多元函数
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数的概念
x x0 x，y y0 y ，定义3中的等式
x x0 y y0
lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),
就相当于
x0 y 0
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0,
即
x 0 y 0
lim f ( x,0) 0.
x 0
当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时， 即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，
lim f (0, y ) 0.
y 0
当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，
即f(x,y)=f(x,kx)=
k (x≠0)， 2 1 k
二元初等函数的定义： 由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四 则运算或复合步骤而构成的，且用一数学式子表示的 函数称为二元初等函数. 二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域
内的区域)内是连续.
1 3y 2x 5 , 2 如函数 sin x y , ln 2 等， 2 2 x y x y 都是二元初等函数，在它们有定义的区域内都是连
即 a x a， b y b
其图形是矩形内部(包括边界).
1 例6 求函数 z 2 2 的定义域. 1 x y
解 函数的定义域为 1 ( x 2 y 2 ) 0,
即
x 2 y 2 1.
它的图形是单位圆
内部(不包括边界)，
如图所示.
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是 一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的 一些点. 全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为 平面开区域，简称平面区域.这三个条件是： (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,
多元函数的概念讲解
多元函数的概念讲解多元函数是指在数学中，有多个变量同时作为自变量的函数。
一元函数是只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；而多元函数是两个或多个自变量共同决定一个因变量的函数，例如z=f(x, y)或者w=f(x, y, z)。
在实际应用中，多元函数经常用来描述多个因素对某个结果的影响，是数学模型中的重要表达方式。
多元函数的变量通常分为自变量和因变量两类。
自变量是函数中的独立变量，其取值可以独立地由外部确定；而因变量是函数中的依赖变量，其取值由自变量所决定。
在多元函数中，自变量可以有任意多个，并且可以是连续或离散的变量。
多元函数可以描述现实世界中的各种现象和关系。
例如，在经济学中，生产函数可以看作是一个以生产投入（如劳动力、资本）为自变量，以产出（如产品或服务）为因变量的多元函数。
在自然科学中，例如物理学中的力学方程、电磁方程等，都可以看作是多元函数，其中的自变量和因变量代表不同的物理量。
对于多元函数，我们可以通过图像、方程、表格等多种方式进行表示和理解。
其中最常用的是图像表示法，通过绘制自变量和因变量之间的关系图来展示多元函数的性质。
例如，二元函数f(x, y)可以用三维坐标系上的曲面图来表示，其中自变量x和y分别对应平面的两个坐标轴，而z=f(x, y)对应曲面上的高度。
多元函数的性质也可以通过微积分来进行研究。
例如求函数的导数就是通过刻画函数在某一点的变化率来描述它的性质。
对于多元函数，我们可以求偏导数来研究函数在每个自变量上的变化率，进而推导出函数在整个定义域上的性质。
多元函数的极值问题、最优化问题等也可以通过微积分的方法来求解。
多元函数的概念对于理解和研究现实问题具有重要意义。
它能够帮助我们建立数学模型，解释和预测各种现象和关系。
通过对多元函数的研究，我们可以找到问题的最优解、最大值和最小值，提高生产效率，优化资源配置等。
总之，多元函数是数学中的重要概念，它能够描述多个自变量对因变量的影响关系。
多元函数的概念与应用
多元函数的概念与应用多元函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的概念以及其在实际问题中的应用。
一、多元函数的概念多元函数是指自变量有两个或更多的函数。
具体来说，如果有n个自变量x1，x2，...，xn，一个因变量y以及一个函数关系f，那么我们可以将其表示为y = f(x1, x2, ..., xn)。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
与一元函数不同的是，多元函数的图像无法用一个二维平面来表示，而是需要用高维空间来展示。
二、多元函数的应用多元函数在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，多元函数用于描述物体的运动和力学性质。
例如，牛顿的万有引力定律中就包含了一个多元函数。
通过多元函数可以描述天体之间的引力关系，并预测它们的运动轨迹。
