多元函数微分学总结
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
多元函数的微分知识点介绍 整理人王浩
多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。
在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。
偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。
1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。
它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。
2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。
如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。
需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。
如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。
3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。
它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。
如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。
总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。
多元函数微分知识点总结
多元函数微分知识点总结一、多元函数的梯度在多元函数微分学中，梯度是一个非常重要的概念。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最快的方向。
对于一个二元函数f(x, y)，梯度可以表示为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数。
梯度的方向即为函数在该点变化率最快的方向，而梯度的模即为函数在该点的变化率。
因此，梯度可以帮助我们确定函数在某一点的最大变化率和变化的方向。
在实际应用中，梯度可以帮助我们求解多元函数的最值问题。
通过求解梯度为0的点，可以找到函数的极值点。
梯度的方向还可以告诉我们函数在某一点的最快下降方向，从而帮助我们优化函数的取值。
二、多元函数的链式法则链式法则是多元函数微分学中的一个重要概念。
链式法则是用来计算复合函数的导数的方法。
对于一个复合函数f(g(x)), 链式法则可以表示为：(d(f(g))/dx) = (dg/dx)*(df/dg)链式法则的应用十分广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到复合函数，通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数，从而解决实际问题。
三、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是多元函数微分学中的一个基本概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x，而关于变量y的偏导数可以表示为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一点的变化率。
通过偏导数，我们可以确定函数在某一点的变化率和变化的方向，从而帮助我们解决实际问题。
四、多元函数的泰勒展开泰勒展开是多元函数微分学中的一个重要概念。
泰勒展开可以将一个函数在某一点处展开为一个无穷级数。
对于一个n次可导的函数f(x)，它在点a处的泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)*(x-a)^n/n!泰勒展开的应用非常广泛。
通过泰勒展开，我们可以将一个函数在某一点处近似为一个多项式，从而方便我们进行数值计算和求解。
多元函数微分总结
多元函数微分总结引言微分是微积分的重要概念之一，用于研究函数在给定点的变化率。
在单变量函数中，我们可以通过导数来求得函数在某一点的斜率。
然而，在多元函数中，我们需要使用多元微分来描述函数在给定点的变化情况。
本文将总结多元函数微分的基本概念、性质和计算方法。
多元函数的微分定义对于一个具有多个自变量的函数f(x1,x2,...,x n)，其微分可以表示为：$$df = \\frac{\\partial f}{\\partial x_1}dx_1 + \\frac{\\partial f}{\\partialx_2}dx_2 + ... + \\frac{\\partial f}{\\partial x_n}dx_n$$其中，dx1,dx2,...,dx n是自变量的微小变化量，$\\frac{\\partial f}{\\partial x_1}, \\frac{\\partial f}{\\partial x_2}, ..., \\frac{\\partial f}{\\partial x_n}$ 是对应的偏导数。
多元函数微分的几何意义多元函数微分可以理解为函数在某一点处的线性近似。
具体而言，对于函数f(x1,x2)，在点(x1,x2)处微分为 $df = \\frac{\\partial f}{\\partial x_1}dx_1 +\\frac{\\partial f}{\\partial x_2}dx_2$。
我们可以将微分视为一个切平面，该平面与函数曲面相切于给定点，且与切平面平行的向量与函数的变化率相等。
多元函数微分的性质多元函数微分具有以下几个重要性质：1. 线性性质对于两个函数f(x1,x2)和g(x1,x2)，以及常数c，有：$$d(cf + g) = c \\cdot df + dg$$2. 链式法则对于复合函数f(g(x1,x2),ℎ(x1,x2))，其微分可以表示为：$$df = \\frac{\\partial f}{\\partial g} \\cdot dg + \\frac{\\partial f}{\\partial h} \\cdot dh$$其中，$\\frac{\\partial f}{\\partial g}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial h}$ 分别为函数f对于g和ℎ的偏导数。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结第9章一、多元函数的基本概念1．邻域的概念（邻域、去心邻域、方形邻域）✧设是平面直角坐标系下一点，则✧点的邻域✧点的去心邻域✧方形邻域✧圆形邻域与方形邻域之间的关系2．平面上的点和点集之间的关系(1)内点、外点、边界点、聚点、孤立点(2)七条基本关系（结合课件）3．常见的平面点集开集和闭集连通集开区域和闭区域有界集和无界集4．二元函数的基本概念(1)函数的自然定义域（P。
57）(2)二元函数的图形（P。
57）5．多元函数的极限【关键点】正确理解自变量的变化趋势，课本P。
59并结合课件6．多元函数的连续性(1)概念（判断函数连续的三个前提条件缺一不可）(2)运算法则（四则运算法则、复合函数的连续性）(3)多元初等函数的连续性(4)有界闭区域上连续函数的性质（三大定理P。
62）二、多元函数的微分学1．偏导数和全微分的概念(1)函数的偏增量、函数的全增量(2)偏导数，函数的偏增量与自变量增量的比值的极限（偏导数的几何意义P。
66）(3)全微分，利用自变量增量、的线性函数近似表示函数的全增量，即，其中、不依赖于、，．(4)几个重要关系及注意事项1偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商．（P。
66）2对一元函数而言，可微可导连续．3对多元函数而言，偏导数连续可微连续当自变量趋于其中一点时函数极限存在偏导数存在函数在其中一点有定义4设是可微函数，则．(5)高阶偏导数（P。
68的定理）(6)全微分的应用，多元函数的线性近似P。
78的公式(9)(7)多元复合函数的求导法则，链式法则（结合课件）✧确定变量之间的因果关系✧注意和的区别（P。
79）✧利用全微分的形式不变性简化计算（正确理解中间变量的微分P79例1、P。
82例6）(8)隐函数的求导公式1一个方程的情形（P。
83定理1、P。
85定理2）2方程组的情形，不必套用雅可比行列式，关键是掌握求隐函数组偏导数的方法（P。
87例4）(9)向量值函数的求导公式、几何意义及物理意义（P。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。
① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。
②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：224(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。
【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径2x ky =。
证明：2224242442000lim (,)lim lim 1y y y x kyx kyxy ky kf x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的0P P →的路径，注意总结其选择路径的规律。
例2(,)limx y →= 。
【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换。
解：(,)(,)limlimx y x y →→=【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子。
例3设32,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩，证明函数),(y x f 在点(0,0)连续 。
【分析】：通过观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可以看出),(y x f 在(0,0)点的极限存在且为0，但不易利用例2中的评注直接求解，可以考虑将点(,)x y 转化成极坐标来表示。
证明：32(,)(0,0)(,)lim (,)lim x y x y f x y →→=(,)f x y ∴在点(0,0)连续。
2. 偏导数的概念二元函数的偏导数的概念：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义? 如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在? 则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数? 记作00y y x x x z ==∂∂? 00y y x x x f==∂∂? 00y y x x xz ==? 或),(00y x f x 。
如果极限yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在? 则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数，记作 00y y x x y z ==∂∂? 00y y x x y f==∂∂? 00y y x x yz ==? 或f y (x 0? y 0)?例4设(,)f x y =则函数在原点偏导数存在的情况是()C (0,0),(0,0)x y f f ''不存在存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ''不存在不存在（研）解：应选【C 】011(0,0)=limlim 00xx x x e f x x →→--'=--， 因为0011limlim 100xx x x e e x x ++→→--==--，01lim 10x x e x --→-=-- 故0011lim lim 00xx x x e e x x +--→→--≠--，所以(0,0)x f '不存在。
所以(0,0)y f '存在。
故选【C 】。
【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。
例5 设22(,)(0,0)(,)34lim2x y f x y x yx y→+-=+, 则 2(0,0)(0,0)x y f f ''+= （2008-北京赛）.【分析】为了利用偏导数的定义求出(0,0)x f '和(0,0)y f '，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：0()(),lim P P f P A f P A α→=⇔=+其中00lim P P α→=。
解：22(,)(0,0)(,)34lim2,x y f x y x yx y →+-=+22(,)342,f x y x yx y α+-∴=++其中(,)(0,0)lim 0,x y α→=从而2222(,)342()()f x y x y x y x y α=-+++++， 故2(0,0)(0,0)642x y f f ''+=-+=。
【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。
3. 全微分概念及以上几个概念之间的关系二元函数全微分的概念：如果函数(,)z f x y =在点(x ? y )的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为() (z A x B y o ρρ∆=∆+∆+=? 则称函数(,)z f x y =在点(x ? y )可微分? 而称A ?x ?B ?y 为函数(,)z f x y =在点(x ? y )的全微分? 记作dz ? 即关系：偏导连续⇒可微⇒偏导存在；可微⇒连续；但偏导存在≠>可微；连续≠>偏导存在【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。
例6设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ，（1）),(y x f 在（0，0）点是否连续？（2）求(,)x f x y '；（3）),(y x f 在（0，0）点是否可微；（4）(,)x f x y '在（0，0）点是否连续。
（天津工业大学竞赛题）【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。
解 (1)由夹逼准则0(,)sinf x y xy xy ≤=≤ ，(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==因此，故(,)0,0f x y 在（）点连续。
(2)当(,)(0,0)x y ≠时(,)2sinx f x y x '=,当(,)(0,0)x y =，利用偏导数的定义得00(0,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆-'===∆∆，故2,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x x y f x y x y ⎧≠⎪'=⎨⎪=⎩ 同理可得(3)为了考察),(y x f 在(0,0)点是否可微，我们来考察[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ''∆-∆+∆是否为ρ=[(0,0)(0,0)]0x y z f x f y ρ∆-∆-∆≤=≤0(0,0)x y =→∆→∆→，故0[(0,0)(0,0)]lim0x y z f x f y ρρ→∆-∆-∆=，即[(0,0)(0,0)()x y z f x f y o ρ∆-∆-∆=所以),(y x f 在(0,0)点可微。
（4）由于(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim (2sinx x y x y f x y x →→'=不存在，所以(,)x f x y '在(0,0)点不连续。
【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握。
【评注2】若),(y x f 在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别),(y x f 在0,0（）点是否可微，需考察[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ''∆-∆+∆是否为ρ=【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。
【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。
例 7设函数(,)||(,)f x y x y x y ϕ=-,其中(,)x y ϕ在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:(,)f x y 在点(0,0)处可微的充要条件为(0,0)0ϕ=。
（2007-天津赛）证明：（必要性）已知()x,y f 在点(0,0)处可微，故()00,f x '与()00,f y '都存在。