y＝1x(x>0)的最小值为 0.( × ) (3)函数 y＝f(x)可能只有最大值，没有最小值．( √ ) (4)定义在某开区间上的单调函数一定没有最值．( √ ) (5)函数 y＝11－ ＋xx22的最大值为 1.( √ )
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 确定函数 f(x)的值域或最值必须首先探求函数在定义域内的单调情况．若 f(x)是基本初 等函数，应先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用函数图象和性质 求解；若 f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域，通常在选择题、填空题中出 现，有时也在解答题中与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题目．
命题法 利用函数的单调性求函数的最值
典例 (1)定义新运算⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a<b 时，a⊕b＝b2，则函数 f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，
x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1
B．1
C．6
D．12
(2)如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1＋x)＝f(－x)，且当 x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数 f(x)
在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2
B．3
C．4
D．－1
[解析] (1)由已知得当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2； 当 1<x≤2 时，f(x)＝x3－2. ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2 在定义域内都为增函数． ∴f(x)的最大值为 f(2)＝23－2＝6. (2)根据 f(1＋x)＝f(－x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x＝12对称．又函数 f(x)在21，＋∞上单调递增， 故 f(x)在－∞，21上单调递减，则函数 f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为 f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1 ＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
虹口高考补习班新王牌高三专题4：函数的基本性质(四)函数的值域和最值(二) (2)
专题4 函数的基本性质 二 函数的最值和值域（一）知识梳理1． 在函数)(x f y =中，和自变量x 的值对应的y 的值的集合，叫做函数的值域 2． 常见函数（重点讲解反比例函数．二次函数）的值域：3． 设函数)(x f y =在0x x =处的函数值为)(0x f ，若对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≥都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值；若对于定义域内任意x ，不等式______________成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的_________．检验：（ 2005年春考）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题： (★★)（1）若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值.这些命题中，真命题的个数是 ( )A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个突破口：最大值定义中的0()()f x f x ≤有两层含义：如 函数sin ,y x x R =∈．虽然sin 2x ≤，但对任意x R ∈，sin 2x ≠，所以2不是sin y x =的最大值；而sin 1x ≤，且存在0,2x k k Z ππ=+∈，使得0sin 1x =，故1是sin y x =的最大值．4． 求函数值域（最值）的常用方法：求函数值域（最值）没有通解通法，只能根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法．主要通过函数的单调性及基本不等式确定，特别是几个常见函数如二次函数、分式函数及指对数函数等值域的确定方法需要熟练掌握． 求函数值域的基本方法： (1) 几个常见函数（二次函数、有理分式函数）的值域； (2) 利用函数的单调性求值域； (3) 利用基本不等式求值域．典例精讲二次函数类型: 对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当定义域为某些给定的区间时，可以结合图像，根据函数的递增、递减性确定最大值和最小值．例1．设函数32)(2++-=x x x f ，若)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值．(★★)方法小结：巩固练习：1．设函数()()2203f x x x ax =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．求m n 、的值（用a 表示）；(★★)2．已知函数11()142x xf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求函数()f x 在(),0-∞上的值域．(★★)反比例函数类型：对反比例函数(0)ky k x=≠，当定义域为给定的区间[,]m n 时，可以结合图像，根据函数的递增、递减性确定最大值和最小值．常见图形情形主要有以下几种：由图，定义域中一定不包含0x =，故对区间[,]m n ，要么0m n <<，要么0m n <<。
数学 张芙华 三角函数 第七讲 三角函数必考题,集合法突破单调性问题
（安徽理） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) 4 cos x sin x
( 0) 的最小正周期为 .
4
（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）讨论 f ( x ) 在区间 0,
上的单调性. 2
（安徽理） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) 4 cos x sin x
求 ω的取值范围；
（重庆卷） 设
π f(x) ＝ 4cos ωx－6 sinωx －
cos(2ωx＋π)，其中 ω＞0.
（1）求函数 y＝f(x)的值域； （2）若
3π π ， f(x)在区间 上 － 2 2
为增函数，求 ω 的最大值．
备考指津
平时复习的重点把握： 对于三角函数单调性对于解题中的关键点要重点突 破：辅助角画法、化简技巧、采用集合法时要注意端点
三角函数必考题，集合法突破单调性问题
数学讲师 张芙华
考点透视
命题规律：
必备技能
破解秘籍：
2.化简技巧 3.集合法
第四讲
技巧传播
(高考安徽卷理科 9) 已知函数 f ( x) = sin(2 x + ) ，其中 为实数，若
f ( ) ， 2 6
则 f ( x) 的单调递增区间是（） A. k
2 , k C. k , k (k Z ) 3 6 6 3
B. k , k D. k , k (k Z ) 2 2
( 0) 的最小正周期为 .
4
热点04 求函数的最值-2022年高考数学核心热点突破
由于 的最大值为 ，故 显然不可能恒成立；
,即 ,∴ ,即 ,
故 的最大值为 ,
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是 时 ，化归为 ，再利用偶函数和单调性转化为 对任意的 恒成立，注意对 的符号的分类讨论.
点O(0，0)到直线 或 的距离 ，
点O(0，0)到直线 或 的距离 ，
而 ，要圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，当且仅当 ，即r的最大值为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：非线性目标函数的最值求法，关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
三､解答题
10.已知函数 ．
（1）当 时，若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
【点睛】本题考查了指数函数，分类讨论参数范围，研究指数型复合函数的单调性求最小值存在时参数的范围，根据不等式在区间内能成立，应用参变分离的方法求参数范围；
跟踪训练
一､单选题
3.设 是定义在R上的偶函数，且当 时， .若对任意的 ，均有 ，则实数 的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，转化为 ，从而 ，这样就通过研究对勾函数，就可得到答案.
【详解】∵ ，
∴ ， ，
则 ，
设 ，
则 在 上递减，则 上递增，
则当 时， 最小为 ，
当 时， ，当 时， ，
即 的最大值为3，则 ，
不妨设 ，
则由 得 ，且 ，
即 ，且 ，
∵ ，
∴ ，
则 ， ，
则 的最小值为 ，
故答案为： .
【答案】C