2. 经济学中的应用经济学中的需求函数和供给函数都是多元函数的例子。
需求函数描述了消费者对商品的需求与价格之间的关系，而供给函数描述了生产者供给商品的数量与价格之间的关系。
通过分析这些多元函数，可以帮助我们理解市场的运行规律，进行经济预测和政策制定。
3. 工程学中的应用工程学中的多元函数应用广泛，如电路设计、材料强度分析、车辆运行特性等方面。
通过建立多元函数模型，可以优化工程设计，提高产品质量和性能，降低成本和风险。
三、多元函数的分析方法要研究多元函数的性质和应用，需要使用多元微积分的方法。
这些方法包括偏导数、多元极值、方向导数、梯度等。
1. 偏导数偏导数用于衡量多元函数在某个变量上的变化率，其定义与一元函数的导数类似。
通过求取偏导数，可以判断函数在某个点上的增减性以及各个方向上的变化程度。
2. 多元极值多元极值是指多元函数在某个区域内取得最大或最小值的点。
通过求取偏导数，并令其等于零，可以求得多元函数的极值点。
3. 方向导数与梯度方向导数用于描述多元函数在某个方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向与多元函数在某点上的变化最快的方向一致。
多元函数
第六讲 多元函数微积分
当温度不变时（等温过程） ，压强 当温度不变时（等温过程） 压强 V 关于体积 P 的变化率就是 ，
RT 当压强不变时（等压过程） ，压强 dV 的变化率就是 当压强不变时（等压过程） 压强 V 关于体积 T 的变化率就是 ， = 2 P dP T =常数
dV R
(x , y ) 注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算， 一般不单独出题 即使出现，也只有两种题型， 不单独出题， 一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是 “直接带入”，一种是变量代换。 直接带入” 一种是变量代换。
第六讲 多元函数微积分
x + y r > 0
x2 + y 2 ≤ R2 即 2 x + y2 > r 2
所以定义域为
D = {( x, y ) | r 2 < x 2 + y 2 ≤ R 2 }
如图，这样的区域俗称环域 如图，这样的区域俗称环域
第六讲 多元函数微积分 3.二元函数的图像 二元函数的图像 由空间解析几何知识可知，对于二元函数 z = f ( x, y )的图 由空间解析几何知识可知， 一般地，它表示一曲面. 形，一般地，它表示一曲面
（R是常数） 1.二元函数的定义 二元函数的定义 设有三个变量 和 如果当变量 在它们的 中任意取定一对值时， 变化范围 中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的 对应规律都有惟一确定的值与其对应，则称 对应规律都有惟一确定的值与其对应， 为变量 二元函数， 称为自变 ，其中 与 称为自变 的二元函数，记为 D 也叫因变量 因变量． 量，函数 也叫因变量．自变量 与 的变化范围 称为函数的定义域 定义域． 称为函数的定义域．
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数
z f x, y 在点 y y0
M 0 x0 , y0 , f x0 , y0 偏导数 f xx0 , y0 就是曲面 y y0 上曲线
二元函数 z f x, y 是区域D上的一个曲面， P0 x0 , y0 D，所以曲面上有相应的一点
称为函数 z f x, y 的图像。 所以二元函数 z f x, y 的几何意义是定义在 平面区域D上的三维空间中的一个曲面。
例4 讨论二元函数 z 1 x 2 y 2 的图像。
解：定义域为 x, y x 2 y 2 1 ，并且函数
z 0 。对 z 1 x 2 y 2 两边平方整理后，得
（2，3）点。
z (1)把y看作常数，有 x 2 xy
所以
f x2 2 （2）把x看作常数，有 x
所以
z x
2,3
2 2 3 12
f x
2,3
2 2 2
2
例3 求二元函数
ze
y sin x
的偏导数。
解：（1）把y看作常数，有
z e x
1 解：与一元函数的计算相仿，把 x , y 3 2
代入到二元函数的表达式，得
1 1 1 2 315 f ,3 3 3 2 6 3 2 2
把 x 1, y 1 代入二元函数的表达式，得：
1 f 1,1 1 1 2 1
其中
D是函数 y f x1 , x2 ,, xn 的定义域
x1 , x2 ,, xn 称为自变量，y是因变量，
二元和二元以上的函数统称为多元函数
定义7.3 设D是n维空间 R n 的非空子集，如果 对D中的任意点 Px1 , x2 , xn ，按照对应法则f，
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第八章 多元函数第二节 多元函数的概念一、多元函数的定义定义8.2 设D 为非空的n 元有序数组的集合，如果对于每一个有序数组12(,,)n x x x D ∈，按照某一法则f ，都有确定的实数y 与之对应，则称此法则f 为定义在D 上的n 元函数。
记为1212(,,) (,,)n n y f x x x x x x D =∈其中12,,n x x x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，集合{}1212|(,,) , (,,)n n y y f x x x x x x D =∈ 称为函数1212(,,) ,(,,)n n y f x x x x x x D =∈的值域。
特别地，当1n =时，为一元函数(),y f x x D =∈； 当2n =时，为二元函数(,),(,)z f x y x y D =∈。
二元及二元以上的函数统称为多元函数。
二、二元函数的定义域与二元函数的图形1．二元函数(,),(,)z f x y x y D =∈的定义域在几何上表示一个平面区域。
2．二元函数(,)z f x y =的图形空间点集{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈称为二元函数(,)z f x y =的图形。
它是一张曲面。
第三节 二元函数的极限与连续一、二元函数的极限及运算法则 1．二元函数的极限定义8.3 设函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，0P 是D 的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式220000||()()P P x x y y δ=-+-的一切点(,)P x y D ∈，都有|(,)|f x y A ε-成立。
则称常数A 为函数(,)z f x y =当00,x x y y →→时的极限，记作00(,) (,),0(||lim x x y y f x y A f x y A P P ρρ→→=→→=或注意：1、函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 可以无定义；2、点(,)P x y 以任何方式趋于点000(,)P x y ，而不是以某些特殊方式。
例1 设2222221(,)()sin (0)f x y x y x y x y =++≠+，求证：0(,)0lim x x y y f x y →→= 例2 考察函数（1）222222 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩（2）2222422 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩在点(0,0)的极限是否存在。
2．二元函数的极限的运算法则：与一元函数的极限的运算法则类似。
例3 求sin lim x y xyx →→ 二、二元函数的连续性与间断1．连续与间断定义8.4 设函数(,)z f x y =在开区域（或闭区域）D 内有定义，0P 是D 的内点或边界点且0P D ∈。
如果(,)(,)lim x x y y f x y f x y →→=则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 连续。
如果函数(,)z f x y =在D 内每一点都连续，则称函数(,)z f x y =在D 内连续。
定义8.5 如果(,)z f x y =在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 为(,)z f x y =的间断点。
注意：二元函数的间断点可以形成一条曲线。
例如2211z x y =+-在221x y +=上无定义。
2．有界闭区域上二元连续函数的性质性质1（最大值与最小值定理）在有界闭区域D 上连续的二元函数，在D 上一定有最大值与最小值定理。
即在D 上至少有两点12P P 和，使得对于一切x D ∈，都有12()()()f P f P f P ≤≤性质2（介值定理）在有界闭区域D 上连续的二元函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3．二元连续函数的运算：（1） 二元连续函数的和、差、积仍为连续函数；（2） 在分母不为零处，二元连续函数的商为连续函数； （3） 二元连续函数的复合函数是连续函数。
4．二元初等函数的连续性：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。
定义区域：是指包含在定义域内的区域（或闭区域）。
注意：利用3、4可以求二元初等函数的极限。
一般地，如果()f P 是初等函数，且0P 是()f P 的定义域的内点，则()f P 在0P 处连续，因此()()lim P P f P f P →=。
例3 求下列极限 （1）00x y →→ （2）12lim x y x yxy →→+第四节 偏导数一、偏导数的定义及其计算法1．偏导数的定义定义8.5 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处取得增量x ∆时，相应地函数有增量0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆- 如果极限00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数。
记作0000000,,(,)x x xx y y x x x x y y y y z f z f x y xx======∂∂∂∂或类似地，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为 00000(,)(,)limy f x y y f x y y∆→+∆-∆记作0000000,,(,)x x yy y y x x x x y y y y z f z f x y yy======∂∂∂∂或如果(,)z f x y =在区域D 内每一点(,)x y 处对x 的偏导数都存在，则这个偏导数是,x y 的函数，称为(,)z f x y =对自变量x 的偏导函数。
记作,,(,)x x z fz f x y x x∂∂∂∂或 类似地，函数(,)z f x y =对y 的偏导函数记作,,(,)y y z fz f x y y y∂∂∂∂或 2．偏导数的求法对于(,)z f x y =，在求z x ∂∂时，把y 看成常数而对x 求导数；在求z y∂∂时，把x 看成常数而对y 求导数。
3．偏导数的几何意义设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上的一点，过0M 作平面0y y =截此曲面得一条曲线，此曲线在平面0y y =上的方程为0(,)z f x y =，则00x x y y zx==∂∂就是此曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率；同样，00x x y y z y==∂∂就是曲面(,)z f x y =被平面0x x =所截得的曲线点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率。
例1 求222222 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩在点(0,0)处对各自变量的偏导数。
例2 求22(,)3f x y x xy y =++在点(1,2)处的偏导数。
例3 求2sin 2z x y =的偏导数。
二、高阶偏导数设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,),(,)x y z zf x y f x y x y∂∂==∂∂ 则在D 内都是,x y 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是(,)z f x y =的二阶偏导数。
按照对自变量求偏导次序不同有下列四个偏导数：222(,),(,)xx xy z z z zf x y f x y x x y x x yx ∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 222(,),(,)yx yy z z z zf x y f x y x y y x y y y⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中(,),(,)xy yx f x y f x y 称为混合偏导数。
类似可以定义三阶，四阶，，以及n 阶偏导数。
二阶及其以上的偏导数统称为高阶偏导数。
例4 设32231z x y xy xy =--+，求(,),(,)xx xy f x y f x y ，(,),(,)yx yy f x y f x y 。
定理8.1 如果(,)z f x y =的两个混合偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 在区域D 内连续，则在该区域内这两个混合偏导数相等。
例5 验证函数lnz =22220z zx y∂∂+=∂∂第五节 全微分及其应用一、全微分的定义1．全增量：设(,)z f x y =在点(,)P x y 的某邻域内有定义，并设(,)P x x y y '+∆+∆为该邻域内任意一点，则这两点的函数值之差(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-为函数在点(,)P x y 处对应于自变量增量,x y ∆∆的全增量。
记作z ∆，即(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-2．全微分的定义定义8.6 如果(,)z f x y =在点(,)P x y 处的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可以表示为()z A x B y o ρ∆=⋅∆+⋅∆+其中,A B 不依赖于,x y ∆∆而仅与,x y 有关，ρ=。
则称(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微分，而A x B y ⋅∆+⋅∆称为(,)z f x y =在点(,)P x y 处的全微分，记作dz ，即dz A x B y =⋅∆+⋅∆如果(,)z f x y =在区域D 内每一点处都可微分，则称(,)z f x y =在区域D 内可微分。
3．可微与连续的关系：可微必连续。
反之，不成立。
4．可微与偏导数的关系：可微偏导数必存在。
定理8.2（必要条件）如果(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微分，则(,)z f x y =在点(,)P x y 处的偏导数必存在，且(,)z f x y =在点(,)P x y 处的全微分为(,)(,)x y dz f x y x f x y y =⋅∆+⋅∆定理8.3（充分条件）如果(,)z f x y =在点(,)P x y 处的偏导数(,),(,)x y f x y f x y 连续，则(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微分。
若记,x y 的增量分别为,dx dy （自变量的微分），则(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =⋅+⋅ （8.1）通常把二元函数的全微分等于两个偏微分之和这件事称为叠加原理。